Algebra Vectorial – [PDF Document]

• 1. Universidad Nacional Autnoma de Mxico Facultad de EstudiosSuperiores Cuautitln Ingeniera en telecomunicaciones, sistemas yelectrnica

2. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE ESTUDIOSSUPERIORES CUAUTITLN INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES SISTEMAS YELECTRNICA ALGEBRA VECTORIAL GEOMETRA ANALITICA PRIMER SEMESTREGRUPO 1161 3. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 3 0. INDICE 0.INDICE………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..3 1. VECTORES EN EL PLANO Y EN ELESPACIO…………………………………………………………………………………………….5 1.1. SIMETRA DE PUNTOS EN LOS SISTEMAS COORDENADOS DE DOS Y TRESDIMENSIONES. ……………………………………….. 5 1.2.VECTORDIRIGIDO………………………………………………………………………………………………………………………11 1.3. COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR DIRIGIDO SOBRE LOS EJESCOORDENADOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO…….. 12 1.4. EL VECTORCOMO PAREJA Y COMO TERNA ORDENADA DE NMEROS REALES…………………………………………………. 13 1.5.DEFINICIN DE VECTOR DEPOSICIN………………………………………………………………………………………………..15 1.6. MDULO DE UN VECTOR COMO CONJUNTO ORDENADO DE NMEROS REALES……………………………………………….. 16 2OPERACIONES CONVECTORES………………………………………………………………………………………………………………202.1. IGUALDAD DE VECTORES………………………………………………………………………………………………………………20 2.2. ADICIN DE VECTORES EN DOS, TRES Y NDIMENSIONES…………………………………………………………………………..21 2.3. SUSTRACCIN DEVECTORES…………………………………………………………………………………………………………..23 2.4. MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR………………………………………………………………………………………………….23 2.5. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES…………………………………………………………………………………………………26 2.6. VECTOR NULO Y VECTORUNITARIO…………………………………………………………………………………………………..26 2.7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS COMO EL MDULO DE LA DIFERENCIADE DOS VECTORES……………………………………. 28 3.PRODUCTO ESCALAR DE DOSVECTORES…………………………………………………………………………………………….313.1. VECTORES UNITARIOS I, J, K…………………………………………………………………………………………………………..31 3.2. FORMA TRINMICA DE UN VECTOR………………………………………………………………………………………………….31 3.3. DEFINICIN DE PRODUCTOESCALAR…………………………………………………………………………………………………32 3.4 ORTOGONAL…………………………………………………………………………………………………………………………….33 3.5. ANGULO ENTRE DOS VECTORES………………………………………………………………………………………………………33 3.6. DEFINICIN DE COMPONENTE VECTORIAL Y PROYECCIN DE COMPONENTEESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO. ……… 34 3.7. COSENOSDIRECTORES…………………………………………………………………………………………………………………37 4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOSVECTORES…………………………………………………………………………………………414.1. INTERPRETACIN GEOMTRICA Y PROPIEDADES……………………………………………………………………………………41 4.2. DEFINICIN DE PARALELISMO GEOMTRICO YPROPIEDADES……………………………………………………………………..44 4.3. APLICACIN DEL PRODUCTO VECTORIAL AL CLCULO DE REAS DE UNPARALELOGRAMO……………………………………. 45 4.4.DEFINICIN DE PRODUCTOMIXTO……………………………………………………………………………………………………46 4.5. CALCULO DE VOLMENES MEDIANTE EL PRODUCTO MIXTO………………………………………………………………………47 5. USO DE SOFTWARE MATEMTICO COMO INSTRUMENTO VERIFICADOR DERESULTADOS Y HERRAMIENTA DE VISUALIZACIN ENCONCEPTOS……………………………………………………………………………….516BIBLIOGRAFA……………………………………………………………………………………………………………………………………………564. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 5 ALGEBRA VECTORIAL Larepresentacin de objetos geomtricos para el espacio de tresdimensiones, se simplifica grandemente si se utilizan lascantidades vectoriales (vectores) como apoyo para determinar lascondiciones especiales que debern satisfacer los puntos quepertenecen a dicho objeto. Un vector en Geometria es un entegeomtrico definido por un segmento orientado de recta, que seutiliza para la representacin de magnitudes llamadas magnitudesvectoriales. Por tanto, los vectores se representan grficamente porsegmentos acabados en una punta de flecha. Queda determinado sumdulo por la longitud del segmento; su direccin por la recta a quepertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen delvector se le llama punto de aplicacin. 1. Vectores en el plano y enel espacio 1.1. Simetra de puntos en los sistemas coordenados dedos y tres dimensiones. En el espacio de dos dimensiones, lospuntos estn definidos por una pareja ordenada de nmeros reales;tienen dos coordenadas. Pueden representarse geomtricamente en elplano determinado por dos ejes perpendiculares llamadoscoordenados, que se cortan en un origen comn. Por facilidad, seacostumbra dibujar los ejes con direcciones horizontales yverticales, hacia la derecha y hacia arriba respectivamente; adichos ejes se les denomina por lo general como ejes X y Y. A ladistancia desde el eje Y a cualquier punto del plano. Se llama laabscisa del punto. A la distancia desde el eje X a cualquier puntodel plano se le llama la ordenada del punto y se representa por elsmbolo (x, y). La abscisa es positiva cuando el punto est a laderecha de eje Y, y negativa cuando est a la izquierda. La ordenadaes positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X, y 5. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 6 negativa cuando se localiza abajo. Enesta forma en cada punto del plano, puede hacerse corresponder unapareja ordenada de valores (x, y), y a cada pareja ordenada devalores (x, y) puede hacerse corresponder un punto del plano. Alsistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en elespacio de dos dimensiones. A si por ejemplo, los puntos puedenrepresentarse geomtricamente como se muestra en la Figura 1.1. Enun plano de tres dimensiones, los puntos estn definidos por unaterna ordenada de nmeros reales; tienen tres coordenadas. En estecaso suele utilizarse como sistema de referencia para larepresentacin geomtrica de un punto, el definido por tres ejesperpendiculares entre s (cada una de ellos perpendiculares a losotros dos), que se cortan en un origen comn. A este sistema se leconoce como sistema cartesiano en el espacio de tres dimensiones.Los ejes se llaman coordenados y se denominan normalmente con lasletras X, Y y Z. los ejes X y Y se acostumbra dibujarlos en elplano horizontal y el eje Z quede por tanto, vertical. Si lasdirecciones positivas de los ejes coordenados corresponden a lasmostradas en la Figura 1.2 el sistema se llama derecho. Un sistemaizquierdo es el de la Figura 1.3. En general es ms comn utilizarsistemas de coordenados derechos. . Figura 1.1. Figura 1.2 SistemaDerecho Figura 1.3 Sistema Izquierdo 6. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 7 Figura 1.4 Ejes y Planos Coordenados Los tres ejesdefinen tres planos llamados Planos Coordenados, que dividen alespacio tridimensional en ocho partes llamadas octantes. El planoXY contiene a los ejes X y Y, el plano XZ contiene a los ejes X y Zy el plano YZ contiene a los ejes Y y Z, Figura 1.4. Un puntocualquiera del espacio tridimensional queda definido si se conocensus tres distancias dirigidas a los tres planos coordenados. Ladistancia del punto a plano YZ se llama abscisa o coordenada X; sudistancia de XZ se le llama ordenada o coordenada Y; por ltimo, sudistancia al plano XY se llama cota o coordenada Z. En estasituacin a cada punto del espacio puede hacerse corresponder unaterna ordenada de valores (X, Y, Z), y a cada terna ordenada devalores (X, Y, Z) puede hacerse corresponder un punto del espacio.As por ejemplo, la representacin geomtrica del punto P decoordenadas (2, 3, 3) puede hacerse como se muestra en la Figura1.5. Para espacios de mas de tres dimenciones, los puntos no sepueden representar gometricamente. Para establecer la simetria depuntos en el espacio de tres dimenciones, es necesario revisaralgunos conceptos geometricos. P X Y Z 2 3 3 Figura 1.5.Representacin de puntos en el espacio 7. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 8 DEFINICION 1. Dados puntos y son simetricos conrespecto a un tercero 0, si este es un punto medio del segmento .DEFINICION 2. Dados puntos son simetricos con respecto a una rectaL, si esta es mediatriz del segmento . DEFINICION 3. Dos puntos sonsimetricos con relacion a un plano , si ste es normal bisector delsegmento . Con base a la definicion una, a todo punto P(X, Y, Z)del espacio de tres dimenciones le corresponde un simetrico (-X,-Y, -Z) con respecto al origen (Figura 1.9). P 0 Figura 1.6.Simetra con respecto a un punto 90 M P = L Figura 1.7. Simetra conrespecto a una recta 90 M = P Figura 1.8. Simetra con respecto a unplano 8. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 9 Como consecuenciainmediata de la definicion dos, a todo punto del espacio de tresdimensiones le corresponde un simetrico con respecto al eje X(Figura 1.10) Los puntos y son simetricos con respecto al eje X,pues este eje es mediatriz del segmento . Tambien el punto puntotiene sus simetricos respecto a los ejes Y y Z que son y . A simismo, como consecuencia de la definicion tres a todo punto delespacio de tres dimenciones le corresponde un simetrico conrespecto al plano ordenado XY (Figura 1.11). Y X Z P(x, y, z)Figura 1.9. Simetra con respecto al origen. Y Z P (x, y, z) X 90Figura 1.10. Simetra con respecto al eje X 9. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 10 Los puntos y son simetricos con respecto alplano XY, pues este plano es normal bisector del segmento . Ademasel puntos tiene sus simetricos respecto a los planos YZ y XZ queson y respectivamente. Ejemplo 1.1 Dado el punto Q (-1, -4, 2)encontrar sus simtricos respecto al origen, ejes y planos delsistema de referencia. Solucin: Respecto al origen, (1, 4, -2)Respecto al eje X, (-1, 4, -2) Respecto al eje Y, (1,-4, -2)Respecto al eje Z, (1, 4, 2) Respecto al plano XY, (-1, -4, -2)Respecto al plano YZ, (1, -4, 2) Respecto al plano XZ, (-1, 4, 2)90 P (x, y, z) X Y Z Figura 1.11. Simetra con respecto al plano XY.10. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 11 1.2. Vector dirigido Eningenieria es frecuente encontrarsecon cantidades que poseenmagnitud y direccion; entre stas se tienen la fuerza, la velocidad,la aceleracion, el desplazamiento, etc. A este tipo de cantidadesse le denomina cantidades vectoriales o vectores. Cabe aclarar queexisten muchos entes matematicos que tambien se definen comovectores, pero en este curso el concepto de vector lorestringiremos exclusivamente a las cantidades que poseen magnitudy direccion. Para representar geometricamente a un vector seutiliza el segmento dirigido, el cual es un segmento de recta entredos puntos al que se le asigna un sentido de recorrido. Porejemplo, en la Figura 1.12 se muestra un segmento dirigido entrelos puntos P y Q; a este segmento dirigido se le designa como , endonde la primera letra indica el punto inicial llamado origen y lasegunda el punto final llamado extremo. Es facil ver que lossegmentos dirigidos presentan las caracteristicas de un vector asaber: direccion, dada por la direccion de la recta y por elsentido de recorrido (la flecha) y magnitud , dada por la longituddel segmento. A fin de describirlos vectores desde un punto devista analtico, es conveniente considerar que dos vectores soniguales si tienen la misma magnitud y la misma direccion, es decirse establece que un vector no se latera si se mueve paralelamente asi mismo, Figura 1.13. Bajo la consideracion anterior, el origen decualquier vector se puede hacer coincidir con el correspondiente deun sistema coordenado rectangular, con lo que es factibleestablecer una descripcion de un vector en forma exclusivamentenumerica. Q (extremo) P (origen) Figura 1.12 Vector dirigido Figura1.13. = 11. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 12 1.3. Componentesescalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en elplano y en el espacio. Considerese un vector representadograficamente por un segmento dirigido cuyo punto inicial es elorigen del sistema y con punto final , vase figura 1.14. A los tresnumeros reales se les denomina las componentes escalares delsegmento dirigido sobre los ejes coordenados; y dado que representagraficamente al vector , se dice que estos numeros son lascomponentes de dicho vector y en esta forma el vector se expresacomo : = , donde es la componente X, es la componente Y y es lacomponente Z. si se considera ahora a un vector representadogeometricamente por el segmento dirigido , las coordenadas de R y Sson respectivamente ( , entonces se dice que dicho vector tienecomponente a, = . Como se puede observar e la Figura 1.8, losvectores tienen la misma magnitud y direccion por lo que soniguales, y por otra parte de la misma figura se tienen que: = = =De esta forma sepuede establecer que si dos vectores cualesquierason iguales, tienen las mismas componentes; e inversamente, dosvectores con las mismas componentes son necesariamente iguales enmagnitud y direccion. Asimismo se concluye que un vector quedaFigura 1.14. Componentes de un segmento dirigido. 12. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 13 completamente determinado especificando,en forma ordenada, los tres numeros reales que constituyen suscomponentes. Una ecuacin vectorial = , donde = y = , es una formabreve de representar las siguientes tres igualdades entre nmerosreales: = = = Para el caso de vectores definidos en el plano, estostienen dos componentes. As por ejemplo en el vector = es la primeracomponente o componente X y es la segunda o componente Y, Figura1.15. 1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de nmerosreales. Un nmero real puede ser representado como un punto de unalnea recta, una pareja de nmeros reales puede ser representada porun punto en el plano y una terna de nmeros reales puede serrepresentada por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar unarepresentacin geomtrica de las n-tuplas ordenadas existeninterpretaciones tiles para ellas. Por ejemplo como solucin de unsistema de ecuaciones lineales de n incgnitas, al igual que en elespacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados comopuntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplasordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones. X Y Figura1.15. Vectores en el plano Figura 1.16a. Figura 1.16b. 13. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 14 Definicin Una n-tupla de nmerosreales se denota por donde cada es un nmero real. Las n-tuplas denmeros reales y son iguales s. El conjunto formado por todas lasn-tuplas de nmeros reales ordenadas se denota por, es decir = { }Definicin Si y son n-tuplas de nmeros reales, se define la sumacomo la n-tupla se dice que la suma se define con base a suscomponentes. Como vimos anteriormente a cada punto del planocoordenado se le puede asociar un vector fijo. Si es una parejaordenada de nmeros reales (un vector de) le podemos asociar elvector libre OX que tiene por punto inicial el origen decoordenadas O y por punto terminal X. Figura 1.16c. Figura 1.17.14. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 15 1.5. Definicin de vector deposicin Definicin. Sea el punto A en el espacio de tresdimensiones, cuyas coordenadas son ; se llama vector de posicin deeste punto al representado por el segmento dirigido que va delorigen del sistema a dicho punto. Designado por al vector deposicin de punto A, sus componentes son: = = = entonces como se ve,los componentes del vector de posicin son siempre iguales a lascoordenadas del punto, como se ilustra en la Figura 1.18. Entoncespuede establecerse una relacin de correspondencia uno a uno entreel conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones, y elconjunto de vectores de posicin en el mismo espacio. Es decir acada punto del espacio de tres dimensiones le corresponde uno ysolo un vector de posicin, y viceversa. Esta misma situacin sepresenta para los conjuntos de puntos y vectores de posicin en elplano. En general esta correspondencia existe, cualquiera que seala dimensin del espacio en que se trabaje. Es importante mencionarque en el espacio de tres dimensiones, tanto los puntos como losvectores estn dados por una terna ordenada de nmeros reales. Sinembargo la terna de nmeros reales que representa a un puntodetermina la posicin del punto en el sistema de referencia. Porotra parte, la terna ordenada de nmeros reales que = = A 0 X Y ZFigura 1.18. Vectores de posicin del punto A 15. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 16 representa a un vector son sus componentes, esdecir, las proyecciones dirigidas del vector sobre los ejescoordenados del sistema de referencia. 1.6. Mdulo de un vector comoconjunto ordenado de nmeros reales. El mdulo de un vector, es lamagnitud del mismo. El smbolo | | se utilizara para denotar elmodulo del vector . Una forma simple de deducir la expresin paracalcular el modula de un vector a partir de sus componentes, escomo se muestra a continuacin. Para cada caso de un vector definidoen el espacio de tres dimensiones, vase la siguiente Figura: Setiene: Del tringulo rectngulo 0MN, aplicando el teorema dePitgoras: = = Y del tringulo rectngulo 0AN, por el teorema dePitgoras: Z Y X N A M 0 1 Figura 1.19. Mdulo de un vector 16. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 17 || = Y X || Figura 1.20. Mdulo de unvector en el plano | | = = = Por lo tanto, el modulo del vector ,es: Para el caso de vectores definidos en el plano, como se observade la Figura 1.20, aplicando el teorema de Pitgoras, el modulovector es: Ejemplo 1.2 Determinar el mdulo de los siguientesvectores: = = = Solucin: || = = || = = | | = = | | = 17. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 18 Figura 1.21. Ejemplo 1.3 Demostrar quelos puntos A (7, 5), B (2, 3), C (6, -7) son los vrtices de untringulo rectngulo, Figura 1.21. Solucin: Definiendo los siguientesvectores sobre los lados del tringulo: = = = = = = = = = = = = Losmdulos de estos vectores, o longitudes de los lados del tringulo,son: || = = || = = | | = = Como se cumple que: | | = | | | | 145 =29 + 116 El concepto de un vector, puede extenderse a espacios conms de tres dimensiones, no as su representacin geomtrica. En elespacio de n dimensiones, un vector se define como sigue:DEFINICION: Un vector en el espacio de n dimensiones se define comouna n-ada de nmeros reales, es decir, un arreglo ordenado de nnmeros reales . Al i-simo numero de este arreglo, se le llamai-sima componente del vector. Al conjunto de todos los vectores den dimensiones se le llama espacio de n dimensiones o simplemente,espacio n. Obsrvese que la definicin dada es consistente con laEntonces de acuerdo con el teorema de Pitgoras, es un tringulorectngulo. 18. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 19 descripcingeomtrica, mencionada previamente, para los vectores en losespacios de dos y tres dimensiones. Asimismo el concepto de mdulode un vector que es la longitud o magnitud del mismo, se puedehacer extensivo para vectores definidos en espacios mayores de tresdimensiones. En general el mdulo de un vector en el espacio de ndimensiones, || , se obtiene como: || = Por ejemplo supngase quetenemos un vector en el espacio de seis dimensiones. = El modulodel vector esta dado por la expresin: || = = || = En espaciosmayores de tres dimensiones, los vectores y sus caractersticas notienen interpretacin geomtrica. Ejercicios 1) Halla el mdulo delvector u= (-3,4). Solucin: | | = | | = | | = = = 2) Hallar el mdulode los siguientes vectores: ( ) Solucin: | | = = 19. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 20 | | = = | | = = | | = = = | | = ( ) = ( ) ( )| | = = = = = 2 Operaciones con vectores 2.1. Igualdad de vectoresDos vectores se llaman iguales, si tienen la misma magnitud y lamisma direccin. Para decir que dos vectores son iguales suscomponentes correspondientes deben ser idnticas. Por ejemplo: a={1; 2; 4} b= {1; 2; 2} c= {1; 2; 4} a=c as que sus coordenadas soniguales; ab as que sus coordenadas no son iguales. Este es unejemplo de igualdad de vectores todos tienen la misma magnitud ymisma direccin, solamente estn ubicados en diferentes lugares ytienen diferente grosor (son bidimensionales). 20. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 21 Ejemplo 2: Verificar que los vectores a y bson iguales, donde a parte del punto A y llega a B y b parte de C yllega a D; A (-1, 3,4) B (4, 2,6) C (1,-2,-6) D (6,-3,-4) a= AB=(4, 2,6) – (-1, 3,4)= (5,-1,2) b= CD= (6,-3,-4) – (1,-2,-6)=(5,-1,2) 2.2. Adicin de vectores en dos, tres y n dimensionesMtodos algebraicos Para obtener la suma de los vectores de ndimensiones, solamente se suman sus componentes correspondientes.Ejemplo en dos dimensiones U= (5,4) V= (10,4) U+V= (5+10,4+4) U+V=(15,8) Ejemplo en tres dimensiones Encontrar el vector c dado losvectores A y B. A= (3, 2, 3) B= (2, 2, 0) A+B= (3+2 ,2+2, 3+0) A+B= (5, 4, 3) Representacin grfica por mtodo de paralelogramo.Ejemplo en n dimensiones En n dimensiones: u= (u1,u2,..,un) v =(v1, v2,.., vn) u + v= (u1 + v1, u2 + v2,..,un+ vn) 21. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 22 Dados los vectores u= (2,4, 6,8) y v =(1,3, 6,8) u + v = (2+1, 4+3, 6+6, 8+8) u + v= (3, 7, 12, 16)Mtodos grficos Solamente se pueden utilizar en las sumas de dos ytres dimensiones. Ejemplo del mtodo del paralelogramo en terceradimensin. Se trazan paralelas a los vectores originales paraconstruir un paralelogramo y despus sacar la diagonal de este y esaes la suma de los vectores. Solamente se trazan los vectores unosobre otro, es decir el punto final de uno con el punto inicial delotro y posteriormente se une el origen del inicial con el final delsegundo la resultante ser la suma de los vectores. a b 22. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 23 2.3. Sustraccin de vectores Mtodoalgebraico La sustraccin de vectores u-v, se puede definir a partirde la adicin como: u v= u + (-v)= (u1, u2, un)+ (-v1,-v2,-vn) u v=(u1-v1, u2-v2, un-vn) Al vector resultante de la sustraccin de dosvectores se le conoce como la diferencia de los vectores u y v.Ejemplo: Hallar u-v u= (-2,6) v= (2,5) u-v= (-2-2, 6-5)= (-4, 1)Mtodo grafico Restar dos vectores es sumar al primero el opuestodel segundo. 2.4. Multiplicacin por un escalar Para obtener laresta de vectores por este mtodo se traza el opuesto del segundovector, posteriormente se suma el primer vector con el opuesto delsegundo, donde la diagonal resultante ser el vector u-v. 23. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 24 El resultado de multiplicar un realk por un vector v, expresado analticamente por kv es otro vector.Si el escalar a es mayor que uno el resultado de la multiplicacinser un vector con la misma direccin de u, pero con mdulo mayor quea. au; a>1 Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno elresultado ser un vector con la misma direccin de a, pero con mdulomenor. au; 0 0 si a 0 26. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 27Vector unitario Se dice que es unitario cuando su mdulo es igual ala unidad. Para cualquier vector a 0, siempre es posible determinarel vector unitario en su misma direccin. U=(| | ) U=(| | ) U=(| | || | | ) Para encontrar las magnitudes de un vector Ejemplo 1:Encontrar el vector unitario en la misma direccin del vector. a=(2, -3, 7) a= = = Por lo tanto el vector unitario es: U=( ) Ejemplo2: Determina un vector q, con la misma magnitud del vector P= 3a -2b + c Y en direccin opuesta a la resultante de los vectores d y e.a= (2, 1, -3), b= (-1,-1,-1), c= (3,-2,4), d= (1,-2,8) y e=(2,-1,3) El vector p es: P=3a – 2b + c= 3(2, 1, -3) 2(-1,-1,-1) +(3,-2,4) (6, 3, -9) (-2, -2, -2)+ (3, -2, 4) P= (6+2+3, 3+2-2,-9+2+4) = (11, 3, -3) 27. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 28 Lamagnitud da p es: p= = = Resultante de: d + e= (1,-2,8) + (2,-1,3)= (3, -3, 11) Vector unitario de la direccin d + e= = = (d+e) u = () Po lo tanto el vector unitario en la direccin opuesta es: – (d+e)u = -( ) Y finalmente q = -p (d+e) u = ( ) q= (-3, 3 -11) 2.7.Distancia entre dos puntos como el mdulo de la diferencia de dosvectores. Mdulo de un vector El modulo v es la raz cuadradapositiva de la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector.Ejemplo: Sea el vector v= (5,4) v= v= v= Mtodo grafico c= c= c= c=Observando que el modulo es la longitud de la hipotenusa de untringulo rectngulo cuyos catetos son las coordenadas del vectoraplicamos el teorema de Pitgoras. 28. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 29 Distancia entre puntos La distancia entre dos puntos Ay B, d(A, B), es el modulo del vector AB. La distancia entre lospuntos del plano A (-2,1) y B (3,5) es: d(A, B)= d(A, B)= d(A, B)=d(A, B)= El modulo es de Ejercicios 1) Considere el vector =encuentre la magnitud o norma del vector. | | = = = 2) Encontrar elvector unitario en la direccin del vector = = = = U=( ) 29. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 30 3) Encontrar un vector con magnitud10 con direccin contraria al vector = -10* = = (10,-20, -40) 4)Dados los vectores = y = . Hallar 3 Soluciones = = = = = ( ) = ( )= ( ) = ( ) = ( ) = = = = = = 30. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial31 3. Producto escalar de dos vectores 3.1. Vectores unitarios i,j, k En ocasiones es conveniente expresar un vector en trminos delos vectores unitarios i, j, k que se muestran en la siguientefigura. En trminos de sus componentes, los vectores unitariosquedas expresados como: = = = 3.2. Forma trinmica de un vector Elvector = puede expresarse como: = = = = Esta expresin define alvector en la llamada forma trinmica. *Ejemplos Poner en formatrinmica los siguientes vectores = = = = = = 31. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 32 3.3. Definicin de producto escalar El productoescalar de dos vectores en el espacio de dimensiones = y = denotadopor denotado por , que se lee punto se define como: = = *Porejemplo *El producto escalar de = = es: = *El producto escalar de == es: = * = = = * = = = * = = = Propiedades del producto punto 1. =2. = 3. = 4. ( ) = = = 5. = *Ejemplos Dados = y = a) b)( ) c) d) a)= = = = b)( ) = = c) ( ) = ( ) = = d) = = = = 32. UNAM FESC ITSEAlgebra Vectorial 33 3.4 Ortogonal Dos vectores y son ortogonalessi y solo si = Ejemplos: Cul de los siguientes vectores sonortogonales: 1) = = 2) = = 1) = = = No existe ortogonalidad 2) = == Determine el nmero tal que = (1,-2,3) es ortogonal a = (1, , 4)1-2+7=0 -2=-8 =4 Determine todos los nmeros y tales que losvectores = (4, , 2) y = (1, 1, -2) 4++-4=0 =+4-4 3.5. Angulo entredos vectores | | = | | | | | || | | || | = | | = | | = | | = | | || | | = | | | | = { [ ]} =. { [ ]}=. { }.= { }= = = |||| El nguloes el ngulo que forman los vectores al considerar la siguientefigura Si se despeja de la expresin anterior a cos se tiene 33.UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 34 = |||| Es decir: = ( |||| )Esta expresin calcula el ngulo que forman 2 vectores al considerarun origen comn. A continuacin se muestran las orientacionesposibles de dos vectores Ejemplo: Calcular el ngulo que forman losvectores = y = = ( ) = ( ) = = = ( ) = 3.6. Definicin de componentevectorial y proyeccin de componente escalar de un vector sobreotro. Sean dos vectores cualesquiera y en un espacio de tresdimensiones. A partir de estos se puede definir: Un vector unitario, en la direccin Un escalar tal que el vector es ortogonal a Larelacin geomtrica entre los elementos mencionados se representa enla siguiente figura: 34. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 35 Lacomponente vectorial de un vector sobre otro vector , la cual sesimboliza es un vector en el cual es un vector en la direccion de,y es un escalar tal que es ortogonal a. Al escalar se le llamacomponente escalar de sobre , la que se simboliza . La componentevectorial de sobre otro vector esta dada por la expresin: = || || =( || ) . La componente escalar de sobre esta dada por la expresin:= || . Regresando a la figura anterior en el tringulo rectngulo setiene que: = | | | | . Sustituyendo el valor de se tiene: = || || || = | ||| . Dnde: = |||| Esto significa que el producto escalar dedos vectores diferentes del vector nulo, es igual al producto delmdulo , por el mdulo de , por el coseno del ngulo entre y son nonegativos pero cos puede ser positivo, negativo o cero. Por tantoel producto escalar es negativo nicamente cuando cos es negativo esdecir, nicamente cuando . Proyeccin de a ortogonal sobre b Losvectores a y proyba son la hipotenusa y un lado del tringulorectngulo, respectivamente. El segundo lado del tringulo esentonces a- proyba ste es un vector que es ortogonal a b y se ledenomina proyeccin de a ortogonal a b. Ejemplo *En cada uno de loscasos siguientes calcular , y proyeccin ortogonal de a sobre b. a)= = b) = = a1) = || = = = = = a2) = || || = = = = 35. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 36 a3) = b1) = || = = = b2) = || || = = = () = ( ) c2) ( ) = ( ). *Sean los puntos A (5,2,6); B(1,2,3) yC(9,4,9). Determina la componente vectorial de en la direccin de yrepresentar grficamente en la figura Solucin: = = = = = = ) = || ||= = . = = O = *Sea los vectores = = = Determinar los valores de b yc tales que la componente escalar de en la direccin sea igual a yla de en la direccin sea igual a . = . || = . = = . = . || = = = =Resolviendo sistema de ecuaciones entre: b-5c=27 b-4c=18 Se obtienec=-9 y b=-18 *El ngulo entre los vectores y es =30. Si =2 y =7calcular: a) b) c) 36. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 37 a) = ||| | = | || | = = ( ) = b) = | || | = | || | = = = c) = | || | = ||| | = = = *Una lancha de 400 kg se encuentra sobre una rampainclinada 30, como se muestra en figura Qu fuerza se requiere paraimpedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa? Solucin:F=(400kg)(-9.8m/s2 )=-3920N = = = = (| | ) = = ( ) = ( ). Lamagnitud de la furza que requiere para sostenerse es de 3920NTrabajo Supongase que la fuerza constante de un vector es = queapunta a alguna direccin. Si la fuerza mueve al objeto P a O,entoces el vector de desplazamiento de = . El trabajo hecho poresta fuerza se define como el producto de la componente de lafuerza a lo largo de D y la distancia recorrida = | | | | En formaescalar: = | | | | = Ejemplo *Un carrito es jalado una distancia de150m a lo largo de una trayectora horizontal de una trayectorahorizontal por una fuerza de 90N. La manija del carro se matiene enun angulo de 30 sobre la horizontal. = = | || |=(90N)(150)cos30=11691.34 *Una fuerza esta dada por un vectorF=3i+4j+5k y mueve una particula del punto P(2,1,0) al punto Q(4,6, 2). Encuentre el trabajo hecho. = =6+20+10=36 W=36 Joules 3.7.Cosenos directores Para describir la direccin de un vector =usualmente se hace considerando tres ngulos y conforme a losiguiente: 37. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 38 Los ngulosdirectores de un vector son los ngulos y que respectivamente formael vector con los vectores unitarios i, j y k La expresin paracalcular ngulos directores es la siguiente: = || = ||| | = || = ||= ||| | = || = || = ||| | = || Los cosenos directores de un vectorno pueden ser arbitrarios y su relacin se puede establecer como: =|| || || = || = || || = Que es otra expresin que se relaciona a loscosenos directores del vector Ejemplos *Encontrar los ngulosdirectores de los siguientes vectores a) = | | = = = = Por tantolos cosenos directores son: = , = , = , = = = *Sea el vector , dosde cuyos cosenos directores son: = = . Obtener un vector cuyo mdulosea igual a 18 unidades y que tenga la misma direccin del vector .Solucin: = = . = . = .. = .. = ( ). = 38. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 39 EJERCICIOS PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 1)Convertir a forma trinomica los siguientes vectores a) = b) = c) =2) De los siguientes ejercicios hallar: a) , b) c) a) = = b) = = c)= = d) = = 3) Cul de los siguientes vectores son ortogonales? a) == b) = = c) = = d) = = 4) Determine el nmero tal que = (4,-2,-1) esortogonal a = (1, 5, ) 5) Determine todos los nmeros y tales quelos vectores = (1,- 3, 12) y = (4, 5, -7) 6)En cada uno de loscasos siguientes calcular , y y proyeccin ortogonal de a sobre b.a) = = b) = = 7) Sea los vectores = = = . Determinar los valores deb y c tales que la componente escalar de en la direccin sea igual ay la de en la direccin sea igual a . 8) Un camin de 5000 kg estestacionado sobre una pendiente de 10 .Si se supone que la nicafuerza a vencer es la de la gravedad, hallar a)Diagrama b) lafuerza requerida para evitar que el camin ruede cuesta abajo y c)Fuerza perpendicular a la pendiente. 9) Un carro se remolca usandouna fuerza de 1 600 newtons. La cadena que se usa para jalar elcarro forma un ngulo de 25 con la horizontal. Encontrar el trabajoque se realiza al remolcar el carro 2km. 39. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 40 10) Una fuerza esta dada por un vector F=7i+j-2k ymueve una particula del punto P(3,1,2) al punto Q(3, 2, 2).Encuentre el trabajo hecho. 11)El ngulo entre los vectores y es=120. Si =4 y =8 calcular: a) b) c ) 12)Calcula a) b) c) , si =8 y=5 y = 13) Demuestre que para cualesquiera nmeros reales y , losvectores u =i+j y v=i-j son ortogonales. 14) Hallar el ngulo entrelos siguientes vectores a) = = b) = = c) = = d) = ( ) ( ) = ( ) ( )e) = ( ) ( ) = ( ) ( ) 15) Encontrar cosenos directores de lossiguientes vectores a) = b) = c) = d) = 16) Hallar las componentesde un vector con mdulo igual a 3 y cuyos ngulos directores soniguales. 17) Si un vector tiene ngulos directores = /4 y = /3encuentre el tercer director 18) Sea el vector , dos de cuyoscosenos directores son: = = . Obtener un vector cuyo mdulo seaigual a 18 unidades y que tenga la misma direccin del vector . 40.UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 41 4. Producto Vectorial de dosvectores 4.1. Interpretacin geomtrica y propiedades El productovectorial de dos vectores es otro vector que se designa por o y quese obtiene del siguiente modo: 1 Si y son dos vectores no nulos yno proporcionales es un vector de: Mdulo es igual a: Direccin esperpendicular a los dos vectores Sentido igual al avance de unsacacorchos al girar de a . 2 Si y son proporcionales se tiene queInterpretacin geomtrica del producto vectorial Geomtricamente, elmdulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el readel paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. El rea delparalelogramo es el producto de la base por la altura 41. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 42 Propiedades del producto vectorial 1.Anti conmutativa 2. Homognea 3. Distributiva del producto vectorialrespecto de la suma de vectores 4. El producto vectorial de dosvectores paralelos es igual al vector nulo. = 5. El productovectorial es perpendicular a y a . Propiedades Geomtricas DelProducto Vectorial Sean y vectores distintos de cero en el espacio,y sea el ngulo entre y 1. u x v es ortogonal tanto a u como a v 2.ll u x v ll = ll u ll ll v ll sen 3. u x v = 0 si y slo si u y vson mltiplos escalares uno de otro. 4. ll u x v ll = rea delparalelogramo que tiene u y v como lados adyacentes. Expresinanaltica del Producto Vectorial Sea una base ortonormal de V3.Aplicando la definicin de producto vectorial Siendo nulos todos losproductos de un vector consigo mismo 42. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 43 Sean dos vectores cualesquiera Y Su producto vectorialser: Y sustituyendo los productos entre los vectores de la base sellega a: Esta expresin se puede escribir como el siguientedeterminante de orden 3 ` Ejercicio Dados hallar cada uno de lossiguientes productos vectoriales: ` 43. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 44 Ejercicio Se aplica una fuerza vertical de 50 librasal extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje enel punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento deesta fuerza respecto al punto P cuando = 60. Si se representa lafuerza de 50 libras como F = -50k y la palanca como El momento de Frespecto a P est dado por La magnitud de este momento es 25libras-pie. Ejercicio Calcular u x v, v x u y v x v U= -2i + 4j V=3i + 2j +5j a= (7, 3, 2) b= (1, -1, 5) 4.2. Definicin deparalelismo geomtrico y propiedades Dos rectas son paralelas operpendiculares si lo son sus vectores directores Paralelismo: elvector v, de componentes (v1,v2), es paralelo al vector u, decomponentes (u1,u2) si tienen la misma direccin, es decir si v =tu: 44. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 45 Es decir, son paraleloscuando sus componentes respectivas son proporcionales.Perpendicularidad: el vector v, de componentes (v1,v2), esperpendicular al vector u, de componentes (u1,u2) si su productoescalar es cero: vu = 0; (v1,v2)(u1,u2) = v1u1 + v2u2 = 0 Por lotanto para estudiar el paralelismo o la perpendicularidad de dosrectas slo hay que obtener sus respectivos vectores directores yhacer el anterior estudio. 4.3. Aplicacin del producto vectorial alclculo de reas de un paralelogramo rea de un paralelogramo rea deun tringulo 45. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 46 Ejemplo 4.4.Definicin de producto mixto Hablamos de producto mixto porqueintervienen el producto escalar y el producto vectorial y esto yanos orienta a que deben intervenir 3 vectores. Se trata delproducto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de losotros dos, obteniendo un resultado numrico como el procedente delclculo del volumen de un paraleleppedo (poliedro cuyas caras sonparalelogramos). Sean los vectores. El producto es el productomixto de tres vectores. El resultado no vara en el caso de quepermutemos los factores en el mismo sentido de giro: 46. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 47 En realidad, estamos multiplicandoescalarmente, un vector por el producto vectorial de dos vectores,que sera como decir: multiplicamos el rea de la base por la alturaque equivale al volumen de un paraleleppedo. Sirvindonos de lo yaestudiado tendramos, suponiendo las coordenadas de los vectores:4.5. Calculo de volmenes mediante el producto mixto. El volumen deun ortoedro, como la de cualquier otro paraleleppedo se obtienemultiplicando el rea de la base por la altura. Sabiendo que losvectores que forman la base corresponden a: y las componentes de laaltura son: Cul es el valor de este ortoedro? Respuesta: SolucinDibujamos la figura y colocamos los datos que conocemos: 47. UNAMFESC ITSE Algebra Vectorial 48 Lo resolvemos: 21.69 Tenemos tresvectores cuyas componentes son: Responde, tras comprobar, si elvalor escalar de es igual a Respuesta: S, son iguales a Solucin Lapermutacin exige que el factor que tomamos lo coloquemos por detrsempujando hacia la izquierda a los otros dos. Si no se respeta elsentido del giro produciremos un error. 48. UNAM FESC ITSE AlgebraVectorial 49 Ejercicio Calcular el volumen del paraleleppedomostrado en la figura, que tiene u= 3i 5j + k, v= 2j – 2k y w= 3i +j + k como aristas adyacentes. Ejercicios Calcular el productovectorial de los vectores unitarios y dibujar su resultado 1. j x i2. i x j 3. j x k Calcular el rea del paralelogramo formado por losvectores adyacentes: 1. u= j v= j + k 2. u= (3, 2, -1) v= (1, 2, 3)Verificar que los puntos son los vrtices de un paralelogramo ycalcular su rea 1. A (0, 3, 2), B(1, 0, 3), C(-3, 2, 0) 2. A (2,-3, 1), B(6, 5, -1), C(7, 2, 2), D(3, -6, 4) Calcular el rea deltringulo con los vrtices dados 3. A (0,0,0), B(1, 0 ,3), C(-3, 2,0) 4. A (2,-3,4), B(0, 1, 2), C(-1, 2, 0) 5. A (2, -7,3), B(-1, 5,8), C(4, 6, -1) 6. A (1, 2, 0), B(-2, 1, 0), C(0, 0, 0) Calcular u(v x w) 3. u= i + j + k v= j + k 4. u= (2, -1, 0) v= (-1, 2, 0) 4.k x j 5. i x k 6. k x i 49. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 50Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen de lossiguientes paraleleppedos: 50. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 515. Uso de software matemtico como instrumento verificador deresultados y herramienta de visualizacin en conceptos. El softwareque se usara como verificador de resultados herramientavisualizador en conceptos ser maple. MAPLE Visualizador devectores: 51. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 52 Poner mas de unvector: 52. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 53 Suma de vectoresProducto punto de vectores 53. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 54Proyeccin de vectores Producto Cruz de dos vectores 54. UNAM FESCITSE Algebra Vectorial 55 55. UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 56 6Bibliografa Larson Ron Edwards Bruce H., Hostetler Robert P, ClculoII 9na ed. Mxico, editorial McGraw Hill. Grossman Stanley, AlgebraLineal, 6ta ed. Mxico, editorial McGrawHill James Stewart Calculode varias variables 6ta ed. Mxico editorial Cengage Learning. Sols,R. Nolasco, J y Victoria A., Geometra analtica, Mxico, Limusa-Facultad de Ingeniera, UNAM, 2003. 56. UNAM FES Cuautitln.Ingeniera en Telecomunicaciones, sistemas y electrnica.