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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIADepartamento de Matematica y Ciencia de la ComputacionALGEBRA IPRIMERA VERSIONEn revisionRICARDO SANTANDER BAEZA20081A mi adorada esposa Carmen,y a mis amados hijos Francisco, Ricarda,Fernando y Pablo2PrefacioLa matematica viene impresa en el cerebro y,solo se hace carne cuando palpita en el coraz on.La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la rme creencia que, una condicion nece-saria y suciente para que en alg un instante se produzca aprendizaje en el aula, es que la interseccion entrelos deseos de ense nar del que ense na, y los deseos de aprender del que aprende, sea no vaca.Lo anterior es con seguridad una muy difcil tarea, no obstante poseo la esperanza que las ideas vertidas eneste libro contribuiran, a generar la motivacion en los actores para que ingresen a esa interseccion.Con esta motivacion, espero conseguir al menos alguno de los siguientes objetivos:Contribuir al acrisolamiento de las ideas algebraicas basicas en los Alumnos de un primer curso de Algebra.Servir de hilo conductor para que los Alumnos recorran las primeras ideas algebraicas, hasta llegar a lasbases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reexionar, respecto de las ilimitadas aplicaciones queesta disciplina posee en sus respectivas especialidades.Generar un ambiente de dialogo permanente, entre el Profesor y el Alumno del cual se concluya al menosque, lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y se plasma a traves de la mano.Motivar al Alumno para transformarse en Estudiante y as profundizar da a da, cada uno de los topicosdiscutidos en clases en conjunto con su Profesor, en la b usqueda permanente del equilibrio entre la teora yla practica.Motivar al Profesor, para que complemente estas ideas, dandoles la contundencia y versatilidad necesariapara mantener vivo en el Alumno su interes por la asignatura.Los contenidos de este libro estan esencialmente dedicados a iniciar al lector: En primer lugar en las estruc-turas basicas que cubren de apariencia nita a los procesos innitos, tales como los metodos inductivos, lageneracion de listas progresivas. En segundo lugar en las herramientas que permiten clasicar situacionesy por ende apuntan hacia un trabajo eciente, y en tercer lugar, examinar las forma de estructuracion quepermiten ordenar de forma eciente la informacion, tales como grupos, anillos y cuerpos.Deseo enfatizar que desde hoy, estas notas estaran en constante revision con el unico objetivo de mejorar yas llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la ense nanza y aprendizaje de esta disciplina.Este trabajo se realizo en el marco del proyecto de docencia Version nal del texto gua de Algebrapara Ingeniera Civil y Ciencia con el apoyo y nanciamiento de la Vicerrectora Academica de laUniversidad de Santiago de Chile.Finalmente deseo agradecer las observaciones hechas por mis colegas, quienes han compartido conmigo laCoordinacion del curso de Algebra para Ingeniera Civil en todas sus especialidades, por largo tiempo, enparticular al Profesor Luis Arancibia Morales, quien ha hecho importantes observaciones acerca de los con-tenidos de los primeros captulos de este libro.UNIDAD 1Bases Numericas y Polinomios1. IntroduccionEl capitulo, Bases numericas y Polinomios esta destinado a presentar contenidos y actividades que de-beran haber sido expuestos y discutidas, por los profesores y estudiantes en los correspondientes cursos deSegundo, Tercero y Cuarto de su Ense nanza Media, razon por la cual deseo abordar topicos que permitanal estudiante, dentro de lo posible y en directa proporcion a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoriabasica. La herramienta escogida para el efecto son los polinomios, y la idea es introducir informalmente elconcepto, el cual sera abordado posteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas.El punto de partida sera escoger el fundamento natural de los polinomios en el n umero. El cual satisfacetodos los atributos de un buen axioma, porque buscando una buena respuesta para que es un n umero?,podemos pasar por todas las epocas citando personajes fabulosos como: Pitagoras, indexPitagoras Hermes,Hiram, entre otros, sin encontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nosdeja tranquilo respecto de lo que un n umero es, probablemente la mas com un de las interpretaciones, esasociar un n umero con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos alba niles, nueveescogidos caballeros, etc. As que para una primera aproximacion nos contentaremos con lo que el paranosotros representa, claro esta del punto de vista que nos conviene para nuestro proposito, y en ese tenorpodemos citar algunos ejemplos.(1) 33 = 3 101+ 3 100(2) 987 = 9 102+ 8 101+ 7 100La idea es que en la representacion en potencias del n umero 10 (objetos del tipo 10n), aceptamos comocoecientes ( los n umeros que multiplican a las potencias de 10) n umeros mayores o iguales a 0 y menoresque 10.Para el caso del 33, lo hacemos as,33 : 10 = 3 303 33 = 3 101+ 3 100Para el n umero 987 tenemos que987 : 100 = 9 90087 987 = 9 102+ 87 87 : 10 = 8 807 87 = 8 101+ 7Sustituyendo, la representacion de 87 obtenemos que:987 = 9 102+ 8 101+ 7 100Denicion 1.1. Si (n N) tal quen = as10s+as110s1+ +a1101+a0100; (0 aj 9); (0 j s)34 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSentoncesn = asas1as2as3 a2a1a0 (1)La llamaremos representaci on del n umero n en base 10Observacion 1.1.1. La idea de representar un n umero de la forma (1) no es una exclusividad de la base10 (del n umero 10), m as a un, si uno se ja en la idea central obtiene un algoritmo o procedimiento pararepresentar n umeros en cualquier base entera mayor o igual a 2.(1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base 2, como sigue,10 = 8 + 2= 1 23+ 1 21= 1 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20As que,10 = 1010 ( base 2) (2)(2) Para n = 33 tenemos que33 = 2 16 + 1= 2 24+ 1= 25+ 1= 1 25+ 0 24+ 0 23+ 0 22+ 0 21+ 1 20Luego,33 = 100001 (base 2)(3) Para n = 10 en base 3 tenemos10 = 9 + 1= 32+ 1= 1 32+ 1 30= 1 32+ 0 31+ 1 30As que,10 = 101 ( base 3) (3)(4) Para n = 33 tambien en base 3, tenemos que33 = 27 + 6= 33+ 2 3= 1 33+ 0 32+ 2 31+ 0 30Luego,33 = 1020 (base 3)2. CONSTRUCCION INFORMAL DE POLINOMIOS 52. Construccion Informal de polinomiosHemos observado que es posible representar un n umero n, (n N) en base m, (m N), es decir,n = aqaq1 a1a0 (base m) n = aqmq+ +a1m1+a0m0(0 ai < m) (4)porque, Las potencias de m estan denidas, es decir, m0= 1 y mr mt= mr+t Los coecientes ai de la representacion en base m verican la propiedad 0 ai m, esta propiedadpermite ver a m, no como el n umero que es, sino como un smbolo Por tanto, para obtener una estructura similar, no podemos dejar de llevar en consideracion estaspropiedades...Denicion 2.1. Una expresi on se llama un polinomio en la variable x, y con coecientes en los n umerosreales si:(1) Es de la forma;p(x) = a0 +a1x +a2x2+a3x3+ +anxn(5)(2) Los n umeros as, donde s = 0, 1, 2, . . . , n, se llaman los coecientes del polinomio y son en este casonumeros reales.(3) La variable x satisface las propiedades:(a) x no es un n umero complejo(b) x0= 1(c) xs xt= xs+t(4) Los exponentes son n umeros enteros no negativos, es decir n (Z+ 0)Ejemplo 2.1.1. Algunos ejemplos de polinomios son:(1) p(x) = 0+0x+0x2+0x3+ +0xn; se llama el polinomio nulo y lo escribiremos de la forma abreviada:p(x) = 0(2) p(x) = 1 3 x2+x5(3) q(x) =3 x + 57x3(4) De acuerdo a estudios hechos por la polica la cantidad de robos por cada 100.000 habitantes, a partirde 1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio:r(x) = 251 17.24 x + 1.76 x2(6) Cu antos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 1990?Para este caso, tenemos el siguiente an alisis del problema: 1990 es el primer a no as que en r(x)hacemos x = 0, y obtenemos ;6 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSr(0) = 251 17.24 0 + 1.76 02= 251 Cu antos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 2000?Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 10, y obtenemos;r(10) = 251 17.24 10 + 1.76 102= 251 172.4 + 176 255 Cu antos robos por cada 100.000 habitantes habr a aproximadamente en 2010?Para este caso, haciendo en r(x), x = 20, obtendremos;r(20) = 251 17.24 20 + 1.76 202 610 Ser a posible que en alg un instante los robos se aproximen a cero por cada 100000 habitantes?Para este caso, debemos hacer r(x) = 0, es decir;251 17.24 x + 1.76 x2= 0 =x = 17.24

(17.24)24 1.76 2512 1.76= 17.24 297.2176 1767.043.52= 17.24 1463.82243.52 1 La conclusi on es que no existe x 1 tal que r(x) = 0, es decir, esta f ormula indica que es necesariotomar otras medidas adicionales, caso contrario la delincuencia triunfar a.!!!Denicion 2.2. Llamaremos grado de un polinomio al mayor exponente de la variable x, cuyo coecientees distinto de cero.Notaci on: (p(x)) = grado del polinomio p(x)Ejemplo 2.2.1. Algunos ejemplos del grado de un polinomio son:(1) (1 + 3x32x7) = 7(2) (a0) = 0 a0 (1 0)(3) (2 + 3x 5x2+x4) = 43. Adicion de PolinomiosSi p(x) = a0 +a1x + +anxny q(x) = b0 +b1x + +bmxmentonces diremos que estos polinomios soniguales si poseen el mismo grado y coinciden todos sus coecientes. Es decirp(x) = q(x) n = m ai = bi (i = 0, 1, 2, . . . , n) (7)3. ADICION DE POLINOMIOS 7Sabemos que la adicion o suma de n umeros se realiza en la forma usual, es decir+347+310233+328500153300Esta forma de disponer los n umeros para sumarlos no es al azar, en realidad corresponde a un ordenamientologico, por ejemplo en base 10+3 1004 1007 100+3 101+ 1 1000 101+ 2 1003 101+ 3 100+3 103+ 2 102+ 8 101+ 5 1000 103+ 0 102+ 1 101+ 5 1003 103+ 3 102+ 0 101+ 0 100Otra posible escritura, que emule la escritura en base 10 es por ejemplo: 2 = 1 21+ 0 20=2 = 10 (base2) 10 = 1 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20= 1010 (base2) 12 = 1 23+ 1 22+ 0 21+ 0 20= 1100 (base2)y podemos sumarlos como antes en su base...+2 = 0 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20(base2)10 = 1 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20(base2)12 = 1 23+ 1 22+ 0 21+ 0 20(base2)Para concluir esta motivacion observen que nuestros polinomios se escriben en base x , aunque ya di-jimos que x no es un n umero, sin embargo podemos imitar el procedimiento para sumar representacionesnumericas con las debidas precauciones.Si p(x) = 5 +x + 2x2+ 3 x3+x5y q(x) = 4x + 3x27x4entonces aplicando el formato utilizado para larepresentacion de los n umeros en las diversas bases tenemos que:p(x) = 5x0+ 2x1+ 0x2+ 3x3+ 0x4+ 1 x5+q(x) = 0x0+ 4x1+ 3x2+ 0x3+ (7)x4+ 0x5p(x) +q(x) = (5 + 0)x0+ (2 + 4)x1+ (0 + 3)x2+ (3 + 0)x3+ (0 + (7))x4+ (1 + 0)x5Luego,p(x) +q(x) = 5 + 6x1+ 3x2+ 3x3 7x4+ x5Denicion 3.1. Si consideramos los polinomios p(x) = a0 + a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4+ + anxnyq(x) = b0 +b1x +b2x2+b3x3+ +bnxnentonces8 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSp(x) +q(x) = (a0 +b0) + (a1 +b1)x + (a2 +b2)x2+ (a3 +b3)x3+ + (an +bn)xn(8)representar a la adici on de polinomios o la forma de sumar dos polinomios.Ejemplo 3.1.1. Si p(x) = x2+ 5x 2 y q(x) = 3x2+ 7x + 4 entonces p(x) +q(x) = 4x2+ 12x + 2Ejemplo 3.1.2. Si p(x) = 4x3+ 2x + 21 y q(x) = x2+x entonces p(x) +q(x) = 4x3+x2+ 3x + 21Observacion 3.1.3. Si recordamos que la resta de dos reales puede ser interpretada como la operaci oninversa de la adici on, esto es, a b = a + (b) entonces en nuestra optica tenemos45 12 = (4 101+ 5 100) (1 101+ 2 100)= 4 101+ 5 100+ (1) 101+ (2) 100= 3 101+ 3 100= 33As que la resta de polinomios la denimos como sigue.Denicion 3.2. Si p(x) = a0 +a1x +a2x2+a3x3+ +anxny q(x) = b0 +b1x +b2x2+b3x3+ +bnxnentoncesp(x) q(x) = (a0b0) + (a1b1)x + (a2b2)x2+ (a3b3)x3+ + (anbn)xn(9)representar a la sustracci on de polinomios o la forma de restar dos polinomios.Ejemplo 3.2.1. Si p(x) = x2+ 5x 2 y q(x) = 3x2+ 7x + 4 entonces p(x) q(x) = 2x22x 6Ejemplo 3.2.2. Si p(x) = 4x3+ 2x + 21 y q(x) = x2+x entonces p(x) q(x) = 4x3x2+x + 21Denicion 3.3. Notaremos al conjunto de polinomios como:(1) 1[x] = p(x) = a0 +a1x + +anxn[ ai 1; (0 i n) n N(2) 1s[x] = p(x) 1[x] [ (p(x)) s3.4. Propiedades de la Adicion de Polinomios. Si consideramos p(x) = a0 +a1x + +anxn 1[x],q(x) = b0 +b1x + +bnxn 1[x] y r(x) = c0 +c1x + +cnxn 1[x] entonces(1) Verican la llamada Propiedad Asociativa, la cual permite sumar un n umero nito de polinomiop(x) + [q(x) +r(x)] = [p(x) +q(x)] +r(x) (10)En efecto4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 9p(x) + [q(x) +r(x)] = (a0 +a1x + +anxn) + [(b0 +b1x + +bnxn) + (c0 +c1x + +cnxn)]= (a0 +a1x + +anxn) + [(b0 +c0) + (b1 +c1)x + + (bn +cn)xn]= (a0 + [b0 +c0]) + (a1 + [b1 +c1])x + + (an + [bn +cn])xn)= ([a0 +b0] +c0) + ([a1 +b1] +c1)x + + ([an +bn] +cn)xn)= ([a0 +b0] + [a1 +b1]x + + [an +bn]xn) + (c0 +c1x + +cnxn)= [(a0 +a1x + +anxn) + (b0 +b1x + +bnxn)] + (c0 +c1x + +cnxn)= [p(x) +q(x)] +r(x)(2) Existe el polinomio 0 que llamaremos neutro aditivo tal quep(x) + 0 = p(x) = 0 +p(x) (11)En efectop(x) + 0 = (a0 +a1x + anxn) + (0 + 0x + + 0xn)= (a0 + 0) + (a1 + 0)x + (an + 0)xn= a0 +a1x + anxn= p(x)(3) Para p(x) existe el polinomio inverso aditivo p(x) tal quep(x) + (p(x)) = 0 (12)En efectop(x) + (p(x)) = (a0 +a1x + +anxn) + ([a0 +a1x + +anxn])= (a0 +a1x + +anxn) + (a0a1x anxn])= 0 + 0x + + 0xn= 0(4) Verican la llamada Propiedad Conmutativap(x) +q(x) = q(x) +p(x) (13)En efectop(x) +q(x) = (a0 +a1x + +anxn) + (b0 +b1x + +bnxn)= (a0 +b0) + (a1 +b1)x + + (an +bn)xn= (b0 +a0) + (b1 +a1)x + + (bn +an)xn= (b0 +b1x + +bnxn) + (a0 +a1x + +anxn)= q(x) +p(x)4. Producto de PolinomiosLa multiplicacion usual de n umeros nos dice que 3 11 = 33, pero conforme a lo que observamos antes,tambien tenemos que:3 11 = (3 100) (1 101+ 1 100)= (3 100) ((1 101) + (3 100) (1 100)= (3 1) 100+1+ (3 1) 100+0= 3 101+ 3 100Del mismo modo, 231 27 = 6237, y en base 1010 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS231 27 = (2 100 + 3 10 + 1 100) (2 10 + 7 100)= (2 102+ 3 101+ 1 100) (2 10 + 7 100)= (2 102) (2 10 + 7 100) + (3 101) (2 10 + 7 100) + (1 100) (2 10 + 7 100)= (2 102) (2 10) + (2 102)(7 100) + (3 101) (2 10) + (3 101)(7 100)+(1 100) (2 10) + (1 100)(7 100)= 4 103+ 14 102+ 6 102+ 21 101+ 2 10 + 7 100= 4 103+ (101+ 4 100) 102+ 6 102+ (2 101+ 1 100) 101+ 2 10 + 7 100= 4 103+ 103+ 4 102+ 6 102+ 2 102+ 1 101+ 2 10 + 7 100= 5 103+ 12 102+ 3 101+ 7 100= 5 103+ (101+ 2 100) 102+ 3 101+ 7 100= 5 103+ 103+ 2 102+ 3 101+ 7 100= 6 103+ 2 102+ 3 101+ 7 100= 6237(14)(15)La forma de multiplicar los n umeros en base 10, sugiere denir el producto de polinomios en un caso peque nocomo sigue:Si p(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3y q(x) = b0+b1x+b2x2son dos polinomios de grado 3 y 2 respectivamenteentonces imitando la idea podemos hacer lo siguiente:p(x) q(x) = (a0 + a1x + a2x2+ a3x3) (b0 + b1x + b2x2)= (a0 + a1x + a2x2+ a3x3)b0 + (a0 + a1x + a2x2+ a3x3)b1x + (a0 + a1x + a2x2+ a3x3)b2x2= (a0b0 + a1b0x + a2b0x2+ a3b0x3) + (a0b1x + a1b1x2+ a2b1x3+ a3b1x4) + (a0b2x2+ a1b2x3+ a2b2x4+ a3b2x5)= a0b0x0+ (a1b0 + a0b1)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2+ (a3b0 + a2b1 + a1b2)x3+ (a3b1 + a2b2)x4+ a3b2x5La idea anterior nos permite generar una denicion de producto de polinomios:Denicion 4.1. Si p(x) = a0 +a1x +a2x2+ +anxny q(x) = b0 +b1x +b2x2+ +bmxmentoncesp(x) q(x) = c0 +c1x +c2x2+c3x3+ +cn+mxn+m(16)dondec0 = a0b0c1 = a1b0 +a0b1c2 = a2b0 +a1b1 +a0b2c3 = a3b0 +a2b1 +a1b2 +a0b3 4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 11En generalcs = asb0 +as1b1 +as2b2 + +a2bs2 +a1bs1 +a0bs 0 s n +mEjemplo 4.1.1. Si p(x) = 2 + 5x 4x3y q(x) = x 7x2+ 6x4entonces el producto es el siguiente:p(x)q(x) = c0 +c1x +c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6+c7x7= 0 + 2x 9x235x3+ 8x4+ 2x5+ 0x624x7= 2x 9x235x3+ 8x4+ 2x524x7Donde,c0 = a0b0 = 0c1 = a1b0 +a0b1 = 2c2 = a2b0 +a1b1 +a0b2 = 9c3 = a3b0 +a2b1 +a1b2 +a0b3 = 35c4 = a4b0 +a3b1 +a2b2 +a1b3 +a0b4 = 8c5 = a5b0 +a4b1 +a3b2 +a2b3 +a1b4 +a0b5 = 2c6 = a6b0 +a5b1 +a4b2 +a3b3 +a2b4 +a1b5 +a0b6 = 0c7 = a7b0 +a6b1 +a5b2 +a4b3 +a3b4 + 21b5 +a1b6 +a0b7 = 244.2. Algunas Propiedades del Producto de Polinomios. Si p(x) = p0+p1x+p2x2+ +pnxn 1[x]q(x) = q0+q1x+q2x2+ +qmxm 1[x] y s(x) = s0+s1x+s2x2+ +stxt 1[x] donde n m t entonces(1) Se verica la propiedad distributiva del producto respecto de la adicionp(x)[q(x) +s(x)] = p(x)q(x) +p(x)s(x) (17)En efectop(x) q(x) = c0 +c1x +c2x2+c3x3+ +cn+mxn+mp(x) s(x) = d0 +d1x +d2x2+d3x3+ +dn+txn+tdonde,cr = prq0 +pr1q1 +pr2q2 + +p2qr2 +p1qr1 +p0qr (0 r n +m)dr = prs0 +pr1s1 +pr2s2 + +p2sr2 +p1sr1 +p0sr (0 r n +t)ahora,p(x)[q(x) +s(x)] = (p0 +p1x +p2x2+ +pnxn) [(q0 +s0) + (q1 +s1)x + + (qt +st)xt]= u0 +u1x + +un+txn+t()donde,ur = pr(q0 +s0) +pr1(q1 +s1) + +p0(qt +st) 0 r n +tPero,ur = pr(q0 +s0) +pr1(q1 +s1) + +p0(qt +st)= prq0 +prs0 +pr1q1 +pr1s1 + +p0qt +p0st= (prq0 +pr1q1 + +p0qt) + (prs0 +pr1s1 + +p0st)= cr +dr 0 r n +t ()12 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSSustituyendo (*) en (**), tenemos nalmente quep(x)[q(x) +s(x)] = u0 +u1x + +un+txn+t= (c0 +d0) + (c1 +d1)x + + (cn+t +dn+t)xn+t= (c0 +c1x + +cn+txn+t) + (d0 +d1x + +dn+txn+t)= p(x)q(x) +p(x)s(x)(2) Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1 pues,p(x)e(x) = (p0 +p1x +p2x2+ +pnxn) (1 + 0x + 0x2+ 0x3+ + 0xn)= p0 +p1x +p2x2+ +pnxn= p(x)5. Divisibilidad en 1[x]Sabemos que para polinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, si sumar signica hacer en-tonces restar signica deshacer y viceversa. Pregunta el producto de polinomios tiene proceso inverso?La pregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligada directamente a la construccion de algorit-mos (procedimientos, formulas) que permiten realizar operaciones en forma rapida y eciente, por ejemplola formula:1 dolar = 550 pesos 1 peso = 1550 dolarNos permite usar sin problemas las monedas dolar y peso indistintamente, pues a la hora de comprar pode-mos hacer lo siguiente:Si un articulo vale 300 dolares entonces sacamos la calculadora y hacemos300 dolares = 300 1dolar= 300 550 pesos= 165000 pesosPor el contrario si un articulo vale 165000 pesos y solo tenemos dolares entonces sacamos la calculadora yhacemos165000 pesos = 165000 1 peso= 165000 1550 dolares= 165000550 dolares= 300 dolaresComo se ve la existencia de una operacion inversa esta ligada a la resolucion de ecuacioneses decir,cuando vale la equivalencia en el caso aditivox +a = b x = b a (18)O en el caso multiplicativoax = b x = ba (a = 0) (19)Por ahora seguiremos actuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente.5. DIVISIBILIDAD EN R[x] 13 Que signica que 82 = 4? Interpretacion practica parte 1 parte 2 parte 3 parte 4Figura 1: 8 2 Interpretacion basica8 : 2 = 4() 4 20 (resto) Que signica que 92 = 4.5? Interpretacion practica parte 1 parte 2 parte 3 parte 4 parte 4mediaFigura 2: 9 2 Interpretacion basica9 : 2 = 4() 4 21 (resto)En resumen, esto se representa normalmente como8 = 2 4 + 0 82 = 4 + 02 9 = 2 4 + 1 92 = 4 + 12Conclusion 5.1. Si n y m son dos n umeros enteros entonces diremos que n divide m si existe un n umeroentero s tal que m = n s. En smbolos podemos escribir como sigue:14 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSn[m (s; s Z) : m = n sMotivados por el comportamiento de los n umeros, preguntamos: Como generalizar estas ideas a los poli-nomios?.Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casos conocidos:(1) Como x21 = (x 1)(x + 1), pues (x 1)(x + 1) = x2+x x 1 = x21 entonces(x21):(x 1)x2x(-)= x+1x 1(-)x 10Es decir,x21 = (x + 1)(x 1) + 0x 1(2) Como x21 = (x 1)(x + 1), entonces las soluciones de la ecuacion x21 = 0 son x = 1 o x = 1(3) Si escribimos p(x) = x21 entonces este polinomio puede ser interpretado como una f ormula llamadafuncion que estudiaremos mas adelante, por ahora esta formula funciona como sigue:p(a) = a21, a 1En particular,p(2) = 221 = 3p(2) = (2)21 = 3p(5) = 521 = 24p(1) = 121 = 0p(1) = (1)21 = 0etc...(4) Si consideramos el conjuntoGraf(p(x)) = (x, p(x)) [ x 1 = (x, x21) [ x 1entonces el graco en el plano de este es el siguiente:5. DIVISIBILIDAD EN R[x] 15 (0, 1)(1, 0)(1, 0) (1.5, 1.2) (1.5, 1.2)Figura 3: p(x) = x21Esto, nos permite adoptar por ahora, un convenio para evaluar polinomios:Denicion 5.2. Si p(x) = a0 +a1x +a2x2+a3x3+ +anxnentonces(1) p(c) = a0 +a1c +a2c2+a3c3+ +ancn, para cada c 1(2) p(c) = 0 (x c)[p(x) el resto de la divisi on p(x) (x c) es 0Ejemplo 5.2.1. La idea es descomponer en factores usando un pseudo algoritmo de la divisi on.(1) Si p(x) = x31 entonces p(1) = 131 = 0, luego podemos dividir:(x31): (x 1) =x2x3x2-x21+ x-x2xx 1+ 1-x 10As que, x31 = (x 1)(x2+x + 1)(2) Si p(x, y) = x3y3entonces p(y, y) = y3y3= 0, luego podemos dividir:(x3y3):(x y) =x2x3x2y-x2y y3+xy-x2y xy2xy2y3+y2-xy2y30As que, x3y3= (x y)(x2+xy +y2)(3) En general, xnyn= (x y)(xn1+xn2y +xn3y2+ +yn1)(4) Extendamos esta idea para el caso h(x, y) =x y, como sigue16 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS a =x x = a2 b =y y = b2 a2b2= (a b)(a +b) = x y = (x y)(x +y)(5) Como, xnyn= (x y)(xn1+xn2y +xn3y2+ +yn1) entonces para a = xny b = yntenemosla f ormula:a b = ( na nb)(( na)n1+ ( na)n2( nb) + ( na)n3( nb)2+ + ( nb)n1)6. Ejercicios Propuestos6.1. Factorizacion directa de trinomios. Descomponga en factores(1) p(x) = x5x(2) p(x) = 2x3+ 6x2+ 10x(3) p(x) = 2x3+ 6x210x(4) p(x) = x45x236(5) p(x, y) = 3xy + 15x 2y 10(6) p(x) = 2xy + 6x +y + 36.2. Factorizacion de trinomios usando sustitucion. Ideas para resolverConsideremos el trinomio; p(x) = (x2)2+3(x 2) 10 entonces podemos desarrollar el siguiente proced-imiento o algoritmo: Sea u = x 2 Sustituyendo en p(x) tenemos quep(x) = (x 2)2+ 3(x 2) 10 q(u) = u2+ 3u 10 (20) Resolvemos la ecuacion de segundo grado para la variable u.q(u) = 0 u = 3 9 + 402 u = 3 72 u =

u = 2u = 5 q(2) = 0 q(5) = 0 q(u) = (u 2)(u + 5)6. EJERCICIOS PROPUESTOS 17 Volvemos a la variable original y obtenemos:p(x) = ((x 2) 2)((x 2) + 5)= (x 4)(x + 3)Usando el procedimiento anterior factorize los siguientes:(1) p(x) = (x 3)2+ 10(x 3) + 24(2) p(x) = (x + 1)28(x + 1) + 15(3) p(x) = (2x + 1)2+ 3(2x + 1) 28(4) p(x) = (3x 2)25(3x 2) 36(5) p(x) = 6(x 4)2+ 7(x 4) 36.3. Planteamiento y resolucion de ecuaciones polinomiales. A modo de ejemplo, consideren elproblema:Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el n umero de sillas por la es uno mas que el doble deln umero de las entonces determine el n umero de las y de sillas por la. Planteamiento del problemaSi x es la variable que representa el n umero de las entonces x(2x + 1) representa el n umero de sillaspor la, as quex(2x + 1) = 78 representa el n umero total de sillas (21) Resolvemos la ecuacion 2x2+x 78 = 02x2+x 78 = 0 x = 1 1 + 6244 x = 1 254 x = 6 x = 132 Decidimos la factibilidad de los resultados:Como el n umero de las es un natural, as que desechamos x = 132 y x = 6 es el resultado posible yhay 13 sillas por la.Resuelva los siguientes problemas:(1) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 7218 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS(2) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno mas que el doble del otro.(3) El permetro de un rectangulo mide 32 cm y su area es de 60 cm2. Determine las dimensiones delrectangulo.(4) Si el largo de un rectangulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su area es 56 cm2. Determine lasdimensiones del rectangulo.(5) La suma de las areas de dos crculos es 65 centmetros cuadrados. Si el radio del crculo mayor mideun centmetro menos que el doble del radio del crculo menor entonces determine el radio de cada crculo.6.4. Division de polinomios. Realice las divisiones que se indican:(1) (x27x 78) (x + 6)(2) (2x3+x23x + 1) (x2+x 1)(3) (5a3+ 7a22a 9) (a2+ 3a 4)(4) (2n4+ 3n32n2+ 3n 4) (n2+ 1)(5) (x5+ 1) (x + 1)(6) (x51) (x 1)6.5. Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones(1)x + 2 = 7 x + 9(2)x2+ 13x + 37 = 1(3)x + 19 x + 28 = 1(4) 3x + 1 = 4(5) 33x 1 = 4(6) 33x 1 = 32 5x6.6. Ejercicios miscelaneos.(1) Sea g(x) = 6x224:(a) Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0(b) Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0 en base 2(2) Realice la operacion pedida: (5a3+ 7a23a 9) (a2+ 3a 4)6. EJERCICIOS PROPUESTOS 19(3) Si f(x) = 2x3+x23xx2x entonces graque f(x) en el plano 12(4) Determine la o las soluciones de la ecuacion. 33x 1 32 5x = 0(5) Dene hs(x, y) = xs yspara cualquier s N. Demuestre que existe una expresion u(x, y) tal quehn(x, y) = h1(x, y) u(x, y)(6) Determine el conjuntoS = x 1 [x + 19 x + 28 + 1 = 0(7) Si p(x) = 6(x 1)3+ 7(x 1)23x + 3 entonces determine el conjuntoS = x 1 [ p(x) = 0(8) Demuestre que p(x) = xn+1(n+1)x +n es divisible por (x1)2y no por (x1)3, para cada n N(9) Sean p(x) = x3+mx 6 1[x] y q(x) = x2+mx 2 1[x]. Determine el conjuntoS = m 1 [ (; 1) : p() = 0(10) Sea a Z tal que su representacion en potencias de 10 es de la forma.a = a0 +a1 10 +a2 102+a3 103+ +as 10sDemuestre quea es divisible por 5 a0 = 0 a0 = 5(11) Sean p(x) 1[x] y q(x) 1[x] tal que (p(x)) = n y (q(x)) = m. Demuestre que(p(x) q(x)) = n +mUNIDAD 2Rudimentos sobre Logica MatematicaEl capitulo Rudimentos sobre Logica Matematica esta destinado esencialmente a desarrollar tecnicas, quepermitan validar o refutar formulas proposicionales a traves de procesos concretos y abstractos. Para ellose generara un proceso de validacion, con sustento en la denicion de tablas de verdad y falsedad para lasoperaciones logicas iniciales; conjuncion, disyuncion, implicacion (inferencia) y doble implicacion (equivalen-cia), para posteriormente dar origen a una base de datos que permita validar o negar proposiciones mascomplejas (proposiciones compuestas), y nalmente prescindir de la estructura de tablas de verdad, paravalidar en forma abstracta las proposiciones logicas.1. Proposiciones LogicasPara demostrar que una situacion es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas situaciones que aparente-mente son tan naturales, que ni siquiera nos damos cuenta de su existencia.En efecto Para demostrar la veracidad o falsedad de algo, debe existir una situacion, la cual debe ser decididade acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensible (logico) para los que estan involu-crados en el suceso. Dicha situacion para ser infalible en su decision, debe poseer dos y solo dos opciones de verdad, esdecir, verdadera o falsa (creble o no creble). La argumentacion total debe estar compuesta de una sucesion de estas situaciones las cuales inter-act uan armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso.Denicion 1.1. Llamaremos proposici on l ogica a una oraci on declarativa que es verdadera o falsa, peronunca ambas.Ejemplo 1.1.1. p: Algebra es una asignatura anual de Ingeniera Civil en la Universidad de Santiago deChileEjemplo 1.1.2. q: 23= 6Ejemplo 1.1.3. r: Colo Colo es el mejor equipo de f utbol de ChileCon toda seguridad, p y q son proposiciones logicas, y aunque pese, r en las actuales condiciones, no es unaproposicion, pues un hincha de la Universidad de Chile, por ejemplo no comparte mi idea.2. Generacion de Proposiciones y Tablas de VerdadDenicion 2.1. Si p es una proposici on l ogica entonces le asociaremos una Tabla de verdad de la forma:p01(22)donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado) y 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido).2122 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICADenicion 2.2. Si p es una proposici on l ogica entonces p representar a la proposici on negaci on de p, yle asociaremos una Tabla de verdad de la forma:p p0 11 0(23)Denicion 2.3. Una proposici on l ogica se dir a compuesta si es formada por m as de una proposici on l ogica.Para las proposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestas por ellas ser an consideradas b asicasDenicion 2.3.1. Llamaremos Conjunci on o Producto l ogico de p y q a p q, y le asignaremos la Tablade verdadp q p q0 0 00 1 01 0 01 1 1(24)Sintetiza el concepto de intersecci on en el sentido que: p q ser a verdadera s olo si p y q lo son si-mult aneamenteDenicion 2.3.2. Llamaremos Disyunci on o Suma l ogica de p y q a p q, y le asignaremos la Tabla deverdadp q p q0 0 00 1 11 0 11 1 1(25)Sintetiza el concepto de uni on en el sentido que: Para que p q sea verdadera basta que una de ellas lo seaDenicion 2.3.3. Llamaremos Implicaci on l ogica de p y q a p = q, y le asignaremos la Tabla de verdadp q p =q0 0 10 1 11 0 01 1 1(26)Sintetiza el concepto de relaci on causal, en el sentido que p = q ser a falsa s olo cuando la hip otesis p esverdadera y la conclusi on q es falsa. Caso contrario la nueva proposici on es verdadera.Denicion 2.3.4. Llamaremos Bicondicional l ogico de p y q, o equivalencia l ogica, a la proposici onp q, o (p q) y le asignaremos la Tabla de verdadp q p q0 0 10 1 01 0 01 1 1(27)Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en el proceso de clasicaci on, p q ser a verdaderas olo cuando ambas tengan el mismo valor de verdad.3. EJERCICIOS RESUELTOS 23Denicion 2.4. Una proposici on compuesta se llama una Tautologa si su valor de verdad es siempre ver-dadero, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componenEjemplo 2.4.1. Si p es una proposici on l ogica entonces ( p) p es una tautologaEn efectop p ( p) p0 1 0 1 01 0 1 1 1TDenicion 2.5. Una proposici on compuesta se llama una Contradicci on si su valor de verdad es siemprefalso, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componenEjemplo 2.5.1. Si p es una proposici on l ogica entonces p p es una contradicci onEn efectop p p p0 1 0 0 11 0 1 0 0C3. Ejercicios Resueltos3.1. Ejercicios Resueltos Usando Tablas de Verdad.(1) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces son equivalentes p (q r) y (p q) r, es decir laproposicionp (q r) (p q) r (28)es una tautologa conocida como: Asociatividad de la conjuncionEn efectop q r q r p (q r) p q (p q) r0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 01 1 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 124 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA(2) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces son equivalentes p (q r) y (p q) (p r), es decir laproposicionp (q r) (p q) (p r) (29)es una tautologa conocida como: Distributividad de la conjuncionEn efectop q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r)0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1(3) Si p y q son proposiciones logicas entonces son equivalentes p =q y p q, es decir la proposicion(p =q) ( p q) (30)es una tautologa conocida como: Transformacion de la implicacion o inferencia en disyunci onEn efectop q p p =q p q0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1 01 1 0 1 1 1(4) Si p y q son proposiciones logicas entonces son equivalentes (pq) y ( p q)es decir la proposicion (p q) ( p q) (31)es una tautologa conocida como: Ley de De Morgan para la disyuncionEn efectop q p q p q (p q) p q0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 1 01 0 0 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0 1 03. EJERCICIOS RESUELTOS 25(5) Si p y q son proposiciones entonces[p (p =q)] =q (32)es una tautologa conocida como: Modus Ponens o Metodo de ArmacionEn efectop q p =q p p =q [p (p =q)] =q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1(6) Si p, q y r son proposiciones entonces[(p =q) (q =r)] =(p =r) (33)es una tautologa conocida como: Implicacion Logica o Ley del SilogismoEn efectop q r p =q q =r (p =q) (q =r) = p =r0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1(7) Si p y q son proposiciones entonces[(p =q) q] = p (34)es una tautologa conocida como: Modus Tollens o Metodo de NegacionEn efectop q p =q q (p =q) q p0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1 026 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA(8) Si p es una proposicion y C una contradiccion entonces( p =C) =p (35)es una tautologa conocida como: Metodo de Contradiccion o Reduccion al AbsurdoEn efectop p C p =F ( p =F) =p0 1 0 0 11 0 0 1 13.2. Ejercicios Resueltos Usando Propiedades. 1(1) Si p1, p2, . . . , pn y q son proposiciones logicas entonces[(p1 p2 pn) =q] [(p1 p2 pn q) =C]En efectoSi hacemos p = (p1 p2 pn) entoncesp =q p q =q q p q =C(2) Si p, q, r y s son proposiciones logicas entonces[(p =r) ( p =q) (q =s)] =[( r =s)]es una inferencia logica, (implicacion verdadera)En efecto(p =r) ( p =q) (q =s) ( r = p). .. .contrapositiva( p =q) (q =s)= ( r =q). .. .silogismo(q =s)= r =s. .. .silogismo1Observen que el termino propiedades, aqu signica que podemos usar nuestra base de datos, ya probada con las Tablas deVerdad4. USO DE CUANTIFICADORES 27(3) Si p, q, r y s son proposiciones logicas entonces[(p =q) (q =(r s)) ( r ( t u)) (p t)] =ues una inferencia logicaEn efectoSi hacemos w = [(p =q) (q =(r s)) ( r ( t u)) (p t)] entoncesw = (p =(r s)) ( r ( t u)) (p t) silogismo= (p =r) ( r ( t u)) p [(a b) =a]tautologa= p (p =r) ( r ( t u)) conmutatividad de = r ( r ( t u)) Modus ponens= r (( r t) u) Asociatividad de = r ( (r t) u) De Morgan= r ( r u) [(a b) =a]tautologa= (r r) (r u) distributividad de en = C (r u) ley del inverso= r u ley del neutro= u [(a b) =b]tautologa4. Uso de CuanticadoresUna forma natural de generar proposiciones es a traves de f ormulas para hacer proposiciones, como porejemplo:(1) p(x): x es un natural mayor que 3En este casoSi notamos por I el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O el conjuntode naturales x para los cuales p(x) es falsa entoncesI = x N [ p(x) verdadera = 4, 5, 6, . . . O = x N [ p(x) falsa = 1, 2, 3(2) q(x, y) : x 1 e y 1 x2+y2= 1En este caso, como veremos mas tarde, I dene un circulo con centro en (0, 0) y radio 1 y O es elresto del plano cartesiano 12Denicion 4.1. p(x1, x2, . . . , xn) se llama una f ormula proposicional denida en un conjunto A si: Cada xi para 1 = 1, 2, . . . , n son variables en A, es decir pueden tomar valores en el conjunto A Para cada sustituci on de las variables en A la f ormula se transforma en una proposici on l ogica28 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICAEjemplo 4.1.1. Ya observamos que (p(x) : x es un natural mayor que 3), es una f ormula proposicional, yen particular tenemos: p(1) es falsa p(2) es falsa p(3) es falsa p(x) es verdadera para cada x N y x 4As p(x) es verdadera para algunos n umeros naturales y tambien p(x) es falsa para algunos n umeros natu-rales.Denicion 4.2. Si p(x) es una f ormula proposicional entonces(1) Para alg un x; p(x) es una proposici on y la notaremos por [x; p(x)].(2) Para un unico x; p(x) es una proposici on y la notaremos por [! x; p(x)].(3) Para todo x; p(x) es una proposici on y la notaremos por [x; p(x)]Ejemplo 4.2.1. Denamos en 1 las proposiciones: p(x) : x 0 q(x) : x2 0 r(x) : x23x 4 = 0 s(x) : x23 > 0entonces x : (p(x) r(x)) es verdadera, pues existe 4 1 tal que p(4) y r(4) son verdaderas. x : (p(x) =q(x)) es verdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es verdadera. x : (q(x) =s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) es falsa.La siguiente tabla especica el comportamiento de los cuanticadores () y ()5. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGICA 29Proposicion Verdadera Falsax : p(x) Para al menos un a, p(a) es verdadera Para cada a, p(a) es falsax : p(x) Para cada a, p(a) es verdadera Existe a tal que p(a) es falsax : p(x) Existe a tal que p(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdaderax : p(x) Para cada a, p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera5. Ejercicios Propuestos de Logica(1) Usando una tabla de verdad muestre que la proposicion es una equivalencia(p =q) [(p q) =(r r)](2) Usando una tabla de verdad muestre que la siguiente proposicion es una equivalencia(p =[q r]) ( [q r] = p)(3) Demuestre que la proposicion siguiente es una tautologa[(( p q) =r) (r =(s t)) ( s u) ( u = t)] =p(4) Muestre usando propiedades que la siguiente proposici on es una inferencia logica (p =q) =( p = q)(5) Si p, q, r y t son proposiciones que satisfacen: (p q) = r es una proposicion falsa q t es una proposicion falsaentonces determine el valor de verdad de la proposicion:[ t (p r)] = q ( p q) r(6) Muestre justicando paso a paso, (usando propiedades, no tablas de verdad), que la siguiente proposiciones una inferencia logica:30 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA [( q = p) (r =s) ( q s)] =[(p r)](7) Si para las proposiciones logicas p y q, se dene el conectivo logico como sigue:p q es Falsa si y solo si p y q son verdaderas, caso contrario p q es verdaderaDemuestre usando propiedades, que la siguiente proposici on es una tautologa[(p =q) q] [(p q) q](8) Sean p y q dos proposiciones logicas. Si denimos el nuevo conectivo logico:p#q [(q p) = p] qEntonces demuestre queq [p =(p#q)] p p(9) Sean p y q dos proposiciones logicas. Si denimos los dos nuevos conectivos logicos:(p q = p = q) (p#q = p q)Entonces demuestre que( p q)#( q#p) p q(10) Demuestre usando propiedades que[p =(q r)] [p (q =r)] (p q) [r ( r q) p] p qUNIDAD 3Induccion MatematicaEl capitulo de Induccion Matematica, esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiranal estudiante operar con simbologa matematica, describir analizar y aplicar el principio de InduccionMatematica, en particular usando esta tecnica comprobara rapida y ecientemente, la veracidad o falsedadde formulas proposicionales denidas en los n umeros naturales1. Axiomas de Peano: Una Construccion Axiomatica de los N umeros NaturalesSi aceptamos que una teora, se construye esencialmente en base a dos objetos: Conceptos primitivos, en el sentido que no son denidos, pero de una simple interpretacion intuitiva y, Axiomas o verdades reveladas que se aceptan sin demostrar, y que rigen el comportamiento de losconceptos primitivos, y de ellos se deducen proposiciones y teoremasUn muy buen ejemplo de una construccion axiomatica que obedece este patron, es la de los N umerosNaturales, a traves de los geniales Axiomas de Peano, los que pasamos a enunciar y analizar solo con laprofundidad necesaria, para situar y resolver nuestro objetivo de estudiar mas en detalle el Principio deInduccion1.1. Axiomas de Peano.El Concepto Primitivo aqu es la idea de sucesor. Es decir para cada n N, el smbolo n +1 se entenderacomo el sucesor de dicho n umero nEjemplo 1.2. 3 es el sucesor de 2, pues 3 = 2 + 1Ejemplo 1.3. 7 es el sucesor de 6, pues 7 = 6 + 1Ejemplo 1.4. 33 es el sucesor de 32, pues 33 = 32 + 1El Cuerpo Axiomatico consiste en los siguientes cinco Axiomas:Ax1: 1 es un n umero natural Esto signica que existe al menos un n umero naturalAx2 : Si n N entonces n +1 N Todo n umero natural tiene un sucesor3132 3. INDUCCION MATEMATICA n + 1 debe ser entendido como el smbolo sucesor de nAx3 : No existe un n umero natural n, tal que su sucesor sea 1 Esto signica que N posee un primer elementoAx4 : Si n N y m N tal que n +1 = m+1 entonces n = m Esto signica que podemos escribir sin ambig uedad N = 1, 2, 3, Ax5 : Si S N es tal que verica simultaneamente las dos siguientes propiedades: 1 S n S =n +1 Sentonces S = N Ax5 se conoce como el axioma de induccion o principio de induccion Es una de las mas bellas estrategias que utiliza el intelecto humano, para hacer nito lo innito La idea expresada en el comando 1 S, es simbolica solo dice que a partir de un cierto momento,comienza a realizarse sistematicamente, (quizas la idea intuitiva del nacimiento) un algoritmo. En nuestro contexto, reinterpretaremos la idea de sucesor, para obtener un metodo para validar formulasproposicionales denidas en los naturales2. Formalizacion y Vericacion de Formulas Usando el Axioma de Inducci onEn esta seccion transformaremos el axioma de induccion de Peano, en una formidable herramienta paravericar el valor de verdad de formulas proposicionales, para ello procederemos como sigue Realizaremos en primer lugar la adecuacion del axioma para la validacion de formulas proposicionales,para ello enunciaremos y probaremos el teorema central de la seccion, al cual lo llamaremos Peano ylas formulas proposicionales En Segundo lugar, construiremos en forma concreta, ayudados por la intuicion y conocimientos geometricosbasicos algunas formula proposicionales Finalmente, construiremos un macro llamado sumatoria que nos permitira comprimir, simplicar ycomprender de mejor forma la informacion representada por estas formulas proposicionalesTeorema 2.1. Peano y las formulas proposicionales Sea F(n) una f ormula proposicional para cadan N. Si F(1) es verdadera, y F(n) verdadera = F(n + 1) verdaderaEntonces F(s) es verdadera (s; s N)3. CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 33Demostraci onPara aplicar el axioma de inducci on Ax5 denimos el conjuntoS = n N [ F(n) es verdaderaY entonces F(1) verdadera 1 S [F(n) verdadera =F(n + 1) verdadera ] [n S =(n + 1) S]As que,1 Sn S =(n + 1) S

=S = N = F(n) es verdadera (n; n N)Usaremos la siguiente Notaci on: La etapa n, es decir F(n) la llamaremos Hip otesis de Inducci on, y a laetapa n + 1, la llamaremos Tesis de Inducci on.3. Construccion de Algunas Formulas Proposicionales3.1. Una formula para La suma de los n primeros n umeros naturales: Generemos una formulaque permita calcular el n umero maximo de intersecciones de n lneas rectas distintas, para cada n N Para entender el problema, llamaremos n al n umero de rectas e I al n umero de intersecciones de ellas Si n = 2 tenemos la situacion:'1'2ILo que nos hace concluir que: n = 2 =I = 1 Para n = 3 tenemos que la situacion, es la siguiente:34 3. INDUCCION MATEMATICA'1'2'3I1I2I3De donde concluimos que: n = 3 =I = 3 = (1) + 2 Para n = 4 tenemos que:'1'2'3'4I1I2I3I4I5I6En este caso tenemos que: n = 4 =I = 6 = (1 + 2) + 3 Ahora para n = 5'1'2'3'4'5I1I2I3I4I5I6I7I8I9I10La situacion es la siguiente: n = 5 =I = 10 = (1 + 2 + 3) + 43. CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 35 Podemos intentar seguir realizando la interseccion de mas rectas, pero se ve que cada vez sera mas difcilgracar como lo hemos hecho hasta ahora, por tanto es el momento de intentar un modelamiento mas abs-tracto del problema Partamos con n = 6'1'2'3'4'5'6'1'3'4'512345Aqu como antes tenemos que: n = 6 =15 = (1 + 2 + 3 + 4) + 5Desde el punto de vista algebraico tenemos la siguiente situacion para analizar:15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5= 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 5 + (5 1) + (5 2) + (5 3) + (5 4)= (5 + 1) 1 + (5 + 1) 2 + (5 + 1) 3 + (5 + 1) 4 + (5 + 1) 5= 5(5 + 1) 1 2 3 4 5= 5(5 + 1) 15Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5(5 + 1), as que1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5(5 + 1)2 Para n = 7'1'2'3'4'5'6'7'1'3'4'5'6123456En este caso tenemos que: n = 7 =21 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 636 3. INDUCCION MATEMATICAProcediendo en forma analoga al caso anterior tenemos que:21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 6 + (6 1) + (6 2) + (6 3) + (6 4) + (6 5)= (6 + 1) 1 + (6 + 1) 2 + (6 + 1) 3 + (6 + 1) 4 + (6 + 1) 5 + (6 + 1) 6= 6(6 + 1) 1 2 3 4 5 6= 6(6 + 1) 21Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 6(6 + 1), as que,1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6(6 + 1)2Pero, tambien podemos obtener el mismo resultado, razonando como sigue21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6= 5(5 + 1)2 + 6= 5(5 + 1)2 + (5 + 1)= 5(5 + 1) + 2(5 + 1)2= 7(5 + 1)2= 6 72= 6(6 + 1)2[] En el caso general emulando la primera forma de razonar tenemos que1 + 2 + +n = n + (n 1) + (n 2) + + (n n + 1)= (n + 1) 1 + (n + 1) 2 + + (n + 1) n= n(n + 1) 1 2 3 n= n(n + 1) (1 + 2 + +n)As que,1 + 2 + +n = n(n + 1)2Luego, la formula F(n), que dene el n umero maximo de intersecciones de n rectas, para cada n N es dela forma3. CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 37F(n) : 1 + 2 + 3 + +n = n(n + 1)n(36)Ahora aprovechando la idea obtenida en [], y aplicando el Teorema (2.1), podemos hacer lo siguiente: Mostremos inicialmente que F(1) es verdaderaComo 1(1 + 1)2 = 1 entonces 1 = 1(1 + 1)2 , y F(1) es verdadera. Si suponemos que F(n) es verdadera debemos mostrar que F(n + 1) es verdaderaEn primer lugar, F(n) verdadera si y solo si1 + 2 + 3 + 4 + +n = n(n + 1)2 (H)Ahora, F(n + 1) sera verdadera si y solo si1 + 2 + 3 + 4 + +n + (n + 1) = (n + 1)(n + 1 + 1)2 = (n + 1)(n + 2)2Entonces1 + 2 + 3 + +n + (n + 1) = [1 + 2 + 3 + +n]. .. .(H)+(n + 1)=n(n + 1)2

+ (n + 1)= n(n + 1) + 2(n + 1)2= (n + 1)(n + 2)2As que, F(n + 1) es verdadera, y N = n N [ F(n) es verdadera3.2. Una formula para La suma de los n primeros n umeros naturales impares: Si notamospor NI = 1, 3, 5, a los n umeros impares entonces Sera posible obtener una formula para la suma delos n primeros impares?. Es decir1 + 3 + + (2n 1) = ? Estudiemos en abstracto el problema:38 3. INDUCCION MATEMATICA1 + 3 = 1 + 2 1 + 1 = (1 + 1)2= 221 + 3 + 5 = 22+ 2 2 + 1 = (2 + 1)2= 321 + 3 + 5 + 7 = 32+ 2 3 + 1 = (3 + 1)2= 421 + 3 + 5 + 7 + 9 = 42+ 2 4 + 1 = (4 + 1)2= 52... ... ... Estudiemos ahora el problema en concreto:Teora1 + 3 = 4Dise no Analisis Formula= 1 + 3 = 221 + 3 22Teora1 + 3 + 5 = 9Dise no Analisis Formula= 1 + 3 + 5 = 321 + 3 + 5 32Teora1 + 3 + 5 + 7 = 16Dise no Analisis Formula= 1 + 3 + 5 + 7 = 421 + 3 + 5 + 7 42 En el caso general deberamos mostrar en concordancia con nuestra intuicion que1 + 3 + + (2n 1) = n23. CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 39 Si notamos por F(n) : 1 + 3 + + (2n 1) = n2, para cada n N entonces tenemos por calculodirecto que F(n) es verdadera o falsa. Si concordamos en que S = n N [ F(n) es verdadera entonces tenemos lo siguiente: 1 S, pues F(1) es verdadera, ya que 1 = 12 Si suponemos que n S, es decir asumimos que F(n) es verdadera, o equivalentemente1 + 3 + + (2n 1) = n2(H)Entonces1 + 3 + + (2n 1) + (2(n + 1) 1) = [1 + 3 + + (2n 1)]. .. .(H)+(2(n + 1) 1)= n2+ (2(n + 1) 1)= n2+ 2n + 1= (n + 1)2As que F(n+1) es verdadera y luego, (n+1) S, y entonces para cada n N es verdadera la formula1 + 3 + + (2n 1) = n2(37)3.3. Una formula para La suma de los n primeros n umeros naturales pares: Si notamos ahorapor NP = 2, 4, 6, entonces Sera posible obtener una formula para la suma de los n primeros n umerospares?. Es decir2 + 4 + + 2n = ? Estudiemos intuitivamente el problema:2 = 1 22 + 4 = 1 2 + (2 2) = 2 32 + 4 + 6 = 2 3 + (2 3) = 3 42 + 4 + 6 + 8 = 3 4 + (2 4) = 4 52 + 4 + 6 + 8 + 10 = 4 5 + (2 5) = 5 62 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 5 6 + (2 6) = 6 72 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 6 7 + (2 7) = 7 82 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 7 8 + (2 8) = 8 9... ... ... Estudiemos ahora el problema en concreto:40 3. INDUCCION MATEMATICATeora2 + 4 = 6Dise no Analisis Formula= 2 + 4 = 2 32(1 + 2)2 3Teora2 + 4 + 6 = 12Dise no Analisis Formula= 2 + 4 + 6 = 3 42(1 + 2 + 3)3 4 Estudiemos en abstracto el problema:Si llamamos F(n) : 2+4+6+ +2n = n(n+1) para cada n N entonces aplicando nuestro procedimientoformal, tenemos que denir el conjunto S = n N [ F(n) es verdadera, y vericar si este conjunto sa-tisface o no el axioma 5 Por demostrar que F(1) es verdadera, es decir 1 S. Esto se verica porque,2 = 1(1 + 1) Supongamos que F(n) es verdadera, es decir, n S, y2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) (H) Por demostrar que F(n + 1) es verdadera, es decir por demostrar que (n + 1) SEn efecto2 + 4 + 6 + + 2n. .. .(H)+2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1)= (n + 1)(n + 2)Luego, N = S y F(n) es verdadera (n; n N), es decir,2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) (38)4. SUMATORIAS: 41 Podemos responder en forma alternativa, con lo que hemos aprendido:2 + 4 + + 2n = 2(1 + 2 + 3 + +n)= 2

n(n + 1)2

(Aplicando la formula (36))= n(n + 1)4. Sumatorias:En esta etapa construiremos y estudiaremos las propiedades de una herramienta matematica que nos per-mita comprimir, presentar y manipular ecientemente formulas proposicionales, que involucran sumas deuna cantidad nita de n umeros reales. Para ver una construccion de los N umeros Reales les sugiero ver [2]Denicion 4.1. Dada la lista A = a1, a2, a3, . . . 1 denimos para cada n N, el nuevo listado den umeros reales:S = S1, S2, S3, donde, S1 =1i=1ai = a1, y Sn+1 =n+1i=1ai = Sn +an+1Para cada n Nni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an1 +an (39)ser a llamada la Sumatoria de los n primeros elementos de la lista AObservacion 4.1.1. La lista S ha sido construida, a partir de una nueva forma de usar el Axioma 5. dePeano pues, lo que hemos hecho en realidad es lo siguiente:1i=1ai = a12i=1ai = S1 +a2 = a1 +a23i=1ai = S2 +a2 = a1 +a2 +a3...ni=1ai = Sn1 +an = a1 +a2 +a3 + +an1 +an42 3. INDUCCION MATEMATICAEjemplo 4.1.2. Si ai = i para i = 1, 2, 3, . . . , n entoncesni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an ni=1i = 1 + 2 + 3 + +nAs que, usando la f ormula (36) tenemos queni=1i = n(n + 1)2Ejemplo 4.1.3. Si ai = 2i 1 para i = 1, 2, 3, . . . , n entoncesni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an ni=1(2i 1) = 1 + 3 + 5 + + 2n 1As que, usando la f ormula (37) tenemos queni=1(2i 1) = n2Ejemplo 4.1.4. Si ai = 2i para i = 1, 2, 3, . . . , n entoncesni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an ni=12i = 2 + 4 + 6 + + 2nAs que, usando la f ormula (38) tenemos queni=12i = n(n + 1)4.2. Propiedades de las Sumatorias. Si A = a1, a2, , an 1; B = b1, b2, , bn 1 y c 1entonces(1)ni=1(aibi) =ni=1aini=1biSi hacemos ci = ai +bi para i = 1, 2, . . . , n entoncesni=1(ai +bi) =ni=1ci= c1 +c2 +c3 + +cn= (a1 +b1) + (a2 +b2) + (a3 +b3) + + (an +bn)= (a1 +a2 +a3 + +an) + (b1 +b2 +b3 + +bn)=ni=1ai +ni=1biAnalogamente si hacemos ci = aibi obtenemosni=1(aibi) =ni=1aini=1bi4. SUMATORIAS: 43As que,ni=1(aibi) =ni=1aini=1bi (40)(2)ni=1cai = cni=1aiSi hacemos di = cai para i = 1, 2, . . . , n entoncesni=1cai =ni=1di= d1 +d2 +d3 + +dn= ca1 +ca2 +ca3 + +can= c(a1 +a2 +a3 + +an)= cni=1aiAs que,ni=1cai = cni=1ai (41)(3)ni=11 = n. En particularni=1c = cnSi hacemos ci = 1 para i = 1, 2, . . . , n entoncesni=11 =ni=1ci= c1 +c2 +c3 + +cn= 1 + 1 + 1 + + 1. .. .nveces= nAs que,ni=11 = n (42)Ademas, para c 1:ni=1c =ni=1c 1 (41)= cni=11 (42)= c nAs que,ni=1c = cn (43)44 3. INDUCCION MATEMATICA(4)ni=1ai =si=1ai +ni=s+1aiDene ci = ai, para i = 1, 2, . . . , s y di = as+i, para i = 1, 2, . . . , n s entoncessi=1ci +ni=1di = (c1 +c2 + +cs) + (d1 +d2 + +ds)= (a1 +a2 + +as) + (as+1 +as+2 + +as+ns= a1 +a2 + +as +as+1 +as+2 + +an=ni=1aiAhora, por otra parte,si=1ci +ni=1di = (c1 +c2 + +cs) + (d1 +d2 + +ds)=si=1ai +nsi=1as+i Si hacemos j = s +i entonces=si=1ai +nj=s+1aj=si=1ai +ni=s+1aiAs que,ni=1ai =si=1ai +ni=s+1ai (44)(5)ni=1(aiai+1) = a1an+1 (Propiedad Telescopica1)ni=1(aiai+1) (40)=ni=1aini=1ai+1= (a1 +a2 +a3 + +an) (a2 +a3 + +an +an+1)= a1an+11Observe que en un telescopio la imagen es traslada hacia su ojo a traves de los lentes5. EJERCICIOS RESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 45As que,ni=1(aiai+1) = a1an+1 (45)(6)ri=sai =r+ti=s+tait (Propiedad del reloj2)ri=sai =r+tj=s+tajt (Si hacemos i = j t)As que,ri=sai =r+ti=s+tait (46)5. Ejercicios Resueltos de Induccion Matematica(1) Demostremos usando Induccion Matematica que la formula:F(n) :nk=1

1k(k + 1)(k + 2)

= n(n + 3)4(n + 1)(n + 2)Es verdadera (n; n N)Solucion Por mostrar que F(1) es verdadera, observamos los hechos:1i=1

1k(k + 1)(k + 2)

= 11(2)(3) = 16, y 1(1 + 3)4(1 + 1)(1 + 2) = 1(4)4(2)(3) = 162Observe que por ejemplo las 2.00 horas mas 45 minutos, es lo mismo que las 3 horas menos 15 minutos46 3. INDUCCION MATEMATICALuego, comparando los resultados concluimos que1i=1

1k(k + 1)(k + 2)

= 1(1 + 3)4(1 + 1)(1 + 2)Por ende, F(1) es verdadera. Hipotesis de Induccion: Suponemos que F(n) es verdadera. Esto esnk=1

1k(k + 1)(k + 2)

= n(n + 3)4(n + 1)(n + 2) (H) Tesis de Induccion: Por demostrar que F(n + 1) es verdadera, es decir debemos vericar que:nk=11k(k + 1)(k + 2) = (n + 1)(n + 4)4(n + 2)(n + 3)En efectonk=11k(k + 1)(k + 2) =nk=11k(k + 1)(k + 2) +n+1k=n+11k(k + 1)(k + 2)(H)= n(n + 3)4(n + 1)(n + 2) + 1(n + 1)(n + 2)(n + 3)= n(n + 3)2+ 44(n + 1)(n + 2)(n + 3)= n(n2+ 6n + 9) + 44(n + 1)(n + 2)(n + 3)= n3+ 6n2+ 9n + 44(n + 1)(n + 2)(n + 3)= (n + 1)2(n + 4)4(n + 1)(n + 2)(n + 3)= (n + 1)(n + 4)4(n + 2)(n + 3)As que F(n + 1) es verdadera y F(n) es verdadera (n; n N)(2) Si A = a1, a2, a3, a4, . . . 1 es tal que: ai = i para i = 1, 2 as =s1i=1ai (s 3)entonces demostremos usando Induccion Matematica que es verdadera (n; n N; n 3) la formula:F(n) : an = 3 2n35. EJERCICIOS RESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 47Solucion Por demostrar que F(3) es verdadera.En efectoa1 = 1 a2 = 2 =a3 = a1 +a2 = 1 + 2 = 3 = 3 233 Hipotesis de Induccion: Supongamos que F(n) es verdadera, es decir quean = 3 2n3(H) Por demostrar que F(n + 1) es verdadera, esto es; Por demostrar que:an+1 = 3 2n2En efectoan+1 =ni=1ai= an +an1 +an2 +an3 + +a3 +a2 +a1(H)= 3 2n3+ 3 2n4+ 3 2n5+ 3 2n6+ 3 2n7+ + 3 + 3= 3(2n3+ 2n4+ 2n5+ 2n6+ 2n7+ + 1) + 3= 3 2n212 1 + 3= 3 2n23 + 3= 3 2n2As que, F(n + 1) es verdadera y F(n) es verdadera (n; n N)(3) Demostremos usando Induccion Matematica que la formula:F(n) : n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3es divisible por 9Es verdadera (n : n N)Solucion Por demostrar que F(1) es verdaderaEn efecto13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3= 32 = 9 4 =13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3es divisible por 948 3. INDUCCION MATEMATICA. Hipotesis de Induccion: Supongamos que F(n) es verdadera. Es decir, existe q, tal quen3+ (n + 1)3+ (n + 2)3= 9 q (H) Por demostrar que F(n + 1) es verdadera, es decir por demostrar que existe r, tal que(n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3= 9 rEn efectoPor una parte (n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3= 3n3+ 18n2+ 42n + 36Y por hipotesis n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3= 3n3+ 9n2+ 15n + 9Realizando la division:3n3+ 18n2+ 42n + 36 : 3n3+ 9n2+ 15n + 9 = 1()3n3+ 9n2+ 15n + 99n2+ 27n + 27Tenemos que:(n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3= 1 (3n3+ 9n2+ 15n + 9) + 9n2+ 27n + 27(H)= 9 q + 9 (n2+ 3n + 3)= 9 (q +n2+ 3n + 3). .. .rAs que, F(n + 1) es verdadera y F(n) es verdadera (n : n N)(4) Demostremos usando Induccion Matematica que la formula:F(n) : (n N : n impar ) =n(n21) es divisible por 24Es verdaderaSolucion Por demostrar que F(1) es verdadera(121) = 1 0 = 0 = 24 0 =1(121) = 24 0 =F(1) es verdadera.6. EJERCICIOS PROPUESTOS DE INDUCCION MATEMATICA 49 Hipotesis de Induccion: Supongamos que F(n) es verdadera. Esto es(n N : n impar ) = n(n21) es divisible por 24(s; s N) (r; r N) : n = (2s 1) (2s 1)((2s 1)21) = 24 r(s; s N) (r; r N) : n = (2s 1) (2s 1)(4s24s) = 24 r(s; s N) (r; r N) : n = (2s 1) 8s312s2+ 4s. .. .= 24 r Tesis de Induccion: Por demostrar que F(n + 2) es verdadera. Esto es, debemos mostrar que(n + 2 N : n impar ) = (n + 2)((n + 2)21) es divisible por 24Equivalentemente, hay que mostrar que(n + 2 N : n impar ) = (s; s N)(u; u N) : n = (2s 1) (n + 2)((n + 2)21) = 24 u= (s; s N)(u; u N) : n = (2s 1) 8s3+ 12s2+ 4s. .. .= 24 u (T)Entonces dividiendo (**) por (*) tenemos que8s3+ 12s2+ 4s : 8s312s2+ 4s = 1()8s312s2+ 4s24s2As que,8s3+ 12s2+ 4s = 1 (8s312s2+ 4s) + 24s2()= 24r + 24s2= 24 (r +s2). .. .uLuego, F(n+2) es verdadera y por tanto la formula proposicional F(n) es verdadera, para cada n umeronatural impar6. Ejercicios Propuestos de Induccion MatematicaDemuestre usando Induccion Matematica que las siguientes formulas son verdaderas (n; n N)50 3. INDUCCION MATEMATICA(1) F(n) :ni=11i2+i) = nn + 1(2) F(n) :ni=1i4= n(n + 1)(6n3+ 9n2+n 1)30(3) F(n) :ni=1i(i + 1)2 = n(n + 1)(n + 2)6(4) F(n) :ni=1i(i + 1)(i + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)4(5) F(n) :ni=1i 2i1= 1 + (n 1)2n(6) F(n) :nk=0(1)k

nk

= 0(7) F(n) : (0 r n) =

nr

N(8) F(n) : (n + 1)(n + 2) (n +n) = 2n

(2n 1)!(2(n 1))!

(9) F(n) : 2n1 n!(10) F(n) : 3n 3n(11) F(n) : 4n3+ 5n es divisible por 3(12) F(n) : n3n es divisible por 6(13) F(n) : 5n3+ 7n es divisible por 6(14) F(n) : 10n+ 3 4n+2+ 5 es divisible por 9(15) F(n) : 52n+ (1)n+1es divisible por 13(16) F(n) : n N impar =7n+ 1 es divisible por 8(17) F(n) : 72n+ 16n 1 es divisible por 64UNIDAD 4ProgresionesEste capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante, vericar queun conjunto de n umeros satisface las propiedades que denen a una progresion aritmetica o geometrica, y queen forma natural observe que el ordenamiento de los elementos de un conjunto en esta forma, permite generarun algoritmo para obtener rapida y ecientemente cada termino en forma independiente, y determinar lasuma de sus elementos en cualquier instante.1. Progresiones AritmeticasExtenderemos las ideas de Peano aprovechando la operatoria que poseen los N umeros Reales (1), paraconstruir listados de estos n umeros que emulen el comportamiento de los n umeros naturales.Motivacion 1.1. Supongamos que una persona deposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3% anual.(1) Cu anto dinero gana esa persona en un a no? Como el interes que produce 1 peso en 1 a no es de 3100 = 0.03 pesos entonces el interes total enel a no es de 50.000 0, 03 = 1.500 pesos Luego, la persona al cabo de un a no, posee en total la cantidad de 50.000 + 1.500 = 51.500 pesos(2) Cu anto dinero gana esa persona en dos a nos. Si deposita al segundo a no los mismos 50.000 pesos? Al nal del primer a no si se retiran los intereses, el capital sigue siendo el mismo: 50.000 pesos.Luego, el capital vuelve a producir 1.500 pesos. As que en los dos a nos el interes producido es de1.500 + 1.500 = 3.000 pesos Luego, la persona al cabo de 2 a nos, posee en total la cantidad de 50.000 + 3.000 = 53.000 pesos(3) Cu anto gana a los t a nos. Si cada a no retira los intereses.? La situaci on hasta aqu es la siguienteCapital inicial : 50.000Primer a no : 51.500Segundo a no : 53.000

=A = 50.000, 50.000 + 1500, 50.000 + 2 1500 S el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguienteA = 50.000, 50.000 + 1 1.500, 50.000 + 2 1.500, 50.000 + 3 1.500, . . . (47)Es decir, la constante del listado es jada por las identidades (50.000 + (t + 1) 1.500) (50.000 +t 1.500) = 1.5005152 4. PROGRESIONES 50.000 +t 1.500 = 50.000 + 3100 50.000 t = 50.000

1 + 3100 t

(t = 0, 1, 2, . . . )(4) En general, si notamos a1 al capital inicial i = r100 a1 interes anual simple t tiempo en a nosEntonces el listado y las propiedades que se intuyen son las siguientes1. A = a1, a1 +i, a1 + 2i, a1 + 3i, a1 + 4i, . . . , 2. ak = a1 + (k 1)i, o bien, ak = a1

1 + (k 1) r100

, para cada k = 1, 2, 3, . . .3. La suma de los t primeros terminos, para cada t NSt =tk=1(a1 + (k 1)i)= a1tk=11 +itk=1(k 1)= a1t +i (t 1)t2 Ver (36)= t2 (2a1 + (t 1) i)3. Equivalentemente, por nuestra denici on tenemos, St = t2 (a1 +at)Denicion 1.2. A = a1, a2, a3, , 1 ser a llamada una Progresi on Aritmetica. Si existe d 1, talque an+1 = an +d (m; m N); d se llama la diferencia de la progresi on aritmeticaEjemplo 1.2.1. Si denimos an = n N y d = 1 entonces A = a1, a2, a3, , = 1, 2, 3, , = N.Luego, N es una progresi on aritmetica, con diferencia d = 1Ejemplo 1.2.2. A = 1, 2, 3, 3, 7, es una progresi on aritmetica con a1 = 1 y d = 1Ejemplo 1.2.3. A =

2, 12 +2, 1 +2,

es una progresi on aritmetica con a1 =2 y d = 12Observacion 1.3. Del ejemplo 1.2.1, sabemos que El termino de orden o posici on n en el listado es exactamente n. Es decir en un sistema gr aco queinvolucre a cada termino versus su valor numerico, tenemos que1. PROGRESIONES ARITMETICAS 53terminovalor del terminoa11a22a33ann La suma de los n primeros terminos es Sn =ni=1ai =ni=1i = n(n + 1)2 , como lo obtuvimos en laf ormula (36)Sin embargo, en el ejemplo 1.2.3, no es tan claro: Cu al es el termino de orden o posici on n en el listado?. Porque si procedemos como en la situaci onanterior la situaci on gr aca es la siguienteterminovalor del terminoa12a212 +2a31 +2 an? Y menos sabemos, Cu al es la suma de los n primeros terminos Sn?Ahora, estas cuestiones son importantes para nosotros toda vez, que estos son los problemas que debemosaprender a resolver1.4. Propiedades de las progresiones aritmeticas.(1) Si A = a1, a2, a3, . . . , 1, es una Progresion Aritmetica de diferencia d entonces el termino de ordenn se obtiene como54 4. PROGRESIONESan+1 = a1 +n d ; n N ()En efecto Por demostrar que an+1 = a1 +n d ; n N Gestion de la informacion. Si A = a1, a2, a3, . . . , 1, una Progresion Aritmetica de diferenciad entonces de la Denicion 1.2 tenemos quea2 = a1 +da3 = a2 +d = (a1 +d) +d = a1 + 2da4 = a3 +d = (a1 + 2d) +d = a1 + 3d... Luego, el metodo sugerido es Induccion, para probar que la formulaF(n): an+1 = a1 +n d ; n N, es verdadera (n; n N) As que iniciamos mostrando que F(1) es verdadera.a1+1 = a2 = a1 +d.As que F(1) es verdadera Hipotesis de Induccion: Suponemos que F(k) es verdadera, es decirak = a1 + (k 1)d (H) Tesis de Induccion: Por demostrar que F(k + 1) es verdaderaak+1 = ak +d(H)= a1 + (k 1)d +d= a1 +kdAs F(k+1) es verdadera y F(n) entonces es verdadera (n; n N)(2) Si A = a1, a2, a3, . . . , 1, es una Progresion Aritmetica de diferencia d entonces la suma de losn-primeros terminos se obtiene de la formula.Sn =ni=1ai =

n2(2a1 + (n 1)d) (n; n N)n2(a1 +an) (n; n N)(48)En efectoPara demostrar queni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d), haremos uso de la informacion an = a1 + (n 1)d, yaplicaremos Induccion para concluir que la formulaF(n) :ni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d), (n N) es verdadera (n; n N)1. PROGRESIONES ARITMETICAS 55 Iniciamos mostrando que F(1) es verdadera 1i=1ai = a1 12(2a1 + (1 1)d) = 12 2a1 = a1 =1i=1ai = 12(2a1 + (1 1)d)As que F(1) es verdadera. Seguimos con la Hipotesis de induccion: Suponiendo que F(k) es verdadera, es decir:ki=1ai = k2(2a1 + (k 1)d) (H) Y como Tesis de induccion debemos demostrar que F(k + 1) es verdadera.En efectosk+1 =k+1i=1ai=ki=1ai +ak+1(H)= k2(2a1 + (k 1)d) +ak+1= k2(2a1 + (k 1)d) + (a1 +kd)= 2ka1 +k2d kd + 2a1 + 2kd2= 2a1(k + 1) +k(k + 1)d2= (k + 1)2 [2a1 +kd]As, F(k+1) es verdadera, y efectivamenteni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d) (n; n N)En particular, como a1 + (n 1)d = an entoncesni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d)= n2(a1 + [a1 + (n 1)d])= n2(a1 +an)(3) Como aplicacion inmediata tenemos que la suma de los n-primeros naturales es:56 4. PROGRESIONESni=1i = n2(1 + (n 1) 1)= n(n + 1)2(4) Finalmente para la progresion del Ejemplo 1.2.3, tenemos que an =2 + n 12 , y Sn = n2

22 + n 12

2. Progresiones GeometricasMotivacion 2.1. Supongamos que una persona deposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3%anual, al igual que en la motivaci on (1.1)(1) Cu anto dinero gana en dos a nos? Como ya sabemos, el interes que produce 1 peso en 1 a no es de 0.03 pesos entonces el interestotal en el a no es, 50.000 0, 03 = 1.500 pesos Sin embargo la diferencia esta en que, al no retirar los intereses ganados en el a no, se genera unaumento en el capital, y por ende el interes de este periodo debe cambiar, y es, 51.500 0, 03 = 1.545pesos. As que el interes acumulado al n de los dos a nos es 1.500 + 1.545 = 3.045 pesos, y el dineroacumulado es entonces 50000 + 3.045 = 53.045 pesos(2) Cu anto gana a los t a nos. Si cada a no retira no los intereses.? La situaci on en los periodos anuales es la siguienteCapital Inicial : 50.000Primer a no : 50.000 + 1500 = 50.000

1 + 3100

Segundo a no : 51.500 + 1545 = 50.000

1 + 3100

2 S el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguienteA = 50.000, 50.000

1 + 3100

, 50.000

1 + 3100

2, 50.000

1 + 3100

3, . . . Luego, tenemos que el a no t tiene el siguiente comportamientoa no t : 50.000

1 + 3100

t1(3) En el caso general si modelamos la situaci on como,2. PROGRESIONES GEOMETRICAS 57a1 = capital iniciali = r100 a1 interes anual compuesto(sin retirar los intereses)t : tiempo en a nosEntonces obtenemosa1 = a1a2 = a1 +i = a1

1 + r100

a3 = a1 +i + (a1 +i) r100 = a1

1 + r100

2... = ...at = a1

1 + r100

t1Denicion 2.2. G = a1, a2, , 1 es una Progresi on Geometrica. Si existe r 1,tal que r = 0y r = 1, y am+1 = am r (m; m N); r se llama la raz on de la progresi on geometricaEjemplo 2.2.1. G = 2, 4, 8, 10, es una progresi on geometrica con a1 = 2 y r = 2Ejemplo 2.2.2. G = 3, 3, 33, 9, es una progresi on geometrica con a1 =3 y r = 32.3. Propiedades de las progresiones geometricas. Si G = a1, a2, a3, . . . , 1, es una ProgresionGeometrica de razon r entonces:(1) El termino de orden n se obtiene directamente de la formulaan = a1 rn1(n; n N) (49)(2) La suma de los n primeros terminos se obtiene a traves de la formulaSn =ni=1ai = a1rn1r 1

(n; n N) (50)Para mostrar, (49), usaremos Induccion Matematica a1 = a1 r11, as que nuestra formula es verdadera en su primera etapa. Supongamos que la formula es verdadera en la etapa n, es decir que,an = a1 rn1() Debemos para terminar, mostrar quean+1 = a1 rnEn efectoan+1 = an r (Por denicion de progresion geometrica)= a1 rn1 r (Usando la informacion provista por())= a1 rn58 4. PROGRESIONESFinalmente para mostrar, (50), hacemos lo siguiente:ni=1ai =ni=1a1 ri1(Usamos la informacion de (49))= a1ni=1ri1= a1(1 +r +r2+ +rn1)= a1rn1r 1

3. Ejercicios Resueltos de Progresiones(1) Si A = a1, a2, . . . es una Progresion Aritmetica que verica simultaneamente las condiciones: d=40 La suma de los 20 primeros terminos es 650 ( Es decir,20i=1ai = 650)entonces determine a10Solucion Sea A = a1, a2, . . . la Progresion Aritmetica pedida. Gestion de la informacionA = a1, a2, . . . es una Progresion Aritmetica entonces650 = 202 (2a1 + 19 40)= 10 (2a1 + 760)65 = (2a1 + 760)a1 = 695 Luego, a10 = 695 + 9 40 = 335(2) Si G = a1, a2, a3, , es una progresion geometrica que satisface simultaneamente las siguientescondiciones: a2 = 4 a4a6= 2543. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES 59entonces determine la progresion GSolucion Sea A = a1, a2, . . . la Progresion Aritmetica pedida. Gestion de la informacion a2 G =a1 r = 4 a4 G a3 G =a4 = a1 r3 a6 = a1 r5Luego,a4a6= 1r2 = r2= 425 =r = 25 Finalmente como, a1 r = 4 entonces a1 = 10. As que las posibles progresiones son: G =

10, 4, 85,

G =

10, 4, 85,

(3) Si A = a, b, c 1 0 tal que satisface las siguientes propiedades: A es una Progresion Aritmetica a, b y c son los coecientes de una ecuacion cuadratica. es decir ax2+bx +c = 0 x1 +x2 = 13(a +b +c) x1 x2 + 7 = b. Donde x1 y x2 son las races de la ecuacion cuadraticaentonces determine los n umeros a, b y c.Solucion Sea A = a, b, c el conjunto pedido. Gestion de la informacion A es una progresion aritmetica si:a = b d y c = b +d ()Donde d es la diferencia de la progresion aritmetica. Las races de una ecuacion de segundo grado son de la forma:x1 = b +b24ac2a y x2 = b b24ac2a As que,x1 +x2 = ba y x1 x2 = ca60 4. PROGRESIONESPor tanto,ba = 13(b d +b +b +d) =ba = b =a = 1Luego, sustituyendo el valor de a = 1 en () obtenemos queb = d 1 y c = 2d 1 ()De la ultima informacion suministrada,

ca + 7 = b

=

2d 11 + 7 = d 1

=(8 2d = d 1) =d = 3Finalmente sustituyendo los valores obtenidos en () tenemos que: a = 1; b = 2 y c = 5(4) Si A =

1a, 1b, 1c

10 tal que: A es una progresion aritmetica. a +b = 0, a b = 0, a +c = 0 y a c = 0entonces demuestre que a(a c)(a b)(a +c) = 1Solucion Debemos vericar que a(a c)(a b)(a +c) = 1 Gestion de la informacionA es una progresion aritmetica 1b 1a = 1c 1b 2b = 1c + 1a 2b = a +cac b = 2aca +c3. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES 61 Luego,a(a c)(a b)(a +c) = a(a c)(a 2aca +c)(a +c)= a(a c)

a(a +c) 2aca +c

(a +c)= a(a c)(a2+ac 2ac)= a(a c)(a2ac)= a(a c)a(a c)= 1(5) Si la suma de tres n umeros en progresion aritmetica es 24. Si ademas al primero de ellos se le resta 1,al segundo se le suma 4, y al tercero se le suma 25, se obtiene una progresion geometrica. Determineambas progresiones.Solucion Sea A = x, y, z la progresion aritmetica pedida y G = x 1, y + 4, z + 25 la progresion geometricapedida. Gestion de la informacion A es una progresion aritmetica si x = y d y z = y +dLuego;A = y d, y, y +dG = y d 1, y + 4, y +d + 25 Ahora, y d +y +y +d = 24 =y = 8As que,A = 8 d, 8, 8 +dG = 7 d, 12, 33 +d Ademas G es una progresion geometrica si:127 d = 33 +d1262 4. PROGRESIONESPor tanto,144 = (7 d)(33 +d) = d2+ 26d 87 = 0 =d1 = 3 d2 = 29 Finalmente tenemos dos casos. d = 3 =

A = 8 3, 8, 8 + 3 = 5, 8, 11G = 7 3, 12, 33 + 34, 12, 36 d = 29 =

A = 8 + 29, 8, 8 29 = 37, 8, 21G = 7 + 29, 12, 33 2936, 12, 44. Ejercicios Propuestos de Progresiones(1) Si el conjunto A = 32 , a2, a3, a4, , a2n es una Progresion Aritmetica que satisface lassiguientes condiciones: a1 +a3 +a5 +a7 + +a2n1 = 24 a2 +a4 +a6 +a8 + +a2n = 30 a2n = a1 + 212entonces determine, si es posible, el n umero de terminos de la progresion aritmetica, (es decir, deter-mine n)(2) Si en una progresion geometrica u1 = 4, un = 2438 , Sn = 6658 entonces determine n y su razon r(3) La suma de tres n umeros en progresion aritmetica es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Determinetales n umeros(4) Si en una progresion aritmetica el quinto termino es 15 y el decimo termino es 30 entonces determinela progresion(5) Si la suma de tres n umeros en progresion geometrica es 26 y su producto es 216 entonces determinetales n umeros.(6) La suma de tres n umeros en progresion aritmetica es 30. Si al primero de ellos se le agrega 1, al segundo5 y al tercero 29 se obtiene una progresion geometrica entonces determine ambas progresiones(7) Determine 5 n umeros reales en progresion geometrica, tales que la suma de los dos primeros es 24, yla razon es la cuarta parte del primer n umero.(8) Si en una progresion aritmetica A, se verica que: El producto del segundo con el quinto termino es 364,y ademas la diferencia de estos mismos terminos es 15 entonces determine, si es posible la progresion A.4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROGRESIONES 63(9) Dada la progresion T =

a +b2 , a, 3a b2 , . . .

.(a) Calcule S21. La suma de los primeros 21 terminos.(b) Exprese Sn usando el operador sumatoria.(10) Sea S = b1, b2, . . . una sucesion de numeros reales, tales que:(a) bm = n; bn = m y n = m(b) Si ademas construimos una progresion aritmetica A = a1, a2, . . . , tal que ai = 1bi(i; i N)entonces demuestre que la diferencia de la progresion es d = 1mn(11) Dada la progresion A = a, a +d, a +2d, . . . , y S la suma de sus n+1 primeros terminos. Demuestrequenk=0

nk

(a +kd) = 2nSn + 1(12) La suma de tres n umeros en progresion geometrica es 70. Si se multiplican los n umeros ubicados en losextremos por 4 y el n umero ubicado en el centro 5, se obtiene una progresion aritmetica. Determineambas progresiones.(13) Si se tienen tres terminos en progresion geometrica, y se resta 8 del segundo termino se obtiene unaprogresion aritmetica, y si en esta se resta 64 del tercer termino resulta nuevamente una progresiongeometrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema.(14) Considere las progresiones G = g1, g2, g3, . . . progresion geometrica A = 3, a2, a3, . . . progresion aritmeticatal que g3 = 12 y g7 = 19211i=1gi =50i=1aiDetermine la diferencia de la progresion AUNIDAD 5Teorema del BinomioEste capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante: Operar consimbologa matematica, desarrollar expresiones que involucren un n umero nito de productos binomiales, yemplear el concepto de b usqueda instant anea, a n de determinar rapida y ecientemente los terminos endesarrollos binomiales mediante un algoritmo1. Introduccion a los FactorialesDenicion 1.1. Para cada n N llamaremos n factorial a n! = 1 2 3 n, y denimos adem as 0! = 1Ejemplo 1.1.1. n! = (n 1)! n para cada n NEn efecton! = 1 2 3 (n 1) n= [1 2 3 (n 1)] n= (n 1)! nDenicion 1.2. Para cada n N, k N y k n llamaremos n umero combinatorio a

nk

= n!(n k)!k! (51)Ejemplo 1.2.1.

43

= 4!(4 3)! 3! = 3! 41! 3! = 4Observacion 1.2.2. Consideremos un conjunto con cuatro elementos, digamos C = 1, 2, 3, 4 N en-tonces La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 3 son los siguientesC1 = 1, 2, 3, C2 = 1, 2, 4, C3 = 1, 3, 4, C3 = 2, 3, 4Son como se ve cuatro conjuntos lo que coincide con

43

La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 2 son los siguientes seis conjuntosC1 = 1, 2, C2 = 1, 3, , C3 = 1, 4, C3 = 2, 3, C3 = 2, 4, C3 = 3, 4Y que tambien coincide con

42

= 4!(4 2)! 2! = 2! 3 42! 2! = 6En realidad esto no es una coincidencia, ya que en la pr actica el n umero combinatorio

nk

con k n,fue construido para contar la cantidad de grupos con k elementos a partir de n elementos dados, (de6566 5. TEOREMA DEL BINOMIOall la restricci on k n)1.3. Propiedades de los N umeros Combinatorios. Entre muchas propiedades de los n umeros combi-natorios, solo exhibiremos las que necesitamos estrictamente para conseguir nuestros objetivos.(1)

nk

=

nn k

En efecto

nk

= n!(n k)!k! = n!(n k)!(n (n k))! =

nn k

En particular,

n0

=

nn

= 1, para vericar esta igualdad, basta hacer k = 0 y recordar que elconjunto vaco no tiene elementos y es subconjunto de todos los conjuntos(2)

n + 1k

= n + 1n (k 1)

nk

En efecto

n + 1k

= (n + 1)!k!(n + 1 k)! = n!(n + 1)k!(n + 1 k)! = n!k! (n + 1)(n k + 1)!= n!k! (n + 1)(n k)!(n k + 1) = n!k!(n k)! (n + 1)n (k 1) =

nk

(n + 1)n (k 1)(3)

n + 1k + 1

= n + 1k + 1

nk

En efecto

n + 1k + 1

= (n + 1)!(k + 1)!(n k)! = n!(n + 1)k!(k + 1)(n k)! = n!k!(n k)! n + 1k + 1 =

nk

n + 1k + 1(4)

nk + 1

= n kk + 1

nk

En efecto2. TEOREMA DEL BINOMIO 67

nk + 1

= n!(k + 1)!(n k 1)! = n!k!(k + 1)(n k 1)! = n!k! 1(k + 1)(n k 1)!= n!k! n k(k + 1)(n k)! = n!k!(n k)! n kk + 1 =

nk

n kk + 1(5)

nk

+

nk + 1

=

n + 1k + 1

En efecto

nk

+

nk + 1

= n!k!(n k)! + n!(k + 1)!(n k 1)! = n!(k + 1) +n!(n k)(n k)!(k + 1)!= n!(k + 1 +n k)(n k)!(k + 1)! = n!(n + 1)(n k)!(k + 1)! = (n + 1)!(n k)!(k + 1)! =

n + 1k + 1

2. Teorema del BinomioTeorema 2.1. (Teorema del Binomio). Si n N, a 1 y b 1 tal que a +b = 0 entonces(a +b)n=nk=0

nk

ankbkDemostraci on Debemos vericar que (a +b)n=nk=0

nk

ankbk Gesti on de la informaci on: Como n N entonces podemos usar el proceso de inducci on matem atica,para vericar la validez de la f ormulaF(n) : (a +b)n=nk=0

nk

ankbk(n; n N) Debemos mostrar que F(1) es verdaderaPor una parte tenemos que (a+b)1= (a+b), y por otra,1k=0

1k

ankbk=

10

a10b0+

11

a11b1= a+bAs que, (a +b)1=1k=0

1k

ankbk, y F(1) es verdadera Hip otesis de inducci on: Supongamos que F(n) es verdadera, es decir68 5. TEOREMA DEL BINOMIO(a +b)n=nk=0

nk

ankbk(H) Tesis de inducci on. Debemos mostrar que F(n+1) es verdadera Desarrollando F(n+1) tenemos que(a +b)n+1= (a +b)n(a +b)(H)= (a +b)nk=0

nk

ankbk=nk=0

nk

ank+1bk+nk=0

nk

ankbk+1() Aplicando la propiedad del reloj (46), a la segunda parcela en () tenemos quenk=0

nk

ankbk+1=n+1k=0+1

nk 1

an+1kbk=n+1k=1

nk 1

an+1kbk Reemplazando en () tenemos que:(a +b)n+1=nk=0

nk

ank+1bk+n+1k=1

nk 1

an+1kbk=

n0

an+1+nk=1

nk

ank+1bk+nk=1

nk 1

an+1kbk+

nn

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

nk

ank+1bk+nk=1

nk 1

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

nk

+

nk 1

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

n + 1k

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=n+1k=0

n + 1k

an+1kbkAs que F(n+1) es verdadera, y(a +b)n=nk=0

nk

ankbk3. EJERCICIOS RESUELTOS DE TEOREMA DEL BINOMIO 69Corolario 2.2. En Teorema (2.1) Para cada k = 0, 1, . . . , n1 el termino de orden k +1 es de la forma:tk+1 =

nk

ankbkEn efectoDel teorema (2.1) sigue que(a +b)n=nk=0

nk

ankbk=

n0

an0b0. .. .t1+

n1

an1b1. .. .t2+

n2

an2b2. .. .t3+ +

nn

annbn. .. .tn+1As que tk+1 =

nk

ankbk, para k = 0, 1, 2, . . . , n3. Ejercicios Resueltos de Teorema del Binomio(1) En el desarrollo binomial, B =

x 1x3

npara (n N). Demostremos que si existe un termino de laforma x4mentonces n debe ser un m ultiplo de 4.Solucion Debemos mostrar que n = 4 r Gestion de la informacion ts+1 es el termino pedido si y solo sits+1 =

ns

xns

1x3

s=

ns

xns(1)sx3s=

ns

xn4s(1)s x4maparecera en el termino ts+1 si y solo six4m= xn4s= 4m = n 4s= 4s 4m = n= 4(s m) = n70 5. TEOREMA DEL BINOMIO Conclusion : n es un m ultiplo de 4.(2) Determinemos, (si existe) el termino independiente de x en el desarrollo binomial(2x + 1)

1 + 2x

nSolucion Debemos determinar el termino independiente de x, es decir aquel en que aparece x0= 1. Gestion de la informacion Del Teorema del Binomio (2.1) sigue que

1 + 2x

n=nk=0

nk

1(nk)

2x

k=nk=0

nk

2kxk Multiplicando por (2x + 1) tenemos que(2x + 1)

1 + 2x

n= (2x + 1)nk=0

nk

2kxk=nk=0

nk

2k+1x(k+1)+nk=0

nk

2kxk Luego, existira el termino independiente de x sik + 1 = 0 k = 0 k = 1 k = 0 As que el termino pedido es

n1

22+

n0

20= 4n + 1(3) Demostremos usando el teorema del binomio quens=0(1)s

ns

= 0Solucion(1 1)n= 0 (1 1)n Teo(2.1)=ns=0

ns

(1)(ns)(1)s =0 =ns=0

ns

(1)s(4) Si (n N), y A =

x2+ 1x

ny B =

x3+ 1x2

n, son dos desarrollos binomiales tales que tk(A) es elk- esimo termino de A y tk(B) es el k- esimo termino de B, (k 1) entonces demostremos quetk(A) = tk(B) =n es un n umero parSolucion Debemos vericar que n = 2 s, para alg un entero s.4. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DEL BINOMIO 71 Gestion de la informacion Para el binomio A tenemos que:tk(A) =

nk 1

(x2)n(k1)

1xk1 =

nk 1

(x)2n3(k1) Para el binomio B tenemos que:tk(B) =

nk 1

(x3)n(k1)

1(x2)k1 =

nk 1

(x)3n5(k1) Finalmente comparando terminos tenemos que n es par, pues,tk(A) = tk(B)

nk 1

(x)2n3(k1)=

nk 1

(x)3n5(k1) (x)2n3(k1)= (x)3n5(k1) 2n 3(k 1) = 3n 5(k 1) n = 2 (k 1). .. .s4. Ejercicios Propuestos del Teorema del Binomio(1) Determine el septimo termino en el desarrollo binomial(2x y)12(2) Determine el noveno termino en el desarrollo binomial

2 + x4

15(3) Determine el decimocuarto termino del desarrollo binomial

4x2y 12xy2

20(4) Determine el termino que contiene a x2en el desarrollo binomial

3x 2x2

27(5) Determine el termino que contiene x2y2 en el desarrollo binomial

xy y22x2

872 5. TEOREMA DEL BINOMIO(6) Determine el termi