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  • 8/3/2019 Algebra Reales

    1/187

    UNIVERSIDAD DE LA FRONTERADepartamento de Matematica

    Cuaderno Interactivo

    Los numeros reales

    Directorio

    Tabla de Contenido Inicio Artculo

    c 2000-2009 [email protected] el: 26 de Febrero de 2009 Version 5.0

    mailto:[email protected]:[email protected]
  • 8/3/2019 Algebra Reales

    2/187

    Tabla de Contenido

    1. Introduccion

    2. Estructura de cuerpo

    3. Consecuencias de la estructura de cuerpo

    3.1. Algebra de potencias en IR Propiedades Productos notables con potencias

    3.2. Multiplicaciones y factorizaciones

    4. Completando cuadrados

    5. Ecuaciones de primer y segundo grado5.1. Axiomas y teoremas de la igualdad en (IR, +, )

    Observaciones

    6. Radicales Naturaleza de las races

    7. Racionalizacion

    Forma Nn

    am Forma N

    a b FormaN

    3

    a 3b8. Ecuaciones irracionales

    9. Logaritmos Algebra de logaritmos10. Ecuaciones exponenciales y logartmicas

    11. El cuerpo ordenado (IR, +, )11.1.Principios de orden11.2.Axiomas de orden11.3.Desigualdades

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    Tabla de Contenido (cont.) 3

    11.4.Intervalos11.5.Inecuaciones11.6.Valor absoluto

    Propiedades Distancia en IR12. Completitud de IR

    12.1.Supremos e nfimos12.2.La propiedad del supremo de IR

    La propiedad de Arqumedes La existencia de 2 Densidad de Q en IRSoluciones a los Ejercicios

    Soluciones a los Tests

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    Seccion 1: Introduccion 4

    1. Introduccion

    A partir de la definicion de los numeros naturales es posible construir ZZ y a partir de este Q. Sin embargoQ es insuficiente para abordar el problema de la medida de segmentos, es decir, de poder asignar a cadasegmento una longitud, concretamente la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con la base, lo quecorresponde analticamente a la imposibilidad de encontrar un numero racional cuyo cuadrado sea 2 (hechoconectado con el de que hay conjuntos acotados superiormente que no tienen supremo). Ello hace necesario laampliacion del conjunto de los numeros racionales. La siguiente etapa en la extension da origen a los numerosreales y permite resolver satisfactoriamente los dos problemas antes aludidos. La frase de Kronecker Dioshizo los numeros naturales, los demas es obra de los hombres adquiere todo su sentido. A partir de Q esposible construir un cuerpo, llamado el cuerpo de los numeros reales y denotado con IR que es un cuerpototalmente ordenado y conmutativo que contiene una copia de Q y que permite resolver el problema de lamedida de cualquier longitud. Hay varios modelos de construccion pero aqu utilizaremos un punto de vista

    diferente: introduciremos IR de manera axiomatica, es decir, supondremos que existe un conjunto IR quetiene las propiedades deseadas.

    Se distinguen los siguientes subconjuntos de IR:

    1. Numeros enteros: son los numeros reales con parte decimal nula (cero), es decir:

    ZZ = { , 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, }Podemos agregar que ZZ = ZZ

    {0

    } ZZ

    +, en donde

    ZZ = { , 3, 2, 1}, ZZ+ = {+1, +2, +3, }

    son los numeros enteros negativos y positivos, respectivamente.

    En ZZ conocemos una suma y una multiplicacion que satisfacen, la propiedad de clausura, la leyasociativa y conmutativa y que poseen elementos neutros 0 y 1, respectivamente. Pero, aunque cadaentero a posee un inverso aditivo (opuesto) a y por esto se tiene una resta de enteros que resulta otro

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    Seccion 1: Introduccion 5

    entero, a b = a + (b), no hay division entre enteros que resulte un entero por cuanto ZZ no poseeinversos multiplicativos o recprocos. Esta limitacion de ZZ, lleva a definir un conjunto mas poderosoen su algebra, los racionales.

    2. Numeros racionales: son los numeros reales con parte decimal periodica y que resultan de efectuarla division entre dos numeros enteros.

    Q = {ab

    IR/ a ZZ, b ZZ {0}}Se distinguen tres tipos de decimal periodico, resultantes al dividir enteros:

    Finitos (periodo nulo): Tienen la forma E, D0, donde E es la parte entera y D es la partedecimal.

    Ejemplo 1.119

    4

    = 4, 750 = 4, 75

    Para volver a escribir como racional esta clase de decimales, la formula es

    E, D = E+D

    10n

    donde n es el numero de cifras en D.

    Ejemplo 1.2 4, 75 = 4 +75

    102

    = 4 +3

    4

    =19

    4 Infinitos periodicos (periodo completo): Tienen la forma E, P, donde E es la parte entera y P

    es la parte decimal que se repite (periodica).

    Ejemplo 1.314

    3= 4, 6666 = 4, 6

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    Seccion 1: Introduccion 6

    Para volver a escribir en forma racional esta clase de decimales, la f ormula es

    E, P = E+P

    10m 1en donde m es el numero de cifras en P.

    Ejemplo 1.4 4, 6 = 4 + 6101 1 = 4 +

    69

    = 143

    Infinitos semiperiodicos (periodo parcial): Son de la forma E,DP, donde E es la parte entera,D es la parte decimal fija y P es la parte decimal que se repite o peri odica.

    Ejemplo 1.519

    12= 1, 583333 = 1, 583

    Para volver a escribir esta clase de decimal como racional se usa:

    E,DP = E+DP D

    10n(10m 1)en donde n es el numero de cifras en D y m es el numero de cifras en P.

    Ejemplo 1.6 1, 583 = 1 +583 58

    102(101

    1)

    =525

    900= 1 +

    7

    12=

    19

    12

    3. Irracionales: Todos los demas reales que como decimales son no periodicos, se reunen en el conjuntode los numeros irracionales que se denota por II. Ejemplos habituales son las races inexactas como

    2, 5

    3, 3

    9 y los numeros trascendentales como = 3, 14159 , e = 2, 71828 , o combinacionesde ellos, como por ejemplo, + 3

    2.

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    Seccion 2: Estructura de cuerpo 7

    Ejercicio 1.

    (a) Escribir la expresion decimal de57

    4

    (b) Escribir la expresion decimal de13

    3

    (c) Escribir el decimal 2, 7 como cociente de enteros(d) Escribir el decimal 5, 273 como cociente de enteros

    (e) Escribir el numero 0, 3 como fraccion.

    (f ) Escribir 2, 105 como fraccion.

    2. Estructura de cuerpo

    Decimos que el sistema formado por el conjunto IR y las operaciones de adicion (+) y de multiplicacion() constituye una estructura algebraica que anotaremos (IR, +, ) y llamamos cuerpo en tanto satisface lossiguientes once axiomas:

    clausura : a, b IR, s IR tal que a + b = s.asociatividad : a,b,c IR a + (b + c) = (a + b) + c.existencia de neutro : 0 IR tal que a IR a + 0 = 0 + a = aexistencia de inverso :

    a, b

    IR,

    (

    a)

    IR tal que a + (

    a) =

    a + a = 0.

    conmutatividad : a, b IR a + b = b + a.clausura : a, b IR, m IR tal que a b = m.asociatividad : a,b,c IR a (b c) = (a b) c.existencia de neutro : 1 IR tal que a IR a 1 = 1 a = aexistencia de inverso : a, b IR, a1 IR tal que a a1 = a1 a = 1.

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 8

    conmutatividad : a, b IR a b = b a.distributividad : a,b,c IR a (b + c) = a b + a c.hicimos uso del hecho que IR = IR {0}.

    Observacion: A partir de estos once axiomas se construye el algebra de numeros reales en toda su

    perfeccion y complejidad. Si a ellos agregamos los axiomas y propiedades de la igualdad de numeros realesy algunas nuevas definiciones de operaciones y notaciones particulares tales como las potencias, las races,los logaritmos y otras, habremos constituido la estructura de numeros mas completa y de mejores recursosalgebraicos para modelar un sinnumero de situaciones problematicas de nuestro entorno natural y social.

    Definicion 2.1

    a + (b) = a b es la resta de a menos b

    a b

    1 = a : b =a

    b es la division a dividido por b, para b = 0.

    3. Consecuencias de la estructura de cuerpo

    Proposicion 3.1 a,b,c IR:1. El neutro aditivo (0) y el opuesto de a (a) son unicos.2. (a) = a3. (a + b) = (a) + (b)4. a + c = b + c a = b5. !x IR tal que a + x = b. Se le llama solucion de la ecuacion aditiva y resulta ser x = b + (a)

    Proposicion 3.2 a,b,c IR:1. El neutro multiplicativo (1) y el recproco de a (a1) son unicos.

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 9

    2. (a1)1 = a, con a = 03. (a b)1 = a1 b1, con a = 0 y b = 04. a c = b c a = b, con c = 05.

    !x

    IR tal que a

    x = b. Se le llama solucion de la ecuacion multiplicativa y resulta ser x = b

    a1,

    con a = 0Proposicion 3.3 a,b,c IR.

    1. a 0 = 0 a = 02. 1 = 03. a = 1 a

    4. (a) b = a (b) = (a b) = a b5. (a) (b) = a b6. a (b c) = a b a c7. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd8.

    0

    b= 0 b1 = 0, con b = 0

    9.a

    b c

    d=

    ac

    bd, con bd = 0

    10.a

    b:

    c

    d=

    ad

    bc, con bcd = 0

    11. ab

    = anbn

    , con bn = 0

    12.a

    b+

    c

    d=

    ad + bc

    bd, con bd = 0

    13.a

    b+

    c

    b=

    a + c

    b, con b = 0

    Test.

    1. Los numeros naturales, IN, satisfacen una de las siguientes propiedades:

    (a) todo elemento tiene inverso aditivo(b) todo elemento tiene inverso multiplicativo(c) existe neutro para la suma(d) clausura para la adicion

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 10

    2. En los numeros enteros no se satisface una de las siguientes propiedades:

    (a) existencia de inverso aditivo(b) existencia de inverso multiplicativo(c) neutro para la suma(d) neutro multiplicativo

    3. En los numeros racionales no tiene solucion la ecuacion:

    (a) 2x + 3 = 0 (b) x(x2 2) = 0 (c) x2 2 = 0 (d) x2 1 = 04. En los numeros reales no tiene solucion la ecuacion:

    (a) x2 + 1 = 0 (b) x(x2 2) = 0 (c) x2 4 = 0 (d) x2 8 = 05. Determinar la simplificacion correcta de (2x 1)(x + 4)

    (a) 2x2

    2x + 4 (b) 2x2

    7x + 4

    (c) 2x2 + 7x 4 (d) 2x2 + 2x 4

    Ejercicio 2. Simplificar cada expresion siguiente. (Click sobre la letra verde para ver la solucion)

    (a) x (y z) + x + (y z) (z + x)(b) 2x (5y + [3z x])(c) 3

    a

    + b + 7

    a 2b

    (d) a (b + [c (a b)])(e) 5x 7x2 (2x)2(f ) (3y)2 + x2 (2y)2

    (g) 3a + 2(a + 1)

    (h) 5x 2x(x 1)(i) 3xy 2x(y 2)(j ) 3a(a 4) a(a 2)(k) 2(3x2 4x + 2) (5x2 6x + 5)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 11

    Test. La suma de2

    x 2

    x 1 +1

    (x 1)2 es:

    (a)1 x

    x(x 1)2 (b)1 6x

    x(x 1)2 (c)2 5x

    x(x 1)2 (d)2 x

    x(x 1)2

    Test. La simplificacion de la expresion x2 4

    x + 3 3x2 + 9x

    x2 2x es:

    (a) x + 2 (b) 3(x + 2) (c) 3(x 2) (d) 3x(x 2)

    Ejercicio 3. Remover los parentesis de cada expresion siguiente.

    (a) (x + y)2

    (b) (x + y)(x y)(c) (x + 4)(x + 5)

    (d) (y + 1)(y + 3)(e) (2y + 1)(y 3)(f ) 2(x 3)2 3(x + 1)2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    12/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 12

    Reglas del juego

    Esta nueva clase de quiz lo activas pinchando en Inicio del Test, luego marcas tu alternativa correctapinchando sobre la caja (aparece el dedo), terminas el test presionando Final del test. Aparece tu puntaje.Si quieres saber cuales son las respuestas correctas pincha correctas

    1. Evaluar2a

    bcuando a = 15, b = 6

    6 15 5 45

    2. Indica la expresion algebraica de el cuadrado de a menos 7

    (a 7)2 a2 72 7 a2 a2 73. Indica el opuesto de

    43

    34

    43

    1 3

    443

    4. Indica el recproco de 43

    34

    43

    34

    1

    5. Calcula el valor de la expresion 34

    23

    1

    12 1

    12 3

    4 1

    7

    Points:

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    13/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 13

    1. Calcula 34

    215

    110

    519

    130

    160

    2. Calcula 45

    : 310

    110

    1250

    83

    750

    3. Factoriza la expresion 20x 164x(5 4x) 4(5x 4) 20(x 1) 4(5x 8)

    4. Simplificar la expresion 5(15) [6(7) 52]8 142 92 2

    5. Simplificar la expresion a

    (5a

    [7a

    (5a

    9a)])

    a 2a 5a 7a6. Simplificar la expresion 4 {2[4(y 3) + 5] + 2(y + 1)}

    40y + 24 40y 48 40y 32 40y 12Points:

    S i 3 C i d l d 14

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    14/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 14

    Simplificar la expresion y elegir la solucion de las opciones dadas.

    1. (a + 2m)(a m)a2 am 2m2 a2 + am 2m2 a2 + 2m2 am a2 + 2am + 2m2

    2. (3b a)(2a + 3b)6b2 + a2 3ab 9b2 + 3ab 2a2 9b2 + 9ab 3b 6b2 + 3ab a2

    3. (2x + 1)2 (x + 3)2x2 8 x2 2x 8 3x2 8 3x2 2x 8

    4. 3(x + 2)2

    (x

    2)2

    2x2 + 16x + 8 2x2 + 16 4x2 + 8x + 16 4x2 16Points:

    S i 3 C i d l t t d 15

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    15/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 15

    Tener presente que: LAA=Ley asociativa de adicion, LAM=Ley asociativa de multiplicacion,LCA=Leyconmutativa de adicion,

    LD=Ley distributiva, LCM=Ley conmutativa de multiplicacion

    1. Indica la propiedad de los numeros reales usada al escribir la expresion equivalente r+(2+s) = (r +2)+s

    LAA LAM LCA LD

    2. Indica la propiedad de los numeros reales usada al escribir la expresion equivalente 5(2 y) = 10 5yLAA LCM LD LCA

    3. Indica la propiedad de los numeros reales usada al escribir la expresion equivalente 5 (2y) = (2y) 5LAA LCM LAM LD

    Points:

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 16

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    16/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 16

    1. Simplificar la expresion (4a 5b) (3a 2b)a + 3b 7a 7b a 3b a 7b

    2. Simplificar la expresion algebraica (7x + 5y) (2x 3y)5x 8y 5x + 8y 5x + 2y 9x + 2y

    3. Simplificar la expresion algebraica 3a c + (5a 2b [3a c + 2b])5a 8b + 2c 5a 4b 5a + 4b 2b 3c

    4. Simplificar la expresion algebraica [3y (2x 3y) + (3x 2y)] + 2x3x 4y 3x + 4y 4x y x 4y

    Points:

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 17

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    17/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 17

    3.1. Algebra de potencias en IR

    Definicion 3.4 a IR, n ZZ, se define la n-esima potencia de a, que se escribe an, se lee a elevado an, en donde a es llamada la base y n el exponente, de modo que:

    1. a0 = 1, con a

    = 0

    2. a1 = a

    3. an+1 = an

    a

    4. a1 = 1a

    , con a = 05. an =

    1

    an, con a

    = 0

    Propiedades1. an bn = (a b)n2. an am = an+m

    3.an

    bn =a

    bn

    , con b = 04.

    an

    am= anm, con a = 0

    5. (an)m = anm

    6. a > 0

    an > 0

    7. a < 0 a2n > 08. a < 0 a2n+1 < 0

    Observacion: La suma an + bm se obtiene calculando las potencias por separado y sumando sus resul-tados, salvo cuando a = b y n = m, caso en el cual se suman por ser potencias semejantes, es decir, conidentica base e identico exponente.

    Ejemplo 3.5 (2)6 = 26 = 64, (3)5 = (35) = 243

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 18

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    18/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 18

    Productos notables con potenciasSean a,b,c IR, se satisfacen:

    1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    2. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    3. (a + b)(a b) = a2 b24. (c + a)(c + b) = c2 + (a + b)c + ab

    5. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

    6. (a + b)(a2

    ab + b2

    ) = a3

    + b3

    7. (a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3

    Ejercicio 4.

    (a) Calcular (0, 02)3

    (b) Calcular (2)5(c) Calcular ( 12)2

    (d) Probar que

    x

    y

    n

    =y

    x

    n

    (e) Probar que[(x2y)2]3

    (2x4)3= 8y6

    3.2. Multiplicaciones y factorizaciones

    Ilustramos estas operaciones mediante ejemplos. El uso de la propiedad distributiva y de potencias esfundamental.

    1. Multiplicar 3xy2 por 2x2y3

    Solucion: Por las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicacion se tiene que

    (3xy2) (2x2y3) = (3 2) x x2 y2 y3 = 6 x1+2 y2+3 = 6 x3 y5

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 19

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    19/187

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 19

    2. Multiplicar (7x2 6xy + 3y2x) 2xySolucion: Por la propiedad distributiva se tiene

    (7x2 6xy + 3y2x) 2xy = (7x2) 2xy (6xy) 2xy + (3y2x) 2xy= 14x3y 12x2y3/2 + 6x2y3

    3. Multiplicar (3a b) (x y z)Solucion: Por propiedad distributiva se tiene

    (3a b) (x y z) = (3a b) x (3a b) y (3a b) z= (3ax bx) (3ay by) (3az bz)= 3ax bx 3ay + by 3az + bz

    4. Factorizar 3xy 2ab + 6ax bySolucion: Se buscan los monomios comunes

    3xy 2ab + 6ax by = 3xy + 6ax 2ab by = 3x(y + 2a) b(2a + y)de lo cual surge el factor y + 2a. Luego la factorizacion es

    3xy 2ab + 6ax by = (y + 2a)(3x b)5. Verificar que, al simplificar,

    x2

    y2

    x2 + 2xy + y2 + x yx + y

    : x yx + y = 2

    Ejercicio 5. Simplificar cada expresion siguiente.

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 20

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    20/187

    p

    (a)

    (a3)23

    12

    (b)

    (a14 )8

    23

    (c) (x

    12

    )3

    (x

    13

    )2

    (d) (4

    x3)23 ( 5

    x6)

    512

    (e)a

    b

    13

    b2

    a3

    12

    (f ) (3

    a5)12 ( 6

    a

    56 )

    (g)a

    3

    b2

    12

    b3

    a2

    12

    (h) (4

    b3)16 9

    b3 : (

    b7)

    17

    Test. La factorizacion de x2 6x 16 es:(a) (x 4)(x + 4) (b) (x 2)(x + 8)(c) (x + 2)(x

    8) (d) (x

    1)(x + 16)

    Test. La factorizacion de 6x2 + 5x 21 es:(a) (x + 7)(6x 3) (b) (x 3)(6x + 7)(c) (2x 3)(3x + 7) (d) (2x + 3)(3x 7)

    Test. La factorizacion de 8x3 + 27 es:

    (a) (2x + 3)3 (b) (2x

    3)(4x2 + 6x + 9)

    (c) (2x + 3)(4x2 + 6x + 9) (d) (2x + 3)(4x2 6x + 9)Test. Halla, si existe, una expresion correcta de entre las siguientes:

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 21

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    21/187

    p

    (a) amn = an am (b)a

    b + c=

    a

    b+

    a

    c(c)

    a + b =

    a +

    b

    (d)

    a2 = a (e) amn = an + am (f ) am+n = an am

    Ejercicio 6. Factorizar tanto como sea posible.

    (a) x2 + 3x

    (b) x2 6x(c) x2y + y3 + z2y

    (d) 2ax2y 4ax2z(e) 2a3b + 5a2b2

    (f ) ayx + yx3 2y2x2(g) xb + xc + yb + yc

    (h) ah ak + bh bk(i) hs + ht + ks + kt

    (j ) 2mh 2mk + nh nk(k) 6ax + 2bx + 3ay + by

    Test. Indicar la expresion que es la factorizacion total de 16a 2a2(a) a(16 2a) (b) 2(8 2a)(c) 2a(8 a) (d) 2a(4 2a)

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 22

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    22/187

    Test. Indicar la expresion que es la factorizacion total de ab2c a2bc3 + 2abc2(a) abc(b ac2 + 2c) (b) ab2(c ac3 + ac)2(c) ac(b2 abc2 + 2bc) (d) b2c(a abc2 + ac)

    Ejercicio 7. Factorizar en factores lineales:

    (a) x2 + 7x + 10(b) x2 + 7x + 12

    (c) y2 + 11y + 24

    (d) y2 10y + 24(e) z2 3z 10(f ) a2 8a + 16

    Test. Indicar la factorizacion z2 6z + 8(a) (z 1)(z + 8) (b) (z 1)(z 8)(c) (z 2)(z + 4) (d) (z 2)(z 4)

    Seccion 3: Consecuencias de la estructura de cuerpo 23

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    23/187

    Factorizar cada expresion siguiente y elegir la solucion correcta.

    1. 2a2e 5ae2 + a3e2ae(2a 5e + a2e) a2e(2a 5e + ae)ae(2a

    5e2 + a2e2) a2e(2

    5e + a2e2)

    2. 6ax 3bx + 2ay by(3x y)(2a + b) (3x + y)(2a b)(3x y)(2a b) (3x + y)(2a + b)

    3. z2 26z + 165(z + 11)(z + 15) (z 11)(z 15)(z

    55)(z

    3) (z + 55)(z

    3)

    Points:

    Seccion 4: Completando cuadrados 24

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    24/187

    4. Completando cuadrados

    Observa la ecuacion cuadratica x2 4x + 5.Vamos a tratar de escribirla usando un cuadrado de binomio. Lo primero que hacemos es asociar las

    variables:

    (x2

    4x) + 5Ahora recuerdas el cuadrado del binomio

    (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

    Si comparas ambas expresiones, el primer termino al cuadrado ya lo tenemos. Luego viene el doble productodel primero por el segundo, lo que equivale a tener

    2xy = 4x = y = 2Por tanto, el parentesis que asociamos tiene la forma

    (x 2)2como esto es lo mismo que x2 4x + 4, entonces

    (x2 4x) + 5 = (x 2)2 + 1con lo cual el objetivo de completar cuadrados esta cumplido. A lo mejor no te diste cuenta, pero el cuadradodel binomio, en una de sus partes dice ... m as el doble producto del primero por el segundo .... Por esto,siempre la constante que acompana a la x se divide por 2 para obtener el termino constante dentro delparentesis que aparece elevado al cuadrado.

    Seccion 4: Completando cuadrados 25

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    25/187

    Ejercicio 8. Completar cuadrados en cada expresion dada

    (a) x2 + 6x + 11

    (b) x2 + 4x + 3

    (c) 2x2 + 8x + 4

    (d) x2 2ax + a2 + b2(e) x2 + 8x + 15

    (f ) x2 5x + 6(g) x2 6x + 5(h) 2z2 + 8z + 9

    (i) 2w2 5w + 7(j ) 3y2 + 2y + 2

    Test. Hallar la expresion que es completacion de cuadrado de 2x2 3x + 5

    (a) 2(x

    3

    2)2 +

    21

    4 (b) 2(x 3

    4 )2

    +21

    8

    (c) 2(x 32

    )2 +31

    8(d) 2(x 3

    4)2 +

    31

    8

    Seccion 4: Completando cuadrados 26

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    26/187

    1. La factorizacion of 6y2 + 7y + 2 es:

    (2y + 1)(3y + 2) (2y + 2)(y + 3)

    (6y + 1)(y + 2) (6y + 2)(y + 1)

    2. Un cuadrado perfecto esx2 + 9x 81 x2 9x + 81x2 + 18x 81 x2 18x + 81

    3. Las races de 2w2 + 3w 20 = 0 son:52

    , 4 2, 5 52

    , 4 2, 54. La completacion de cuadrados de 2x2 + 16x + 49 es:

    2(x + 2)2

    + 19 2(x + 4)2

    + 172(x + 8)2 + 17 2(x + 8)2 + 19

    Points:

    Seccion 5: Ecuaciones de primer y segundo grado 27

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    27/187

    5. Ecuaciones de primer y segundo grado

    Tal vez la mas fundamental aplicacion del algebra de numeros reales sea la modelacion matematica desituaciones naturales y sociales mediante su representacion a traves de ecuaciones cuya resolucion resuelveel problema o situacion modelado. Para construir ecuaciones es basico contar con los axiomas de la igualdady las propiedades algebraicas mencionadas.

    5.1. Axiomas y teoremas de la igualdad en (IR, +, )Para todo elemento a,b,c IR se satisfacen:

    1. a = a

    2. a = b b = a3. a = b b = c a = c4. a = b a + c = b + c

    5. a = b a c = b c6. a b = 0 a = 0 b = 0

    Definicion 5.1 Una ecuacion en IR es una igualdad de expresiones algebraicas que contienen una o masvariables incognitas reales y se puede reducir a la forma p(x) = 0, p(x, y) = 0, etc. Se llama solucion de laecuacion al conjunto de valores de la o las variables que hacen verdadera a la igualdad.

    Ejemplo 5.2 La expresion (ax b)2 = a2x2 b2, con a y b numeros reales conocidos y x la variableincognita, es una ecuacion. Se puede reescribir

    (ax b)2 a2x2 + b2 = 0Resolver una ecuacion, significa determinar el conjunto solucion para la ecuacion. Cuando la incognita

    es unica, esto se reduce a despejar la variable usando el algebra de los numeros reales.

    Ejemplo 5.3 Al resolver para x la ecuacion (ax b)2 = a2x2 b2 se llega a que un valor que satisface laigualdad es x =

    b

    a, pues al evaluar reemplazando x por este valor, se cumple la igualdad. Luego

    b

    apertenece

    a la solucion de la ecuacion.

    Seccion 5: Ecuaciones de primer y segundo grado 28

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    28/187

    Las ecuaciones y sus metodos de resolucion se clasifican segun el numero de sus variables incognitas ysegun el grado del polinomio que contiene a la o las variables. Por ahora vemos s olo ecuaciones polinomialesde primer y segundo grado en una variable.

    Definicion 5.4 Ecuaciones de primer grado son aquellas que se pueden reducir a la forma general ax+b = 0,con a

    = 0. Se resuelven sumando el opuesto de b y luego multiplicando por el recproco de a. Se obtiene

    x = ba .Ejemplo 5.5 Resolvemos (x 2)(x + 3) (x 3)2 = (x + 2)(x 2) (x + 1)(x 2)

    Solucion. Al desarrollar productos y reducir terminos semejantes

    x2 + x 6 (x2 6x + 9) = x2 4 (x2 x 2) 6x 13 = 0se deduce que la solucion es x = 13

    6

    Definicion 5.6 Ecuaciones de segundo grado o cuadraticas son aquellas que se pueden reducir a la forma

    general ax2 + bx + c = 0, con a = 0.Al completar cuadrados se llega a la formula x =

    b b2 4ac2a

    ObservacionesSi en ax2 + bx + c = 0:

    1. a = 0, entonces tenemos la ecuacion de primer grado bx + c = 0.

    2. b = 0, la solucion es x =

    ca

    , a = 0

    3. c = 0, la solucion es {0, ba}

    4. La naturaleza real o no real de la solucion dependera del subradical = b2 4ac, que se llamadiscriminante.

    Seccion 5: Ecuaciones de primer y segundo grado 29

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    29/187

    (a) Si > 0, los valores de la solucion son reales y distintos.(b) Si = 0, los valores de la solucion son reales e iguales.(c) Si < 0, los valores de la solucion no son reales. Luego, la solucion de la ecuacion en IR para

    este caso es el conjunto vaco.

    5. Visto como polinomio cuadratico p(x) = ax2 + bx + c, se dice que los valores de la variable x para

    los cuales p(x) = 0 son las races del polinomio p(x). Estas races, x1 y x2, cumplen las siguientespropiedades:

    (a) x1 + x2 = ba

    (b) x1 x2 = ca

    Ejemplo 5.7 Resolver (2x 3)2 (x 4)(x + 4) = 3x + 7

    Solucion. Se eleva al cuadrado y se reducen terminos semejantes4x2 12x + 9 (x2 16) = 3x + 7

    x2 5x + 6 = 0Se sigue que

    x =5

    25 24)2

    =5 1

    2de donde, x1 = 3 y x2 = 2.

    Otra forma de resolver la ecuacion es escribir x2 5x + 6 = (x 2)(x 3) = 0, de donde se sigue lamisma respuesta.

    Ejemplo 5.8 Factorizar 5x2 13x 6.Solucion. Primero se buscan las races resolviendo 5x2 13x 6 = 0.

    x =13 169 + 120

    10=

    13 1710

    Seccion 5: Ecuaciones de primer y segundo grado 30

    2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    30/187

    de lo cual, x1 = 3 y x2 = 25

    . En consecuencia,

    5x2 13x 6 = 5(x + 25

    )(x 3) = (5x + 2)(x 5)

    Test.

    1. La solucion de la ecuacion 3x 2 = 2

    12

    x3

    es:

    (a)9

    11(b) 9

    11(c)

    11

    9(d) 11

    92. Se llama discriminante de la ecuacion cuadratica ax2 + bx + c = 0 a la expresion

    = b2 4ac

    Si < 0, entonces la ecuacion tiene:(a) dos soluciones reales(b) una solucion real(c) dos soluciones complejas

    3. Hallar para que valor de k la ecuacion kx2 2x 3 = 0 tiene exactamente un cero.(a) 1

    2(b) 2

    3(c) 1

    3(d) 4

    3

    Ejercicio 9. Hallar la solucion de cada expresion dada.

    (a) 5(x 3) 7(6 x) = 24 3(8 x) 3(b) 2x + 3 = 16 (2x 3)(c) 8(x 1) + 17(x 3) = 4(4x 9) + 4(d) 15(x 1) + 4(x + 3) = 2(7 + x)

    Seccion 6: Radicales 31

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    31/187

    (e) 5x 6(x 5) = 2(x + 5) + 5(x 4)(f ) (x + 15)(x 3) (x2 6x + 9) = 30 15(x 1)(g) (x + 1)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 3) 14)

    Ejercicio 10. Hallar la solucion de cada expresion dada.

    (a)4x5

    74

    =x5

    +x4

    (b)x 2

    2+

    x + 10

    9= 5

    (c)x 4

    7=

    x 105

    (d)4(x + 2)

    5

    = 7 +5x

    13(e)

    x + 20

    9+

    3x

    7= 6

    (f )x + 35

    6 x + 7

    9=

    x + 21

    4

    6. Radicales

    Sobre la base de la definicion de potencias en IR con exponente enZZ

    y de ecuaciones reales, consideremosla ecuacion xn = a, con a IR y n ZZ+. Se define al numero real x = na que satisface a la ecuaciondada, como la raz n-esima de a. Este numero es tal que su n-esima potencia tiene el valor a. Se debentener presente el caso en que a es un real negativo y n impar y el caso en que a es un real negativo y n par(solucion en los complejos).

    Seccion 6: Radicales 32

    Ej l 6 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    32/187

    Ejemplo 6.1

    1. 3

    7 es el numero real solucion de la ecuacion x3 = 7, es decir, ( 3

    7)3 = 7.

    2. 532 es el numero real solucion de la ecuacion x5 = 32, es decir, ( 532)5 = 32. Notar que

    532 = 2 pues (2)5 = 32.

    Observaciones1. En n

    a, a se llama cantidad subradical, n es el ndice del radical y

    se llama smbolo radical.

    2. Los radicales con ndice cero no se definen pues la ecuacion x0 = a tiene infinidad de valores cuandoa = 1 y tiene solucion vaca para a = 1. Es decir, 0a no tiene sentido.

    3. 1

    a = a. Luego, por convencion, anotamos 1

    a = a.

    4. n

    a = ( n

    a)1 =n

    a1, si a = 0.5. ( na)n = a,

    n

    1 = 1, n ZZ,n

    0 = 0, n ZZ+.Definicion 6.2 Toda expresion radical se puede representar mediante una potencia de exponente racional(en Q). Esto facilita las demostraciones y el algebra de races.

    n

    a = a1n , n

    am = a

    mn , n = 0

    Ejemplo 6.3 Verificar que bajo una sola raz la expresion4

    3

    a2b 6

    ab3 equivale a 12

    a4b7

    Proposicion 6.4 n

    am

    p

    bq = np

    ampbnq

    Consecuencias de esto son:

    1. n

    a pb = npap bn2. n

    a nb = na b

    3. n

    am paq = np

    amp+nq

    4. n

    a ma = nm

    am+n

    5.n

    ap

    b=

    np

    ap

    bn

    Seccion 7: Racionalizacion 33

    n

    a

    a n

    am

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    33/187

    6.n

    an

    b= n

    a

    b

    7.n

    am

    a=

    mn

    amn

    8.n

    am

    p

    aq=

    np

    ampnq

    Proposicion 6.5mna = mna

    Naturaleza de las racesLa naturaleza real o no real de un radical y su signo dependeran de la paridad de su exponente y del signode su subradical.

    1. Si en n

    a es n impar y a IR, entonces na es siempre real y con el signo de a.2. Si en n

    a es n par y a IR+, entonces na es siempre real y con el signo de a, por convencion se le

    asigna el valor positivo.3. Las races con ndice par, de reales negativos, no existen en IR.

    Ejemplo 6.6 3

    8 = 2, 4

    81 = 3, 38 = 2, 481 no existe en IR.

    7. Racionalizacion

    Debido a que el valor numerico de los radicales inexactos es un decimal no periodico y, por ende, su operato-ria provoca errores de aproximacion, es conveniente buscar la expresion que contenga un mnimo de races,evitando divisiones por radicales. Por esto resulta de interes conocer y dominar procedimientos de racional-izacion de denominadores radicales. Por ultimo, es bueno anticipar que en la resolucion de indeterminacionespara el calculo de lmites y reparacion de discontinuidades e indefiniciones sera muy util racionalizar tantonumeradores como denominadores irracionales. Veremos aqu tres casos de uso frecuente y los presentaremoscomo de racionalizacion de denominadores, asumiendo un numerador N cualquiera.

    Seccion 7: Racionalizacion 34

    N

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    34/187

    Forma Nn

    am

    Se amplifican los terminos del cociente por el radical que hace racional el denominador.

    Nn

    am=

    Nn

    am

    n

    anm

    n

    anm=

    N

    a n

    anm

    Ejemplo 7.1 Racionalizar334

    6

    3

    Nos preocupamos del denominador. Mirandolo como fraccion es 31/6. Para llegar a 66

    faltan 56

    . Con estohemos hallado el termino por el que hay que multiplicar para eliminar la raz.

    3

    34

    6

    3=

    3

    34

    6

    3

    6

    35

    6

    35=

    6

    386

    35

    6

    36=

    6

    313

    3= 3

    6

    3

    Forma Na b

    Se amplifican los terminos del cociente por el radical que hace racional el denominador. Veamos el caso dela suma

    Na +

    b

    =N

    a +

    b

    a ba b =

    N(

    a b)a b

    Ejemplo 7.2 Racionalizar 2 + 33 2

    2 +

    33 2 =

    2 +

    33 2

    3 +

    2

    3 +

    2= (2 +

    3)(

    3 +

    2) = 2

    3 + 2

    2 + 3 +

    6

    Seccion 8: Ecuaciones irracionales 35

    N

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    35/187

    Forma N3

    a 3bSe amplifican los terminos del cociente por el radical que hace racional al denominador. En este caso laexpresion por la cual se multiplica es

    3

    a2 3

    ab +3

    b2

    Ejemplo 7.3 Racionalizar1

    3x + 11

    3

    x + 1=

    13

    x + 1

    3

    x2 3x + 13

    x2 3x + 1 =3

    x2 3x + 1x + 1

    8. Ecuaciones irracionales

    Se llaman irracionales a las ecuaciones en que la variable inc ognita es argumento de un subradical. Para

    resolverlas es frecuente la necesidad de elevar a potencias la igualdad, usando el hecho de que si a = bentonces an = bn. Con este recurso lo que se provoca es que el grado de la ecuacion original aumente y,eventualmente se este creando soluciones ficticias para la ecuacion de origen. Por esto es que se tendra queverificar los valores de la variable que aparecen como solucion de la ecuacion.

    Ejemplo 8.1 Resolver 3

    5 +

    2x + 3 = 2

    35 +

    2x + 3 = 2

    ( 35 +

    2x + 3)3 = 23

    5 + 2x + 3 = 8 2x + 3 = 3 2x + 3 = 9 x = 3

    Dado que hubo elevaciones a potencia hay que verificar la solucion. Al hacerlo se prueba que x = 3es solucion.

    Seccion 8: Ecuaciones irracionales 36

    Ejercicio 11 Simplificar cada expresion dejando sin races el denominador y calculando las races exactas:

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    36/187

    Ejercicio 11. Simplificar cada expresion dejando sin races el denominador y calculando las races exactas:

    (a)118

    (b) (3 +

    8)(3 28)

    (c) 3 + 53 5

    (d) (3 + 2

    7)2

    (e)

    4x2 + 4x + 1

    (f ) 50x4y6

    Ejercicio 12. Resolver las siguientes ecuaciones:

    (a) x = 2 +

    x (b)

    1 2x + x + 5 = 4

    Test.

    1. Una solucion de 4x2 = 1 es:

    (a)1

    2(b)

    1

    4(c) 1

    2(d)

    2

    2. Una solucion de (x 3)2 = 8 es:

    (a) 2 + 3 (b) 3 8 (c) 2 + 3 (d) 3 223. Si x 0, entonces

    25x3 es igual a:

    (a) x

    5x (b) x2

    5x (c) 5x

    x (d) 5xx

    Seccion 8: Ecuaciones irracionales 37

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    37/187

    1.1

    3

    3a2es igual a:

    (a)1

    3a2(b)

    3

    3a2

    3a2(c)

    3

    9a

    3a(d)

    3

    3a

    9a

    2. x + ax a es igual a:

    (a)x + a

    x a (b)

    x ax a

    (c)x + 2

    ax + a

    x

    a

    (d)x ax + a

    3. Al simplificar x + 2x + 2 + 4

    (x + 2)3

    se obtiene:

    (a)1

    4x 7 (b)1

    4x + 9(c)

    x + 2

    4x 7 (d)x + 2

    4x + 9

    Seccion 9: Logaritmos 38

    9. Logaritmos

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    38/187

    9. Logaritmos

    Ya hemos visto dos conceptos que surgen de la igualdad an = b, cuando la observamos como ecuacion desdela perspectiva de una de sus componentes:

    1. Cuando b es la incognita, a la ecuacion an = x se le llama potencial y a su solucion, potencian-esima de a, anotandola x = an. Ella da origen al lenguaje y al algebra de potencias.

    2. Cuando a es la incognita, a la ecuacion xn = b se le llama radical y a su solucion, raz n-esima deb, anotandola x =

    n

    b. Ella origina el lenguaje y el algebra de races.

    Ahora, definiremos un concepto que represente a la solucion de la ecuacion en que la incognita sea elexponente n, es decir, a la solucion de la ecuacion exponencial ax = b. A esta solucion le llamamos logaritmode b en la base a y origina el lenguaje y algebra de logaritmos.

    Definicion 9.1 Sea a IR+ {1} y consideremos la ecuacion ax = b. A la solucion real x se le llama ellogaritmo de b en la base a, y se le anotara: x = log

    ab. De otro modo:

    x = loga b ax = b Algebra de logaritmos

    1. aloga b = b

    2. loga(ab) = b

    3. loga a = 1

    4. loga 1 = 0

    5. loga(b c) = loga b + loga c6. b = c loga b = loga c

    7. loga(b

    c) = loga b loga c

    8. loga(

    1

    b ) = loga b9. loga(b

    n) = n loga b

    10. logan

    a =1

    nloga

    11. loga b = (logb a)1

    Seccion 10: Ecuaciones exponenciales y logartmicas 39

    Ejemplo 9 2 log (1

    ) = 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    39/187

    Ejemplo 9.2 log2( 8) = 3

    En el trabajo con desigualdades:

    x < y, a > 1 loga x < loga y x < y, 0 < a < 1 loga x > loga y

    Teorema 9.3 (del cambio de base) loga b logb c = loga cEsta expresion permite reescribir un numero logartmico en una nueva base cualquiera, surge el recurso

    de reducir todo logaritmo a una misma base escogida convenientemente. La historia nos muestra que se haconvenido en usar dos bases, la base decimal o de briggs, que usa al 10 como base logartmica (se anotalog) y la base natural o de Nepper que usa al numero trascendental e como base logartmica (se anota ln).

    Ejemplo 9.4 Hallar el valor de x que es solucion de la ecuacion x a1

    log a + b2

    log b = 330

    Primero observemos que1

    log a=

    log10

    log ay

    2

    log b=

    2log10

    log b. Luego,

    x a1

    log a + b2

    log b = 330 x a log 10loga + b 2 log 1 0log b = 330

    x aloga 10 + b2 logb 10 = 330

    x 10 + 102 = 330

    x = 2310. Ecuaciones exponenciales y logartmicas

    Son aquellas en las cuales la incognita forma parte del argumento de un logaritmo (cantidad a la que sele aplica un logaritmo) o del exponente de una potencia. Para resolverlas, se busca uno o ambos de lossiguientes propositos :

    Seccion 10: Ecuaciones exponenciales y logartmicas 40

    1. Lograr una igualdad de logaritmos o de potencias con igual base para luego aplicar la definicion que

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    40/187

    g g g p g p g p qcorresponda.

    2. Lograr expresar los terminos de ambos miembros de la igualdad en funcion de una identica expresionlogartmica o exponencial que pase a ser una variable auxiliar que nos lleve a una ecuacion lineal ocuadratica.

    Una vez obtenidos los valores de la incognita en el proceso de despeje, se verifica si satisfacen a la ecuacionoriginal respetando la definicion de logaritmos y exponenciales. Quienes subsistan constituiran la solucionfinal de la ecuacion.

    Ejemplo 10.1 Resolver 2 10x1 = 3Se aplica logaritmo a ambos lados de la ecuacion

    2 10x1 = 3 log(2 10x1) = log(3) log(2) + log(10

    x1

    ) = log(3) x 1 = log(3) log(2) x = log(3) log(2) + 1 x = log(3) log(2) + log(10) x = log 15

    Ejemplo 10.2 Resolver e2x 2ex 3 = 0La primera mirada al problema es importante. Si ves una cuadratica en hora buena!. Si hacemos z = ex,

    entoncese2x 2ex 3 = 0 z2 2z 3 = 0

    (z + 1)(z 3) = 0A partir de z + 1 = 0, que equivale a ex = 1, se sigue que no existe solucion. De igual forma, de z 3 = 0que equivale a ex = 3, se sigue que x = ln 3. En consecuencia, esta ultima es la unica solucion.

    Ejemplo 10.3 Resolver ln 12 + ln(x 1) = ln(x 2)

    Seccion 10: Ecuaciones exponenciales y logartmicas 41

    Como los logaritmos estan en una misma base, es sencillo agruparlos

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    41/187

    g , g p

    ln 12 + ln(x 1) = ln(x 2) ln12 = ln x 2x 1

    Eliminando logaritmos se tiene quex 2

    x 1= 12

    x =

    10

    11Ejercicio 13. Calcular los siguientes valores:

    (a) log2 16

    (b) log3 81

    (c) log9 3

    (d) log31

    3

    (e) log3 27

    (f ) log5 125

    (g) log2(1

    4)

    (h) 2 = logx(16)

    (i ) 3 = log2 x

    Ejercicio 14. Calcular los siguientes valores:

    (a) log6 4 + log6 9 (b) log5 20 + log5(1

    4)

    Test.

    1. Determinar cual de los siguientes numeros es la simplificacion de log2 12 log2(34)(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4

    2. Si log3 5 = 1, 465, entonces log3 0, 04 es:

    (a) 2.930 (b) 1.465 (c) 3.465 (d) 2.9303. Hallar x si logc(10 + x) logc x = logc 5

    (a) 2.5 (b) 4.5 (c) 5.5 (d) 7.5

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 42

    11. El cuerpo ordenado (IR, +, )

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    ( )

    A lo ya conocido de los numeros reales agregamos el hecho de que es posible ordenarlos mediante la relacionde orden , y que nos permitira representar a estos numeros sobre una recta geometrica, asociando a cadapunto de ella un unico numero real.

    Definicion 11.1 Para todo a, b

    IR se define la relacion ser menor que de modo que

    a es menor que b si y solo si b a IR+a es menor que b se anota a < b.

    Ademas se definen:

    1. a b como equivalente a decir a < b o a = b.2. a > b como equivalente a decir b < a.

    3. a b como equivalente a decir a > b o a = b.y se leen respectivamente, a es menor o igual que b, a es mayor que b, a es mayor o igual que b.

    11.1. Principios de orden

    Arqumides Para todo a, b IR, con a < b se tiene que n ZZ tal quen a > b

    Es decir, siempre se puede amplificar un numero real tanto como para que supere a otro. Esto haceque no exista un numero real supremo ni nfimo (superior o inferior a todos los demas).

    Densidad Para todo a, b IR, con a < b, r IR tal quea < r < b

    Es decir, Entre dos numeros reales siempre se encuentra otro numero real.

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 43

    11.2. Axiomas de orden

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    43/187

    La relacion b

    As, los numeros reales son totalmente ordenados y se pueden representar sobre una recta de modoque a cada punto corresponda un real y viceversa.

    2. Adicion: Para todo a, b IR, si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0.3. Multiplicacion: Para todo a, b IR, si a > 0 y b > 0, entonces a b > 0.

    11.3. Desigualdades

    Para todo a,b,c,d

    IR:

    1. Si a < b entonces a + c < b + c.

    2. Si a < b y c > 0 entonces ac < bc.

    3. Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.

    4. Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.

    Ademas, es sencillo verificar que:

    1.

    a

    IR, a2

    0

    2. a, b IR+, a < b a2 < b23.

    a, b

    IR+, a < b

    a a} (, a] = {x IR/ x a} (, a) = {x IR/ x < a}

    El primero se denomina abierto, el segundo cerrado, el tercero y cuarto semicerrados y los restantesintervalos infinitos.

    Observacion

    1. (, ) = IR 2. (a, a) = 3. [a, a] = {a}

    Ejemplo 11.2 Si A = (

    3, 4) y B = [0, 5), entonces A

    B = [0, 4).

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 45

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    1. Si 3 < 4 entonces es cierto que:

    31 < 41 2 3 > 2 4 (3 4)2 > 0 (3 4)3 > 02. Si 3 < 2, entonces es cierto que:

    (3)1

    < (2)1

    (3)1

    > (2)1

    3 (3) < 3 (2) (3 (2))2 < 03. Si 3 < 2, entonces es cierto que:

    (3)2 < (2)2 (3)1 > (2)14 (3) > 4 (2) (3 2)2 < 0

    4. Si 2 > 4, entonces es cierto que:1

    2 (2) 1

    2 (4)1

    2 (2) > 1

    2 (4) (2)2 > (4)2

    5. Si a < b entonces es cierto que:

    a1 < b1 2 a > 2 b (b a)2 > 0 a2 < b26. Si a < 0, entonces es cierto que:

    a + 1 > 01

    a> 0

    3 a > 0 a + 3 < 0Points:

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 46

    Test.

  • 8/3/2019 Algebra Reales

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    1. Si 0 < a < 1, entonces es cierto que:

    (a)1

    a< 1 (b) a2 < a

    (c) (a 1)2 > 1 (d) 2a < 1

    2. Si a > b, c > 0 entonces es cierto que:(a) a c < b c (b) a > b c(c) a c > b (d) a c > b c

    3. Si1

    4 121

    (c)

    1

    4 1

    2

    2< 0 (d) (2)

    1

    4< (2) 1

    2

    Ejercicio 15. Discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones:

    (a) x < y y a < b =

    ax < by

    (b) x < y + , > 0 = x y

    11.5. Inecuaciones

    Es una comparacion por , entre expresiones algebraicas que contienen una o mas variables incognitasy que resulta verdadera solo para algunos valores reales de las variables. Al conjunto de estos valores se

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 47

    le llama conjunto solucion de la inecuacion. Resolver una inecuacion significa determinar ese conjuntol i l d j d l l i bl i it i d l d i ld d f d t l d

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    47/187

    solucion y se logra despejando la o las variables incognitas recurriendo a las desigualdades fundamentales deun modo analogo a como se resuelven ecuaciones.

    Ejemplo 11.3 Resolver la inecuacion 3(x 1) + (x + 2)2 < (x + 1)(x 1) + 4

    3(x 1) + (x + 2)2

    < (x + 1)(x 1) + 4 3x 3 + x2

    + 4x + 4 < x2

    1 + 4 7x < 2de lo cual se obtiene que x < 2

    7, con lo cual el conjunto solucion es

    S = (, 27

    )

    Ejemplo 11.4 Resolver (2x 1)2 6x 3

    (2x 1)2 6x 3 4x2 4x + 1 6x 3 4x2 10x + 4 0 2x2 5x + 2 0

    Ahora resolvemos 2x2 5x + 2 = 0, teniendo presente que las races de esta ecuacion forman parte delconjunto solucion. Se tiene

    2x2 5x + 2 = 0 x1 = 2, x2 = 12

    Para una mejor compresion utilizaremos la recta real, poniendo sobre ella las races encontradas.

    s -s

    12 2

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 48

    Verifiquemos que pasa en cada subintervalo considerando un valor arbitrario. Por ejemplo, en el intervalo( 1) elegimos x 0 y lo reemplazamos en (2x 1)2 6x 3 con lo cual

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    (, 12

    ) elegimos x = 0 y lo reemplazamos en (2x 1)2 6x 3, con lo cual(2 0 1)2 6 0 3 1 3

    lo que resulta ser verdadero!. Esto significa que este intervalo forma parte del conjuto solucion. Veamosque sucede en los restantes intervalos.

    En ( 12

    , 2) elegimos x = 1, con lo cual

    (2 1 1)2 6 1 3 1 3lo que es falso. Por tanto en este intervalo no existe solucion.

    En el intervalo (2, ) elegimos x = 3, con lo cual(2

    3

    1)2

    6

    3

    3

    25

    15

    lo que es verdadero. En consecuencia el conjunto solucion de la desigualdad es

    S = (, 12

    ] [2, )

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 49

    Ejemplo 11.5 Resolverx

    x 2 x

    x + 3

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    Trasladamos para tener solo una expresion a la izquierdax

    x 2 x

    x + 3 0

    lo que equivale a tener5x

    (x 2)(x + 3) 0El numerador se hace cero en x = 0 y el denominador en x = 2 y x = 3. Colocamos estos valores en larecta real teniendo presente que x = 0 forma parte de la solucion y que x = 2 y x = 3 no lo son.

    s -s

    3 0

    s

    2

    Analicemos lo que sucede en cada subintervalo.

    En (, 3) elegimos x = 4. Al reemplazar en 5x(x 2)(x + 3) tenemos

    5 (4)(4 2)(4 + 3) =

    10

    3 0

    Luego, en este intervalo no hay solucion.En (3, 0) elegimos x = 1 para tener que

    5 (1)(1 2)(1 + 3) =

    5

    6 0

    de modo que aqu tenemos solucion.

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 50

    En (0, 2) elegimos x = 1, con lo cual,

    5 (1) 5

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    50/187

    5 (1)(1 2)(1 + 3) =

    5

    4 0

    de manera que aca no hay solucion. Finalmente

    En (2, ) elegimos x = 3 para tener que5 (3)

    (3 2)(3 + 3) =15

    9 0

    As que aqu hay solucion. En consecuencia, el conjunto solucion es

    S = (3, 0] (2, )

    Ejercicio 16. Resolver las inecuaciones:

    (a) 2 7 3x 13(b)

    x 12 x > 3

    (c)2x + 2

    x> 0

    (d) (x 2)(3x 1) < 0(e) 2x + 13x 2 > 0

    (f )4x 1x + 1

    < 1

    (g)x 1

    2x< 1

    (h) x2 7x + 6 < 0(i) x2

    12x + 35 > 0

    (j ) 2x2 3x + 1 5

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 51

    11.6. Valor absoluto

    P t d l d fi l l b l t d

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    51/187

    Para todo numero real a se define el valor absoluto de a como

    |a| =

    a, si a > 00, si a = 0

    a, si a < 0Ejemplo 11.6 | 3| = (3) = 3, |4| = 4 Propiedades

    1. |a|2 = a22. |a2| = a23.

    |ab

    |=

    |a

    ||b

    |4. |a + b| |a| + |b|

    5.a

    b

    = |a||b|6.

    |x

    |< a

    a < x < a

    7. |x| > a x > a x < a

    Ejemplo 11.7 Resolver |2x 3| = 1Existe mas de una forma de resolver esta igualdad. Podemos usar la definicion de valor absoluto o una

    propiedad. En el caso de la definicion

    |2x 3| = 2x 3, si 2x 3 > 0

    0, si 2x 3 = 0(2x 3), si 2x 3 < 0Para el caso positivo, |2x 3| = 2x 3 = 1 x = 2. En el caso negativo, |2x 3| = (2x 3) 2x + 3 =1 x = 1. Por tanto, el conjunto solucion es

    S = {1, 2}

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 52

    La alternativa de la propiedad |a|2 = a2 es posible. Se tiene|2 3| 1 |2 3|2 1 (2 3)2 1 4 2 12 + 8 0

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    52/187

    |2x 3| = 1 |2x 3|2 = 1 (2x 3)2 = 1 4x2 12x + 8 = 0Al resolver la cuadratica se obtiene el mismo resultado.

    Ejemplo 11.8 Resolver |x 3| = |2x 5|

    El uso de la definicion conlleva dos alternativas. El empleo de la propiedad es mas directo.|x 3| = |2x 5| (x 3)2 = (2x 5)2 x2 6x + 9 = 4x2 20x + 25

    de donde, se obtiene la ecuacion 3x2 14x + 16 = 0 que tiene races 2 y 83

    . Luego, el conjunto solucion es

    S = {2, 83}

    Ejemplo 11.9 Resolver |x + 3| 5Hacemos uso de la propiedad

    |x + 3|2 52 (x + 3)2 = 25 x2 + 6x 16 = 0con soluciones x1 = 8 y x2 = 2. De esto se pasa a la recta real.

    s -

    8s

    2

    Eligiendo, en el intervalo (, 8), x = 9 se tiene, en |x + 3| 5, que| 9 + 3| = 6 5

    no hay solucion en este intervalo. En (8, 2), con x = 0 se tiene|0 + 3| = 3 5

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 53

    de modo que hay solucion. Finalmente, en (2, ), con x = 3 resulta|3 + 3| 6 5

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    53/187

    |3 + 3| = 6 5Se concluye que el conjunto solucion es

    S = [8, 2]

    Ejemplo 11.10 Resolver3

    2x

    x + 2 < 4

    Pones atencion al siguiente esquema de desarrollo: Buscamos los valores de x para los cuales se producela igualdad, es decir, donde 3 2xx + 2

    = 4Esto significa hallar los x que satisfacen:

    3 2xx + 2

    = 4 y 3 2xx + 2

    = 4

    Para el primero de ellos

    3 2xx + 2

    = 4 3 2x = 4(x + 2) 6x = 5 x = 56

    En el segundo caso,

    3 2xx + 2

    = 4 3 2x = 4(x + 2) 2x = 11 x = 112

    Como solo en esos puntos existe igualdad, en los restantes la expresion que estamos analizando es mayoro menor que 4, salvo en x = 2 donde no esta definida. Ponemos estos tres puntos sobre la recta real yanalizamos en cada subintervalo.

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 54

    s

    -s s

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    54/187

    s -s

    112

    56

    s

    2En (, 11

    2) se elige x = 6 para tener que

    3 2(

    6)

    6 + 2 =15

    4 < 4

    En ( 112

    , 2) se elige x = 4 para tener que3 2(4)4 + 2 = 112 < 4

    En (2, 56

    ) se elige x = 1 para tener que3 2(1)1 + 2

    = 51 < 4En ( 5

    6, ) se elige x = 0 para tener que 3 2(0)0 + 2

    = 32 < 4En consecuencia, el conjunto solucion es

    S = (, 112

    ) (56

    , )

    Ejemplo 11.11 Resolver

    3 2xx + 2 < 4

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 55

    No te extranes si ves que se trata del mismo ejemplo anterior. Esta vez te muestro una nueva forma detrabajarlo. Tu eliges el que se acomode a tu forma de aprendizaje.

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    55/187

    Usemos la propiedad |x| < a a < x < a.

    3 2xx + 2

    < 4 4 < 3 2xx + 2

    < 4

    Trabajamos con ambas desigualdades a la vez.

    4 < 3 2xx + 2

    y3 2xx + 2

    < 4

    0 0

    Ahora se iguala a cero numerador y denominador con el fin de hallar los puntos que los anulan. Se tiene

    x1 = 112

    , x2 = 52

    , x = 2(anula denominador)A continuacion se hace el analisis mediante una tabla.

    Se lee la tabla buscando, en este caso, donde ambas fracciones son positivas. Se encuentra, de la cuartay septima filas, que el conjunto solucion es

    S = (, 112

    ) (56

    , )

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 56

    ( 11) 11 ( 11 2) 2 ( 2 5) 5 ( 5 )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    56/187

    x (, 112

    ) 112

    ( 112

    , 2) 2 (2, 56

    ) 56

    ( 56

    , )

    2x + 11

    0 + + + + +

    x + 2 0 + + +

    2x + 11

    x + 2+ 0 + + +

    6x + 5 0 +

    x + 2 0 + + +

    6x + 5x + 2

    + + + 0 +

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 57

    Test. La solucion de la desigualdad |3x 5| 4 es:( )

    1

    3

    (b)

    1

    3

    ( )

    1

    3

    (d)

    1

    3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    57/187

    (a)

    3

    , 3

    (b)

    3

    , 3

    (c)

    3

    , 3

    (d)

    3

    , 3

    Test. El conjunto solucion de |3x 2| 4 es

    (a) [2

    3 , 2] (b) [2

    3 , 2] (c) (2

    3 , 2] (d) [2

    3 , 2)

    Test. La solucion de la igualdad |x + 8| = |2x 3| es:(a) x > 8 (b) x > 0 (c) x = 11 y x = 5

    3(d) x = 3

    2

    Test. La solucion de la desigualdad |x 6| |x + 3| < 1 es:(a) x >

    1 (b) x < 3

    2

    (c) (

    1, 1) (d) x > 1

    Problema 11.1. Resolver la desigualdad |x + 1| + |x 1| < 3

    Problema 11.2. Resolver

    xx + 2 1

    Problema 11.3. Resolverx

    6 +

    1

    2

    >

    5

    6

    Test. La solucion de la inecuacion |3x 5| 4 es(a)

    1

    3,

    (b) (, 3] (c)

    1

    3, 3

    (d)

    1

    3, 2

    Seccion 11: El cuerpo ordenado (IR, +, ) 58

    Test. La solucion de la inecuacion

    23 3

    4x

    < 52 es

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    58/187

    (a)

    22

    9,

    32

    9

    (b)

    22

    9,

    32

    9

    (c)

    22

    9,

    38

    9

    (d)

    22

    9,

    38

    9

    Test. La solucion de la inecuacion53 x +

    3

    4 >

    2

    5 es

    (a)

    22

    9,

    32

    9

    (b)

    22

    9,

    32

    9

    (c)

    22

    9,

    32

    9

    (d)

    22

    9,

    32

    9

    Test. La solucion de la desigualdad |3 2x| > 9 es(a) (, 3) (6, ) (b) (, 6) (6, )(c) (, ) (d) (, 3) (3, )Test. La solucion de la inecuacion

    53 x +3

    4

    > 25 es(a)

    22

    9,

    32

    9

    (b)

    22

    9,

    32

    9

    (c)

    22

    9,

    32

    9

    (d)

    22

    9,

    32

    9

    Distancia en IRSi a es un numero real, su valor absoluto representa su distancia del cero. Esta observacion fundamenta lassiguientes definiciones de distancia y de entorno abierto en IR.

    Definicion 11.12

    1. Sean a y b dos numeros reales. La distancia entre a y b es el numero |a b|.

    Seccion 12: Completitud de IR 59

    2. Sean a, r IR con r > 0. El entorno abierto o vecindad de centro a y radio r es el conjuntoV(a, r) = {x IR/ |x a| < r}

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    59/187

    ( , ) { / | | }Ejemplo 11.13 La vecindad V(2, 1

    2) corresponde al intervalo (2 1

    2, 2 + 1

    2) = (3

    2, 52

    )

    Test. Determina cual de los siguientes conjuntos es una vecindad de x = 1:

    (a) (1, 3) (b) (2, 2) (c) (1, 2) (d) (1, 1)

    12. Completitud de IR

    Antes de enunciar el ultimo axioma que se necesita para caracterizar completamente el conjunto de losnumeros reales, la propiedad de completitud, tenemos que definir los conceptos de extremo inferior y superiorde un subconjunto de IR:

    12.1. Supremos e nfimos

    Dado un subconjunto de los numeros reales, es a menudo importante poder hallar sus puntos extremos,es decir los nmeros mas grandes y mas pequenos que el conjunto puede contener. Veremos que en lasaplicaciones es de particular interes hallar los valores extremos de funciones reales y que la teora de laderivacion nos dara algunas tecnicas basicas para encontrarlos. Es evidente que si estamos estudiando unintervalo acotado y cerrado [a, b], entonces a es el valor mnimo y b es el valor maximo de este conjunto.

    Pero si nuestro conjunto es, por ejemplo, el intervalo (0 , 5] o el intervalo [15, ), tenemos que extender lasideas intuitivas de maximo y mnimo.Definicion 12.1

    1.- SeaA un subconjunto de IR. Se dice que s IR es una cota superior de A (o que A esta acotadosuperiormente) si para todo x A es x s.

    Seccion 12: Completitud de IR 60

    2.- Se dice que m IR es una cota inferior de A (o que A esta acotado inferiormente) si para todox A se tiene que m x.

    3 Si A ti t i t i f i di A t t d

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    60/187

    3.- Si A tiene una cota superior y una cota inferior, se dice que A est a acotado.

    Ejemplo 12.2 El intervalo (20, 40) esta acotado. El intervalo (50, ) no esta acotado superiormente. Elconjunto (, 1) {6} esta acotado superiormente por el 6.

    Un conjunto puede tener infinitas cotas superiores o inferiores. Es natural preguntarse si, por ejemploen el caso del conjunto A = { 1n/ n IN}, existen cotas superiores o inferiores que se puedan distinguir entretodas las demas. La intuicion nos dice que el 1 (siendo un m aximo) es una cota superior de A mejor que90 y que el 0 es una cota inferior mejor que 50. En otras palabras, 1 es la cota superior mas pequena y0 es la cota inferior mas grande.

    Propiedad caracterstica del supremo

    Si M = sup S, entonces se debe satisfacer que1. a M, para todo a S, pues M es cota superior de S.2. ( > 0)(k S)(k > M ), pues, M es el supremo de S.La segunda propiedad, en terminos geometricos, se representa en la figura

    -sssMM k

    IR

    Si no existiera tal k, el numero M no sera supremo, lo sera M . Esto dara lugar a una contradiccion.Verifiquemos esto.

    Ejemplo 12.3 Sea A = (0, 1) IR. Probemos que el 2 no es el supremo. Para el lo debemos probar que almenos una de las dos condiciones no se satisface.

    1. x A se cumple que x < 2.

    Seccion 12: Completitud de IR 61

    2. Ahora, debe ocurrir que existe k (0, 1) tal que k > 2 para cualquier > 0 dado. Elegimos = 1.Es sencillo ver que no existe en (0, 1) un k > 1. Por tanto el 2 no es supremo. Puedes verificar que el1 si es el supremo

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    61/187

    1 si es el supremo.

    Analogamente, se cumple una propiedad semejante para el nfimo.

    Propiedad caracterstica del nfimoSea m = inf S, entonces

    1. a m para todo a S, pues, m es cota inferior de S.2. ( > 0)(k S)(k < m + ), pues, m es el nfimo de S.

    Geometricamente, esta ultima propiedad es como sigue

    -sss

    m + m k

    IR

    Es claro, que si no existe tal k, el numero m no sera nfimo, lo sera m + . Esto estara en contradiccioncon la hipotesis de que m lo es.

    Definicion 12.4

    1. Si el supremo de S pertenece al conjunto S, entonces recibe el nombre de maximo de S y se anotamax S

    2. Si el nfimo de S es elemento de S, entonces se llama mnimo de S y se anota min S

    Ejemplo 12.5 S = {x IR/x = nn + 1

    , n IN0}, entonces sup S = 1, infS = 0, min S = 0, max S noexiste pues 1 S.

    Seccion 12: Completitud de IR 62

    Ejemplo 12.6 20 y 40 son el nfimo y el supremo del intervalo (20, 40). 50 es el nfimo del intervalo(50, ) y el supremo de este intervalo no existe. 3 es el supremo (el maximo) del conjunto (, 0) {3} yel nfimo de este conjunto no existe

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    62/187

    el nfimo de este conjunto no existe.

    Proposicion 12.7 (Unicidad del supremo y del nfimo)Sea A IR, entonces

    1. si s1 y s2 son dos supremos de A, se sigue que s1 = s2.2. si m1 y m2 son dos nfimos de A, se sigue que m1 = m2.

    12.2. La propiedad del supremo de IR

    El ultimo axioma que falta para caracterizar el sistema de los numeros reales es el axioma de completitudo propiedad del supremo. Para el conjunto IN {0} (de los numeros enteros no negativos vale el siguienteaxioma de la buena ordenacion.

    Axioma de la buena ordenacion Todo conjunto no vaco de numeros enteros no negativos tiene unprimer elemento (es decir, un elemento mnimo).

    El axioma de la buena ordenacion nos garantiza la existencia de un elemento mnimo de todo subconjuntode IN {0}. Es natural preguntarse si esta propiedad vale tambien para subconjuntos de los numeros reales.Por ejemplo, podemos afirmar que el intervalo (0, 3) IR tiene un elemento mnimo? De acuerdo a lo yavisto, (0, 3) tiene un nfimo, el numero 0, pero 0 no es un elemento del intervalo abierto (0, 3), por tanto noes un mnimo. La propiedad que caracteriza los subconjuntos acotados de IR es el contenido del siguiente

    axioma.

    Axioma de completitud de IR: todo conjunto no vaco A de IR que tenga cota superior (cota inferior),tiene un supremo (un nfimo) en IR

    Seccion 12: Completitud de IR 63

    Test.

    1. Si A =

    n + 1

    n + 2/ n IN

    , entonces es correcto que:

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    63/187

    n + 2

    (a) sup(A) = 1, max(A) = 1 (b) sup(A) = 1, min(A) = 23

    (c) max(A) = 1, min(A) = 23

    (d) max(A) = 1, inf(A) = 23

    2. Si A =

    n

    n2 + 1/ n IN

    , entonces es correcto que:

    (a) sup(A) =1

    2, min(A) = 1 (b) inf(A) = 0, max(A) =

    1

    2

    (c) inf(A) = 0, min(A) = 0 (d) sup(A) = 12

    , inf(A) = 0

    3. Si B = {x IR/ x2 5x + 6 < 0}, entonces es correcto que:

    (a) sup(B) = 3, max(A) = 3 (b) min(A) = 2, inf(A) = 2

    (c) sup(A) = 3, inf(A) = 2 (d) max(A) = 3, min(A) = 2

    4. Si C = {x IR/ 28 + 3x x2 < 0}, entonces es correcto que:

    (a) sup(B) = 7, max(A) = 7 (b) min(A) = 4, inf(A) = 4

    (c) sup(A) = 7, min(A) = 4 (d) sup(A) = 7, inf(A) = 4

    Seccion 12: Completitud de IR 64

    5. Si D = {x IR/ |x 2| + |4 3x| < 20}, entonces es correcto:

    13 13 (b) inf(A) = 2 min(A) = 2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    64/187

    (a) sup(B) =13

    2, max(A) =

    13

    2(b) inf(A) = 2, min(A) = 2

    (c) sup(A) =13

    2, min(A) = 2 (d) sup(A) =

    13

    2, inf(A) = 2

    La propiedad de ArqumedesUna primera consecuencia del axioma de completitud de los numeros reales involucra a los numeros naturales.

    Teorema 12.8 (La propiedad de Arqumedes)Para todo numero real x IR existe un numero natural n IN tal que x < n.El siguiente corolario se utiliza en la demostracion de la existencia de numeros irracionales.

    Corolario 12.9 Seax > 0 un numero real positivo, entonces existe un numero natural n IN tal que 1n < x.

    La existencia de 2Vamos a verificar que los numeros racionales forman un subconjunto propio de los numeros reales. Por tantoel conjunto IR Q de los numeros irracionales no es vaco. Nos hace falta simplemente encontrar un numeroreal que no es un racional.

    Teorema 12.10 (La existencia de 2)Existe un numero real positivo S tal que S2 = 2.Una vez establecida su existencia, podemos verificar que

    2 no es un numero racional. Para empezar,

    hay que considerar la siguiente propiedad de los enteros pares.

    Lema 12.11 Si n es un numero entero tal que n2 es par, entonces n es par.

    Seccion 12: Completitud de IR 65

    Teorema 12.12 No existe un numero racional r tal que r2 = 2

    Finalmente podemos afirmar que existen numeros reales que no son racionales. El conjunto (no vaco)IR Q es el conjunto de los numeros irracionales

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    65/187

    IR Q es el conjunto de los numeros irracionales. Densidad de Q en IRAcabamos de verificar que el conjunto de los numeros racionales Q es un subconjunto propio de IR. Sin

    embargo, si a es un numero real cualquiera (por ejemplo un irracional) y, a partir del punto a; nos desplazamossobre la recta real una cantidad arbitrariamente pequena (hacia la derecha o la izquierda) hasta llegar a unnuevo punto b, siempre podemos encontrar un numero racional r que esta entre a y b. Esta propiedad de losnumeros racionales se expresa diciendo que Q es denso en IR.

    Observacion Si x > 0 es un numero real positivo, entonces existe un numero entero no negativo,n IN {0}, tal que n x < n + 1. Al numero n se le denomina parte entera de x y se escribe n = [x].

    Teorema 12.13 (Teorema de densidad de Q)Sean a y b dos numeros reales tales que a < b. Entonces existe un numero racional r tal que a < r < b.

    Teorema 12.14 (Teorema de densidad de II)Los numeros irracionales son densos en IR.

    Soluciones a los Ejercicios 66

    Soluciones a los Ejercicios

    Ejercicio 1(a)57

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    66/187

    57

    4= 14, 25

    Soluciones a los Ejercicios 67

    Ejercicio 1(b)13

    3= 4, 333333

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    67/187

    Soluciones a los Ejercicios 68

    Ejercicio 1(c)

    2, 7 =27

    10

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    68/187

    Soluciones a los Ejercicios 69

    Ejercicio 1(d)

    5, 273 =5273

    1000

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    69/187

    Soluciones a los Ejercicios 70

    Ejercicio 1(e)

    0, 3333 =1

    3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    70/187

    Soluciones a los Ejercicios 71

    Ejercicio 1(f)

    2, 105105 =2103

    999

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    71/187

    Soluciones a los Ejercicios 72

    Ejercicio 2(a) x z

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    72/187

    Soluciones a los Ejercicios 73

    Ejercicio 2(b) 3x 5y 3z

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    73/187

    Soluciones a los Ejercicios 74

    Ejercicio 2(c) 10a b

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    74/187

    Soluciones a los Ejercicios 75

    Ejercicio 2(d) 2a 2b c

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    75/187

    Soluciones a los Ejercicios 76

    Ejercicio 2(e) 5x 11x2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    76/187

    Soluciones a los Ejercicios 77

    Ejercicio 2(f) 5y2 + x2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    77/187

    Soluciones a los Ejercicios 78

    Ejercicio 2(g) 5a + 2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    78/187

    Soluciones a los Ejercicios 79

    Ejercicio 2(h) 7x 2x2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    79/187

    Soluciones a los Ejercicios 80

    Ejercicio 2(i) xy + 4x

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    80/187

    Soluciones a los Ejercicios 81

    Ejercicio 2(j) 2a2 10a

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    81/187

    Soluciones a los Ejercicios 82Ejercicio 2(k) x2 2x 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    82/187

    Soluciones a los Ejercicios 83

    Ejercicio 3(a) x2 + 2xy + y2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    83/187

    Soluciones a los Ejercicios 84

    Ejercicio 3(b) x2 y2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    84/187

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    85/187

    Soluciones a los Ejercicios 86

    Ejercicio 3(d) y2 + 4y + 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    86/187

    Soluciones a los Ejercicios 87

    Ejercicio 3(e) 2y2 5y 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    87/187

    Soluciones a los Ejercicios 88

    Ejercicio 3(f) x2 18x + 15

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    88/187

    Soluciones a los Ejercicios 89

    Ejercicio 4(a)

    (0, 02)3 =

    2

    100

    3=

    8

    1.000.000=

    1

    125.000

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    89/187

    Soluciones a los Ejercicios 90

    Ejercicio 4(b)(2)5 = (2) (2) (2) (2) (2) = (1)5 (2)5 = 32

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    90/187

    Soluciones a los Ejercicios 91

    Ejercicio 4(c)

    (12

    )2 =1

    4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    91/187

    Soluciones a los Ejercicios 92

    Ejercicio 4(d) x

    y

    n

    =

    x

    y

    n1=

    xn

    yn

    1

    =yn

    xn=y

    x

    n

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    92/187

    Soluciones a los Ejercicios 93

    Ejercicio 4(e)[(x2y)2]3

    (2x4)3=

    (x2y)6

    (2)3 x12=

    x12y623

    x12= 8y6

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    93/187

    Soluciones a los Ejercicios 94

    Ejercicio 5(a) a1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    94/187

    Soluciones a los Ejercicios 95

    Ejercicio 5(b) x43

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    95/187

    Soluciones a los Ejercicios 96

    Ejercicio 5(c) x56

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    96/187

    Soluciones a los Ejercicios 97

    Ejercicio 5(d) x

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    97/187

    Soluciones a los Ejercicios 98

    Ejercicio 5(e) a76 b 23

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    98/187

    Soluciones a los Ejercicios 99

    Ejercicio 5(f) a2536

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    99/187

    Soluciones a los Ejercicios 100

    Ejercicio 5(g) a52 b5

    2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    100/187

    Soluciones a los Ejercicios 101

    Ejercicio 5(h) b7

    24

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    101/187

    Soluciones a los Ejercicios 102

    Ejercicio 6(a) x(x + 3)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    102/187

    Soluciones a los Ejercicios 103

    Ejercicio 6(b) x(x 6)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    103/187

    Soluciones a los Ejercicios 104

    Ejercicio 6(c) y(x2 + y2 + z2)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    104/187

    Soluciones a los Ejercicios 105

    Ejercicio 6(d) 2ax2(y 2z)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    105/187

    Soluciones a los Ejercicios 106

    Ejercicio 6(e) a2b(2a + 5b)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    106/187

    Soluciones a los Ejercicios 107

    Ejercicio 6(f) xy(a + x2 2xy)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    107/187

    Soluciones a los Ejercicios 108

    Ejercicio 6(g) (x + y)(b + c)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    108/187

    Soluciones a los Ejercicios 109

    Ejercicio 6(h) (h k)(a + b)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    109/187

    Soluciones a los Ejercicios 110

    Ejercicio 6(i) (h + k)(s + t)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    110/187

    Soluciones a los Ejercicios 111

    Ejercicio 6(j) (h k)(2m + n)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    111/187

    Soluciones a los Ejercicios 112

    Ejercicio 6(k) (3a + b)(2x + y)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    112/187

    Soluciones a los Ejercicios 113

    Ejercicio 7(a) (x + 5)(x + 2)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    113/187

    Soluciones a los Ejercicios 114

    Ejercicio 7(b) (x + 4)(x + 3)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    114/187

    Soluciones a los Ejercicios 115

    Ejercicio 7(c) (y + 3)(y + 8)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    115/187

    Soluciones a los Ejercicios 116

    Ejercicio 7(d) (y 6)(y 4)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    116/187

    Soluciones a los Ejercicios 117

    Ejercicio 7(e) (z 5)(z + 2)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    117/187

    Soluciones a los Ejercicios 118

    Ejercicio 7(f) (a 4)(a 4)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    118/187

    Soluciones a los Ejercicios 119

    Ejercicio 8(a) (x + 3)2 + 2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    119/187

    Soluciones a los Ejercicios 120

    Ejercicio 8(b) (x + 2)2 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    120/187

    Soluciones a los Ejercicios 121

    Ejercicio 8(c) 2(x + 2)2 4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    121/187

    Soluciones a los Ejercicios 122

    Ejercicio 8(d) (x a)2 + b2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    122/187

    Soluciones a los Ejercicios 123

    Ejercicio 8(e) (x + 4)2 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    123/187

    Soluciones a los Ejercicios 124

    Ejercicio 8(f) (x 52)2 14

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    124/187

    Soluciones a los Ejercicios 125

    Ejercicio 8(g) (x 3)2 4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    125/187

    Soluciones a los Ejercicios 126

    Ejercicio 8(h) 2(z + 2)2 + 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    126/187

    Soluciones a los Ejercicios 127

    Ejercicio 8(i) 2(w 54 )2 + 318

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    127/187

    Soluciones a los Ejercicios 128

    Ejercicio 8(j) 3(y + 13)2 + 53

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    128/187

    Soluciones a los Ejercicios 129

    Ejercicio 9(a) x = 6

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    129/187

    Soluciones a los Ejercicios 130

    Ejercicio 9(b) x = 4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    130/187

    Soluciones a los Ejercicios 131

    Ejercicio 9(c) x = 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    131/187

    Soluciones a los Ejercicios 132

    Ejercicio 9(d) x = 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    132/187

    Soluciones a los Ejercicios 133

    Ejercicio 9(e) x = 5

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    133/187

    Soluciones a los Ejercicios 134

    Ejercicio 9(f) x = 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    134/187

    Soluciones a los Ejercicios 135

    Ejercicio 9(g) x = 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    135/187

    Soluciones a los Ejercicios 136

    Ejercicio 10(a) x = 5

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    136/187

    Soluciones a los Ejercicios 137

    Ejercicio 10(b) x = 8

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    137/187

    Soluciones a los Ejercicios 138

    Ejercicio 10(c) x = 25

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    138/187

    Soluciones a los Ejercicios 139

    Ejercicio 10(d) x = 13

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    139/187

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    140/187

    Soluciones a los Ejercicios 141

    Ejercicio 10(f) x = 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    141/187

    Soluciones a los Ejercicios 142

    Ejercicio 11(a)118

    =1

    3

    2=

    2

    6

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    142/187

    Soluciones a los Ejercicios 143

    Ejercicio 11(b)(3 +

    8)(3 28) = 9 + 38 68 16 = 7 38

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    143/187

    Soluciones a los Ejercicios 144

    Ejercicio 11(c)3 +

    5

    3 5 =1

    2(7 + 3

    5)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    144/187

    Soluciones a los Ejercicios 145

    Ejercicio 11(d)(3 + 2

    7)2 = 9 + 12

    7 + 28 = 37 + 12

    7

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    145/187

    Soluciones a los Ejercicios 146

    Ejercicio 11(e) 4x2 + 4x + 1 =

    (2x + 1)2 = 2x + 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    146/187

    Soluciones a los Ejercicios 147

    Ejercicio 11(f) 50x4y6 =

    (5)2cdot(2)(x2)2(y3)2 = 5x2y3

    2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    147/187

    Soluciones a los Ejercicios 148

    Ejercicio 12(a)x = 2 +

    x x = x 2 x = (x 2)2

    Al desarrollar y reducir terminos semejantes

    x2 5x + 4 = 0 (x 1)(x 4) = 0se sigue que x = 1 o x = 4. Al verificar en la ecuacion original se tiene que la solucion es solo x = 4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    148/187

    Soluciones a los Ejercicios 149

    Ejercicio 12(b) 1 2x + x + 5 = 4 1 2x = 4 x + 5

    Al elevar al cuadrado1 2x = 16 8x + 5 + x + 5 8x + 5 = 20 + 3x

    de nuevo, al elevar al cuadrado

    64(x + 5) = 400 + 120x + 9x2 9x2 + 56x + 80 = 0

    Por formula de la cuadratica1

    (

    1 )1

    ( 1 )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    149/187

    x =1

    18(56 3136 2880) = 1

    18(56 16)

    de lo cual se obtienen:

    x1 = 209

    y x2 = 4Por todas las elevaciones al cuadrado hay que verificar si son o no soluciones. Una vez hecho esto, ambasson soluciones.

    Soluciones a los Ejercicios 150

    Ejercicio 13(a) 4, pues 24

    = 16

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    150/187

    Soluciones a los Ejercicios 151

    Ejercicio 13(b) 4, pues 34

    = 16

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    151/187

    Soluciones a los Ejercicios 152

    Ejercicio 13(c)1

    2 , pues 91/2 = 3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    152/187

    Soluciones a los Ejercicios 153

    Ejercicio 13(d) 1, pues 31 =1

    3

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    153/187

    Soluciones a los Ejercicios 154

    Ejercicio 13(e) 3, pues 33

    = 27

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    154/187

    Soluciones a los Ejercicios 155

    Ejercicio 13(f) 3, pues 53

    = 125

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    155/187

    Soluciones a los Ejercicios 156

    Ejercicio 13(g) 2, pues 22

    =1

    4

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    156/187

    Soluciones a los Ejercicios 157

    Ejercicio 13(h) 4, pues 24

    = 16

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    157/187

    Soluciones a los Ejercicios 158

    Ejercicio 13(i) 8, pues 2

    3

    = 8

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    158/187

    Soluciones a los Ejercicios 159

    Ejercicio 14(a) 2, pues log6 4 + log6 9 = log6 36 = 2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    159/187

    Soluciones a los Ejercicios 160

    Ejercicio 14(b) 1, pues log5 20 + log5(

    1

    4) = log5 5 = 1

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    160/187

    Soluciones a los Ejercicios 161

    Ejercicio 15(a) Falso, x = 2, y = 3, a = 3, b = 2

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    161/187

    Soluciones a los Ejercicios 162

    Ejercicio 15(b) Verdadera. La igualdad se cumple si se toma x = y, en cualquier otro caso es x < y.Recordar que es > 0

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    162/187

    Soluciones a los Ejercicios 163

    Ejercicio 16(a) x [2, 3]

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    163/187

    Soluciones a los Ejercicios 164

    Ejercicio 16(b) x (7

    4 , 2)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    164/187

    Soluciones a los Ejercicios 165

    Ejercicio 16(c){

    x 0}

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    165/187

    Soluciones a los Ejercicios 166

    Ejercicio 16(d) (

    1

    3 , 2)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    166/187

    Soluciones a los Ejercicios 167

    Ejercicio 16(e) (, 1

    2 ) (2

    3 , )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    167/187

    Soluciones a los Ejercicios 168

    Ejercicio 16(f) (1,2

    3 )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    168/187

    Soluciones a los Ejercicios 169

    Ejercicio 16(g){

    x 0}

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    169/187

    Soluciones a los Ejercicios 170

    Ejercicio 16(h) (1, 6)

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    170/187

    Soluciones a los Ejercicios 171

    Ejercicio 16(i) (

    , 5)

    (7,

    )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    171/187

    Soluciones a los Ejercicios 172

    Ejercicio 16(j) La desigualdad es equivalente a 2x2 + 3x + 4

    0. Al resolver 2x2 + 3x + 4 = 0 e ldiscriminante b2 4ac < 0 de modo que no existe x IR que haga cero la ecuacion. En consecuencia, ella essiempre positiva o negativa. Para ver esto se toma cualquier x y se evalua. Por ejemplo, con x = 0 se tiene2(0)2 + 3(0) + 4 = 4 > 0. Por tanto, no existe x que la haga negativa, de manera que la ecuacion no tienesolucion en IR

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    172/187

    Solutions to Problems 173

    Problema 11.1. Los puntos de quiebre son x =

    1 y x = 1, ambos son parte del conjunto solucion (escosa de reemplazar). En la recta la cosa se ve como sigue

    - IRuu11

    La recta ha quedado dividida en tres subitervalos, en los cuales se tiene:

    En (, 1)Al sacar valores absolutos la ecuacion |x + 1| + |x 1| < 3 equivale a

    x 1 x + 1 < 3 = x > 32

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    173/187

    +2

    con lo cual, en la recta real tenemos la situaci on que muestra la figura

    - IRuu11

    -

    32

    de aqu a la derecha hay solucion

    En (1, 1)Al sacar valores absolutos la ecuacion |x + 1| + |x 1| < 3 equivale a

    x + 1 x + 1 < 3 = 2 < 3una verdad tan grande como el eterno campeon. As que el [1, 1] es solucion, de modo que graficamentetenemos

    - IRuu11

    -

    32

    en este intervalo tenemos solucion

    Solutions to Problems 174

    En (1,

    )

    Al sacar valores absolutos la ecuacion |x + 1| + |x 1| < 3 equivale ax + 1 + x 1 < 3 = x < 3

    2

    que en la recta se ve de la siguiente forma

    - IRuu

    11

    -

    32

    e

    32

    e

    Se concluye que el conjunto solucion es ( 32

    , 32

    )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    174/187

    Solutions to Problems 175

    Problema 11.2. La desigualdad es equivalente a |x

    ||x + 2| 1. Los puntos de quiebre son x = 0 y x = 2.Los pones sobre la recta numerica

    - IRbb02

    La recta queda dividida en 3 intervalos. Tienes que ver que pasa en cada uno de ellos. Por ejemplo, en(, 2) la ecuacion |x| |x + 2| equivale a tener

    x (x + 2)de lo cual se obtiene, al simplicar las x, que 0 2. Como esto es falso, significa que no hay solucion all.P t t l i t l ( 2 0) l i i l

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    175/187

    Por otra parte, en el intervalo (2, 0) la ecuacion equivale ax x + 2 = 2x 2 = x 1

    En x = 1 se da la igualdad

    | 1

    |=

    | 1 + 2

    |=

    1 = 1

    Este punto debe agregarse a la recta. Con ello la situacion en la recta es

    - IRue02

    u

    1

    -

    Dado que x = 0 satisface la desigualdad, debemos agregarlo en el conjunto solucion. Finalmente, en elintervalo (0, ) la ecuacion equivale a tener

    x

    x + 2 =

    0

    2

    lo que es siempre verdadero, de lo cual se deduce que todos los valores de x a la derecha del 0 son parte delconjunto solucion. En la recta tenemos la situacion

    Solutions to Problems 176

    - IRue02

    u

    1

    -

    De esta manera, el conjunto solucion es

    S = (1, 0) (0, ) {0} = (1, )

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    176/187

    Solutions to Problems 177

    Problema 11.3. El punto de quiebre es x =

    3, que no forma parte del conjunto solucion. En la recta

    numerica tenemos

    - IRb3

    La recta queda dividida en 2 intervalos. En (, 3) se tiene la equivalencia

    x

    6+

    1

    2

    >5

    6 x

    6 1

    2>

    5

    6

    de lo cual se obtiene x < 8. La recta se ve como sigue

    - IRbb

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    177/187

    - IRb3

    b

    8

    Por otra parte, en el intervalo (3, ) se tiene la equivalencia

    x

    6

    +1

    2 >

    5

    6 x

    6

    +1

    2

    >5

    6de lo cual se obtiene x > 2. La recta se ve ahora como sigue

    - IRb3

    b

    8

    b

    2

    -

    De esta manera, el conjunto solucion es

    S = (

    ,

    3)

    (2,

    )

    Soluciones a los Tests 178

    Soluciones a los Tests

    Solucion al Test: Por ejemplo, el 2 no tiene en IN inverso aditivo ni multiplicativo. El 0 no lo consideramosen IN. La propiedad de clausura se cumple siempre, es decir, para dos naturales cualesquiera, su suma esotro natural. Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    178/187

    Soluciones a los Tests 179

    Solucion al Test: Por ejemplo, el 2 no posee inverso multiplicativo en ZZ. Esto significa que es imposible!

    hallar en ZZ un elemento x tal que2 x = 1

    Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    179/187

    Soluciones a los Tests 180

    Solucion al Test: La respuesta a x2

    2 = 0 se encuentra en el conjunto de los numeros irracionales y viene

    dada por x = 2. Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    180/187

    Soluciones a los Tests 181

    Solucion al Test: La respuesta a x2 + 1 = 0 se encuentra en el cuerpo de los numeros complejos y viene

    dada por x = i, donde i es la unidad imaginaria que satisface la igualdad i2 = 1 Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    181/187

    Soluciones a los Tests 182

    Solucion al Test: La ley distributiva indica lo siguiente:

    (2x 1)(x + 4) = (2x 1) x + (2x 1) 4 = (2x)x x + 8x 4 = 2x2 + 7x 4Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    182/187

    Soluciones a los Tests 183

    Solucion al Test: dos soluciones complejas. Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    183/187

    Soluciones a los Tests 184

    Solucion al Test:

    b2 4ac = 0 (2)2 4k(3) = 0 12k = 4 k = 13

    Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    184/187

    Soluciones a los Tests 185

    Solucion al Test:

    4x2 = 1 x2 = 14

    x =

    14

    = 12

    De modo que la respuesta correcta es 12

    Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    185/187

    Soluciones a los Tests 186

    Solucion al Test:

    (x 3)2 = 8 x 3 = 8 x = 3 8De esta forma, 3 2

    2 es solucion Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    186/187

    Soluciones a los Tests 187

    Solucion al Test:

    25x3 = 5x3 = 5x2x = 5xxVale la hipotesis de que x 0 Final del Test

  • 8/3/2019 Algebra Reales

    187/187