algebra - vectores

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ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-1VECTORESEn el campo de la Fsica, como as tambin de otras ciencias, para representar ciertas magnitudes como la fuerza, la aceleracin , la velocidad , etc se usan segmentos de rectas orientados.Esto se debe a que aquellas magnitudes no quedan perfectamente determinadas mediante la sola expresin de un numero acompaado de la unidad correspondiente, sino que adems necesitan de una direccin.Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes vectoriales.En mrito a ello en primer lugar y con la intencin de introducirnos en la definicin de vector, vamos a definir que es lo que se entiende por segmento de recta orientadoSegmento de recta orientado :BA AB Dados dos puntos A y B, LA Geometra elemental considera como un mismo segmento elAB o elBA, es decir :BA'']]]]]

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110;101Pero si entre los extremos de un segmento , se fija un cierto orden , llamando a uno de ellos origen y al otro simplemente extremo , estamos en presencia de lo que la Geometra Analtica denomina segmento de recta orientado, cuya notacin es la siguiente: Donde la primer letra representa el origen del segmento y la segunda su extremo.Grficamente se lo representa, agregando al segmento una punta de flecha en su extremo.BADetodo lo anterior resulta evidente que las caractersticas esenciales de un segmento de recta orientado son : su longitud y su direccin.De esta definicin surge evidente que :AB BADos segmentos de rectas orientados se dicen que son equivalentes, si y solo si , tienen igual longitud y direccin.Definicin geomtrica de vector:Llamamos vector al conjunto de todos los segmentos de recta orientados de igual longitud y direccin, es decir al conjunto de todos los segmentos de rectas dirigidos equivalentesLos vectores suelen simbolizarse por medio de letras minsculas :

ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-2Cualquier segmento de recta dirigido en ese conjunto puede tomarse como un representante del vector.Todos los segmentos de rectas dirigidos de la figura son representantes del mismo vectorEntonces, dos segmentos de recta dirigidos de longitud no nula representan el mismo vector si, y solo si, tienen la misma longitud e igual direccin. De la definicin puede deducirse que un vector dadov , se puede representar de diferentes manera, siempre que se mantenga inalterable su longitud y direccinEsta definicin corresponde a la de vector libre, lo cual significa que un vector puede ser desplazado en el plano o en el espacio, sin modificar su longitud ni su direccin, no interesndonos para nada su punto de aplicacin o su recta de accin.Mdulo o Norma de un vector : Llamamos mdulo de un vectora , al nmero no negativo que corresponde a la longitud del segmento orientado que lo define . Se simboliza como |a|Si el mdulo de un vector toma el valor cero, el vector se reduce a un punto, en consecuencia no podemos hablar de direccin, por lo tanto no existir vector, pero por comodidad de expresin se conviene en que el punto tambin es un vector, al que se lo denomina vector nulo.Vector opuesto.Dado un vectora , se llama vector opuesto dea, a aquel vector que tiene igual longitud (mdulo ) que el vector a, pero su direccin es contraria a la del vector dado.Su notacin es la siguiente :-aOperaciones con vectores en forma geomtrica :Suma : Dados dos vectoresaybla suma de ambos que simbolizamos comoa + b , geomtricamente se obtiene , llevando a partir de un punto cualquiera un vector a continuacin del otro, luego el vector que une el origen del primero con el extremo del ltimo vector es el vector suma o resultante de la suma. a b a b

a+bALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-3Esta definicin de suma de vectores, se generaliza para el caso de n vectores.a b b a + +Resulta evidente que la suma de vectores es conmutativa, es decir:Teniendo en cuenta que de la geometra elemental surge que la longitud del lado de un tringulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, al sumar geomtricamente vectores puede obsevarse que:Producto de un vector por un escalar (n Real)-Definicin :El producto de un vector v por un escalar k (n Real) nos da por resultado otro vector w, cuyo mdulo es igual al producto del valor absoluto del escalar k por el mdulo del vector dado y su direccin coincide con la del vector dado sik>0 y es de direccin contraria a la del vector dado si el escalark < 0.En smbolos:v k w . Mdulo de w :Direccin:Direccin de w = direccin de vsi k > 0Direccin de w = direccin de vsi k < 0Ejemplo : VSi k = 22VSi k = -3 -3vResta o diferencia de vectores: Teniendo en cuenta la definicin de las dos operaciones anteriores, la resta o diferencia de dos vectores a y b , que simbolizamos comoa - b, es igual a la suma del vector minuendo ms el opuesto del vector sustraendo.b a b a ) 1 ( + En smbolos :-ba-b.a.abEjercicio : Determinar en cada caso a que es igual el vectorx :X x.a .aALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-4 bbEXPRESIN DE UN VECTOR EN COORDENADASPara llegar a la nocin algebraica de vector, vamos a introducir un sistema de ejes coordenados cartesianos Oxyz en el espacio tridimensional o R3 y vamos a considerar en el, al vector vz N v Mv2 P(v1,v2,v3)vov3 y v1 xComo v es un vector libre vamos a considerar un representante de el , cuyo origen coincida con el origen de coordenadas, ubicndose en consecuencia su extremo en el punto P.Si las coordenadas del punto P, referidas al sistema Oxyz es la terna (v1,v2,v3), entonces se dice que v1,v2,v3 son las componentes del vectorv.Geomtricamente puede observarse que v1,v2,v3 representan las proyecciones del vector v sobre los ejes x,y y z respectivamente.' + + + +2 2 41 2 21 2 4 3w z yw z y xw z y xSimblicamente podemos expresar el vector v de la siguiente manera .Definicin algebraica de vector: Un vector v en R3, es una terna ordenada de nmeros reales (v1,v2,v3), los nmeros v1,v2,v3 son las componentes del vectorv. El vector nulo estrepresentado por la terna (0,0,0) .ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-5Determinacin de un vector en funcin de sus componentes:]]]]]

321vvvvSea zv3vP v2yM v1 NModulo de v : En la figura consideramos en primer lugar el tringulo ONP :11533 ++z y xPor T. de Pitgoras Aplicando nuevamente Pitgoras, ahora en el tringuloOMN .22212v v ON + Reemplazando en la anterior, resulta :'+ + + 3 02 01 0tu z ztu y ytu x xExpresin que nos dice que el mdulo de un vector es igual a la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes Direccin:Angulos directores :Se llaman ngulos directores de un vector a los ngulos que el vector forma con las direcciones positivas de los ejes cooordenados. Estos ngulos debern ser tomados entre 0 y .Si v(v1,v2,v3)R3, tiene tres ngulos directores : , y z v3ov v2y ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-6 v1

xCosenos directores: Se llaman cosenos directores de un vector v(v1,v2,v3) a los cosenos de los ngulos que el mismo forma con las direcciones positivas de los ejes x , yyz respectivamente, es decir a los cosenos de sus ngulos directores.Como los ngulos directores varan entre 0 y , entonces los cosenos directores podrn ser positivos o negativos.vv2cos ]]]]]

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z y xz yz y xzyxT22vv3cos De la figura puede observarse que :De las tres anteriores :]]]]]

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z y xz yz y xzyxT22coscoscos321v vv vv vElevando al cuadrado y sumando m. a m.) cos cos .(cos2 2 22232221 + + + + v v v v) cos cos .(cos 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 + + + + v v v v --------------------------------------------------------------------------) cos cos .(cos2 2 22 2 + + v vo sea:finalmente:1 ) cos cos (cos2 2 2 + + que es la relacin fundamental entre los cosenos directores de un vector ,que expresa:la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a la unidadConclusin: Conocidas las componentes de un vector , puede calcularse su mdulo, como as tambin sus cosenos directores, con lo cual el vector queda perfectamente determinado en longitud y direccin.En el caso particular de los vectores en el plano o R2, por ejemplo v = (v1,v2) su direccin tambin puede ser definida como el ngulo que el mismo forma con la direccin positiva del eje x, pudiendo tomar los siguientes valores :0 < 2ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-71212tg .vvarcvvtag Pudiendo calcularse el mismo si v1 0a travs de yv1vEn cuanto a su mdulo , con un razonamiento igual al anterior, puede demostrarse que :2221v v v + v v v v v 3 22 21 + + Intntelo Igualdad de vectores: Dos vectores a = (a1,a2,a3)y b = (b1,b2,b3) son iguales si y solo si , son iguales sus componentes homlogas o correspondientes.En smbolosa = b a1 =b1;a2 = b2, a3 = b3Operaciones con vectores dados por sus componentes :Suma.Definicin :La suma de dos vectores dados por sus componentes nos da por resultado otro vector cuyas componentes son iguales a la suma de las componentes de los vectores sumandos.En smbolos : Sean ]]]]]

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3 32 21 1321321331321b ab ab abbbaaab a Rbbbb yaaaa Ejercicio : Dado los vectoresa = (-2,4) y b = (3,5) efectuar su suma y verificar grficamente el resultado. Propiedades de la suma de vectores: Dado tres vectores u ,v , w de R2 o R3 1. u + v = v + u(Conmutativa)2. (u + v) + w = u + (v + w)(Asociativa)3. !v* / v + v* = vv*= 0(Existencia del vector nulo)4. !v* / v + v* = 0v*= -v (Existencia del vector opuesto)ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-8Producto de un vector por un escalar (n Real) : ]]]]]

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321321. .kvkvkvvvvk v kDefinicin: El producto de un vector v (v1,v2,v3) por un escalar k(n real), nos da por resultado otro vector cuyas componentes resultan de multiplicar cada componente del vector dado por el escalar k.En smbolos :Su mdulo es igual al producto entre el valor absoluto del escalar k y el mdulo del vector vv k v v v k kv kv kv kv . . ) ( ) ( ) (232221232221 + + + + D) Su direccin coincide con la del vector v si k>0 y tiene direccin contraria a la del vector v si k 0 cos cos2 2 2 vvv kkvkvkv cos cos1 1 1 vvv kkvkvkvv v 1 cos cos cos3 3 3 vvv kkvkvkvTienen los mismo ngulos directores por lo tanto tienen igual direccin.Si k< 0) cos( cos cos1 1 1 + vvv kkvkvkv) cos( cos cos3 3 3 + vvv kkvkvkv) cos( cos cos2 2 2 + vvv kkvkvkvSus ngulos directores difieren en , por lo tanto los vectores tienen direcciones contrariasPropiedades:ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-9Dados dos vectores cualesquiera u y v y los escalares , R1. ()V = (v) = (v) (Asociativa)2. (+).v = v+v (Distributiva con respecto a la suma de escalares)3. .(u + v) = u+v(Distributiva con respecto a la suma de vectores)4. 1.v = v (Identidad multiplicativa)Condicin de paralelismo :De acuerdo a lo visto anteriormente puede decirse que dos vectores son paralelos si, y solo si , uno de ellos es mltiplo escalar del otroEn smbolos :Si u y v son dos vectores distintos del vector nulo u // vu = k.vparak 0Sean u = (u1, u2, u3)yv = (v1,v2,v3)De acuerdo a lo anterior :Si u // v(u1, u2, u3) = k. (v1,v2,v3)Es decir (u1, u2, u3) =(kv1, kv2, kv3)Por igualdad de vectores: u1 = kv1 u2 = kv2 u3 = kv3de donde :kvuvuvu 332211Que es la condicin de paralelismo entre dos vectores , la que puede ser enunciada de la siguiente forma : la condicin necesaria y suficiente para que dos vectores sean paralelos es que exista proporcionalidad entre sus componentes homlogas o correspondientes , pudiendo observarse que si la constante de proporcionalidad ( k), es mayor que cero los vectores son paralelos y de igual direccin y si k < 0 los vectores son paralelos y de direcciones contrarias.Si k > 0Si k < 0Vector posicin de un punto :Sabemos que en coordenadas cartesianas un punto cualquiera de R2 o R3 queda determinado por un par o una terna ordenada de nmeros reales respectivamente, en Algebra vectorial un punto cualquiera de R2 o R3 , tambin puede determinarse por medio de un vector cuyo origen coincida con el ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-10origen de coordenadas y cuyo extremo se encuentre en el punto considerado, a este vector se lo denomina vector posicin del punto.zVector posicin de P1 = rp = OP1 = (x1,y1,z1)P(x1,y1,z1)rp yo xDeterminacin de un vector en funcin de los vectores posicin de sus extremos :Sea el vector AB ,cuyo origen es el puntoA(xa,ya,za) y su extremo B(xb,yb,zb)Para obtener las componentes de AB,Vamos a tener en cuenta que por definicin desuma geomtrica de vectores, de la figura resulta :A B B Ar r AB r AB r +donderA y rB , son los vectores posicin de los puntos A y B respectivamente, entonces trabajando con sus componentes resulta :]]]]]

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A BA BA BAABBBz zy yx xzyxzyxABAConclusin : Las componentes de un vector pueden obtenerse haciendo la diferencia entre las coordenadas de su extremo y las de su origen.Vector unitario o versor.Definicin : Llamamos vector unitario o versor a todo vector de mdulo (norma) igual a la unidad.Propiedad : Todo vector v 0 tiene un versor, que simbolizamos con vv y denominamos versor del vector v. El versor del vector v, es igual al cociente entre v y el recproco del modulo o norma de v.ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-11vv vvvv .1 ]]]]]]]]]

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vvvvvvvvvvvv321321 SivGeomtricamente vv es un vector que tiene la misma direccin que el vector dado v, y su modulo (norma) es igual a la unidad.Ejercicio : Dado el vectorv = (-3,5,7) calcular su versor. De que modo puede fundamentar que el vector hallado en el inciso anterior es realmente el versor del vector dado ?.Versores fundamentales. Descomposicin cannica de un vector : Dado un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxyz en R3, a partir del origen de coordenadas y en forma coincidente con las direcciones positivas de los ejes x , y , z , vamos a considerar los versores : i , j , krespectivamente , que se denominan versores fundamentales y que atendiendo a la definicin de versortendrn por componentes :]]]]]

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100;010;001k j i ]]]]]

321vvvvSi en este sistema de coordenadas consideramos tambin al vector Por definicin de suma de vectores, el mismo puede ser escrito en la forma :]]]]]

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100.010.001.3 2 1v v v v]]]]]

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321321000000vvvvvvvTeniendo presente la definicin de producto de un vector por ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-12 un Escalar, tambin puede ser escrito en la forma : vFinalmente :k v j v i v v 3 2 1+ + Esta descomposicin de un vector de R3 como una suma de tres vectores cuyas direcciones coinciden con las direcciones positivas de los ejes coordenados, la llamamos descomposicin cannica de un vector.Debe destacarse, que en general cuando un vector v , se obtiene como la suma de otros vectores previamente multiplicados por escalares, se dice que v es una combinacin lineal de aquellos vectores.En el caso que nos ocupa , la ltima expresin nos est indicando que v es una combinacin lineal de los versores fundamentales de R3.En el caso particular, de que v = (v1,v2)R2, su descomposicin cannica toma la siguiente expresin :j v i v v 2 1+ ]]]

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10;01j i vDonde :Son los versores fundamentales de R2.Producto escalar o interno entre dos vectores :Definicin : Se llama producto escalar o interno entre dos vectoresu y v, que simbolizamos como u.v , al escalar (n Real) que se obtiene como la suma de los productos de sus componentes homlogas o correspondientes.Solo se puede calcular el producto escalar entre vectores que tengan igual nmero de componentes.En smbolos : SiR n v u v u v u v u Rvvvvuuuu . ;3 3 2 2 1 1321321 + + ]]]]]

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Ejercicio : Calcular el producto escalar o interno entre los vectoresu = (-2,3) y v = (5,8) ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-13Propiedades : Si u,v y w son vectores de R2 o R3 y R, entonces :1)u.v = v.u(Conmutativa)2)u.(v+w) = u.v + v.u (Distributiva) 3) .(u.v) =(u).v = u.(.v)El producto escalar no goza de la propiedad asociativa, dado que no tiene sentido la siguiente igualdad : u.(v.w) = (u.v).wPor qu?Tambin se cumple que : u.0 = 0 u.u > 0 si u 0 u.u = |u|2 ( El producto escalar de un vector por si mismo es igual al modulo del vector al cuadrado) Comprubelo !Angulo entre dos vectores.Definicin : Dados dos vectores u y v distintos del vector nulo , se llama ngulo de los vectores u y v , al ngulo positivoms pequeo formado entre ellos una vez llevados a partir de un punto comn.De la definicin se desprende que0 Calculo del ngulo entre dos vectores : Dados los vectoresu = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3) de R3 pretendemos calcular el ngulo formado entre ellos.Para ello vamos a introducir un sistema de coordenadas cartesianas coordenadas rectangulares en R3 y vamos a llevar a partir del origen de coordenadas a los representantes de u y de v.Aplicando ahora el teorema del coseno al tringulo de la figura resulta: cos . . . 22 2 2v u v u v u + Pero , teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar :v v u v v u u u v u v u v u . . . . ) ).( (2+ ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-14o esa :2 2 2. 2 . . 2 . v v u u v v v u u u v u + + reemplazando en la primera : cos . . . 2 . 22 2 2 2v u v u v v u u + + cancelando se tiene :v u v u ..cos cos . . . 2 . 2 v u v u finalmente : Frmula que nos dice que: el coseno del ngulo formado entre dos vectores es igual al cociente entre el producto escalar de ambos vectores y el producto de sus normas.La expresin anterior, nos permite definir de otra forma el producto escalar o interno entre dos vectores : cos . . . v u v u El producto escalar o interno entre dos vectores es igual al escalar (n Real) que se obtiene como el producto de las normas de ambos vectores por el coseno del ngulo formado entre los mismos.Condicin de perpendicularidad :Se dice que dos vectores u y v distintos del vector nulo son perpendiculares u ortogonales si el ngulo entreellos /2.Para determinar la condicin de perpendicularidad , vamos a tener en cuenta la definicin de producto escalar : cos . . . v u v u Supongamos ahora queu v = /2 0 . 0 0 . .2cos . . . v u v u v u v u Reemplazando en la anterior : ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-15Es decir que la condicin necesaria y suficiente para que dos vectores sea perpendiculares es que su producto escalar sea nulo.Si tenemos en cuenta nuestra primer definicin de producto escalar , podemos afirmar que : La condicin necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendiculares es que la suma de los productos de sus componentes homlogas o correspondientes sea igual a cero.Es decir 02 2 1 1 + v u v ua) Si u y v R2u v b) Si u y v R3u v 03 3 2 2 1 1 + + v u v u v u Ejercicio : Dados los vectoresa = (4,-3 9)yb = (2,5,b3), determinar el valor de b3 para que ambos vectores sean perpendiculares. Proyecciones ortogonales :Dados dos vectores u y v distintos del vector nulo, a veces resulta de mucho inters descomponer a uno de ellos , por ejemplo u , en una adicin de dos sumandos , uno paralelo al segundo vector dado v y el otro perpendicular a v.Geomtricamente esto es posible a travs del siguiente procedimiento : Se llevan ambos vectores a partir de un punto cualquiera. Por el extremo de u setraza una perpendicular hasta la recta de accin de v, de esta forma se obtiene el vector w1 , que va desde el punto comn a ambos vectores al pi de esta perpendicular. Luego la componente w2 del vector u , perpendicular a v se obtiene haciendo la diferenciaw2 = u w1 ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-16Pudiendo observarse , que el vector w1 es paralelo al vector v y que el vector w2 es perpendicular a v.Cumplindose que :w1 +`w2 = uEl vector w1 se denomina proyeccin ortogonal de u sobre v, o tambin , componente vectorial de u a lo largo de v y lo simbolizamos en la forma : w1 =proyvuEl vector w2 , se denomina componente vectorial de u ortogonal a v, que en funcin de la notacin anterior , se puede escribir como :w2 = u - proyvuClculo de los vectores :w1 = proyvuyw2 = u - proyvuSeanw1 =proyvuy w2 = u - proyvuComo w1 es paralelo a v, entonces es mltiplo escalar de v, o seaw1 = k.vReemplazando en : u = w1 +`w2 = kv + w2Efectuando el producto escalar de ambos miembros por v u.v = (k.v +w2).vaplicando las propiedades del producto escalar : u.v = k.v.v + w2.v = k.|v|2 + w2.vteniendo en cuenta quew2.v = 0 dado quew2 v , resulta :2.vv uk

Comow1 =proyvu = k.vSe obtiene :vvv uu proyv ..2 En consecuencia w2( la componente vectorial de u ortogonal a v ) ser igual a :Mvvv uu ..2dulo del vector proyeccin de u a lo largo de v :|proyvu|Segn vimos anteriormente :vvv uu proyv ..2Entonces :vv uvvv uvvv uvvv uu proyv .......2 2 2 ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-17Expresin que nos indica que el mdulo o la norma del vector proyeccin de un vector sobre otro es igualal mdulo del producto escalar entre ambos vectores sobre el mdulo del vector sobre el cual se proyecta.v v u proy v . 2 v v v u proy v . . 2 Si es el ngulo formado entre u y v , entonces de acuerdo a la definicin de producto escalar cos . . . v u v u Reemplazando en la anterior resulta : cos . u u proyv Expresin que nos indica que el mdulo o la norma de la proyeccin de un vector sobre otro tambin es igual :al producto entre el mdulo delvector que se proyecta y el valor absoluto del coseno del ngulo formado entre ambos vectores. Si 0 < /2Si /2 <

Producto vectorial o Producto cruz entre dos vectores :En muchas ocasiones resulta de sumo inters encontrar en el espacio tridimensional un vector que sea perpendicular a otro dos vectores dados, esta situacin puede ser resuelta mediante la aplicacin de la siguiente definicin.Definicin : Si u = u1i +u2j +u3ky v = v1i +v2j + v3kson dos vectores del espacio tridimensional o R3 , entonces se llama producto vectorial o producto cruzentre ambos vectores en el orden dado y que simbolizamos como uxv, a un nuevo vector cuyas componentes se definen del siguiente modo : uxv = ( u2v3 u3v2 ).i + ( u3v1 u1v3 ).j + ( u1v2 u2v1 ).kpudiendo obtenerse tambin las componentes de este nuevo vector, mediante la resolucin del siguiente determinante :3 2 13 2 1v v vu u uk j iv x u Verifquelo!Este nuevo vector goza de las siguientes propiedades : u.(uxv) = 0es decir uxv u v.(uxv) = 0es decir uxv v | uxv|2 = | u|2.| v|2 (u.v)2 Identidad de LAGRANGEPropiedades del producto cruz o producto vectorial :Si u , v y w son vectores cualesquiera en el espacio tridimensional y k es un escalar cualquiera , entonces : uxv = -(vxu) ux(v + w) = uxv + (uxw) (u + v)xw = (uxw) + (vxw)INTENTEDEMOSTRARLOINTENTE SU DEMOSTRACIN A PARTIR DE LA DEFINICIN DE LAS COMPONENTES DEL PRODUCTO CRUZ Y DE LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTESALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-18 k.(uxv) = (k.u)xw = ux(k.v) ux0 = 0xu = 0 uxu = 0Ejercicio :Calcular el producto cruz entre los versores fundamentales :ixi =jxi =kxi =ixj =jxj =kxj =ixk = jxk =kxk =Mdulo y direccin del vector resultante del producto vectorial entre dos vectores u y v:Si bien , al ser definido el vector resultante del producto vectorial entre dos vectores u y v a travs de sus componentes , este queda completamente determinado en longitud y direccin, no deja de ser de suma importancia demostrar que El mdulo del producto vectorial entre dos vectores es igual al producto de los mdulos de ambos vectores por el seno del ngulo formado entre ellos.En smbolos : | uxv|= | u| .| v| .sen D) Teniendo en cuenta que la identidad de LAGRANGE establece que : | uxv|2 = | u|2.| v|2 (u.v)2 si es el ngulo formado entre u y v, entonces de acuerdo a lo visto anteriormente : u.v = | u| .| v|.cos reemplazando en la anterior , se tiene : v | uxv|2 = | u|2.| v|2 | u|2.| v|2 .cos2 =u= | u|2.| v|2.(1 - cos2 ) = | u|2.| v|2.sen2 finalmente :

| uxv|= | u| .| v| .sen Direccin de uxv :De las propiedades de uxv, enunciadas anteriormente surge que :u.(uxv) = 0v.(uxv) = 0lo cual nos indica que el vector uxv es perpendicular tanto a u como a v, o dicho de otro modo, uxv esperpendicular (normal) al plano que determinan los vectores u y v.Como es evidente que en el espacio tridimensionalhay dos direcciones que son perpendiculares a dicho plano,ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-19definimos a la direccin del vector uxv como aquella tal que la terna u ,v , uxv, tenga la misma orientacin que el espacio Oxyzque es nuestro sistema de referencia adoptado.Esta direccin puede ser determinada mediante la aplicacin de la regla de la mano derecha que sintticamente consiste en lo siguiente : Se colocan los dedos ndice y medio de la mano derecha de modo tal que tomen la direccin de los vectores u y v respectivamente, luego el dedo pulgar extendido nos indica la direccin del vector uxv uxv vxuInterpretacin geomtrica del mdulo del producto vectorial entre dos vectores :El mdulo del producto vectorial o cruz entre dos vectores u y v , es igualal rea del paralelogramo que tiene por lados a ambos vectores.D) De la Geometra elemental sabemos que : rea del paralelogramo = Base x Altura Base = Mdulo de u = | u|Altura = h = | v| .sen hvReemplazando en la anterior :u rea del paralelogramo = | u| .| v| .sen = | uxv|Condicin de paralelismo :De la definicin del producto vectorial podemos establecer de otro modo la condicin de paralelismo entre dos vectores.Para ello vamos a tener en cuenta en primer lugar, que de acuerdo a lo visto anteriormente: | uxv|= | u| .| v| .sen Si u y v son dos vectores paralelos, entonces el ngulo formado entre ellos es = 0 o = ,siendo que :sen 0 = sen = 0Reemplazando en la anterior resulta : | uxv|= | u| .| v| .0 = 0 uxv = 0

que representa tambin la condicin de paralelismo entre dos vectores y que podemos enunciar del siguiente modo : La condicin necesaria y suficiente para que dos vectores , distintos del vector nulo , sean paralelos , es que su producto vectorial sea nulo.ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-20Producto mixto o triple producto escalar entre vectores .Definicin :

Si u , v y w son tres vectores del espacio tridimensional , entonces llamamos producto mixto o triple producto escalar entre ellos , al producto escalar de uxv por el vector w. Su resultado es un escalar (n Real).En smbolos :(uxv).w = nRPuede observarse que en la expresin anterior , los parntesis carecen de sentido , puesto que la expresin:ux(v.w) representa el producto vectorial de un vector por un nmero , operacin que no est definida.En consecuencia el producto mixto o triple producto escalar entre tres vectores , simplemente puede simbolizarse por :uxv.wCalculo del producto mixto o triple producto escalar :Sean u = (u1,u2,u3) ; v = (v1,v2,v3) y w = (w1,w2,w3)Para calcular : uxv.wProcedemos del siguiente modo :1) Efectuamos el producto vectorial de uxv2)kv vu ujv vu uiv vu uv v vu u uk j iv x u . . .2 12 13 13 13 23 23 2 13 2 1+ Calculamos el producto escalar de (uxv).w 32 12 123 13 113 23 2. . . ). ( wv vu uwv vu uwv vu uw v x u +

El desarrollo anterior que representa el producto mixto entre u , v y w , puede ser expresado tambin en como un determinante de la forma :3 2 13 2 13 2 1.v v vu u uw w ww v x u Determinante este ltimo , que por propiedades de los determinantes es equivalente al siguiente :

R nw w wv v vu u uw v x u .3 2 13 2 13 2 1 Interpretacin geomtrica del producto mixto o triple producto escalar : El valor absoluto del producto mixto o triple producto escalar entre tres vectores es igual al volumen del paraleleppedo construido sobre los mismos , una vez llevados a partir de un origen comn.ALGEBRA y GEOMETRA ANALTICA-VECTORES- Redact : Ing. Alberto R. GONCEBATT-21D) De la Geometra elemental conocemos que : uxvVol. Paraleleppedo = rea base x Altura wSegn vimos anteriormente :rea base = |uxv| hy la altura : uv x uw v x uw proy huxv ). ( reemplazando en la primera resulta :w v x uv x uw v x uv x u pedo paralelep Vol .). (. . En el caso particular del que no siendo los vectores paralelos y tampoco ninguno de ellos igual al vector nulo el producto mixto sea nulo, ello en principio de acuerdo a lo anterior significara que no existe paraleleppedo, por lo cual los tres vectores se ubicarn sobre un mismo plano , siendo esta la condicin de coplanaridad de tres vectores , quepodemos enunciar de la siguiente manera .La condicin necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanares es que su producto mixto o triple producto escalar sea igual a cero.