algebra portafolio

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO PORTAFOLIO DE ALGEBRA AUTOR: John Jairo Goyes Mites DOCENTE: ING. OSCAR LOMAS MARZO-AGOSTO-2013 TULCÁN - ECUADOR

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  • 1. 1 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO PORTAFOLIO DE ALGEBRA AUTOR: John Jairo Goyes Mites DOCENTE: ING. OSCAR LOMAS MARZO-AGOSTO-2013 TULCN - ECUADOR

2. 2 Teora 3. 3 EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin El ente bsico de la parte de la matemtica conocida como anlisis lo constituye el llamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como 1, 3, , , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema ms primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales1. En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primera parte se har una presentacin intuitiva del conjunto R de los nmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. 4. 4 La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera { } La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. = En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo). (Peano, 1889) 5. 5 . LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de longitud para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p un punto que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin positiva, Se asocia a cada nmero negativo - p el punto que est a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa. Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". 6. 6 Ejemplo. Orden Los nmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y slo si el punto que representa al nmeroa est a la izquierda del punto que representa al nmero b. .([email protected], s.f.) 7. 7 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En lgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: son las de mayor inters, porque se utilizan tanto en los sistemas numricos o, ms abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatizacin de los diversos sistemas matemticos Propiedad conmutativa. Dado un conjunto no vaco A, en el que se ha definido una ley de composicin interna *: se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a. Del mismo modo podemos decir que la ley de composicin interna *, no es conmutativa en A si: Si existe algn a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a. 8. 8 Propiedad distributiva. Dado un conjunto A no vaco en el que se han definidos dos operaciones internas: Que expresaremos se dice que la operacin es distributiva por la derecha de si se cumple: Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv + uxw Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ. Es importante el orden de factor en la definicin de R-mdulos a izquierda. Del mismo modo se dice que la operacin es distributiva por la izquierda de si se cumple: Divisores del cero . Sea el conjunto A y la operacin * , siendo a 0, b 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0. Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0. En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos mdulo 6 con la multiplicacin * de restos, resulta 2*3=0. 9. 9 Elementos distinguidos Elemento involutivo Se llama as al elemento d de A, con la operacin binaria *, tal que d*d= d. el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicacin en el conjunto Z de los enteros. Elemento absorbente Se denomina as al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la operacin *. 0 es elemento absorbente se un sistema numrico multiplicativo. El conjunto vaco es elemento absorbente para la interseccin definida en el conjunto de partes de U. POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION ROF. Jos Luis Gallardo La potenciacin es una nueva forma de escribir el producto de un nmero por l mismo. Es muy prctica, elegante, til y fcil. Fjate que la base es el nmero que multiplicas varias veces por s mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. As por ejemplo: 10. 10 Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por s mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un nmero se multiplica por s mismo una cantidad definida de veces es una potenciacin. Por ejemplo, si se multiplica ocho por s mismo cinco veces se tendr 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacin son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En particular: (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m0. 11. 11 Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y slo si a=b. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 Como tambin pues ser unos conjuntos de nmeros potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000 12. 12 RADICACIN ROF. Jos Luis Gallardo Vos sabes que la resta es la operacin inversa de la suma y la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. La potenciacin tiene tambin su operacin inversa; y se llama radicacin. Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raz cuadrada de 64. De la misma manera calcular la raz cuadrada de 25 significa buscar un nmero que elevado al cuadrado d como resultado 25. Es decir que: Por ahora slo trabajaremos con races cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las nicas que existen, como podrs ver en cursos posteriores. Clculo de races cuadradas por aproximaciones sucesivas Este mtodo se debe a Newton Si conocemos una aproximacin de la raz, podemos calcular una aproximacin mejor utilizando la siguiente frmula: 13. 13 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismo grado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminos de igual grado. Tambin se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIN de cada ejercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado trmino a trmino con el otro polinomio. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2) 14. 14 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3) 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo) + 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x 3 La suma de los trminos de grado 2 di 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los trminos con coeficiente cero. EJEMPLO 3: (Uno de los trminos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 Se llama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trmino semejante. EJEMPLO 4: (No hay trminos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2 15. 15 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los trminos de igual parte literal. EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) 16. 16 - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados) ______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 17. 17 MULTIPLICACIN: Cmo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los trminos de uno de ellos por todos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cada trmino de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve tambin la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar los trminos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicacin con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se haca en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos trminos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Se trata, como antes, de multiplicar cada trmino de uno por todos los trminos del otro. 18. 18 EJEMPLO 1: (Multiplicacin por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 Se multiplica al monomio por cada trmino del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicacin de potencias de igual base. Tambin se pueden multiplicar "en el mismo rengln": poniendo el polinomio entre parntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras. EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Multiplicacin de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo) X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ -24x3 + 30x2 - 12x - 6 + 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 19. 19 A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A cada trmino del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada trmino del primer polinomio. Si ambos polinomios estn completos y ordenados, los resultados quedan tambin completos y ordenados, y es ms fcil en columnarlos segn su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicacin de nmeros de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" nmeros a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicacin de nmeros de varias cifras, y as se logra que los trminos de igual grado queden en la misma columna. explicacin ejemplo 2 EJEMPLO 3: (Multiplicacin de polinomios incompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x 20. 20 Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. As es ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica se preferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0. EJEMPLO 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sin completarlos, pero s ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x 21. 21 EJEMPLO 5: (Multiplicacin de polinomios de varias letras) A = -3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 B = 5x4 y + 8x - 2x3 y - 10 A x B = (-3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 ).(5x4 y + 8x - 2x3 y - 10) = -15x6 y4 - 24x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 + 60x3 y3 = -15x6 y4 + 12x6 y4 - 24x3 y3 + 60x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 = -3x6 y4 + 36x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 28x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 22. 22 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado) X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4 - 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________ - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando ms o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6 , sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas ms para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo trmino, para los grados intermedios que faltan. As quedan ms o menos acomodados, para que en la prxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente. 23. 23 DIVISION: Divisin entre fracciones En este tipo de divisin se cumplen las mismas reglas que con la divisin de monomios y las reglas de divisin de fracciones de la aritmtica. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer trmino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la divisin, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la divisin (esto se llama divisin cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. Ejemplos: Divisin de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtindolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de l polinomio. Separamos el polinomio en diferentes trminos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. 24. 24 Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: Divisin entre polinomios. En este tipo de divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los trminos que faltan. El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo y se resta del dividendo. El segundo trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer trmino del divisor. Se multiplica el segundo trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer trmino no pueda ser dividido por el primer trmino del divisor. Cuando esto ocurre el resto ser el residuo de la divisin. 25. 25 La intencin con este mtodo de divisin es que con cada resta se debe eliminar el trmino que se encuentra ms a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Ejemplos: 26. 26 PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2 Nota: Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. 27. 27 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 2ab + b2 = (a b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: (a + b) (a b) = a2 b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 b2 28. 28 Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 3a2 b + 3ab2 b3 = (a b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2 b + 3ab2 b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3 . A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa: Producto notable Expresin algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado 29. 29 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el mximo comn divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en lgebra computacional. Estos clculos aparecen como subproblemas en operaciones aritmticas sobre funciones racionales o aparecen como clculo prominente en factorizacin de polinomios y en integracin simblica, adems de otros clculos en lgebra. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variacin del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrs, es fcil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del lgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando tcnicas un poco ms sofisticadas. En esta primera parte vamos a entrar en la teora bsica y en los algoritmos (relativamente) ms sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aqu lo llamaremos PRS subresultante) y el algoritmo heurstico (conocido como "GCDHEU''). Este ltimo algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y se usa tambin como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de los clculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13]. No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el clculo del MCD de dos polinomios. Los algoritmos ms usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16] GCDHEU es ms veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es ms veloz que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes nulos y stos, en la prctica, son la mayora. 30. 30 EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2 1) Se factorizan las expresiones dadas: > 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplic Caso I de Factorizacin) > 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplic Caso I y IV de Factorizacin) 2) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solucin. NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposicin de Factores o Factorizacin, segn el Caso que le corresponda. ___________________________________________________________ Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Se factorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplic el Caso IV de Factorizacin > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. > x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin. ___________________________________________________________ 31. 31 1. Reducir fracciones a comn denominador. Ejemplo: Reducir a comn denominador las siguientes fracciones: Factor izamos los denominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270 y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el mximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 32. 32 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 32 5 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas. 33. 33 RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de los reales en los reales cuya regla de correspondencia est dada por f(x) = ax 2 + bx + c (a0) y cuyo dominio incluye todos los nmeros reales. Para resolver ecuaciones cuadrticas utilizamos principalmente el mtodo de factorizacin. Ejemplos: 1) Resuelva x 32x 1 9 . Solucin: Lo primero es lograr que la ecuacin se iguale a cero. Para esto, primero multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Despus factorizaremos la ecuacin resultante para obtener la solucin final. Es conveniente verificar la solucin final en la ecuacin original. x 32x 1 9 2x 2 x 6x 3 9 2x 2 5x 3 9 0 2x 2 5x 12 0 2x 3x 4 0 2x 3 0 2x 3 x 3/2 34. 34 x 4 0 x 4 2) Halle las soluciones de x 3 8x 2 16x 0. Solucin: Como la ecuacin ya est igualada a cero solamente hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en trminos de x . xx 2 8x 16 0 xx 4x 4 0 x 0 x 4 0 x 4 35. 35 Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnita cuyo valor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnita es uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se deben traspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de manera que todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y los dems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de la expresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x + 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b) Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c) Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 Ecuaciones literales de primer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin, se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver 36. 36 ecuaciones literales se efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incgnitas a un lado de la ecuacin, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos las operaciones ax bx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide? Porque el factor de la incgnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros. Entonces, segn el enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los nmeros son 4 y 5. Ejemplo 2: 37. 37 Sergio tiene un ao ms que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. Qu edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuacin: x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32 Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: la edad del menor es 32. Ejemplo: 1.-Resolucin de la ecuacin 2x - 3 = 2 1 paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2 pas. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 2.- Resolucin de la ecuacin 3x -2 = x + 5 1 paso: Restamos x a los dos miembros. 3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2 pas. Sumamos 2 a los dos miembros. 2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3 pas. Dividimos por 2, el coeficiente de la x 2x/2 = 7/2 SOLUCIN: x = 7 / 2 38. 38 3.- Resolucin de la ecuacin 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5 1 paso: Se simplifica los dos miembros. 6x - 4 = 12 - 3x 2 paso: Sumamos 3x a los dos miembros. 6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12 3 paso. Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16 4 paso: Dividimos por 9 SOLUCIN: x = 16 / 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita Sabemos que una ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solucin de la ecuacin. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 39. 39 Donde a, b y c son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda en cada caso particular. Solucin de ecuaciones cuadrticas Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nmeros reales. Pero este tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a = 3, b = 9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no est) 6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe) Para resolver la ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos: Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: 40. 40 Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas: Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = 4 Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x 1) = 9 2x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 12 = 5x 2) Halle las soluciones de La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos de x: Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x = 4 41. 41 Solucin por completacin de cuadrados Se llama mtodo de la completacin de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0 Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 42. 42 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 4 x = 4 Se dice que "se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuacin x2 + 6x 16 = 0 Hacemos x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda 43. 43 (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresin x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y as la ecuacin se resuelve con facilidad: Extraemos raz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5 Entonces x = 5 3 x = 2 Y x = 5 3 x = 8 La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Solucin por la frmula general Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente: La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que: 44. 44 Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones son PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Para tener xito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros Reales. Dos nmeros, en la recta numrica, que estn a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simtricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un nmero y su inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquier nmero real de a, su inverso aditivo es a. Considere el nmero -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este nmero debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. ste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo. 45. 45 Propiedad del doble negativo Para cualquier nmero real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier nmero distinto del cero siempre ser un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un nmero real, use la definicin siguiente. La definicin de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmero no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmero negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. El valor absoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin. Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmeros reales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. 46. 46 Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo 47. 47 Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. Propiedades de los nmeros reales. Propiedades de los nmeros reales. b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) 48. 48 Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tiene la siguiente la forma: 49. 49 Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacin es la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas Se puede ver: Con lo que podemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da la segunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuacin. Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos: 50. 50 CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que ser la solucin:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema ser compatible determinado. Vemos la representacin ms abajo .x + y = 3 2 51. 51 x + 2 y = 6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solucin del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema ser compatible indeterminado. Vemos la representacin ms abajo b) x + y = 3 x + y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, luego el sistema no tiene solucin. Por tanto, el sistema ser incompatible. Vemos la representacin siguiente Mtodo de reduccin Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita. Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero. 52. 52 Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente: 53. 53 Supongamos que tenemos dos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacin No contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin de incgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incgnita, digamos . Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el nmero de incgnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro 54. 54 El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas que las de partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que 55. 55 Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incgnita Cuya solucin es . Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican. 56. 56 Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior: Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupacin para obtener : 57. 57 En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener: La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incgnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en : Que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. TRMINO. Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero es el que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es el que tiene denominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TRMINOS HOMOGNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. 58. 58 TRMINOS HETEROGNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TRMINOS SEMEJANTES. Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trmino semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresin algebraica que consta de un solo trmino. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos trminos. 59. 59 TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres trminos. POLINOMIO. Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 Cul es el grado de: ? 60. 60 9.6 Cul es el grado de: ? ORDENAR UN POLINOMIO Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su grado: 9.8 Ordena el polinomio: Respuesta: NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dgase qu clase de trminos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: S o l u c i n : 2. Dgase el grado absoluto de los trminos seguientes: S o l u c i n : 61. 61 3. Dgase el grado de los trminos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: 4. De los trminos siguientes escoger cuatro que sean homogneos y tre hetereogneos S o l u c i n : 5. Escribir tres trminos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales S o l u c i n : 6. Escribir un trmino de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undcimo grado, dcimo quinto grado, vigsimo grado 62. 62 S o l u c i n : 7. Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuarto grado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que sea de sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factores literales que sea de dcimo grado con relacin a la b S o l u c i n : DESCOMPOSICIN FACTORIAL - Factores Se llaman factores o divisores de una expresin algebraica a los que el producto entre s (de estos factores) nos da la expresin primitiva. As, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre s dan la expresin a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Mtodos para la factorizacin de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando nmeros reales, si se consideran los nmeros complejos. Existen mtodos de factorizacin, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares iguales 63. 63 Trinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x+bx+c Trinomio de la forma ax+bx+c Polinomios Factor comn Factorizar un monomio Se descompone el trmino en el producto de factores primos. Ejemplo: Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o ms factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmtica, hay nmeros primos que slo son divisibles por la unidad y por s mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que slo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. As a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque slo es divisible por a + b y por la unidad. A continuacin diferentes casos de descomposicin factorial. Caso I: Factor comn Factor comn. Cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn a. Se escribe este factor comn como coeficiente de un parntesis, dentro de este parntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya 64. 64 Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor comn. De las variables, el nico factor comn es b ya que se haya en los dos trminos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor comn ser 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2) Factor comn de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos trminos de la expresin tienen como factor comn (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un parntesis, dentro del parntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor comn por agrupacin de trminos Se agrupan los trminos que tengan factor comn, asocindolos entre parntesis y luego se extrae el factor comn de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros trminos tienen el factor comn x, y los dos ltimos tienen el factor comn y, asociando los dos primeros trminos en un parntesis y los dos 65. 65 ltimos tambin en un parntesis precedido de un signo + ya que el tercer trmino es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociacin de trminos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendr el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2 ) = 4a x 4a = 16a2 , 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2 , 4a es la raz cuadrada de 16a2 . Sin embargo (-4a2 ) = (-4a)((-4a) = 16a2 , luego (-4a) es tambin raz de 16a2 , por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raz cuadrada de un monomio Para extraer la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada de su coeficiente numrico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raz cuadrada de 25a2 b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. As, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 66. 66 Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos nmeros a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea (Baldor, 2013) OPERACIONES CON FRACCIONES SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fraccin que tendr el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador ser la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas. En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, el cual ser el denominador de la fraccin resultado, en tanto que el numerador ser la suma algebraica de nmeros que surgen de dividir el mnimo comn mltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya est. 67. 67 El otro camino implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, y despus, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores sern el mnimo comn mltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresin con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores segn sea el caso. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre s. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que estn en los numeradores, entre s, y de igual manera se multiplican entre s los polinomios que estn en los denominadores. En la prctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 68. 68 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. Veamos un ejemplo: DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La divisin de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recproca de la segunda. (Traduccin: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la divisin en una multiplicacin, y se resuelve el ejercicio como un producto). Desarrollando por el segundo mtodo. 69. 69 Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fraccin y resolverla como una multiplicacin. Formula: RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO En este tipo de expresin, hace falta un trmino cuadrtico, para transformar a la expresin original en un trinomio cuadrado perfecto. Dicho trmino cuadrtico se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresin bsica en nada. La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresin bsica que necesitaba esa adicin para transformar dicha parte bsica en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo. Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto. Ahora se tendr una diferencia de cuadrados, en la cual el primer trmino es el trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadrticas que se agregaron. Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresin original totalmente factorizada, mediante la completacin de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados. 70. 70 Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidi enumerar los casos, para nosotros es conocido como completacin del trinomio cuadrado perfecto, entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que sabamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tombamos las races y encontrbamos el doble producto. En este caso la factorizacin es muy simple, pongamos las races en un parntesis y pongamos entre ellas el signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorizacin del trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemtico podemos lograrlo para luego volver esa expresin en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las races siempre de los que estn solos. El problema de las matemticas es que si yo sumo algo tambin se lo debo restar porque al restarlo no afect la expresin. Luego de eso si se puede factorizar. Aunque hagamos la completacin y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresin que sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completacin tengo que darme cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raz. Al tener las dos races y el doble producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre parntesis las races, el signo de la mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como se resuelven trinomios y binomios utilizando la completacin del trinomio cuadrado perfecto. 2 Comentarios en: factorizacin por completacin del trinomio cuadrado perfecto APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS Las funciones cuadrticas son ms que curiosidades algebraicas son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniera. La parbola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente 71. 71 y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parablicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadrticas ayudan a predecir ganancias y prdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinacin de valores mnimos y mximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en da, desde los carros hasta los relojes, no existiran si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadrticas para su diseo. Ejemplos: Resolver la siguiente ecuacin x 2 + 4 x = 12 Solucin: Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0 Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2 Paso 4: Verificar la solucin. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0 72. 72 DEBERES 73. 73 74. 74 75. 75 76. 76 77. 77 78. 78 79. 79 80. 80 81. 81 82. 82 83. 83 84. 84 85. 85 ALGEBRA DE GONZALO MANCIL 86. 86 87. 87 ALGEBRA DE REPETO 88. 88 ALGEBRA DE MANCIL 89. 89 90. 90 91. 91 92. 92 93. 93 94. 94 95. 95 96. 96 Universidad Politcnica Estatal del Carchi Escuela: Desarrollo Integral Agropecuaria Alumno: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar Lomas Tema: Amortizacin Amortizar significa extinguir gradualmente una deuda o un prstamo a travs de pagos peridicos. El objetivo de una tabla de amortizacin es especificar el detalle de cada uno de los pagos hasta la liquidacin total del prstamo. Es muy probable que alguna vez hayas visto una tabla de amortizacin, especialmente si te has acercado a una institucin bancaria para solicitar un crdito de auto o un crdito hipotecario. Generalmente el asesor del banco te preguntar el monto y la duracin deseada del crdito y de inmediato te mostrar una tabla con el desglose de los pagos a realizar. El asesor no hace los clculos manualmente en el instante sino que utiliza un sistema computacional desarrollado para ese fin. Nosotros tambin podemos automatizar este tipo de tareas al crear una tabla de amortizacin en Excel y de esa manera conocer fcil y rpidamente la cantidad de pagos a realizar y as como los montos exactos destinados al pago de intereses y al pago de capital. La tabla de amortizacin de un prstamo hipotecario detalla mes por mes, pago por pago, cmo se ir reduciendo o repagando la deuda contrada el da del cierre de tu transaccin hipotecaria. Esta tabla contiene los plazos mensuales contratados en tu hipoteca: 360 meses si la hipoteca fuera de 30 aos, 240 meses si fuera una hipoteca de 20 aos, etc. La misma tambin identifica los por cientos de su pago que se le aplicarn al principal y el inters que le corresponde en ese plazo particular. De esta manera, sabr cunto ha pagado del principal y cul es el balance del mismo cada mes. Para poder crear la tabla de amortizacin en Excel debemos tener al menos la siguiente informacin: Monto del crdito: Es indispensable conocer el monto del prstamo. Esta es la cantidad neta otorgada por la institucin financiera al aprobarnos un crdito. Tasa de inters: No solo debemos cubrir el monto total del crdito sino tambin la tasa de inters cobrada por la institucin financiera ya que es la manera como obtienen ganancias por la prestacin de dicho servicio. Generalmente encontraremos especificada la tasa de inters de forma anual. 97. 97 Nmero de pagos: Es necesario establecer el nmero de pagos que deseamos realizar para cubrir nuestra deuda. Es una prctica muy comn establecer una cantidad de pagos mensuales (en bloques anuales): 12, 24, 36, 48, etc. Como regla general, entre mayor sea el nmero de pagos a realizar, menor ser el monto de cada uno de los pagos mensuales, pero el inters a pagar ser mucho mayor. Si esta aseveracin no te queda muy clara, seguramente lo estar una vez que hayamos creado nuestra tabla de amortizacin en Excel y podamos analizar diversos escenarios para un crdito. Creacin de la tabla de amortizacin La tabla de amortizacin en Excel ser el desglose de cada uno de los pagos mensuales para conocer el monto exacto destinado tanto al pago de intereses como al pago del capital de nuestra deuda. El clculo de pago de intereses lo haremos con la funcin PAGOINT de Excel. Esta funcin utilizar los mismos argumentos que la funcin PAGO pero agregar un cuarto argumento para indicar el nmero de perodo para el cual deseamos calcular el monto del inters a pagar. Utilizando nuestro ejemplo de prstamo, calcularemos el inters a pagar en el primer perodo utilizando una frmula como la siguiente: =PAGOINT(1%,1,24,-150000) Compara esta frmula con la funcin PAGO de la seccin anterior y vers que la nica diferencia es que el segundo argumento indica el perodo que deseamos calcular, que en este caso es el primer perodo. Para obtener el inters a pagar en cada uno de los 24 pagos podemos implementar una tabla como la siguiente: Observa que la frmula de la celda E2 hace referencia a las variables de la columna B y las he colocado como referencias absolutas porque deseo que dichas referencias 98. 98 permanezcan fijas al momento de copiar la frmula hacia abajo. El segundo argumento de la funcin PAGOINT hace referencia a la columna D que es precisamente donde se encuentra el nmero de pago correspondiente. Por el contrario, para obtener el monto que se abona mes a mes a nuestra deuda, debemos utilizar la funcin PAGOPRIN de Excel. La sintaxis de esta funcin ser prcticamente idntica a la de la funcin PAGOINT. Considera la siguiente frmula que nos ayuda a obtener el pago a capital para el primer perodo: =PAGOPRIN(1%,1,24,-150000) De esta manera calcularemos el monto de nuestro pago mensual que estar destinado al pago de capital de nuestra deuda. De igual manera, el segundo argumento de la funcin indica el nmero de perodo para el cual estamos haciendo el clculo. Observa el resultado al incluir esta frmula en nuestra tabla utilizando las variables previamente definidas: Si revisas con detenimiento vers que la suma del pago de inters y pago a capital para todos los perodos nos da el total obtenido con la funcin PAGO. De esta manera podemos deducir que estas tres funciones son complementarias: La suma del resultado de las funciones PAGOINT y PAGOPRIN siempre ser igual al resultado de la funcin PAGO. Para finalizar nuestra tabla de amortizacin podemos agregar algunas columnas adicionales, por ejemplo el saldo en cada uno de los perodos: 99. 99 El saldo es el monto del crdito menos la suma de todos los pagos a capital realizados hasta el momento. El saldo se va reduciendo con cada pago aunque no es una reduccin constante ya que al inicio pagamos ms inters que al final pero en el ltimo pago llegamos a liquidar el total del monto del crdito. Como tal vez ya lo imaginas, si queremos cambiar nuestra tabla de amortizacin para tener 36 pagos mensuales ser necesario agregar manualmente los nuevos registros y copiar las frmulas hacia abajo. Es por eso que una mejor solucin para crear una tabla de amortizacin en Excel es utilizar una macro para generar automticamente la tabla. 100. 100 101. 101 102. 102 103. 103 104. 104 105. 105 106. 106 107. 107 108. 108 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI Escuela: Desarrollo Integral Agropecuario Nombre: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar lomas Materia: Algebra Tema: Fracciones Algebraicas Las fracciones algebraicas son expresiones literales que representan el cociente entre dos expresiones algebraicas. Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: Suma y Resta Multiplicacin Divisin Simplificacin de Fracciones Algebraicas Se dice que una fraccin est reducida a sus trminos ms sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningn factor comn al numerador y denominador. Evidentemente una fraccin dada puede reducirse a sus trminos ms sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en comn. Ejemplo: Simplifica la siguiente fraccin 109. 109 Clases de fracciones algebraicas Fraccin algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Fraccin propia e impropia Una fraccin simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Fraccin compuesta Una fraccin compuesta es aquella que contiene una o ms fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. 110. 110 Bibliografa SOFIA, A. (s.f.). SBADO, 3 DE MAYO DE 2008 111. 111 112. 112 Linkografia: http://fraccionesalgebraicas.blogspot.com/ 113. 113 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI Escuela: Desarrollo Integral Agropecuario Nombre: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar lomas Materia: Algebra Tema: Ecuaciones Lineales Ecuacin lineal con n incgnita Una ecuacin lineal con n incgnitas es cualquier expresin del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b es el trmino independiente. Los valores xi son las incgnitas. Solucin de una ecuacin lineal Cualquier conjunto de n nmeros reales que verifica la ecuacin se denomina solucin de la ecuacin. Dada la ecuacin x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la misma solucin. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0 Ecuaciones lineales de primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a 0, cualquier otra ecuacin en la que al operar, trasponer trminos y simplificar adopten esa expresin. 114. 114 Resolucin de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuacin de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1 Quitar parntesis. 2 Quitar denominadores. 3 Agrupar los trminos en x en un miembro y los trminos independientes en el otro. 4 Reducir los trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita. Despejamos la incgnita: Agrupamos los trminos semejantes y los independientes, y sumamos: Quitamos parntesis: Agrupamos trminos y sumamos: Despejamos la incgnita: Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mnimo comn mltiplo. 115. 115 Quitamos parntesis, agrupamos y sumamos los trminos semejantes: Despejamos la incgnita: Quitamos parntesis y simplificamos: Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los trminos semejantes: Quitamos corchete: Quitamos parntesis: Quitamos denominadores: Quitamos parntesis: Agrupamos trminos: Sumamos: 116. 116 Dividimos los dos miembros por: 9 X= 3 GRAFICAS Cuando el conjunto de los nmeros reales es el conjunto de sustitucin de las dos variables de una ecuacin de tipo que nos ocupa, la grfica de dicha ecuacin es una lnea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales. Hemos llamado solucin de una ecuacin lineal en x, y, a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables en la ecuacin hacen cierta la igualdad, as, (0, -4) es una solucin de 2x 3y 12 = 0, x, y, R, porque al hacer x = 0 y y= 4 en la ecuacin resulta: 2(0) 3(4) 12 = 0 12 12 = 0 0 = 0 La grfica de una ecuacin lineal es la grfica de su conjunto solucin; entonces la grfica de2x 3y 12 = 0, x, y, R, es la de {(x, y) | 2x 3y 12 = 0; x, R }. Como la grfica de una ecuacin lineal es una lnea recta y una lnea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las grficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando despus la recta que contiene a estos dos puntos. Ejemplo 5. Graficar la ecuacin lineal: 2x 3y 12 = 0 Si x= 0 (0, 4) es una solucin; otra solucin se obtiene haciendo: y = 0 Y la grfica de la ecuacin es la recta que pasa por (6,0) y (0, 4) es: 117. 117 118. 118 Ejemplo 2 3X - 6Y = 3 3X - 6Y + 6Y = 3 + 6Y Sumamos 6Y en ambos miembros de la igualdad 3X = 3 + 6Y 3X / 3 = 3 + 6Y / 3 Dividimos a ambos miembros entre 3 X = 3 + 6Y / 3 Y nos resulta X. Luego de tener una de nuestra incgnita despejada, formamos nuestra tabla de valores positivos (Nmero naturales) dndole valores a Y, con la finalidad de encontrar los valores de X. Calculamos cuando Y = 3 X = 3 + 6(3) / 3 Sustituimos X = 7 Calculamos cuando Y = 2 X = 3 + 6(2) / 3 X = 5 Calculamos cuando Y = 1 X = 3 + 6(1) / 3 X = 3 Calculamos cuando Y = 0 X = 3 + 6(0) / 3 X = 1 Ahora obtenemos nuestra tabla de valores: X 1 3 5 7 Y 0 1 2 3 y obtenemos nuestras grfica: 119. 119 Bibliografa Grupo #01 Didctica Especial Mencin Matemtica y Fsica LINKOGRAFIA http://virtual.uaeh.edu.mx/repositoriooa/paginas/La_ecuacion_lineal/graficacin_de_ecuacion es_lineales.html http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/p/representacion-grafica-de-una- ecuacion.html 120. 120 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI Escuela: Desarrollo Integral Agropecuario Nombre: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar lomas Materia: Algebra. Tema: Ejercicios de sistemas de ecuaciones Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o ms soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultneamente cada una de sus ecuaciones. Caractersticas de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Los resultados caractersticos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son: Existe nicamente una solucin. Existe una cantidad infinita de soluciones. No existe solucin. Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solucin. Un sistema con un nmero infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solucin. Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incgnitas podemos utilizar uno de los siguientes mtodos: 121. 121 Sustitucin Igualacin Reduccin Mtodo de sustitucin Sea el sistema Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incgnitas. despejemos la y en la primera ecuacin suponiendo como conocido el valor de x y = 11 - 3x Se sustituye en la otra ecuacin el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 3x)". 5x - (11-3x) = 13 Ahora tenemos una ecuacin con una sola incgnita; la cual resolvemos normalmente 5x 11 + 3y = 13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x = 3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresin del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuacin del sistema y = 11 - 3x y = 11 - 9 y = 2 As la solucin al sistema de ecuaciones propuesto ser x=3 e y=2 Mtodo de igualacin Sea el sistema Lo primero que haremos ser despejar en las dos ecuaciones la misma incgnita 122. 122 Igualamos ambas ecuaciones 11 - 3x = -13 + 5x 8x = 24 x = 3 Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y y = 11 - 9 y = 2 Mtodo de reduccin Sea el sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intencin es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna as noms se multiplicaran las ecuaciones por nmeros que igualen alguno de los trminos, para que se elimine uno: Para este ejemplo eliminamos "y" y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y = 2 Este mtodo sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la nica condicin que el nmero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones. 123. 123 124. 124 125. 125 Linkografia: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sistemas_1.html 126. 126 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI Escuela: Desarrollo Integral Agropecuario Nombre: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar lomas Materia: Algebra Tema: Ecuaciones Cuadrticas La ecuacin cuadrtica o tambin conocida como la ecuacin de segundo grado es aquella ecuacin que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero. Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuacin lineal o de primer orden) Mtodo de solucin de la ecuacin cuadrtica Lo primero es dividir la ecuacin completa por el primer trmino a Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresin Para lo cual se suma y resta 127. 127 , que puede escribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuacin aprovechando que el trmino puede despejarse El valor de x es lo que se conoce como frmula general de la ecuacin de segundo grado El teorema fundamental del lgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo + y - de la x que se obtuvo De esta manera se tiene 128. 128 Si la ecuacin tiene dos races reales diferentes entre s Si las dos races son reales e iguales Si las dos races son complejas conjugadas Ejemplos numricos Primer ejemplo, 2x2 x 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 Luego se procede a reemplazarlos en la frmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre s. Note que , en este ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 6x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la frmula 129. 129 Ambas soluciones son reales y e iguales entre s. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la frmula Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta ecuacin se obtuvo Propiedades bsicas de las soluciones de la ecuacin cuadrtica 130. 130 Demostracin Demostracin Problemas que conducen a ecuaciones cuadrticas Ejemplo 1 Un Avin realiza un vuelo de 1200 millas. Si aumenta su velocidad en 80 millas por hora el recorrido puede hacerse en media hora menos. Cul es su velocidad de vuelo? Sea V la velocidad a encontrar Asumiendo una velocidad constante el tiempo para volar las 1200 millas es recuerde que tiempo es igual a espacio/velocidad Si recorre la misma distancia pero 80 millas por hora ms el tiempo ser 131. 131 Si restamos los tiempos tenemos que la diferencia es media hora Operemos Lo cual es lgico ya que el Avin avanza hacia su destino (la velocidad no puede ser negativa ni 0) La velocidad del Avin es 400 millas por hora (No se toma en cuenta la respuesta negativa ya que carece de sentido como solucin) Ejemplo 2 Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de rea y su permetro es de 14 metros. Cules son las dimensiones del terreno? Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno. 132. 132 Tenemos que el rea es el producto del largo por el ancho por tanto se tiene El permetro es la suma de los lados del rectngulo luego Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas Despejamos x de (2) para reemplazarlo en (1) Luego Se multiplica por -1 a ambos lados de la ecuacin Si reemplazamos en x ambas soluciones tenemos que x puede ser 7 4 que es 3 o tambin 7 3 que es 4 por tanto no importa el orden las dimensiones siempre sern 3 y 4 metros (esto sucede porque el ancho y largo son nombres subjetivos y dependen de cmo se vea el rectngulo) 133. 133 Linkografia: http://www.ecuacioncuadratica.com/ Bibliografa Release date: November 17, 2005 | Series: Painless Series 134. 134 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI Escuela: Desarrollo Integral Agropecuario Nombre: John Jairo Goyes Docente: Ing. Oscar lomas Materia: Algebra TEMA: GRAFICAR ECUACIONES CUADRATICAS 135. 135 Tienes la ecuacin si das un valor a x obtienes otro para y, este valor lo llevbamos al eje de coordenadas y fijbamos un punto. Dbamos otro valor a x y obtenamos el correspondiente a y .Con estos dos valores conseguamos el segundo punto. Al unir los dos puntos determinbamos la recta. Todos los puntos de la recta son respuestas de la ecuacin. En el caso de las ecuaciones de 2 grado su representacin grfica es muy diferente. Supongamos una ecuacin de 2 grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, despus 0, seguidamente 2 y por fin, 3. La variable dependiente y recibir los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir: Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente: 136. 136 13.82 Representa grficamente la ecuacin de 2 grado: Respuesta: 137. 137 Solucin Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuacin de 2 grado: Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parbola. Una funcin cuadrtica es aquella que puede escribirse como una ecuacin de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c (llamados trminos) son nmeros reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c s puede ser cero. En la ecuacin cuadrtica cada uno de sus trminos tiene un nombre. As, ax2 es el trmino cuadrtico bx es el trmino lineal c es el trmino independiente Cuando estudiamos la ecuacin de segundo grado o cuadrtica vimos que si la ecuacin tiene todos los trminos se dice que es un ecuacin completa, si a la ecuacin le falta el trmino lineal o el independiente se dice que la ecuacin es incompleta. Representacin grfica de una funcin cuadrtica Si pudisemos representar en una grfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una funcin cuadrtica, obtendramos siempre una curva llamada parbola. Como contrapartida, diremos que una parbola es la representacin grfica de una funcin cuadrtica. Dicha parbola tendr algunas caractersticas o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuacin que la generan. Estas caractersticas o elementos son: Orientacin o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (races) Punto de corte con el eje de ordenadas 138. 138 Eje de simetra Vrtice Orientacin o concavidad Orientacin o concavidad Una primera caracterstica es la orientacin o concavidad de la parbola. Hablamos de parbola cncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parbola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientacin est definida por el valor (el signo) que tenga el trmino cuadrtico (la ax2 ): Si a > 0 (positivo) la parbola es cncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 3x 5 Si a < 0 (negativo) la parbola es convexa o con