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lgebra1. Si los coecientes del polinomio a5x5+ a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1 cumplen larelacin de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k _ 1 entonces a5 esigual a:SolucinUsando el algortmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el nmero siguiente seobtiene multiplicando el anterior por tres y agregndole uno, as los coecientesseran:a1 = 1a2 = 3 (1) + 1 = 4a3 = 3 (4) + 1 = 13a4 = 3 (13) + 1 = 40a5 = 3 (40) + 1 = 1212. La expresin algebraica (x + y)33x2y 3xy2es igual a:SolucinRecordemos de los productos notables que(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3entonces podemos escribir(x + y)33x2y 3xy2= _x3+ 3x2y + 3xy2+ y3_3x2y 3xy2= _x3+ y3_+_3x2y 3x2y_+_3xy23xy2_= x3+ y3+ 0 + 0= x3+ y31Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.3. Si x4y4= z3y x2+ y2= 8; entonces z38 es igual a:SolucinRecordemos la diferencia de cuadradosx2y2= (x + y) (x y)aplicando esto a la primera igualda tenemosx4y4= _x2+ y2_ _x2y2_ = z3sustituyendo en esta ltima igualdad x2+ y2= 8_x2+ y2_ _x2y2_ = z3(8)_x2y2_ = z3aplicando nuevamente diferencia de cuadrados(8)_x2y2_ = z3(8) (x + y) (x y) = z3(x + y) (x y) = z38despejando y reordenando nos resulta quez38 = (x + y) (x y)4. Si x < 2; entonces [x 2[ +[x 3[ es igua a:SolucinSi x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto denmero reales1; 0; 1; 2; 3; :::2Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un nmeronegativo, luego su valor absoluto ser[x 2[ = (x 2) = 2 xAnalogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier nmero de los quepuede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto[x 3[ = (x 3) = 3 xY nalmente la suma ser[x 2[ +[x 3[ = (2 x) + (3 x)= 5 2x= 2x + 55. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1se debe cumplir:SolucinSean los polinomio de grado 2a1x2+ a2x + cb1x2+ b2x + c0Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es_a1x2+ a2x + c1_+_b1x2+ b2x + c2_ = kx + c3entonces debe ocurrir que_a1x2+ b1x2_ = 0(a2x + b2x) = kx(c1 + c2) = c3Es decir, que los terminos de x2deben eliminarcea1x2+ b1x2= 0a1x2= b1x2a1 = b1luego, los coecientes principales (los de x2) deben ser opuesto.3Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.6. Dado el polinomio lineal f (x) = x12; la suma f (x) + f _x + 14_+ f _x + 24_+f _x + 34_ es igual a:Solucinf (x) = x 12f _x + 14_ = _x + 14_ 12 = x 14f _x + 24_ = _x + 24_ 12 = x + 0f _x + 34_ = _x + 34_ 12 = x + 14Luego la suma buscada esx 12 + x 14 + x + 0 + x + 14 = 4x 127. Si multiplicamos n2+ 1 veces el nmero real a, el reultado nal es:SolucinLa denicin de potencia nos dice quenveces .. a a a a a a = anSi aplicamos esto a nuestro caso tenemosn2+1veces .. a a a a a a = an2+18. El polinomio p (x) = x3 x2+ x 1 se anula en 1, luego p (x) es divisiblepor.Solucin4Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene un factor x c si y slo sif(c) = 0Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos quep (1) = 1312+ 1 1= 1 1 + 1 1= 0entonces p (1) = 0; segn el teorema el polinomio tiene un factor (es divisiblepor) x 1: (sug. haga la divisin)9. Las primeras 17 letras en la alineacin del genoma humano sonA C A A T G T C A T T A G C G A Tdonde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consider-amos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto"yuxtaposicin", estas 17 letras pueden reducirse al monomio:SolucinRecordemos quenveces .. a a a a a a = anSecuencia originalA C A A T G T C A T T A G C G A TA C A2T G T C A T2A G C G A TAplicando la propiedad conmutativaC A A2T T G C A A T2C G G A Taplicando potenciacinC A3T2G C A2T2C G2A TAplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenacinA A3A2C C C G G2T2T2TFinalmenteA6C3G3T55Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.10. Si x + y = 1 y xy = 1, Cul ser el valor de x3+ y3?SolucinEl cubo de un binomio es(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3A partir de esto podemos escribir(1)3= x3+ y3+ 3x2y + 3xy2(+)Por otro lado podemos calcular cada variablexy = 1 x = 1yxy = 1 y = 1xSustituyendo estas dos ltimas igualdades en (+) y reduciendo, tenemos1 = x3+ y3+ 3x2y + 3xy21 = x3+ y3+ 3x2_1x_+ 3_1y_y21 = x3+ y3+ 3x + 3y1 = x3+ y3+ 3 (x + y)1 = x3+ y3+ 3 (1)1 = x3+ y3+ 31 3 = x3+ y3x3+ y3= 211. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab+ ba= 57: Determinar la sumaa + b:Solucin6Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Por simple inspeccin es facil notar que25= 3252= 2525+ 52= 32 + 2525+ 52= 57a partir de este clculo podemos escribir quea 2 y b 5a + b = 2 + 5a + b = 712. Dada la expresin algebraica x3y2+x2y2; los valores de x e y para obtener64 son:Solucinx3y2+ x2y2= x2y2(x + 1) = 64y2= 64x2 (x + 1)Como 64 es un nmero par, entonces los nmero x y y deben ser nmerospares. Fijemos x = 2 (ntese que lo elegimos negativos, puesto que 64 tambinlo es )y2= 64x2 (x + 1)y2= 64(2)2(2 + 1)y2= 64(4) (1)y2= 644y2= 16_y2 = _16y = 47Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuadax3y2+ x2y2= (2)3(4)2+ (2)2(4)2= 64luego los nmero buscados son x = 2 y y = 4:13. Los valores naturales de x e y para la expresin 1 + x + xy + x2y2d elmenor nmero par positivo son:SolucinEl menor nmero par positivo es 21 + x + xy + x2y2= 2x + xy + x2y2= 2 1x_1 + y + xy2_ = 11 + y + xy2= 1xy + xy2= 1x 1y + xy2= 1 xxAhora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser neg-ativo, discriminando el numerador es fcil ver que x debe ser 1; asy + xy2= 1 xxy + y2= 0y (1 + y) = 0y = 0 y = 1Evaluando los nmeros x = 1 y y = 0 para comprobar1 + x + xy + x2y2= 21 + 1 + (1) (0) + (1)2(0)2= 21 + 1 = 22 = 28Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.14. Si a = 1; b = 3; c = 5; entoncesa + b [a b[[a[ +[b[ +[c[es igual a:SolucinDenition 1 El valor absoluto de un nmero real, a; representado por [a[ ; sedene como sigue.1) si a _ 0; entonces [a[ = a:2) si a < 0, entonces [a[ = a:a + b [a b[[a[ +[b[ +[c[ = (1) + 3 [(1) 3[[1[ +[3[ +[5[= (1) + 3 [4[[1[ +[3[ +[5[= 2 41 + 3 + 5= 2915. La expresin 3_an3+3n2+5n+3; a R y n N; es:SolucinPor la propiedad de la potencia ax+y= ax ay, podemos escribir3_an3+3n2+5n+3 = 3_an3+5n+3n2+3= 3_an3+5n 3_a3n2

3_a3= 3_an3+5n an2 a (+)la anterior simplicacin nos acaba de arrojar luz sobre los dos ltimos radi-cales, los cuales tiene raiz cbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica3_an3+5nTomemos el exponente n3+5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos:9Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.n n3+ 5n1 13+ 5 (1) = 1 + 5 = 62 23+ 5 (2) = 8 + 10 = 183 33+ 5 (3) = 27 + 15 = 424 43+ 5 (4) = 64 + 20 = 84Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresin n3+5n siempreda un nmero mltiplo de 3, esto es3[n3+ 5n n3+ 5n = 3k (++)luego en el radical3_an3+5n = 3_a3k = akEsto signica que la expresin 3_an3+3n2+5n+3 es raz cbica exacta.Nota: Demostracin de 3[n3+ 5n \n NAplicaremos el principio de induccin matemtica sobre n:3[n3+ 5n es equivalente a n3+ 5n = 3kPara n = 1; tenemos 13+ 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3[n3+ 5n es verdaderopara n = 1:Hiptesis inducctiva 3[n3+ 5n \n N es verdadero.Tesis de induccin 3[ (n + 1)3+ 5 (n + 1) \n N(n + 1)3+ 5 (n + 1) = n3+ 3n2+ 3n + 1 + 5n + 5= _n3+ 5n_+_3n2+ 3n_+ 6_n3+ 5n_es mltiplo de 3 por hiptesis de induccin, _3n2+ 3n_ = 3_n2+ n_es evidente que es mltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma detres mltiplos de 3 es un mltiplo de 3; esto es 3[ (n + 1)3+5 (n + 1) \n N esverdadero. 16. Las races de la ecuacin ax2+ bx + c = 0 sern recprocas si:Solucin10Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Supongamos las races x1 y x2; ambas races de la ecuacin dada, ahoravamos a reducir la ecuacin dada, asax2+ bx + c = 0aax2+ bax + ca = 0x2+ bax + ca = 0 (+)la ecuacin (+) es la ecuacin reducida de la ecuacin ax2+ bx + c = 0;obsrvese que la ecuacin (+) es de la formax2+ px + q = 0y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos nmeros quemultiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus races, digamosx1 y x2; entonces _ x1 x2 = qx1 + x2 = pAqu podemos tomarba = p ca = qSi la condicin es que x1 = 1x2, es decir que sean recprocas las races,entoncesx1 = 1x2 x1 x2 = 1x1 x2 = q = 1ca = 1c = a17. Si n es un entero positivo, la igualdad _m4km2n + n2_n= _m2n_2nse cumple si k toma el valor:SolucinApliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, as__m2n_2_n= _m42m2n + n2_n11Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente tenamos_m4km2n + n2_n= _m42m2n + n2_nraz n-sima a ambos lados y liston_(m4 km2n + n2)n= n_(m4 2m2n + n2)nm4km2n + n2= m42m2n + n2k = 218. El producto (_x + y +_x + y z) (_x + y _x + y z) es igual a:SolucinObsrvese con atencin que lo que tenemos es una diferencia de cuadradosde la forma (a + b) (a b) = a2b2; luego al hacer el producto resulta__x + y +_x + y z_ __x + y _x + y z_ = __x + y_2__x + y z_2= x + y (x + y z)= x + y x y + z= z19. El coeciente del trmino lineal del producto (ax b) (cx + d) x es:SolucinSi hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresin(ax b) (cx + d) x = acx3+ adx2bcx2bdx= acx3+ (ad bc) x2bdxaqu el trmino lineal es bdx; luego su coeciente es bd:Observacin:12Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Si el producto es simplemente (ax b) (cx + d) ; omitiendo la x que apareceal nal tendriamos(ax b) (cx + d) = acx2bd + adx bcx= acx2+ (ad bc) x bden este caso el trmino lineal es (ad bc) x; luego su coeciente es ad bc:(esta es la respuesta de la gua, tenga en cuenta la aclaracin)20. Si 2 es raz del polinomio x3 x2 14x + 24, entonces la factorizacincompleta de ste es:SolucinTheorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x c si y slo si f (c) = 0Si 2 es raz de x3x214x+24; entonces anula al polinomio cuando x = 2:As podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2:Hacemos ahora la divisinx3x214x + 24 x 2resulta como cociente el polinomio x2+ x 12; luego podemos escribirx3x214x + 24 = (x 2)_x2+ x 12_= (x 2) (x + 4) (x 3)lo cual es su factorizacin completa.21. El polinomio x41 se descompone completamente en el producto de:SolucinNote que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadradosx41 = _x21_ _x2+ 1_luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadradosx41 = _x21_ _x2+ 1_= (x 1) (x + 1)_x2+ 1_as la descomposicin completa de x41 es el producto de 3 binomios.13Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.22. La factorizacin de (x + 1)3+ (y + 6)3es:SolucinApliquemos la factorizacin para la suma de cubosa3+ b3= (a + b)_a2ab + b2_(x + 1)3+ (y + 6)3= (x + 1 + y + 6)_(x + 1)2(x + 1) (y + 6) + (y + 6)2_= (x + y + 7)_(x + 1)2(x + 1) (y + 6) + (y + 6)2_luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado(x + 1)2= x2+ 2x + 1(x + 1) (y + 6) = 6x y xy 6(y + 6)2= y2+ 12y + 36sumando y reduciendo trminos semejantes nos queda(x + 1)3+ (y + 6)3= (x + y + 7)_(x + 1)2(x + 1) (y + 6) + (y + 6)2_= (x + y + 7)_x2+ 2x + 1 6x y xy 6 + y2+ 12y + 36_= (x + y + 7)_x2xy 4x + y2+ 11y + 31_23. Un factor de 5t 12 + 2t2es t + 4 y el otro esSolucinEs suciente con hacer la divisin para encontrar el otro factor2t2+ 5t 12 t + 42t28t 2t 33t 123t + 120luego el cociente de esta diviin, 2t 3; es el factor buscado.14Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.24. Si el producto de los monomios x2nyny xmy es igual a x2y3; entonces losvalores de m y n son respectivamente:SolucinHaciendo el producto y aplicando la inyectividad de la funcin exponencial,tenemos_x2nyn_(xmy) = x2y3x2n+myn+1= x2y3como las bases son invariantes, resulta_ 2n + m = 2n + 1 = 3resolviendo este sistema resulta,n + 1 = 3 n = 3 1n = 22n + m = 22 (2) + m = 24 + m = 2m = 2 4m = 6As, los nmeros buscados son, m = 6 y n = 2:25. Para que la factorizacin de 2y2+9y s sea (2y + k) (y 2k) ; s y k debenvaler respetivamente:SolucinHagamos el producto directo de (2y + k) (y 2k) ; esto es(2y + k) (y 2k) = 2y23ky 2k2Ahora igualando trmino a trmino los dos polinomios, resulta15Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.2y2+ 9y s| | |2y2 3ky 2k2como la factorizacin es nica resulta claro pensar que3ky = 9yk = 93k = 3s = 2k2s = 2k2s = 2 (3)2s = 2 (9)s = 18luego s = 18 y k = 3:26. El resultado de (am+n+ bmn) (bmnam+n) es:SolucinApliquemos la diferencia de cuadrados_bmn+ am+n_ _bmnam+n_ = _bmn_2_am+n_2= b(2)(mn)a(2)(m+n)27. El producto de _ap2b13_3con _ap2+ b13_3es igual a:SolucinHaciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta_ap2b13_3_ap2+ b13_3= __ap2b13__ap2+ b13__316Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.luego lo que est dentreo del corchete es una diferencia de cuadrados__ap2b13__ap2+ b13__3= __ap2_2_b13_2_3a esta ltima expresin aplicamos el cubo del binomio__ap2_2_b13_2_3= __ap2_2_33__ap2_2_2__b13_2_+ 3__ap2_2_ __b13_2_2__b13_2_3= a6p23a4p2b23 + 3a2p2b43 b228. Al simplicar la expresin12 1x2 2x1 + 1xobtenemos:SolucinResolvamos el denominador de la primera fraccin compleja2 1x2 = 2x21x2luego12 1x2= 12x21x2= x22x2 1Ahora resolvemos el denominador de la segunda fraccin compleja1 + 1x = x + 1xluego2x1 + 1x= 2xx+1x= 2x + 117Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.nalmente12 1x2 2x1 + 1x= x22x2 1 2x + 1= x2(x + 1) 2_2x21_(2x2 1) (x + 1)= x3+ x24x2+ 2(2x2 1) (x + 1)= x33x2+ 2(2x2 1) (x + 1)29. El inverso multiplicativo de la fraccin algebraica_x2+ 1_2(x + y)(x4 1)2(x2 y2)en su forma ms simplicada es:SolucinEl invero multiplicativo de esta fraccin es sencillamente el recproco, esdecir_x41_2_x2y2_(x2 + 1)2(x + y) =_x41_ _x41_(x + y) (x y)(x2 + 1) (x2 + 1) (x + y)=_x41_ _x41_(x y)(x2 + 1) (x2 + 1)=_x2+ 1_ _x21_ _x2+ 1_ _x21_(x y)(x2 + 1) (x2 + 1)= _x21_ _x21_(x y)= _x21_2(x y)30. La expresin_ 2x1+ 3y15x1 7y1_1en su forma simplicada es:Solucin18Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R._ 2x1+ 3y15x1 7y1_1= 5x17y12x1 + 3y1= 5x 7y2x + 3y= 5y7xxy2y+3xxy= 5y 7x2y + 3x31. Si f (x) = 10x1; x1 = 1 + 1k; x2 = 1 + 1k2; donde k ,= 1; k Z+; entoncesSolucinf (x) = 10x 1 f (x1) = 101 + 1k 1 = 101k= 10kf (x) = 10x 1 f (x2) = 101 + 1k2 1 = 101k2= 10k2luegof (x1) < f (x2)32. Supongamos que x1 y x2 son las races de la ecuacinax2+ bx + c; (a ,= 0)la expresin1x21 + 1x22expresada en funcin de las races, es igual a:SolucinNote antes que todo que la expresin puede reescribirse como1x21 + 1x22 = x22 + x21x21 x22 (+)19Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.La idea fundamental aqu ser calcular tanto numerador como denomiadorpor separado y luego realizar la divisin.Toda raz de una ecuacn cuadrtica puede escribirse en la formax = b _b2 4ac2aLuego para cada raz dada tenemosx1 = b _b2 4ac2a(2ax1)2= _b _b2 4ac_24a2x21 = 2b24ac 2b_b2 4ac (1)si consideramos la raz x1 eventualmente encontraremos al anlogo a lo an-terior, esto es4a2x22 = 2b24ac 2b_b2 4ac (2)Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2)4a2x21 = 2b24ac 2b_b2 4ac4a2x22 = 2b24ac 2b_b2 4ac4a2_x21 + x22_ = 4b28ac (4)a2_x21 + x22_ = b22acDespus de todas esas simplicaciones encontramos quex21 + x22 = b22aca2que es precisamente el numerador de (+) :Ahora volvamos a considerar nuestra ecuacin original ax2+ bx + c; y en-contremos su ecuacin reducidad dividindola toda por a:ax2+ bx + c aax2+ bax + ca x2+ px + q20Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.con p = ba y q = ca; si x1 y x2 son races de la ecuacin original, tambin loson de su ecuacin reducida. Recordemos que al resolver la ecuacin reducidapor factorizacin encontramos quex1 x2 = qx1 + x2 = pla primera de estas condiciones es lo que necesitamosx1 x2 = q (x1 x2)2= q2(x1 x2)2= _ca_2 x21 x22 = c2a2y as tenemos el denominador de nuestra esxpresin (+) ; nalmente1x21 + 1x22 = x22 + x21x21 x22 = b22aca2c2a2=_b22ac_c221Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.33. Si _r + 1r_2= 3 entonces r3+ 1r3 es igualSolucin. Consideremos el desarrollo de _r + 1r_3esto es_r + 1r_3= 3r + 3r + 1r3 + r3= _r3+ 1r3_+ 3_r + 1r_(+)Ahora consideremos la expresin _r + 1r_3como sigue_r + 1r_3= _r + 1r_2_r + 1r_la expresin al cuadrado es 3; as, podemos escribir_r + 1r_3= 3_r + 1r_Igualando esta ltima expresin con (+) ; resulta_r3+ 1r3_+ 3_r + 1r_ = 3_r + 1r__r3+ 1r3_ = 3_r + 1r_3_r + 1r__r3+ 1r3_ = 034. El valor de la expresin _24_x4 + y4 es:Solucin. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los ndicesde los radicales, es decir, n_ m_x = nm_x; luego_24_x4 + y4 = 22__x4 + y4= 4 4_x4 + y422Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.35. La racionalizacin del denominador de la expresin1x23 y23da como resultado:En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales1x23 y23= 13_x2 3_y2como la expresin a racionalizar es un radical de ndice 3, multiplicaremosnumerador y denominador por la expresin 3_x4 + 3_x2y2 + 3_y4; esto es13_x2 3_y2 = 13_x2 3_y2 3_x4 + 3_x2y2 + 3_y43_x4 + 3_x2y2 + 3_y4= 3_x4 + 3_x2y2 + 3_y4_ 3_x2 3_y2__ 3_x4 + 3_x2y2 + 3_y4_= 3_x4 + 3_x2y2 + 3_y4x2 y2= x43 + x23y23 + y43x2 y236. La simplicacin de la expresin6_(x y + z)2 6_ 1x y + z 14 6_x y + z +_x y + z 3_x y + zda como resultado:Solucin. Como la expresin no tiene parntesis, entonces tomamos en cuentalos ordenes de prioridad, primero divisin y multiplicacin luego suma yresta.6_(x y + z)2 6_ 1x y + z 14 6_x y + z +_x y + z 3_x y + z6_ 1x y + z (x y + z)2 14 6_x y + z + 6_(x y + z)3 6_(x y + z)26_x y + z 14 6_x y + z + 6_x y + z2 6_x y + z 14 6_x y + z74 6_x y + z23Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.37. La expresin n2_a a33 a53 a(2n1)3es igual a:sugerencia: 13+ 33+ + (2n 1)3= n2_2n21_Solucin. La cantidad subradical es un producto de potencias de la mismabase, as que podemos escribirn2_a a33 a53 a(2n1)3= n2_a13+33++(2n1)3= n2_an2(2n21)= n2__a(2n21)_n2= a(2n21)38. La raz quinta de la raz cuarta de la raz cuadrada de la raz cuadrada de_a2+ b2_ es igual a:Solucin. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje comn, y procedemosanidando las raices hacia atras.5_ 4___(a2 + b2) = 80_(a2 + b2)= _a2+ b2_ 18039. Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 4 y 2kx + 3ky = 4k; k ,= 0; el conjunto detodas las soluciones es:Solucin. La segunda ecuacin es mltiplo de la primera en un factor k; asestas sern rectas paralelas. Luego2x + 3y = 43y = 4 2xy = 4 2x3x; puede tomar valores arbitrarios y los de y estn determinados por y =42x3 : As, el conjunto solucin ser __x; 42x3_ : x R_y = 42x324Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-2-11234xy40. El conjunto solucin del sistema de ecuaciones es:_ [x 1[ +[y 5[ = 1y [x 1[ = 5Solucin. Recordemos la denicin de valor absoluto[a[ = _ a; si a = 0a; si a < 0Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos.Primero que los valores absolutos sean positivos_ (x 1) + (y 5) = 1y (x 1) = 5Reduciendo _ x + y = 7y x = 4resolviendo este sistema por eliminacin2y = 11y = 112si y = 112 ; entoncesx + y = 7x = 7 yx = 7 112x = 3225Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.sol._32; 112_La segunda combinacin es[x 1[ +[y 5[ = 1(x 1) + (y 5) = 1x + 1 + y 5 = 1x + y = 5Para la segunda ecuaciny [x 1[ = 5y [(x 1)] = 5y + x 1 = 5x + y = 6As formamos el sistema de ecuaciones_ x + y = 5x + y = 6eliminando x; resulta2y = 11y = 112si y = 112 ; entoncesx + y = 6x = 6 yx = 6 112x = 12luego, sol._12; 112_La solucin al sistema original es __32; 112_;_12; 112__:41. Hallar tres nmeros, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en lamisma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el productode los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.Solucin. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico26Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.x1 : primer nmerox2 : segundo nmerox3 : tercer nmerox2 > x1 y x3 > x2x2x1 = x3x2x1 x2 = 85 (1)x2 x3 = 115 (2)Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primerodividamos las dos ecuacionesx2 x3x1 x2 = 11585x3x1 = 2317x3 = x1_2317_(+)Por otro lado consideremos la proporcinx2x1 = x3x2x22 = x1 x3 (++)Sustituyendo (+) en (++) resultax22 = x1_x1_2317__x22 = x21_2317_x2 = x1_2317 ()27Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Sustituyendo () en (1)x1 x2 = 85x1_x1_2317_ = 85x21 _2317 = 85x21 = 85_2317x1 =_ 85_2317x1 = 8:5Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resultax1 x2 = 85(8:5) x2 = 85x2 = 858:5x2 = 10x2 x3 = 115(10) x3 = 115x3 = 11510x3 = 11:5Sol. (8:5; 10; 11:5)42. El sistema_ kx + y = 1x + ky = 5tiene solucin nica si:Solucin. Recordemos que segn la regla de Cramer, un sistema de dos vari-ables tiene solucin nica si el determinante de la matriz de coecientesno es cero, esto es28Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R._ k 11 k_ ,= 0_ k 11 k_ = k21 ,= 0k21 ,= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y 1:k ,= 1; 143. La suma de dos nmeros es 666 y si se divide el mayor entre el menor elcociente es 5 y el residuo 78. Dichos nmeros son:Solucin. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraicox1 : primer nmero (mayor)x2 : segundo nmero (menor)x1 + x2 = 666 (1)x1 = 5x2 + 78 (2)x1 + x2 = 666x1 5x2 = 78Resolvemos el sistema por eliminacin, multilplicando por (1) la ecuacin(2) para eliminar xx1 + x2 = 666x1 + 5x2 = 786x2 = 588x2 = 5886x2 = 98Sustituyendo en (2)x1 5x2 = 78x1 = 78 + 5x2x1 = 78 + 5 (98)x1 = 568Sol.(568; 98)29Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si ste secalcula al dividir la edad mental por la edad cronolgica multiplicado por100, la edad mental de Einstein cuando public en 1905 su teora sobre elefecto fotoelctrico era:Solucin. El coeciente intelectual (IQ), edad mental (EM) y la edad cronolg-ica (EC)IQ = EMEC 100Si public su terora del efecto fotoelctrico en 1905 y segn su biografanaci en 1879; entonces su edad cronolgica era1905 1879 = 26Luego,IQ = EMEC 100EM = IQ100 ECEM = 170100 26EM = 44:245. Mi hijo es ahora tres veces ms joven que yo, pero hace cinco aos eracuatro veces ms joven. cuntos aos tiene?Solucin. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraicox : edad actual del padrey : edad actual del hijoPlanteamos el sistema_ x = 3yx 5 = 4 (y 5)Simplicando _ x 3y = 0 (1)x 4y = 15 (2)Resolvemos por eliminacin, multiplicando por (1) la ecuacin (1) paraeliminar x:30Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R._ x + 3y = 0x 4y = 15 (2)y = 15y = 15luego, el hijo tiene 15 aos.46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lopusieron todo en una cuenta que ascendi a 36 crdobas. Todos iban apagar por igual, pero tres de ellos se haban ido, por lo que a cada unole toc pagar 1 crdoba ms. cuntas personas conformaban el grupooriginal?Solucin. Digamos que x representa el nmero de personas en el gruponx = 36 (n lo consumido por cada uno)(x 3) (n + 1) = 36 (se van 3 y agregan un crdoba)Despejemos n de la primera ecuacin y sustituimos en la segunda, asnx = 36 n = 36x(x 3) (n + 1) = 36 (x 3)_36x + 1_ = 36 (x 3)_36x + 1_ = 36 (x 3)_36 + xx_ = 36 (x 3) (36 + x) = 36x 36x + x2108 3x = 36x x23x 108 = 0Llegamos a una ecuacin cuadrtica, factorizando resulta enx23x 108 = 0(x 12) (x + 9) = 0x = 12 . x = 9tomamos la solucin positiva, as haban 12 personas.31Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.47. Un hombre entr en la crcel para cumplir una condena. Para que sucastigo fuera ms duro no le dijeron cuanto tiempo tendra que estar alldentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le haba cadobien.Preso:vamos! puedes darme una pequea pista sobre el tiempo que tendrque estar en este lugar?Carcelero:cuntos aos tienes?Preso: veinticincoCarcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, qu da naciste?Preso: Hoy es mi cumpleaosCarcelero: Increble. tambin es el mo!. Bueno, por si te sirve de ayuda tedir (no es que deba, pero lo har) que el da que yo sea exactamente eldoble de viejo que t, ese da saldrs. cunto tiempo dura la condena delpreso?Solucin.Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto serax = 54y = 25Luego podemos establecer una relacin entre las edadesx y = 54 25x = 29 + yrecordemos, que el preso saldr cuando la edad del carcelero sea el doble quela del preso, es decir2y = 29 + y2y y = 29y = 29lo que signica que saldr cuando tenga 29 aos, as la condena dura 4 aos.32Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.48. La suma de las cuatro races de la ecuacin ax2+bx+c = 0 y ax2bx+c = 0;con a ,= 0 y b24ac > 0 es igual a:Solucin. Las races de toda ecuacin cuadrtica estn dadas porx = b _b2 4ac2aPara la primera ecuacin las races sernx1 = b _b2 4ac2aPara la segunda ecuacin, tenemosx2 = (b) _b2 4ac2aLuego la direncia serx1 + x2 =_b _b2 4ac2a_+_b _b2 4ac2a_x1 + x2 = 049. El nmero de soluciones de la ecuacin x25 [x[ + 2 = 0; si x ,= 0 es:solucin. Recordando la decin de valor absoluto podemos plantear lo sigu-ientex25x + 2 = 0x2+ 5x + 2 = 0hemos obtenido dos ecuaciones cuadrticas distintas, como cada una tiene 2soluciones, la ecuacin original poseer 4 soluciones.50. Si x es un nmero real distinto de cero, la solucin de la proporcin jxj18 =x712 es:33Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Solucin.[x[18 = x 71212 [x[ = 18 (x 7)12 [x[ = 18x 12612 [x[ 18x + 126 = 0Por la denicin de valor absoluto, podemos plantear12x 18x + 126 = 012x 18x + 126 = 0Resolviendo la primera ecuacin12x 18x + 126 = 06x + 126 = 06x = 126x = 1266x = 21Para el segundo caso12x 18x + 126 = 030x + 126 = 030x = 126x = 12630x = 215Evaluando la primera solucin en la proporcin resulta[x[18 = x 712[21[18 = 21 7122118 = 141221 12 = 18 14252 = 25234Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Para la segunda solucin se obtiene21518 = 215 7122140 = 730Lo cul es falso, as la solucin que verica la proporcin es x = 21.51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabode algunos aos. Despus de saludarse,Daniel: cuntos hijos tienes?Arturo: Tres hijosDaniel: Qu edades tienen?Arturo: T mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36:Daniel, despus de pensar durante algn tiempo, le dice a Arturo que necesitams datos.Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al nmero de la casaque tenemos enfrente, Daniel mira el nmero de la casa que le indica Arturoy quedndose pensativo durante un par de minutos. No es posible!- responde,con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta unadato ms.Arturo: Perdona Daniel, olvid decirte que mi hija la mayor toca el piano.Daniel: En ese caso, ya s sus edades. Qu edades tienen los hijos dearturo?Solucin. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 361 9 4 = 363 3 4 = 362 2 9 = 362 6 3 = 366 6 1 = 3618 2 1 = 3612 3 1 = 3636 1 1 = 3635Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Ahora sumamos estos nmeros1 + 9 + 4 = 143 + 3 + 4 = 102 + 2 + 9 = 1318 + 2 + 1 = 2112 + 3 + 1 = 1636 + 1 + 1 = 382 + 6 + 3 = 116 + 6 + 1 = 13No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer lasedades de tus hijos. Est exclamacin resulta porque l conoce el nmero dela casa, la decisin no se puede tomar porque el nmero debe ser el nmerorepetido 2 + 2 + 9 = 13 y 6 + 6 + 1 = 13; luego la mayor toca el piano, esto nosobliga a elegir (2; 2; 9) :52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.cul es el mayor de esos tres nmeros?Solucin. Si tenemos tres nmeros consecutivos entoncesx1 : 1ernmerox1 + 1 : 2donmero(x1 + 1) + 1 : 3ernmeroSi su producto es 3360 entonces(x1) (x1 + 1) (x1 + 2) = 3360Su suma es 45; es decirx1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 453x1 + 3 = 453x1 = 45 3x1 = 423x1 = 1436Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Luego los nmero buscados sonx1 = 14x1 + 1 = 15x1 + 2 = 16El mayor desde luego es 16:53. Un autobs comienza su trayecto con cierto nmero de pasajeros. En laprimera parada descienden 13 de los pasajeros y suben 8: En la segundaparada descienden 12 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. Eneste momento, el autobs lleva la mitad del nmero de pasajeros de los quellevaba al principio del trayecto. cuntos pasajeros habia al principio?Solucin.Llamemos x al nmero de pasajeros que haba al inicio:1raparada quedan en el bus x 13x + 8 = 23x + 82daparada quedan en el bus 23x+82 + 2 = 13x + 6 = x2Luego resulta que;13x + 6 = x2x2 13x = 63x 2x6 = 6x = 3654. En navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. Enesta ocasin las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero loshombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compaerosy la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compaeras. Sabemosque el doble del nmero de mujeres excede en 6 al nmero de hombres. Sien total se han dado 38 regalos, cuntos empleados tiene la empresa?37Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Solucin.Llamemos x al nmero de hombres de la empresa y y al nmero de mujeres,luegoSabemos que el doble del nmero de mujeres excede en 6 al nmero dehombres2y = x + 6Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signica que una da un regalo alas dems, excepto a ella misma, as como hay y entonces el nmero de regalosque dan las mujeres sern.y (y 1)En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compaeros yla otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compaeras. La mitad de loshombres dan un regalo asu compeero, excepto a si mismo, luegox2 (x 1)La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cadamujer esto es,x2 (y)La ecuacin nal para los regalos esy (y 1) + x2 (x 1) + x2 (y) = 318resolviendo esta ecuacin resultay2y + x22 x2 + xy2 = 3182y22y + x2x + xy2 = 3182y22y + x2x + xy = 636despejamos x de la primera ecuacin2y = x + 6x = 2y 6y sustituimos2y22y + x2x + xy = 6362y22y + (2y 6)2(2y 6) + (2y 6) y = 6362y22y + 4y224y + 36 2y + 6 + 2y26y = 6368y234y + 42 636 = 08y234y 594 = 04y217y 297 =38Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Aplicando la frmula general, tenemosy = (17) _(17)24 (4) (297)2 (4)y = 17 _289 + 47528y = 17 _50418y = 17 718y1 = 17 + 718 = 888 = 11y2 = 17 718 = 548tomamos solucin y = 11; para el caso la que tiene sentido, sustituimos estaen la primera ecuacin para encontar x:x = 2y 6x = 2 (11) 6x = 22 6x = 16luego la solucin es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas.55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a b) ,= 0; a ,= 0. b ,= 0; a ,= b_ (a b) x + (a + b) y = 1 (1)xab + ya+b = 1a2b2 (2)la solucin que se obtiene es:Solucin.Recordemos que a2 b2= (a + b) (a b) ; luego multiplicamos la ecuacinnmero (2) por a2b239Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R._ (a b) x + (a + b) y = 1(a2b2)xab + (a2b2)ya+b = 1(a2b2)a2b2_ (a b) x + (a + b) y = 1 (1)(a + b) x + (a b) y = 1 (2)Ahora multiplicamos la ecuacin (1) por [(a + b)] y la ecuacin (2) por(a b) ; as_ [(a + b)] (a b) x + [(a + b)] (a + b) y = [(a + b)](a b) (a + b) x + (a b) (a b) y = (a b)Eliminando resulta_ [(a + b)] (a + b) y = [(a + b)](a b) (a b) y = (a b)_ ya22yab yb2= a bya22yab + yb2= a b4yab = 2by = 2b4aby = 12aSustituyendo para encontrar x(a + b) x + (a b) y = 1(a + b) x + (a b)_ 12a_ = 1(a + b) x = 1 (a b)2a(a + b) x = 2a a + b2a(a + b) x = a + b2ax = 12aAs, la soluci al sistema es _ 12a; 12a_56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se aade un 5 ala derecha el nmero resultante es divisible exactamente por un nmeroque sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos16.40Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.Solucin.Llamemos x al nmero buscado, luego aadimos 5 a su derecha y resultax5: Ahora vamos a escribir estos nmero en su representacin decimal (con dosdgitos, de no resultar debe de seguirse con tres dgitos y as).x = a1 10 + a0x5 = a1 102+ a0 10 + 5Usando el algoritmo de la divisin (p = q k + r) resulta que:a1 102+ a0 10 + 5 = (a1 10 + a0 + 3) (a1 10 + a0 13)= a20 + 20a0a1 10a0 + 102a21 102a1 39= 102a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a20 39a1 102+ a0 10 + 5 = 102a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a20 39Segnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, asa1 102= 102a1 (a1 1)1 = a1 1a1 = 2a0 10 + 5 = 10a0 (2a1 1) + a20 39a0 10 + 5 = 10a0 (2 (2) 1) + a20 39a0 10 + 5 = 40a0 10a0 + a20 39a0 10 + 5 = 30a0 + a20 39a20 + 20a0 44 = 0(a0 + 22) (a0 2) = 0a0 = 22 . a0 = 2Para a0 tomamos el valor positivo as el nmero buscado esx = a1 10 + a0x = (2) 10 + 2x = 20 + 2x = 2241Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.La solucin de mayor valor numrico de la ecuacin [x[ + x3= 0 es:Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para estaecuacin los casos que siguen:[x[ + x3= 0x3= [x[x3= x x3= (x)Resolviendo la primera ecuacinx3= xx3+ x = 0x_x2+ 1_ = 0x = 0 . _x2+ 1_ = 0ntese que la ecuacin _x2+ 1_ = 0 no tiene solucin en los nmeros reales.Para el segundo casos tenemosx3= (x) = xx3x = 0x(x21) = 0x = 0 . x21 = 0Resolviendo la ecuacin x21 = 0;x2= 1x = 1 . x = 1Luego las soluciones de la ecuacin original son: 1 y 0; luego la solucinde mayor valor numrico es 0:42Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.58. Para que la ecuacin x2 2x + k = 0 (+) no tenga solucin en R debecumplirse que:Aplicando la frmula general para esta ecuacin tenemosx = (2) _(2)24 (1) (k)2x = 2 _4 4k2x = 2 _4(1 k)2x = 2 2_(1 k)2x = 1 _(1 k)Luego analizando el discriminante_(1 k); resulta que para que la ecuacin(+) no tenga solucin debe ser k > 1; as _(1 k) = R:59. Si los valores de R1; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcularel recproco de R2 utilizando la ecuacin 1R = 1R1 + 1R2 + 1R3 se obtiene:Se trata de despejar 1R2 de la expresin para la resistencia, as1R = 1R1 + 1R2 + 1R31R2 = 1R 1R1 1R360. Una solucin irracional de la ecuacin_x2+ 1_ _2x28_ _x2_(x 2:5) = 0es:Recordemos que un nmero irracional es aquel que no puede expresarsecomo un cociente indicado de dos nmeros enteros, luego las soluciones de estaecuacin sern:_x2+ 1_ = 0x2= 1x = _143Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.las cuales son soluciones imaginarias en los nmeros complejos._2x28_ = 02x2= 8x2= 82x2= 4x = _4x = 2las cuales son soluciones reales._x2_ = 0x2= x2= x = _

las cuales son raices irracionales, puesto que es irracional.x 2:5 = 0x = 2:5la cual es una solucin racional.Por lo tanto una solucin irracional es _:61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuacin de segundo grado.1 2bx a = a2b2a2 + x2 2axPrimero simplicamos la expresina2b2x2 2ax + a2 + 2bx a = 1a2b2(x a)2 + 2bx a = 1a2b2+ 2b (x a)(x a)2 = 1a2b2+ 2b (x a) = (x a)2a2b2+ 2bx 2ba = x22ax + a2x22ax 2bx + b2+ 2ab = 0x2(2a + 2b) x +_b2+ 2ab_ = 044Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.En este punto aplicamos la frmula general para ecuaciones cuadrticasx = (2a + 2b) _[(2a + 2b)]24 (1) (b2 + 2ab)2x = (2a + 2b) _4a2 + 8ab + 4b2 4b2 8ab2x = (2a + 2b) _4a22x = (2a + 2b) 2a2x = a + b aseparando las raices resulta quex1 = 2a + b . x2 = b62. Determinar la ecuacin de segundo grado cuyas races sean los cubos de lasde x2+ 2x 8:Resolviendo esta ecuacin por factorizacin tenemos.x2+ 2x 8 = (x + 4) (x 2)(x + 4) (x 2) = 0(x + 4) = 0 . (x 2) = 0x1 = 4 . x2 = 2x31 = 64 . x32 = 8Luego la ecuacin buscada debe tener por races a 64 y 8:Consideremos la forma de una ecuacin cuadrtica factorizablex2+ bx + c = 0sabemos que puede escribirse en la forma de dos productos lineales(x + m) (x + n) = 045Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.donde n y m tienen las propiedades siguientesmn = cm + n = bsi 64 y 8 son soluciones de una ecuacin cuadrtica, entonces podemos escribir(64) (8) = 512[(64) + (8)] = 56as, la ecuacin buscada esx2+ 56x 512:63. El nmero -1 es solucin de la ecuacin de segundo grado 3x2+bx +c = 0:Si los coecientes b y c son nmeros primos, el valor de 3c b es:Si 1 es solucin de la ecuacin 3x2+ bx + c = 0; entonces3 (1)2+ b (1) + c = 03 b + c = 0c b = 3b c = 3entonces se trata de encontrar dos nmeros primos cuya diferencia sea 3; porinspeccin podemos elegir b = 5 y c = 2; ambos primos y adems 5 3 = 2;luego3c b = 3 (2) 5= 6 5= 146Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.64. Cada letra representa un nmero en el siguiente arreglo. La suma de cua-lesquiera tres nmeros consecutivos es 18. cunto vale H?3 B C D E 8 G H IPodemos plantear las siguientes relaciones3 + B + C = 18de dondeB + C = 15LuegoB + C + D = 1815 + D = 18D = 18 15D = 3siguiendo el mismo argumentoD + E + 8 = 183 + E = 18 8E = 10 3E = 7para las siguientes tres letrasE + 8 + G = 187 + 8 + G = 18G = 18 15G = 3y nalmente8 + G + H = 188 + 3 + H = 18H = 18 11H = 747Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.65. El conjunto de las soluciones positivas de la inecuacin [x + 5[ < 4 es:Recordemos la siguiente propiedad del valor absoluto[a[ < b == b < a < baplicando esta propiedad tenemos[x + 5[ < 4 == (4) < x + 5 < 44 < x + 5 < 44 5 < x + 5 5 < 4 51 < x < 9sol: (1; 9)ntese que este conjunto solucin no satisface a la inecuacin original, bastacon tomar un valor de prueba, digamos k = 3; al evaluar resulta[x + 5[ < 4[3 + 5[ < 4[2[ < 42 < 4lo que es absurdo, luego el conjunto solucin de la inecuacin es el conjuntovaco, :66. Hallar un nmero de dos cifras sabiendo que el nmero de unidades excedeen dos el nmero de decenas y que el producto del nmero deseado por lasuma de sus dgitos es 144.Sabemos que es un nmero de dos cifras, escibamos su desarrollo decimal10x + ydonde x es el nmero de las decenas y y el de las unidades. Como el nmero delas unidades excede en dos al de las decenas, entoncesy x = 2 (1)por otro lado, si el producto del nmero deseado por la suma de sus dgitos es144, entonces(10x + y) (x + y) = 144 (2)podemos emplear la ecuacin (1) y reducir trminosy x = 2y = 2 + x48Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.sustituimos en la ecuacin (2)(10x + y) (x + y) = 144(10x + (2 + x)) (x + (2 + x)) = 144(11x + 2) (2x + 2) = 14422x2+ 26x + 4 = 14422x2+ 26x 140 = 0 (3)Resolvemos la ecuacin (3) usando la frmula general para ecuaciones cuadrti-casx = 26 _(26)24 (22) (140)2 (22)x = 26 _676 + 1232044x = 26 _1299644x = 26 11444x1 = 26 + 11444 = 2x1 = 26 11444 = 3511tomamos para x el valor entero y positivo, 2; y lo sustituimos en la ecuacin (1)y x = 2 (1)y 2 = 2y = 2 + 2y = 4As el nmero buscado es10x + y = 10 (2) + 4 = 20 + 4 = 2449Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.67. Si x < y y z es un nmero real diferente de cero, entonces la proposicinfalsa es:a) (z)2x < (z)2y b) _1 + z2_x < _1 + z2_y c) z2x > z2y d) 1z2x < 1z2yNtese que en el inciso c) z est al cuadrado, as que este valor (z2) siempreser positivo, luegox < y; z2> 0entonces por propiedades de las desigualdades se cumple quez2x < z2yde donde c) resulta der falsa.68. Si x > 1; entonces se cumple que:a) _x2 + x + 4 > x + 2 b) _x2 + x + 4 = x + 2 c) _x2 + x + 4 < x + 2 d) x = 0Tomando a) y eliminando el radical obtenemos__x2 + x + 4_2> (x + 2)2x2+ x + 4 > x2+ 4x + 4x > 4xcomo x > 1 esto no puede ser.Tomando b) y eliminando el radical obtenemos__x2 + x + 4_2= (x + 2)2x2+ x + 4 = x2+ 4x + 4x = 4xpor el mismo razonamiento b) tampoco es posible.Del mismo modo para c)__x2 + x + 4_2< (x + 2)2x2+ x + 4 < x2+ 4x + 4x < 4xGracias a la condicin x > 1; c) si es posibles. Evidentemente d) es absurdo.50Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.69. Si 0 < x < 1, entonces se cumple la relacina) 1x < 1 b) 1x > 1x2 c) 11+x+x2 < 11+x d) 1x = 1x2Partiendo de la desigualdad dada como hiptesis tenemos0 < x < 1x2< x1 + x2< 1 + xal agregar x slo al lado izquierdo de la desigualdad, entonces el signo se invierte1 + x + x2> 1 + xluego tenemos que1 + x + x21 + x + x2 > 1 + x1 + x + x21 > 1 + x1 + x + x211 + x > 1 + x1 + x + x2 11 + x11 + x > 11 + x + x2 o11 + x + x2 < 11 + x51Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.70. Al resolver la ecuacin _2 _2 + x = x; se obtiene que el valor de x es:Primero eliminamos los radicales de la ecuacin__2 _2 + x_2= x22 _2 + x = x2__2 + x_2= _x22_2x + 2 = x44x2+ 4x44x2x + 2 = 0De lo que resulta una ecuacin de cuarto grado.Tengamos presente el siguiente teoremaTheorem 3 Si el polinomiof(x) = anxn+ an1xn1+ an2xn2+ + a0tiene coecientes enteros y c=d es un cero racional de f(x) tal que c y d noposean un factor primo comn, etonces i) el denominador c del cero es unfactor comn del trmino constante a0, ii) el denominador d del cero es unfactor del coeciente inicial an:Para la ecuacin que nos ocupa tenemosopciones para el denominador c 1; 2opciones para el numerador d 1opcines para c=d 1; 2Al efectual la divisin por el factor x + 1; resulta la descomposicinx44x2x + 2 = _x3x23x + 2_(x + 1) = 0_x3x23x + 2_(x + 1) = 0de donde una raiz de la ecuacin esx + 1 = 0x = 1de forma anloga resolvemos la ecuacin cbica_x3x23x + 2_ = 052Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.al dividir por el factor x 2; resulta la descomposicin_x2+ x 1_(x 2) = 0de donde otra raiz esx 2 = 0x = 2nalmente resolvemos la ecuacin cuadrticax2+ x 1 = 0x = 1 _12 4 (1) (1)2 (1)x = 1 _52x1 = 1 +_52 = 12 +_52x2 = 1 _52 = 12 _5253Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.