Departamento de Fsica Aplicada IIIEscuela Superior deIngenierosCamino de los Descubrimientos s/n41092 SevillaAPUNTES DEFundamentos Fsicos de la Ingeniera(Cuatrimestre de Mecnica)Enrique Drake MoyanoINGENIERA INDUSTRIAL
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIICONTENIDOS iCONTENIDOSVectores libres 11. Magnitudes escalares y vectoriales . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12. Definicion geometrica de vector. Clasificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 13. Vectores libres. Suma y producto por un escalar . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Basesvectoriales. Componentes de un vector. Coordenadas de un punto . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25. Producto escalar . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36. Producto vectorial . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Producto mixto .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68. Dobleproducto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Cinematica del punto 71. Introduccion . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Algunos elementos de lageometra de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72.1. Ecuaciones de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3. Triedro intrnseco o de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.Curvatura y radio de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Cinematica del punto. Generalidades . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.Componentes intrnsecas de la velocidad y la aceleracion . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. Determinacion cinematicade elementos geometricos de la trayectoria . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 126. Movimientos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 126.1. Movimiento rectilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126.2. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136.3. Movimiento armonico simple (m.a.s.) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4.Movimiento helicoidal uniforme (m.h.u.) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.5. Movimiento central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.5.1. Descripcion del movimiento plano de un punto encoordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 156.5.2. Concepto de velocidad areolar . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156.5.3. Teorema fundamental del movimiento central . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 16Vectores deslizantes 171. Definicion de vector deslizante.Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 172. Sistema de vectores deslizantes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 172.1. Resultante y momento resultante . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.Campo de momentos: ecuacion y propiedades . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Momento axico . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Invariantes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Eje central . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. Sistemas particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 203.1. Vector suelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203.2. Par de vectores . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 213.3. Vectores concurrentes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 213.4. Vectores paralelos. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .214. Equivalencia de sistemas de vectores deslizantes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.Reduccion de sistemas de vectores deslizantes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236. Clasificacionde sistemas de vectores deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 247. Equiproyectividad. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24Cinematica del solido rgido 251. Definicion de solido rgido:condicion geometrica de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 252. Condicion cinematica de rigidez: equiproyectividad delcampo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIii FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA3. Movimiento de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263.1. Rotacion de eje permanente . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263.2. Rotacion instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264. Movimiento de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 274.1. Traslacion instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 274.2. Traslacion permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275. Movimiento helicoidal tangente . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286. Descripcion del movimiento instantaneo de un solido rgido:clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 287. Campo de velocidades delsolido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 308. Campo de aceleraciones del solidorgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 30Movimiento relativo 331. Derivacion temporal en triedrosmoviles: formulas de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 332. Notacion y definiciones en el movimiento relativo . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.Composicion de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.Composicion de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.Composicion de aceleraciones: teorema de Coriolis . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376. Composicion deaceleraciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 387. Pares cinematicos. Solidosen contacto puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 39Movimiento plano 411. Definicion de movimiento plano.Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 412. Centro instantaneo de rotacion (C.I.R.) . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 422.1. Definicion del C.I.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.2. Propiedades del C.I.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..422.3. Determinacion del C.I.R. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433. Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Introduccion a la Dinamica 451. Leyes de Newton . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452. Dinamica del puntomaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1. Punto material libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 462.2. Punto material vinculado. Principio de liberacion . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. Integrales primeras: teoremas de conservacion . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.Teorema de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.Teorema de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Teorema delmomento cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504. Dinamica en sistemas de referencia no inerciales . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.Aproximacion a la dinamica de un rotor . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1. Energa cinetica de rotacion. Momento de inercia . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. La segunda ley deNewton para la rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 52Estatica 531. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .532. Equilibrio del punto material . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 532.1. Equilibrio del punto sobre una superficie lisa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Equilibriodel punto sobre una curva lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 543. Equilibrio del solido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .543.1. Condicion estatica de rigidez. Teorema detransmisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543.2.Condiciones de equilibrio del solido . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554. Desvinculacion de solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 564.1. Desvinculacion de un contacto puntual y liso . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.Desvinculacion de pares de enlace usuales (lisos) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 565. Teorema de las tres fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .586. Principio de fragmentacion . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 597. Contactos reales entre solidos. Rozamiento seco deCoulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597.1. Estudio experimental de la fuerza de rozamiento . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2. Leyes de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3. Deslizamientoinminente y vuelco inminente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 61
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIVECTORES LIBRES 1VECTORES LIBRES1. Magnitudes escalares y vectoriales.-Una magnitud fsica escualquier propiedad fsica susceptible de ser medida. Ejemplos: eltiempo (t), la velocidad (v), la masa(m), la temperatura (T ), elcampo electrico ( E).Las magnitudes fsicas se pueden clasificaren:Magnitudes escalares, que son aquellas que quedan completamentedeterminadas mediante el conocimiento de su valorexpresado medianteuna cantidad (un numero real) seguida de una unidad (a excepcion delas adimensionales). Ejemplos:el tiempo (t), la masa (m), latemperatura (T ), la carga electrica (q), el coeficiente derozamiento ().Magnitudes vectoriales, que son aquellas que no quedancompletamente determinadas por su valor (cantidad y unidad),sinoque requieren ademas el conocimiento de la direccion y el sentidode su actuacion, e incluso en algunos casos elconocimiento de surecta soporte o de su punto de aplicacion. Ejemplos: la velocidad(v), la aceleracion (a), la fuerza ( F ),el campo electrico (E).Magnitudes tensoriales, que no son, por el momento, objeto denuestra atencion.2. Definicion geometrica de vector. Clasificacion.-El conceptode vector es un concepto matematico con interes fsico, ya quepermite representar o describir las magnitudesvectoriales, as comooperar con ellas.Un vector geometrico es un segmento orientado dotado de lossiguientes elementos:a) modulo (es su longitud, proporcional al valor de la magnitudfsica);b) recta soporte (es la recta a la que pertenece elsegmento);c) direccion (es la direccion de su recta soporte);d)sentido (es la orientacion del segmento, indicada mediante unaflecha yque permite definir cual es su origen y cual su extremo); ye)punto de aplicacion (es el origen del segmento).mdulorectasoporte(direccin)punto deaplicacinsentidoLos vectores geometricos se pueden clasificar en:Vectores libres, que son los que quedan definidos mediante sumodulo, direccion y sentido. Por tanto, son invariantesantetraslaciones en el espacio. Ejemplo: la resultante de todas lasfuerzas que actuan sobre un solido rgido.Vectores deslizantes, que son los que quedan definidos mediantesu modulo, direccion, sentido y recta soporte. Por tanto,soninvariantes ante deslizamientos a lo largo de su recta soporte.Ejemplos: la velocidad angular, la fuerza que actua sobreun solidorgido.Vectores ligados, que son los que quedan definidos mediante sumodulo, direccion, sentido y punto de aplicacion. Noexiste ningunmovimiento que los deje invariantes. Ejemplos: la velocidad, elmomento de una fuerza respecto a un punto.En principio, cada magnitud fsica vectorial, segun sunaturaleza, puede ser representada por una de estas tres clases devectores.Sin embargo, en ocasiones, es la naturaleza del problemafsico concreto la que determina que una misma magnitud sedescribamediante una u otra clase de vectores. As, por ejemplo, unafuerza se comporta como un vector deslizante cuando actua sobreunsolido rgido, y como un vector ligado cuando lo hace sobre unsolido deformable.3. Vectores libres. Suma y producto por un escalar.-Los vectoreslibres admiten la definicion de las operaciones suma y producto porun escalar con una serie de propiedadesalgebraicas (definicionalgebraica de vector). No obstante, el primer requisito para poderoperar con vectores libres ha de ser ladefinicion de una relacionde equivalencia.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIrelacion de equivalencia entre vectores libres esta implcita enlapropia definicion de estos, de tal modo que diremos que dosvectoreslibres son equivalentes (y escribiremos a = b) cuandotengan respec-tivamente iguales sus modulos, sus direcciones y sussentidos (podrantener diferentes, por tanto, sus rectas soporte ysus puntos de aplica-cion).abcda b c d= = =La suma de vectores libres, a + b, se define mediante lasconocidas como regla del paralelogramo o regla del triangulo,ypresenta las siguientes propiedades algebraicas:Conmutativa: a +b = b + a Asociativa: (a +b) + c = a + (b + c)Existencia de elemento neutro: a +0 = a Existencia de elementoopuesto: a + (a) = 0 ab ab+aab+bLa operacion suma, junto a la existencia de elemento opuesto,permite definir la resta o diferencia de vectores, ab, como:ab = a + (b)ab-a- babEl producto de un vector libre, a, por un escalar, (numeroreal), se define como un nuevo vector libre, a, cuyo modulo esigualal producto del escalar (en valor absoluto) por el modulo delvector original, cuya direccion es la misma que la delvectororiginal, y cuyo sentido es el mismo o el opuesto al delvector original segun el escalar sea positivo o negativo,respectivamente.Esta operacion presenta las siguientes propiedadesalgebraicas:Asociativa respecto al producto por escalar: (a) = ()aDistributiva respecto a la suma de vectores: (a +b) = a + bDistributiva respecto a la suma de escalares: ( + )a = a + aExistencia de escalar unidad: 1a = aa a a< 0 > 0a| |=| || | a4. Bases vectoriales. Componentes de un vector. Coordenadas deun punto.-Una base de vectores libres en el espacio ordinariotridimensional E3 es cualquier terna de vectores, B = {v1, v2, v3},tal quetodo vector libre, a, se pueda expresar como combinacionlineal de los mismos, es decir:a = a1v1 + a2v2 + a3v3Se dice entonces que [a1, a2, a3] son las componentes del vectora en la base vectorial B, lo cual se puede expresar delsiguientemodo:a = [a1, a2, a3] B o bien a = [a1, a2, a3] (si no hay ambiguedadrespecto a la base)Por tanto, un mismo vector tendra una ternadistinta de componentes en cada una de las infinitas basesposibles.Desde un punto de vista geometrico, una base vectorial en elespacio ordinario E3 es cualquier terna de vectores que noseancolineales ni coplanarios.v1v2v3vectores colineales vectores coplanarios base vectorial deE3
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIOX1X2X3, al cual se le asociauna base cartesiana ortonormal, {u1, u2, u3} (formada por tres vectores unitarios, perpendicularesentre s, que siguen lasdirecciones de los ejes OX1, OX2 y OX3,respectivamente). Cuando el sistema de ejes cartesianos es OXY Z ,se prefiere lanotacion {,j,k} para su base ortonormal asociada.Laposicion de un punto generico, P , respecto a un sistema de ejescartesianos, OX1X2X3, queda unvocamente definidamediante su vectorde posicion:OP = p1u1 + p2u2 + p3u3Se denominan coordenadas cartesianas del puntoP en dichosistemade ejes a las componentes de su vector de posicion en labase ortonormalasociada, es decir, a la terna (p1, p2,p3).Conocidas las coordenadas cartesianas del origen y del extremode un vec-tor, basta restarle las primeras a las segundas paraobtener las componen-tes cartesianas del vector. Por ejemplo, dadoslos puntos P (p1, p2, p3) yQ(q1, q2, q3), es inmediato calcular lascomponentes del vector PQ:PQ =OQOP = [ q1 p1, q2 p2, q3 p3]OX1X2X3u1u2u3q ,q ,q( )1 2 3POPxp u3 3p u2 2p u1 1xP p ,p ,p( )1 2 3OO5. Producto escalar.-Dados dos vectores, a y b, que forman un angulo (0 ),se denominaproducto escalar, a b, al escalar (numero real) queresulta demultiplicar los modulos de ambos vectores por el cosenodel anguloque forman:a b = |a ||b | cos()abab . a b 0El producto escalar presenta las siguientes propiedadesgeometricas:a) Condicion de ortogonalidad:si a = 0 = b , entonces a b = 0 a bab =a b 0=.b) Proyecciones ortogonales:a b = |a | proy a [b ] = |b | proyb [a ]Aplicaciones:* si | u | = 1 , entonces a u = proy u [a ]* si { u1, u2, u3} es ortonormal, a = ( a u1) u1 + ( a u2) u2 +( a u3) u3ab| | ( )cos| |cos()proy [ ]abproy[ ]ba}}bac) M etrica (permite medir distancias y angulos):Modulo de un vector, a:|a | = a aa| |a Distancia entre dos puntos, P y Q:d(P,Q) = | PQ | =PQPQd P,( )PAngulo formado por dos rectas, r y s:cos() = a b|a ||b |Cosenos directores de una recta, r:cos(i ) = a ui|a | (i = 1 , 2, 3)abrsu1 u2u3 r13 2a
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIpropiedades algebraicas:Asociativa respecto al producto por un escalar: (a) b = a (b) =(a b)Conmutativa: a b = b a Distributiva respecto a la suma: a (b +c) = a b + a cCancelativa: x a = x b = a = b + c (siendo c x y, por tanto, x c= 0)Respecto al producto escalar en componentes cartesianas,destacaremos:a) Producto escalar de los vectores de una base cartesianaortonormal, {u1, u2, u3}:ui uj = ij =1 si i = j0 si i = j (ij : delta de kronecker) u1u2u3 ui| | = 1( 1, 2, 3)i =b) Producto escalar de dos vectores arbitrarios, a yb (se deducedel punto anterior y de las propiedades algebraicas):a b = a1b1 + a2b2 + a3b3Aplicaciones:* d(P,Q) =PQ PQ =(q1 p1)2 + (q2 p2)2 + (q3 p3)2* cos(i ) =a ui|a | =aia21 + a22 + a23(i = 1, 2, 3) (observese que: cos2(1) + cos2(2) + cos2(3) =1)Finalmente, como aplicacion geometrica del producto escalar, sepuede deducir laecuacion vectorial normal del plano, , que pasa porel punto P1(x1, y1, z1) y quees normal al vector N = (, , ). Si P(x, y, x) es un punto generico del plano ,entonces:N P1PN P1P = 0N (OP OP1) = 0N OP = N OP1que, efectuando el producto escalar en componentes cartesianas,se traduce en quetodo punto P (x, y, z) que pertenezca al planodebe satisfacer la ecuacion general:(x x1) + (y y1) + (z z1) = 0OXYZNOPxPxPOP11PP6. Producto vectorial.-Dados dos vectores, a y b, que forman unangulo (0 ), se denomina producto vectorial, a b, a un nuevovectorcuyo modulo es igual al producto de los modulos de ambosvectores por el seno (en valor absoluto) del angulo que forman,cuyadireccion es la perpendicular al plano definido por los dosvectores originales, y cuyo sentido viene dado por la regla delamano derecha(si colocamos nuestra mano derecha de forma que losdedos sigan el sentido de giro desde el primer vector, a,hacia elsegundo vector,b, por el camino mas corto, entonces el pulgarextendido apunta en el sentido de a b).a b =modulo: |a b | = |a ||b ||sen()|direccion: (a b) plano sentido :r. mano derecha (a b)aba bVEl producto vectorial presenta las siguientes propiedadesgeometricas:a) Condicion de paralelismo:si a = 0 = b , entonces a b = 0 a baba b 0=V
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIProyecciones ortogonales:|a b | = |a | proya [b ] = |b | proyb [a ]Aplicaciones:* si | u | = 1, entonces |a u | = proyu [a ]* El modulo delproducto vectorial de dos vectores, |a b |,es igual al area del paralelogramo que tiene como lados aambosvectores, o -lo que es lo mismo- es igual al doble delarea deltriangulo que tiene a ambos vectores como dos de suslados.ab||()sen||()senrea 2 rea= = | |a bVbaproy[]ab }proy[]b a}El producto vectorial presenta las siguientes propiedadesalgebraicas:No es asociativo: a (b c) = (a b) c Anticonmutativa: a b = b aAsociativa respecto al producto por un escalar: (a) b = a (b) = (ab) Distributiva respecto a la suma: a (b + c) = a b + a cCancelativa: x a = x b = a = b + x (siendo un parametro real,IR)Respecto al producto vectorial en componentes cartesianas,destacaremos:a) Producto vectorial de los vectores de una base cartesianaortonormal y dextrogira,{u1, u2, u3}:u1 u2 = u3 ; u2 u3 = u1 ; u3 u1 = u2uj ui = ui uj ; ui ui = 0(i, j = 1, 2, 3) u1u2u3 ui| | = 1( 1, 2, 3)i =b) Producto vectorial de dos vectores arbitrarios, a yb (sededuce del punto anterior y de las propiedades algebraicas):a b =u1 u2 u3a1 a2 a3b1 b2 b3Finalmente, como aplicacion geometrica del producto vectorial,se puede deducirla ecuacion vectorial de la recta, r, que pasa porel punto P1(x1, y1, z1) y quetiene la direccion del vector = (, ,). Si P (x, y, z) es un punto generico dela recta r, entonces:P1P P1P = 0 (OP OP1) = 0OP = OP1y, aplicando la propiedad cancelativa del producto vectorial, seobtiene:OP =OP1 +OXYZxx rOP1OPP1PPP1de donde se deducen las ecuaciones parametricas(separando encomponentes cartesianas) y las ecuaciones en formacontinua(eliminando el parametro ) de la recta r:x = x1 + y = y1 + z = z1 +(ec. parametricas) x x1=y y1=z z1(ec. en forma continua)
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III7. Producto mixto.-El producto mixto, a (b c), presenta lassiguientes propiedades geometricas:a) El valor absoluto del producto mixto de tres vectores, |a(bc) |, es igualal volumen del paraleleppedo que tiene como aristasa esos tres vectores:|a (b c) | = |b c | proy( bc) [a ] = Volumenb) Condicion de coplanariedad (para a,b y c no nulos):a (b c) = 0 a,b y c son coplanarioscba`rea = | |b cVVolumen `rea= hb cVproy[]a }bcV()hAplicacion:* Tres vectores, a,b y c, constituyen una base vectorial delespacio ordinario E3 si, y solo si, a (b c) = 0.El producto mixto presenta las siguientes propiedadesalgebraicas:Permutabilidad cclica: a (b c) = b (c a) = c (a b)Antipermutabilidad acclica: a (b c) = b (a c)El producto mixto en componentes cartesianas de tres vectoresarbitrarios,a,b y c, se expresa: a (bc) =a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3Aplicaciones:* Producto mixto de los vectores de una base ortonormaldextrogira, {u1, u2, u3}:u1 (u2 u3) =1 0 00 1 00 0 1= 1u1u2u3 ui| | = 1( 1, 2, 3)i =* Ecuacion del plano, , que pasa por tres puntos no alineados,P1(x1, y1, z1),P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3). Todo punto P (x, y,z) que pertenezca al plano debe satisfacer la ecuacion:x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1x3 x1 y3 y1 z3 z1= 0 (coplanariedad de P1P ,P1P2,P1P3)X YZxPxPxPx PPPPPPP111223318. Doble producto vectorial.-a (b c) =b c(a b) (a c)= (a c)b (a b)cAplicaciones:* Desarrollo del producto escalar de dos productosvectoriales:(a b) (c d) = c [ d (a b) ] = c [ (b d)a (a d)b ] = (a c)(b d)(a d)(b c)* Resolver, para la incognita x, el sistema de ecuacionesvectorialesx a = bx a =a (x a) = a b = |a |2x (x a)a = a b = x = a b|a |2 +a|a |2
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIICINEM ATICA DEL PUNTO1. Introduccion.-Se dice que un cuerpo se halla en movimientorespecto a otro cuando existe un cambio continuo de su posicionrelativa a lo largodel tiempo. La rama de la Fsica que se dedica alestudio del movimiento de los cuerpos es la Mecanica, y esta sesubdivide enlas siguientes disciplinas:Cinematica, que describe geometricamente el movimiento sinatender a sus causas. Dinamica, que conecta el movimiento y suscaractersticas con las causas (fuerzas) que lo producen. Estatica,que establece las condiciones de equilibrio mecanico (ausencia demovimiento).El punto material es un modelo matematico consistente en unpunto geometrico (sin dimensiones) dotado de una masa finitaydistinta de cero (densidad masica infinita). La utilidad de estemodelo radica en que:- proporciona un punto de partida relativamente simple para eldesarrollo teorico de la mecanica de modelos mas complejos;-aproxima el comportamiento dinamico de aquellos cuerpos cuyasdimensiones propias son muy inferiores a las dimensio-nes promedio de sus desplazamientos (por ejemplo, los cuerposcelestes);- permite estudiar el movimiento del centro de masa decualquier sistema mecanico.2. Algunos elementos de la geometra de curvas.-El movimiento deun punto en el espacio ordinario tridimensional, E3, genera unacurva alabeada (trayectoria). En consecuencia,la descripciongeometrica del movimiento de un punto (objeto de su Cinematica)requiere el previo conocimiento de algunoselementos de la geometrade curvas.2.1. Ecuaciones de una curva.La ecuacion vectorial de una curva, C, viene dada por unafuncion vectorialde variable real:r = r () = OP () = [ x(), y(), z() ] ; (con IR)de donde,separando las componentes cartesianas, se obtienen lasecuacionesparametricas:x = x ()y = y ()z = z ()X YZOr ( ) CP( )y, eliminando en estas ultimas el parametro , se llega a lasecuaciones implcitas:F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0 , las cuales corresponden,respectivamente, a sendas superficies en E3 cuya interseccion esla curva C.Por otra parte, no es el unico parametro posible para describirla curva C (existen infinitos). As, por ejemplo, la definicion deunnuevo parametro mediante el cambio:= ()permitira la siguiente reparametrizacion de C:r = r [ () ] = r ()
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIr = r () = [ a cos (), a sen (), 0 ]y de ecuaciones parametricas cartesianas:x = a cos ()y = a sen ()z = 0se puede reparametrizar mediante el cambio = 2 , resultandolanueva ecuacion vectorial:r = r () = [ a sen (), a cos (), 0 ]XYZOrPaLa eliminacion del parametro (o del parametro ) conduce a lasecuaciones implcitas:{x2 + y2 a2 = 0z = 0 , quecorresponden a una superficie cilndrica y a un plano cuyainterseccion es la circunferencia.2.2. Longitud de una curva.Se denomina par ametro natural o par ametro arco, s, de unacurva, C, a la longitud del segmento de curva (arco)comprendidoentre un punto de eleccion arbitraria, P0 (origen dearcos), y un punto generico, P .Suponiendo que la curva C estaparametrizada inicialmente en , ydiferenciando su ecuacionvectorial, se obtiene el vector desplaza-miento elemental, dr,como:dr =drdd =[dxd,dyd,dzd]dPero el elemento de arco, ds, y el modulo del vectordesplazamientoelemental, | dr |, son innit esimos equivalentes, esdecir:lim s 0| r |s=| dr |ds= 1Por tanto:ds = | dr | =(dxd)2+(dyd)2+(dzd)2dXYZOP s( )P s0( = )0Cds dr= | | s r| |srr+rr ()r ( ) 0se, integrando esta ecuacion entre los puntos P0 y P , se obtieneuna relacion finita entre los parametros s y :s = s0ds =0(dxd)2+(dyd)2+(dzd)2dMediante la reparametrizacion = (s), y separando en componentescartesianas, se llega a las ecuaciones parametricasnaturalesde lacurva C:x = x(s)y = y(s)z = z(s)Ejemplo:* Para la circunferencia de ecuacion vectorial:r = r () = [ a cos (), a sen (), 0 ]se deduce facilmente que s = a (eligiendo el origen de arcos,P0,en = 0 ); y, por tanto, la reparametrizacion natural conducea:r = r (s) = [ a cos (s/a), a sen (s/a), 0 ]XYZ OaP s0( = )0P s( )r ( ) s a=
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III2.3. Triedro intrnseco o de Frenet.En cada punto, P , de una curva, C, de ecuacion vectorial r = r(s), se define el triedro intrnseco o triedro de Frenet,{T ,N,B },constituido por:T =drds(vector tangente unitario)N =dTds dTds=d 2rds2 d2rds2(vector normal principal)B =T N (vector binormal)X YZOr s( ) CP s( )B s( )T s( )N s( )Para las derivadas respecto al parametro arco, se usahabitualmente la notacion d ( )ds= ( ) ,d 2( )ds2= ( ) . Por ello, lasdefiniciones de T y N se pueden abreviar del siguiente modo:T = r ;N =TT =r|r |Como caractersticas fundamentales del triedro de Frenet, cabesenalar que es:a) local, ya que se define en cada punto de la curva, y ladireccion de sus vectores vara en general de un punto a otro;b)intrnseco, ya que es caracterstico de la geometra local de lacurva, e independiente del sistema de coordenadas con elque se la describe;c) ortonormal, ya que los tres vectores que lo constituyen sonunitarios y ortogonales entre s:* | T | = drds= | dr |ds = 1. Por tanto, |T | = 1* | N | =T T= 1. Por tanto, | N | = 1* | T | = 1 T T = 1 (cte) d(T T )ds= 0 2 T T = 0 T T = N T* | B | = | T N | = | T | | N | sen(/2) | = 1. Por tanto, | B |= 1*B =T N = B T y B NEn cuanto a las direcciones y sentidos de los vectores deltriedro de Frenet, observese que:como su propio nombre indica, el vector T es tangente a la curvaen cada punto:T ds = dr = T dr (direccion de la tangente)y su sentido es el que corresponde a valores crecientes delparametro arco, s;debido a su propia definicion, el vector N apunta en ladireccion y sentido en los que tuerce la curva en cada punto(esdecir, hacia donde gira su recta tangente):dTdsN ds = dT = N dTla direccion y el sentido del vector B se deducen directamente,aplicando su definicion, de los de T y N . Cabe senalar,noobstante, que la direccion deB se mantiene constante a lo largo de una curva si, y solo si,esta es plana.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIr (s) = [ a cos (s/a), a sen (s/a), 0 ]r (s) = [sen (s/a), cos(s/a), 0 ]r (s) = [cos (s/a)/a,sen (s/a)/a, 0 ]calculandose el siguiente triedro de Frenet:T (s) = [sen (s/a), cos (s/a), 0 ]N (s) = [cos (s/a),sen (s/a),0 ]B (s) = [ 0, 0, 1 ]XYZOP s( )aT s( )B s( )N s( )sP02.4. Curvatura y radio de curvatura.Se define la curvatura, , de una curva, C, en un punto, P , comoel modulo de la derivada de su vector tangente unitario respectoalparametro arco:=dTds= |T| = |r |Por tanto, si se conocen las ecuaciones parametricas cartesianasde la curva, se puede calcular su curvatura mediante laexpresion:=(d2xds2)2+(d2yds2)2+(d2zds2)2=(x)2 + (y)2 + (z)2El vector normal principal,N , se puede redefinir entoncescomo:N =T= T = N (1a ecuacion de Frenet)El radio de curvatura, R, de una curva, C, en un punto, P , es la inversa de sucurvatura en dicho punto:R=1Ejemplos:* En una circunferencia -de radio a-, la curvaturatiene valor constante( = 1/a) y, por consiguiente, tambien es constante el radiodecurvatura (R= a). Notese, ademas, que su radio de curvaturacoincide con suradio geometrico.* En una recta, el vector T es constante, y, por tanto, lacurvatu-ra es nula ( = 0) y el radio de curvatura es infinito(R= ).Observese, ademas, que es imposible definir los vectoresN yB .aR= a = /1 aR== 08Como caractersticas de y R, cabe senalar que:son propiedades locales de una curva, es decir, sus valoresvaran engeneral de un punto a otro;son siempre mayores o iguales que cero (por definicion); cuantomas cerrada es una curva en un punto, tanto mayor es sucurvatura, , y tanto menor es su radio de curvatura, R. De he-cho, Rpuede interpretarse como el radio de una circunferenciaqueaproxima, hasta la derivada de segundo orden, elcomportamientolocal de la curva (circunferencia osculatriz).TBNTNRBcircunferenciaosculatrizOcentro de curvaturaCrecta tangente
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III3. Cinematica del punto. Generalidades.-El movimiento de unpunto, P , con respecto a un sistema de ejes cartesianos,OXY Z ,queda completamente determinado si se conoce su vector deposicionen funcion del tiempo t:r = r (t) =OP (t) = [x(t), y(t), z(t) ]Pero r = r (t) es la ecuacion vectorial de la curva(trayectoria) que describeel punto a lo largo de su movimiento, yaque el tiempo t, aparte de su evidentesignificado fsico, es unparametro de los infinitos posibles para describir unacurva.XYZOr t( )CP ( )punto mvil( )trayectoriaLas ecuaciones t-parametricas de la trayectoria se denominanecuaciones horarias:x = x(t)y = y(t)z = z(t)Si la trayectoria viene descrita mediante otro parametro que nosea el tiempo t (por ejemplo, ), se denomina ley horaria alcambiode parametro = (t), aunque dicha denominacion se reserva pordefecto para s = s(t).La velocidad instantanea, v, y la aceleracioninstantanea, a, del punto P se definen, respectivamente, como:v =drdta =dvdt=d2rdt2Para las derivadas respecto al parametro tiempo, se usahabitualmente la notacion d ( )dt=.( ) ,d 2( )dt2=..( ). Por ejemplo, encomponentes cartesianas: v = [ .x,.y,.z ] , a = [..x,..y,..z ].4. Componentes intrnsecas de la velocidad y la aceleracion.-Sedenominan componentes intrnsecas de la velocidad y la aceleracion asus respectivas componentes vectoriales en la baseortonormal queforman los vectores del triedro intrnseco:v = vTT + vNN + vBBa = aTT + aNN + aBBLas componentes intrnsecas de la velocidad se deducen a partirde la definicion de velocidad instantanea, y utilizando la regladela cadena de la derivacion:v =drdt=drdsdsdt=.sT =vT =.svN = 0vB = 0Se denomina velocidad escalar, v, al modulo del vectorvelocidad, que coincide con la componente tangencial vT (si .s 0),alser esta la unica componente intrnseca no nula:v = |v | = vT = .sSe comprueba, por tanto, que la velocidad, v,de un punto en movimiento es siempre tangente a su trayectoria:v = vTTConocida la velocidad escalar en funcion del tiempo v(t), sepuede deducir la ley horaria mediante integracion:v(t) =dsdt= ds = v(t) dt = s(t) = s(t0) +tt 0v(t)dtLas componentes intrnsecas de la aceleracion se deducenderivando respecto al tiempo la velocidad expresada encomponentesintrnsecas (y usando la regla de la cadena de laderivacion y la primera ecuacion de Frenet):a =dvdt=d(vT )dt=dvdtT + vdTdt=.vT + vdTds.s =.vT +v2RN =aT =.v =..s (tangencial)aN =v2R=.s 2R(normal o centrpeta)aB = 0
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIa, de un punto en movimiento esta siempre contenida en el planoosculador de latrayectoria (denominacion que recibe el planodefinido en cada punto por T y N ):a = aTTaT+ aNNaNPor ultimo, es interesante comparar las componentes tangencial,aT , y normal, aN , de la aceleracion en cuanto a la informacionquecontienen, sus signos posibles y las circunstancias en que seanulan de forma permanente:aT aNinformacion variacion temporal del modulo de v variaciontemporal de la direccion de vsigno positivo (movto. acelerado) o negativo (movto. retardado)siempre positivonulidad permanente en el movimiento uniforme en elmovimiento rectilneo5. Determinacion cinematica de elementos geometricos de latrayectoria.-Conocidos los vectores velocidad, v, y aceleracion, a, de unpunto, se pueden determinar directamente a partir de ellossuscomponentes intrnsecas, as como algunos elementos geometricos dela trayectoria (radio de curvatura y triedro de Frenet):vT = v = |v | (supuesto que .s 0)aT = proyv [a ] =v avaN = proyv [a ] =|v a |vR =v2aN=v3|v a |T =vv,N =a aTTaN,B =v a|v a |TNOCPvaaTaNR6. Movimientos elementales.-6.1. Movimiento rectilneo.a) Definicion: movimiento de un punto cuya trayectoria es unarecta osegmento rectilneo.T = cte = = 0 (cte) = R =b) Propiedades:aN = 0 = a vvaPva Pacelerado retardadoTTc) Ley horaria:general s = s(t) = v(t) = .s(t) = aT (t) = .v (t) = ..s (t)m.r.u. aT (t) = 0 = v(t) = v (cte) = s(t) = s(0) + vtm.r.u.a. aT (t) = a (cte = 0) = v(t) = v(0) + at = s(t) = s(0) +v(0)t + at2/2Nota: Las siglas m.r.u. corresponden al movimiento rectilneouniforme; y las siglas m.r.u.a., al movimientorectilneouniformemente acelerado.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III6.2. Movimiento circular.a) Definicion: movimiento de un punto cuya trayectoria es unacircunferencia-de radio a- o un arco de circunferencia.curva plana con = 1/a (cte) = R = a (cte)b) Ley horaria:general= (t) = (t) = . (t) = (t) = . (t) =..(t)s(t) = a(t) = v(t) = .s(t) = a . (t) = a(t) =aT (t) =.v(t) =..s (t) = a..(t) = a.(t) = a(t) ,aN (t) = [ v(t) ]2/a = a [(t) ]2Ps t( )( )tR=aTNvaaTaNOm.c.u.(t) = 0 = (t) = (cte) = (t) = (0) + ts(t) = a [ (0) + t ] = v(t) = a (cte) = aT (t) = 0 , aN (t) =v2/a = a2 (cte)Nota: Las siglas m.c.u. corresponden al movimiento circularuniforme.c) Periodicidad del caso uniforme:El movimiento de un punto P(respecto a un sistema de referencia de origen O) es periodico, deperodo finito T , si suvector de posicion r (t) = OP (t) satisfacela ecuacion:r(t + T ) = r(t) ; (para t)Se puede comprobar que el movimiento circular uniforme (m.c.u.)es periodico con:T =2(perodo) = = 1T=2(frecuencia natural)d) Descripcion vectorial del movimiento circular:Definimos elvector velocidad angular, , como un vectordeslizante que tiene:modulo: | | = | | = | . | ; recta soporte: el eje de giro;sentido: segun la regla del tornillo(el sentido de avan-ce de un tornillo que gire en el mismo sentido que P );ydefinimos el vector aceleracion angular, , como:=ddt(colineal con )Se puede comprobar que:v =PO = OP = ra =dvdt= r + v = raT+ ( r) aNOPvaTaNaPOOP r=eje fijo dereferenciaeje degiroNota: El punto O en la figura es el centro de la circunferenciadescrita por el punto P , pero en realidad la expresion v =POse mantiene valida con tal de que el punto O pertenezca al ejede giro (precisamente por eso, se dice que es un vectordeslizante).
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III6.3. Movimiento armonico simple (m.a.s.).a) Definicion:movimiento rectilneo y periodico que se obtiene alproyectar un movimiento circular uniforme (m.c.u.) sobreundiametro cualquiera de la trayectoria.b) Ecuacion horaria:(t) = 0 + t , donde = cte, y 0 = (0)x(t) = a cos(0 + t) = r(t) = x(t).x(t) = a sen(0 + t) = v(t) =.x(t)..x(t) = a2 cos(0 + t) = a(t) =..x(t)( )tXx(t)arYaelongacinfaseamplitudO Pc) Terminologa especfica:x(t) : elongacion a : amplitud (maxima elongacion) 0 : faseinicial(t) : fase : frecuencia angular o pulsacion T (= 2/) :perodod) Ecuacion diferencial: ..x = 2x = ..x + 2x = 06.4. Movimiento helicoidal uniforme (m.h.u.).a)Definiciones:movimiento de un punto que recorre una helice con ve-locidad demodulo constante;movimiento que resulta de la superposicion de un movi-mientocircular uniforme (m.c.u.) en un plano y de unmovimiento rectilneouniforme (m.r.u.) a lo largo deuna recta normal a dicho plano.b) Ecuaciones cartesianas horarias:x(t) = a cos(t)y(t) = a sen(t)z(t) = v0 tc) Caracterizacion: se propone como ejercicio el calculo de:geometra de la trayectoria s,T ,N ,B , , R;cinematica del m.h.u. v, a, v, aT , aN .Ya ( ) =t tvXZz t t( ) = v0m.c.u.( )m.r.u.( )v0OPraBTN6.5. Movimiento central.Se dice que el movimiento de un punto P es un mo-vimientocentral si existe un punto fijo O (centrodel movimiento), tal quela recta soporte del vectoraceleracion, a, del punto P pasa en todoinstantepor dicho punto O .Matematicamente, si llamamos r al vector de po-sicion relativade P respecto a O , la condicion demovimiento central viene dadapor:O P = r a = r a = 0 O* O*PPaa( )centro ( )centroconvergente divergente
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIO, no ha de coincidir necesariamente con el origen decoordenadas, O.Precisamente eso es lo que pretende subrayar el usodel asterisco en nuestra notacion:OP = r = r = OPSin embargo, con vistas a posteriores razonamientos, convieneobservar que, al ser O un punto fijo, se verifica (cuando Psedesplaza) que:dr = dr = drdt=drdt= v6.5.1. Descripcion del movimiento plano de un punto encoordenadas polares.Dado el plano cartesiano OXY , se definen las coordenadaspolares (radial) y (acimutal):{ =x2 + y2= arc tan (y/x){x = cos()y = sen()Asociada a las coordenadas polares, se define la siguiente baseorto-normal del plano:{u= cos() + sen()j direccion radialu= sen() + cos()j direccion acimutalde cuya derivacion temporal,se obtiene:dudt=dud.=.u;dudt=dud.= .uXYOPxyikjuuPor tanto, la cinematica de un punto movil, P , que realiza unmovimiento plano en OXY se describe (en coordenadaspolares)mediante los siguientes vectores de posicion, r, velocidad,v, y aceleracion, a:r =OP = u= v = drdt=.vu+ .vu= a = dvdt= (… 2 ) au+ (2..+ ..) au6.5.2. Concepto de velocidad areolar.Sea P un punto movil en el plano OXY , y sea O un punto fijoendicho plano. El elemento de area barrido durante un interva-loinfinitesimal de tiempo, dt, por el vector de posicion relativar=OP viene dado por:dA =12r dr = 12r dr = 12r vdtNotese la naturaleza vectorial del elemento de area definido:sudireccion es la normal al plano (en la figura, direccion k); ysusentido depende de la orientacion del barrido.Se denomina velocidad areolar, VA , del punto P en sumovimien-to respecto al punto O, al area barrida por el vector deposicionrelativa r = OP en la unidad de tiempo, con signo positivosiel sentido del barrido es antihorario, y con signo negativo encasocontrario.XYOPkO*dA dA= k dr*dr=O*P r *=OPr=dAposicin dedespus dePdt( )punto fijoAsignando a la velocidad areolar, VA , la direccion normal alplano del movimiento, se obtiene el vector velocidad areolar,VA,cuya evaluacion instantanea viene dada por la expresion:VA =dAdt=12r vEn sentido inverso, se puede decir que la velocidad areolar, VA, es el modulo dotado de signodel vector velocidad areolar,VA .
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III6.5.3. Teorema fundamental del movimiento central.El movimiento de un punto P es un movimiento central (con centroen O) si y solo si es un movimiento plano (en un plano quecontienea O) y con velocidad areolar constante (respecto a O).Demostracion:La derivada temporal del vector velocidad areolar,VA, del puntoP en su movimiento respecto a O, resulta ser:dVAdt=12drdt v + 12r dvdt=12v v= 0+12r a = 12r aPor tanto, teniendo presente la condicion de movimiento central,se deduce de forma inmediata que:movimiento central r a = 2 dVAdt= 0 VA = ctePero el vectorVA no es mas que la velocidad areolar VA dotada dela direccion del vector (r v). En consecuencia, es obvioque el vector VA sera constante si, y solo si, son constantes lavelocidad areolar VA y la direccion del vector (r v).A su vez, esposible demostrar que la direccion del vector (r v) es constantesi, y solo si, el punto P se mueve en un planoque contiene a O. Enefecto:a) si el vector (r v) tiene direccion constante, entonces:r v = 2VA =C (cte) = r (r v) = r C = OP C = 0satisfaciendo el punto P , por tanto, la ecuacion vectorialnormal de un plano que pasa por O y es normal aC ;b) si el punto P se mueve en un plano que contiene a O, esevidente que tanto el vector de posicion relativa, r , comoelvector velocidad, v, estaran ambos contenidos en dicho plano, yque, por tanto, su producto vectorial, el vector (r v),tendra comodireccion constante la normal al plano del movimiento.En definitiva, la demostracion del teorema fundamental delmovimiento central ha quedado completa al comprobarse que:VA = cte{VA = ctedireccion de (r v) = cte movimiento planoEn coordenadas polares:Un ejercicio complementario interesante consiste en, supuestoque el movimiento de un punto P es plano, comprobar elteoremafundamental del movimiento central en coordenadaspolares.Eligiendo como polo O (origen de coordenadas polares) al punto Orespecto al que se va a medir el vector velocidad areolar delpuntomovil P , es decir, tomando r = r , se tiene:VA =12r v = 12r v = 12 u (.u + .u) =122.k = VA = 12 2 .y derivando la velocidad areolar, VA, respecto al tiempo:d VAdt=12(2..+ ..) =12aPor tanto, es obvio que:VA = cte d VAdt= 0 a = 0 a u r = r (movimiento central con centro en O)
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIVECTORES DESLIZANTES 17VECTORES DESLIZANTES1. Definicion de vector deslizante. Momento.-Un vectordeslizante es un vector geometrico que queda caracterizado por sumodulo,direccion, sentido y recta soporte; y que es invariante, portanto, ante deslizamientos a lolargo de su recta soporte.Simbolicamente, un vector deslizante se puede expresar como (a;), donde a especificael vector como si fuese libre, es decir,define su modulo, direccion y sentido; y repre-senta la rectasoporte a la que se encuentra sujeto el vector en su posibledeslizamiento.Para concretar la recta soporte , se puede expresarel vector deslizante como (a;P1),siendo P1 un punto cualquiera de .La ecuacion vectorial de la recta soporte es entonces::OP =OP1 + a ( IR)donde O es un punto arbitrario de referencia, y P es un puntogenerico de .a( ; )aa( ; )a P1P1El momento de un vector deslizante, (a; ), respecto a unpunto,O, se define como:MO(a; ) =OP1 a (con P1 )Senalaremos como propiedades del momento,MO(a; ),que:a) es un vector ligado al punto O;aP1M aO( ; )O OP1dO(),b) es perpendicular al plano definido por la recta y el puntoO;c) su modulo es igual al producto del modulo del vector a por ladistancia entre el punto O y la recta 😐 MO(a; ) | = |OP1 a | = |a | proya [OP1 ] = |a | d(O,) ;d) es independiente del punto de aplicacion de a con tal de quedicho punto pertenezca a :si P OP a = (OP1 +P1P ) a =OP1 a +P1P a= 0=OP1 aObservese que, como consecuencia inmediata de la propiedad c),el momento de un vector deslizante no nulo respecto acualquierpunto de su propia recta soporte es nulo:si a = 0 MO(a; ) = 0 O2. Sistema de vectores deslizantes.-Un sistema de vectoresdeslizantes (en adelante, s.v.d.) es unconjunto, finito o infinito,de vectores deslizantes.De forma generica, un s.v.d. de n vectoresdeslizantes se puedeexpresar como:S {(ai; i)}ni=11n32a1 ana3a2…4a4P1P2P3P4Pn
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III18 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA2.1. Resultante y momento resultante.La resultante, R(S), de un s.v.d. S es el vector libre que seobtiene de la suma geometrica de todos los vectores deslizantesdelsistema como si fuesen libres:R(S) =ni=1aiEl momento resultante,MO(S), de un s.v.d. S respecto a un puntoO (o en un punto O) es el vector ligado a O que se obtienede la suma geometrica de los momentos de cada uno de losvectores deslizantes del sistema respecto a dicho punto O:MO(S) =ni=1MO(ai; i) =ni=1OPi ai (con Pi i)Al conjunto {R(S);MO(S)}, se le llama reduccion del s.v.d. S enel punto O (o sistema reducido en O):S redO {R(S);MO(S)}y, por eso, al punto, O, respecto al que se calcula el momentoresultante de un s.v.d., se le llama centro de reduccion.2.2. Campo de momentos: ecuacion y propiedades.Se denomina campo de momentos de un s.v.d. S a la aplicacion quehace corresponder a cada punto del espacio ordinario, E3,el momentoresultante del sistema respecto a dicho punto:f : P E3 MP (S)La ecuacion del campo de momentos es aquella que permiterelacionar entre s a los momentos resultantes de un s.v.d.respectoa dos puntos distintos (cambio del centro de reduccion).Deduzcamosla:MP (S) =ni=1PPi ai =ni=1(PO +OPi) ai =ni=1OPi ai +PO(ni=1ai)=MO(S) +PO R(S)Abreviadamente, queda:MP =MO +PO R o bien MP =MO +R OPAlgunas propiedades del campo de momentos de un s.v.d. son lassiguientes:a) El campo de momentos queda unvocamente determinado si seconocen:La resultante, R, y el momento resultante,MO , en un punto Ocualquiera.Los momentos resultantes,MO1 ,MO2 yMO3 , en tres puntos no alineados cualesquiera, O1, O2 y O3.b) Si la resultante, R, es nula, entonces el campo de momentoses uniforme,es decir, toma identico valor en todos los puntos delespacio:si R = 0 yP,O E3MP =MO +R= 0OP = MOMOR = 0OPMPc) Si la resultante, R, es distinta de cero, entonces loslugares geometricosdefinidos por los puntos de igual momentoresultante son rectas paralelas ala resultante R:si R = 0y P = OMP =MO ROP = 0 R OP R = 0MOOPMP
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIVECTORES DESLIZANTES 192.3. Momento axico.El momento axico resultante, Mu(S), de un s.v.d. S respecto a uneje de direccion u es el escalar que resulta al proyectar sobre eleje elmomento resultante del s.v.d. respecto a cualquier punto dedicho eje:Mu(S) = u MO(S) (con | u | = 1 ; O )MOOPMPuMuMuPara comprobar que esta definicion es correcta, hemos deverificar que en efecto puede ser cualquiera el punto del ejeelegidopara calcular y proyectar el momento resultante del s.v.d.,ya que la eleccion de dicho punto no afecta al valor del momentoaxicoresultante:si P,O y, por tanto, u OP u MP = u (MO +R OP ) = u MO + u (R OP )= 0= u MO2.4. Invariantes.Un invariante de un s.v.d. es cualquier magnitud, caractersticadel mismo, que sea independiente del centro de reduccion.Aunque no son los unicos, hay dos invariantes fundamentales:a)La resultante, R, cuya invariancia es evidente a partir de supropiadefinicion, ya que se trata de un vector libre.b) La proyeccion,m, del momento resultante sobre la direccion de laresultante:m =R MO|R |= uR MO = proyR [MO ]RMOOPm muR uRMPcuya invariancia se demuestra a partir de la ecuacion del campode momentos:P,O E3 R MP|R |=R (MO + ROP )|R |=R MO|R |+= 0 R (R OP )|R |=R MO|R |2.5. Eje central.El eje central, C , de un s.v.d. (de resultanteno nula) es el lugar geometrico de los puntos del espacio en losque el momentoresultante del s.v.d. tiene modulo mnimo. Es decir,llamando C a un punto generico del eje central, se tiene:C C MC =M minComo consecuencia de la tercera propiedad del campo de momentosestudiada en el apartado 2.2 (propiedad c), el eje central hade sernecesariamente una recta paralela a la resultante R.Por otra parte, el momento resultante,MP , de un s.v.d. en unpunto P arbitrario puede siempre descomponerse en la suma dedos componentes vectoriales: una, paralela a la resultante R; yotra, perpendicular a dicha resultante:MP =MRP +MRP = muR +MRPdonde se observa que la componente paralela a la resultante esinvariante, ya que sabemos que tanto la proyeccion m, comoladireccion de la resultante uR = R/|R |, son ambas invariantes deun s.v.d.En consecuencia, el momento resultante de un s.v.d. tendramodulo mnimo en aquellos puntos del espacio en los que sea mnimasucomponente perpendicular a la resultante. Pero el valor mnimoposible de una componente es cero. As que, antes que nada,procedepreguntarse si existe una recta paralela a la resultante en cuyospuntos se anule la componente del momento resultanteperpendicular ala resultante. Vamos a demostrar que en efecto existe dicha recta,la cual constituye obviamente el eje central,C , del s.v.d.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III20 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIAMRC = 0 proyR [MC ] = 0 RMC = 0 = R [MO +R OC ] = 0 =R MO + R (R OC ) = R MO + (ROC ) R |R |2OC = 0 = OC =R MO|R |2 +R OC|R |2RTeniendo en cuenta que C es un punto generico de una recta,yque, por tanto, la expresion:R OC|R |2 =corresponde a un parametro escalar variable, se obtienenlassiguientes conclusiones:La ecuacion vectorial del eje central C viene dadapor:C C OC =R MO|R |2 +Rdonde O es cualquier punto en el que se conozca elmomentoresultante, MO, del s.v.d.RMOOC*CCRMOmMC = =MminuRuROCOC*MminmuREl valor parametrico = 0 corresponde al punto C que se obtienede proyectar ortogonalmente el punto O sobre el ejecentral:C CR OC = R OC = 0= = 0 =OC =R MO|R |2En todos los puntos del eje central, el momento resultante dels.v.d., o bien es nulo (si el invariante m = 0), o bien esparaleloa la resultante (si el invariante m = 0), pudiendo expresarse encualquier caso como:MCC =M min = muR = mR|R |Por ultimo, cabe senalar que los s.v.d. de resultante nula notienen eje central, ya que, tal como se indico con anterioridad,sucampo de momentos es uniforme.3. Sistemas particulares.-3.1. Vector suelto.Es un s.v.d. que consta de un unico vector:S {(a; )}aP1Propiedades:R = am = a MO(a; )|a | =a (OP1 a)|a | = 0 =M min = 0C , ya que el momento resultante es nulo (y, por tanto, tienemodulo mnimo) en cualquier punto de la recta soportedel vectordeslizante.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIVECTORES DESLIZANTES 213.2. Par de vectores.Es un s.v.d. que solo consta de dosvectores de modulos iguales,rectas soportes paralelas y sentidosopuestos:S {(a; 1), (a; 2)} con 1 21 2a-aP1P2Propiedades:R = a + (a) = 0 (por tanto, campo de momentosuniforme einexistencia de eje central).El momento resultante M (independiente del centro de re-duccionO a consecuencia de la uniformidad del campo)es perpendicular alplano definido por 1 y 2, tiene elsentido que resulta de aplicar laregla del tornillo al giroindicado por el par de vectores, y sumodulo es igual alproducto de |a | por el brazo del par (distanciaentre lasdos rectas soporte, d(1,2)):M1 2a-aP1P2d ( , )1 2M =MO =OP1 a +OP2 (a) = (OP1OP2) a =P2P1 a| M | = | P2P1 a | = |a | proya [P2P1 ] = |a | d(1,2)3.3. Vectores concurrentes.Es un s.v.d. tal que todas las rectassoporte tienen un punto A encomun (punto de concurrencia):S {(ai; i)}ni=1 tal que A i ( i )Propiedades:MA = 0m =R MA|R | = 0 =M min = 01n32a1ana3a2 …ASi existe eje central C (es decir, si R = 0), entonces el puntode concurrencia, A, pertenece a dicho eje (A C ). Portanto, laecuacion vectorial del eje central C admite, ademas de la expresiongeneral, la siguiente expresion particular:C C OC =OA + RTeorema de Varignon: el momento resultante de un s.v.d.concurrentes respecto a un punto arbitrario O puede calcularsecomoel momento respecto a dicho punto O de la resultante, R, ubicada enel punto de concurrencia, A:O E3 MO =MA= 0+OA R = OA R3.4. Vectores paralelos.Es un s.v.d. tal que todas las rectassoporte son paralelas:S {(ai u; i)}ni=1 con |u| = 1Propiedades:R =ni=1ai u =(ni=1ai)u = Ru = R u (si R = 0 )MO =ni=1OPiai u =(ni=1aiOPi)u = MO u (O E3)si R = 0 m =R MO|R | = 0 =M min = 01n32a1ana3a2…uP1P2P3Pn
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III22 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIASi existe eje central C (es decir, si R = 0), entonces seguroque dicho eje pasa por un punto G, llamado centro dels.v.d.paralelos, el cual es independiente de la direccion de u ytiene como vector de posicion:OG =ni=1aiOPini=1aiPor tanto, la ecuacion vectorial del eje central C admite,ademas de la expresion general, la siguiente expresionparticular:C C OC =OG + RDemostracion: si existe eje central ( R = 0 ), sabemos que Mmin= 0. Exijamos entonces la existencia de un punto G quepertenezca aleje central C para u:MG =(ni=1aiGPi) u = 0 ( u) =ni=1aiGPi =ni=1ai (GO +OPi) = 0 =OG =ni=1aiOPini=1aiTeorema de Varignon: el momento resultante de un s.v.d.paralelos (de resultante no nula) respecto a un punto arbitrarioOpuede calcularse como el momento respecto a dicho punto O de laresultante, R, ubicada en el centro, G:O E3 MO =MG= 0+OG R = OG R4. Equivalencia de sistemas de vectores deslizantes.-Se dice que dos s.v.d., Sa {(ai; i)}ni=1 y Sb {(bi; i)}mi=1 ,son equivalentes (SaSb) si verifican las dossiguientescondiciones:1) tienen la misma resultante:R(Sa) = R(Sb)2) generan identicos campos de momentos:MP (Sa) =MP (Sb) (P E3)Nota: En realidad, la definicion de equivalencia entre doss.v.d. se puede reducir a la segunda condicion en solitario, ya queelcumplimiento de esta implica necesariamente el cumplimiento de laprimera.Teorema de equivalencia:Es condicion necesaria y suficiente de equivalencia entre doss.v.d. que tengan igual resultante e igual momento resultante enunpunto O (elegido arbitrariamente).Demostracion:Condicion necesaria: MP (Sa) =MP (Sb) (P E3) =MO(Sa) =MO(Sb)Condicion suficiente:P E3 MP (Sa) =MO(Sa) +PO R(Sa) =MO(Sb) +PO R(Sb) =MP (Sb)
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIIVECTORES DESLIZANTES 235. Reduccion de sistemas de vectores deslizantes.-Reducir uns.v.d., S, en un punto, O (centro de reduccion), es hallarotros.v.d., S redO (sistema reducido en O o reduccion en O), elcual, estandoconstituido solamente por un vector suelto y/o un parde vectores, es equi-valente al sistema original S.Por otra parte, en el apartado 2.1 de este mismo tema, ya sedefinio comosistema reducido en O de un s.v.d. S al conjunto:S redO {R(S);MO(S)}Cuales son entonces el vector suelto y/o el par de vectores queconstitu-yen S redO , y que vienen simbolizados o representados porel conjunto deresultante, R(S), y momento resultante, MO(S)?El vector suelto es la propia resultante del s.v.d. S con unarectasoporte, O , que pasa por el punto O. Es decir, se trata delvectordeslizante (R(S);O).El par de vectores es cualquiera de los infinitos paresexistentes cuyocampo de momentos (uniforme) es igual a MO(S).1n32a1 ana3a2…P1P2P3PnOOSSOredSSOredR S( )MO( )SMediante el teorema de equivalencia, se confirma que el sistemareducido en O y el sistema original son equivalentes ( S redO S).Enefecto:a) La resultante de un vector suelto es el propio vector,mientras que un par de vectores tiene resultante nula. Portanto:R(S redO ) = R(S)b) Un vector suelto tiene momento nulo respecto a los puntos desu recta soporte, mientras que un par de vectores tiene campodemomentos uniforme. Por tanto:MO(S redO ) =MO(S)Es evidente que un s.v.d. de resultante nula tendra el mismosistema reducido en todos los puntos del espacio: elconstituidoexclusivamente por un par de vectores cuyo campo demomentos (uniforme) coincida con el campo de momentos dels.v.d.original, o bien, un sistema nulo (si el campo de momentostambien es nulo).Sin embargo, un s.v.d. de resultante no nula tendra un sistemareducido distinto encada recta de puntos paralela a la resultante.Pues bien, se denomina reduccioncanonica, S can, de un s.v.d. S deresultante no nula a su sistema reducido encualquier punto del ejecentral C :S can = S redCC {R(S);MC(S)}CC = {R(S);M min(S)}Dependiendo de que el momento resultante de modulomnimo,Mmin(S), seaigual a cero o distinto de cero, pueden darse dos tipos dereduccion canonica:a) Si Mmin(S) = 0, S can solo consta de un vector suelto: laresultantedeslizando por el eje central, es decir, el vectordeslizante (R(S);C).b) Si Mmin(S) = 0, S can consta de la resultante deslizando porel eje central(vector suelto) y de un par de vectores de momentoparalelo al eje central.A este sistema, se le denomina torsor.CCScanCCScanMmin( ) =S 0( )sitorsorR S( )R S( )Mmin( )SMmin( ) =S 0( )siAplicacion: La practica habitual -en problemas de mecanica- deubicar el pesototal de un solido rgido en el centro de gravedad delmismo es una aplicacion delo que acabamos de ver. Bajo ciertasaproximaciones, el peso de un solido consti-tuye un s.v.d.paralelos de resultante no nula (Mmin = 0). Por ello, lareduccioncanonica de dicho s.v.d. consta unicamente del peso totaldel solido (resultante)deslizando por el eje central. Y se sabeademas que el eje central pasa por elcentro de gravedad, ya queeste es precisamente el centro del s.v.d. paralelos.CR =Gdmg mg
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III24 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA6. Clasificacion de los sistemas de vectores deslizantes.-Lanulidad o no nulidad de R yMmin permite clasificar a todos los s.v.d. en solo cuatrocategoras, cada una de las cualestendra una estructura caracterstica en su campo de momentos ycorrespondera, en el tema de Cinematica del solido, a unestadocinematico especfico:RM min Reduccion en un punto O (arbitrario) Reduccioncanonica= 0 = 0 sistema nulo O -= 0 = 0un par de vectores OMO-= 0 = 0un vector suelto (R; O) y un parde vectores de momento M0 ROMOORun vector suelto (R; C)CCR= 0 = 0un vector suelto (R; O) y un parde vectores de momento M0OORMOun vector suelto (R; C) y un parde vectores de momento MminRCCtorsorRMmin7. Equiproyectividad.-Un campo vectorial,VP , es equiproyectivo si satisface lacondicion matematica:VP1P1P2 =VP2P1P2 (P1, P2 E3)o, lo que es equivalente:proyP1P2 [VP1 ] = u = proyP1P2 [VP2 ] (P1, P2 E3)P1 P2uuVVP1P2Teorema de equiproyectividad: Un campo vectorial esequiproyectivo si y solo si es el campo de momentos de uns.v.d.Demostracion:a) Campo de momentos = Campo equiproyectivo:MP1 =MP2 +P1P2 R =MP1P1P2 =MP2P1P2 += 0 (P1P2 R)P1P2 =MP1P1P2 =MP2P1P2 (P1, P2 E3)b) Campo equiproyectivo = Campo de momentos: (demostracion norigurosa)VP1P1P2 =VP2P1P2 (P1, P2 E3) =VP1 =VP2 +D (conD P1P2) =VP1 =VP2 +P1P2, que es la ecuacion del campo de momentos de un s.v.d. deresultante.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIICINEM ATICA DEL S OLIDO RIGIDO 25CINEM ATICA DEL S OLIDO RIGIDO1. Definicion de solido rgido: condicion geometrica derigidez.-El solido rgido es un modelo matematico consistente en unsistema de puntosmateriales que satisface la condicion de que ladistancia entre dos cualesquiera desus puntos permanece constanteen el transcurso del movimiento.Por tanto, la condicion geometrica de rigidez se expresamatematicamente me-diante la ecuacion:P,Q sol.rg. y t |QP (t) |2 = |rP (t) rQ(t) |2 = (CPQ)2 (cte)El numero, r, de grados de libertad de un sistema de puntosmateriales es elnumero de parametros independientes que sonnecesarios para definir su posicion. OXYZP t( )rP( )tPrCP ( )ctesl.rg.( )tOOOOLa posicion de un solido rgido (respecto a un sistema dereferencia OXY Z) queda unvocamente definida cuando se fijanlascoordenadas de tres de sus puntos que no esten alineados:P1 (x1, y1, z1); P2 (x2, y2, z2); P3 (x3, y3, z3)P2P3P1C PP13CPP12C PP 32lo cual representa un total de nueve parametros. Sin embargo,solo seis de ellos puedenser independientes, ya que la condiciongeometrica de rigidez exige que se satisfagan lastres ecuacionessiguientes:| P2P1 |2 = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2 = (CP1P2)2| P3P1 |2 =(x1 x3)2 + (y1 y3)2 + (z1 z3)2 = (CP1P3)2| P3P2 |2 = (x2 x3)2 + (y2y3)2 + (z2 z3)2 = (CP2P3)2En consecuencia, se puede afirmar que un solido rgido libre(aquel que no se halla so-metido a ninguna limitacion de movimientoque no derive de su propia rigidez) posee seisgrados de libertad (r= 6).2. Condicion cinematica de rigidez: equiproyectividad del campode velocidades.-Partiendo de la condicion geometrica de rigidez ensu expresion:P,Q sol.rg. y t [rP (t) rQ(t) ] [rP (t) rQ(t) ] = (CPQ)2 (cte)yderivando respecto al tiempo, se obtiene la siguiente condicioncinematica de rigidez:P,Q sol.rg. y t vP (t) QP (t) = vQ(t)QP (t)Observese que, conforme a la definicion de equiproyectividad deun campo vectorial, la condicion cinematica de rigidez admiteelsiguiente enunciado: el campo de velocidades de un solido rgido esequiproyectivo.En efecto, basta pensar en el concepto de velocidadpara comprenderque si las velocidades de dos puntos de un solidotuviesen proyeccionesdistintas a lo largo de la recta imaginariaque pasa por los mismos, ladistancia relativa entre ambos puntos nopermanecera constante a lolargo del tiempo y, por tanto, el solidono sera rgido.Entonces, de acuerdo con el teorema de equiproyectividad, elcampo develocidades de un solido rgido ha de ser necesariamente elcampo demomentos de cierto sistema de vectores deslizantes (aundesconocido),y, en consecuencia, la ecuacion del campo develocidades debe ser:P,Q sol.rg. vP = vQ + R QPuuPvPvCP ( )cteOOOdonde R es la resultante del citado sistema de vectoresdeslizantes.
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III26 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA3. Movimiento de rotacion.-3.1. Rotacion de eje permanente.Unsolido rgido experimenta una rotacion de eje permanente si, estandoel solido en movi-miento, al menos dos de sus puntos, I1 e I2, semantienen permanentemente en reposo:t vI1(t) = vI2(t) = 0Como resultado de la condicion geometrica de rigidez, unarotacion de eje permanente presentalas siguientes propiedades:a) Todos los puntos del solido rgido colineales con I1 e I2tambien permanecen fijos, cons-tituyendo el que se conoce como ejepermanente de rotacion, EPR:I EPR vI = 0b) Todos los puntos del solido rgido externos al EPR realizanmovimientos circulares deidentica velocidad angular, . Sustrayectorias (circunferencias) difieren en el radio, perotodasestan contenidas en planos perpendiculares al EPR y tienen suscentros en el EPR.vPI1I2IPEPREstas propiedades del movimiento de rotacion de eje permanente,unidas a la descripcion vectorial del movimiento circular(apartado6.2.d del tema Cinematica del punto), permiten expresar lavelocidad de un punto generico, P , del solido rgido enrotacion deeje permanente como:vP =PI (con I EPR)Pero entonces, de acuerdo con el concepto de momento de unvector deslizante respecto a un punto (apartado 1 del temaVectoresdeslizantes), se puede escribir:P sol.rg. vP =MP (; EPR)Se concluye, pues, que el campo de velocidades de un solidorgido sometido a una rotacion de eje permanente es el campodemomentos de un s.v.d., S, constituido por un vector suelto: elvector velocidad angular (o vector rotacion) deslizando porelEPR:S {(; EPR)}3.2. Rotacion instantanea.Un solido rgido experimenta un movimiento de rotacioninstantanea en un instante dado (t = t0) si, estando el solidoenmovimiento, las velocidades de al menos dos de sus puntos, I1 eI2, son instantaneamente nulas:vI1(t0) = vI2 (t0) = 0A la recta que pasa por I1 e I2, cuyos puntos tendran todostambien velocidad instantanea nula, se le llama eje instantaneoderotacion, EIR.En el instante t = t0, el campo de velocidades de una rotacioninstantanea es indistinguible del campo de velocidades deunarotacion de eje permanente, ya que la observacion de un unicoinstante no permite discernir entre el caracter instantaneoopermanente del eje de rotacion. Por tanto, en una rotacioninstantanea, se puede escribir:P sol.rg. vP (t0) =MP [ (t0);EIR(t0) ]Sin embargo, la diferencia esencial entre una rotacion de ejepermanente y una rotacion instantanea se pone de manifiesto enque,en esta ultima, el movimiento del solido rgido despues de t = t0cambiara su eje de rotacion o incluso tal vez deje de serunarotacion. Por tanto, las trayectorias de los puntos del solido yano van a ser circunferencias, y es por eso que parece masadecuadodenominar vector rotacion instantanea al vector deslizante (; EIR),en lugar de seguir llamandole vector velocidadangular.Se concluye, pues, que el campo de velocidades de un solidorgido sometido a una rotacion instantanea es el campo de mo-mentosde un s.v.d. constituido por un vector suelto: el vector rotacioninstantanea deslizando por el EIR (vector que,aunquedimensionalmente es una velocidad angular, carece de dichosignificado cinematico):S {(; EIR)}
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA IIICINEM ATICA DEL S OLIDO RIGIDO 27Notese que hemos dado un importante paso, desde el punto devista conceptual, al haber sido capaces de averiguar que tipodevectores deslizantes generan, como campo de momentos, el campo develocidades instantaneas de un solido rgido. Apesar de que elmovimiento hasta ahora analizado es particular (rotacioninstantanea), y a pesar de que el s.v.d. tambien espor consiguienteparticular (formado por un vector suelto), hay un aspecto delresultado obtenido que posee caracter general:el campo develocidades instantaneas de un solido rgido se puede obtenersiempre como campo de momentos de un s.v.d.constituido por vectoresrotacion instantanea.4. Movimiento de traslacion.-4.1. Traslacion instantanea.Un solido rgido experimenta un movimiento de traslacioninstantanea si, en un instante dado (t = t0), su campo develocidadeses uniforme y no nulo:P,Q sol.rg. vP (t0) = vQ(t0) = v tras(t0) = 0Si se trata deidentificar el campo de velocidades del solido rgido con el campode momentos de un s.v.d. constituido por vectoresrotacioninstantanea, resulta evidente -a la vista del apartado 3.2 del temaVectores deslizantes- que la posibilidad mas sencillapara generarel campo de velocidades de un solido rgido sometido a unatraslacion instantanea es tomar un s.v.d. formado porun par devectores rotacion instantanea cuyo momento coincida con v tras:S {(; 1), (; 2)} (con 1 2 yM = v tras)4.2. Traslacion permanente.Un solido rgido experimenta un movimiento de traslacionper-manente si su campo de velocidades es uniforme y no nuloparatodo instante de tiempo:P,Q sol.rg. y t vP (t) = vQ(t) = v tras(t) = 0Una traslacion permanente presenta las siguientespropiedades:a) La recta que pasa por dos puntos cualesquiera, P y Q,delsolido rgido se conserva paralela a s misma en el transcur-sodel movimiento (esta propiedad puede utilizarse tambiencomodefinicion).OXYZrPPrvPPPvP OOOOO OdQPdt=d (rP rQ)dt= vP vQ = 0 =QP = cte| QP | = cte (rigidez)direccion y sentido deQP = ctes (traslacion)b) Las trayectorias de todos los puntos del solido rgido soncongruentes.Ejemplo:* En una noria de feria, la canastilla en la que sesientan losusuarios realiza un movimiento de traslacion permanente.Secomprueba efectivamente que:la recta PQ (suelo de la canastilla) se conserva para-lela a smisma (horizontal) a lo largo del movimiento;las trayectorias de todos los puntos de la canastillasoncongruentes (circunferencias de identico radio);la traslacion de la canastilla se genera por la superpo-sicionde un par de rotaciones de ejes paralelos, velo-cidades angularesiguales y sentidos opuestos (la rota-cion de la noria alrededor desu eje motor y la rotacionde la canastilla alrededor de su eje desuspension):S {(; 1), (; 2)} con 1 2PPPOOO12
E. DRAKEDPTO. FSICA APLICADA III28 FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA5. Movimiento helicoidal tangente.-El movimiento helicoidaltangente (o helicoidal instantaneo) de un solido rgido, en uninstante dado (t = t0), consiste en lasuperposicion de:a) una rotacion instantanea, de vector rotacion (t0), alrededorde un eje denominado eje instantaneo de rotacion ymnimodeslizamiento, EIRMD (t0); yb) una traslacion instant