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  • 1. PROGRAMA DE FORMACIN EN ELECTRICIDAD DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD ALGEBRA LINEAL I-ELEC-1M Profesor: Integrantes: Wilmer Colmenares Evelin Parellas C.I 20.774.184 Brigitte Hernndez C.I 20.774.144 Aryeris Mrquez C.I 24.038.373 Sergio Flores C.I 20.557.723
  • 2. Un vector es un segmento orientando y dirigido, que tiene un origen y un extremo. a A B Observaciones importantes: A las magnitudes vectoriales las denotaremos con una letra en negrilla. AB se lee vector de origen A y extremo B. a se lee vector a. El modulo de un vector se indica con barras verticales IABI: se lee modulo del vector AB Tambin se usa escribir sin negrilla cuando se trata del modulo de un vector. Por ejemplo: AB: se lee modulo AB
  • 3. Propiedad de la adicin de vectores. Propiedad del productor de un escalar por un vector. Adicin de vectores en IR2 Propiedad de la adicin de vectores. Geomtricamente lo demostramos de la siguiente manera: 1-. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z Z X + Z X Y
  • 4. 2-. X + Y = Y + X Y X X+ Y =Y+X X Y Adems, si denotamos por O al vector geomtrico determinado por AA, entonces: 3.- X + O = O + X = X, para todo vector geomtrico X (El vector O se denomina vector nulo)
  • 5. Por otra parte si X es un vector geomtrico y AB Representan a X, entonces si denotamos por X al vector geomtrico determinado por BA se tiene que 4.- X + (-X) = O (-X) + X
  • 6. En el campo de la electricidad existen muchos situaciones en las que se presenta fenmenos que tienen un comportamiento vectorial tales como: Fuerza elctrica, campo elctrico, campo magntico, intensidad de corriente, etc. Si sabemos utilizar las herramientas que se trabajan con vectores podremos entender el comportamiento de todos estos fenmenos y asi podremos utilizarlos para nuestro beneficio. Ejercicio: -6 Se dispone de una carga elctrica de +4.10 covl. Calcular el modulo de la intensidad del campo elctrico a 10 cm de ella Y hacer un diagrama que indique el sentido de la intensidad del campo
  • 7. +q A E o + 10 cm Resolucin: Razonamiento: sea A el punto que esta a 10cm de la carga. por convenio, siempre, el punto donde se pide la intensidad de campo es positivo, por lo tanto como la carga es positiva hay repulsin y E tiene la direccin de la recta que une a la carga con el punto y se aleja de ella.
  • 8. E= ? q= 4.10 -6 coul. -2 d= 10.10 m 2 K= 9.10 new. m coul E= K x q 2 d 9 2 -6 9 -6 E= 9.10 new. m x 4.10 covl = 9.10 new.m 2 x 4.10 covl 2 2 covl (10.10 -2m) covl 2 0,01 m 2 5 E= 36.10 new covl
  • 9. Transformacin lineal es toda funcin cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: T(U+V) = T(U) + T(V) T(KU) = KT(U) donde K es un escalar. Consideremos los espacios V y W y el conjunto de los nmeros reales como escalares. Una transformacin lineal T de V en W (t :V W) es toda funcin que cumple las siguientes condiciones: Si X , y e V, entonces t (X +Y) = t (X) + t (Y) Si a e IR y X e V, entonces t (AX)= at (X).
  • 10. Las propiedades 1 y 2 significan que toda transformacin lineal de V en W conserva las operaciones de adicin y producto por un escalar de los espacios V y W. Observemos que en el caso de funciones de IR en IR de la forma X f (X) = &X, donde &EIR, se cumple 1 y 2. En efectos, si X, Y EIR, y &EIR; entonces 1. F (X+Y) = & (X+Y) = &X + &Y = F(X) + F(Y) es decir, F (X+Y) = F(X) + f (Y) 2. F (X) = & (X) = (&X) = F (X)
  • 11. a) Toda transformacin lineal (T:V W) manda al vector nulo de V en el vector nulo de W. es decir, si denotamos por OV y OW los vectores nulos De V y W respectivamente: T (OV) = OW En efecto, si = 0 se tiene que: T (OV) = T (O. OV) (ya que O. OV = OV) = O. T (OV) (aplicando la segunda condicin) = OW Puesto que el producto del escalar O por el vector T (OV) EW es el vector nulo de W, es decir, OW
  • 12. b) Toda transformacin lineal T: V W aplica combinaciones lineales de V En combinaciones lineales de la imagen de los vectores. En efecto, aplicando 1 y 2 a la combinacin lineal &X + BY eV tenemos: T (&X + BY) = T (&X) + T (BY) = &T (X) + BT (Y)
  • 13. Usar el mtodo de Gauss-Seidel para aproximar la solucin del sistema: hasta que
  • 14. En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes clculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condicin se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 2.5 > (0.7 + 15) 2.5 > 15.7; no es cierto. La condicin no se cumple para la segunda fila.
  • 15. Tercera fila: |a33| > (|a31| + |a32|) 4.4 > (3.3 + 11) 4.4 > 14.3; no es cierto. La condicin no se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condicin debe cumplirse para todas las filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante. NOTA: Recurdese que la diagonal principal est compuesta por a11, a22 y a33.
  • 16. Sin embargo, al hacer el intercambio del rengln 2 por el rengln 3, se tiene el siguiente sistema: En este caso se puede observar que el sistema s es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes clculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condicin se cumple para la primera fila.
  • 17. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 11 > (3.3 + 4.4) 11 > 7.7; es cierto. La condicin se cumple para la segunda fila. tercera fila: |a33| > (|a31| + |a32|) 15 > (0.7 + 2.5) 15 > 3.2; es cierto. La condicin se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condicin debe cumplirse para todas las filas. En este caso efectivamente la condicin se cumple para todas las filas, por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante.
  • 18. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente: Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuacin 1 para obtener x1:
  • 19. Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuacin 2 para obtener x2: Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteracin son:
  • 20. Puesto que slo se tiene la primera aproximacin de la solucin del sistema, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuacin 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuacin 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en la ecuacin 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximacin es:
  • 21. Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Se resumen los resultados de esta manera:
  • 22. Tercera iteracin: Cuarta iteracin: As, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteracin y se tiene que los valores aproximados de la solucin del sistema son:
  • 23. De donde despejamos xi(k)obtenemos: Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones expresado en su forma algebraica conforme a la ecuacin (2d) Ax = b (2d)
  • 24. La matriz A, puede escribirse de la siguiente manera A = D + R (20) Donde D es una matriz diagonal, i.e. una matriz cuadrada cuyos elementos contenidos en la diagonal principal son los nicos diferentes de cero y coinciden con los valores de los elementos de la diagonal principal de A. Por el contrario, R es una matriz que contiene ceros en la diagonal principal y cuyos elementos restantes coinciden con los respectivos elementos de A. Entonces, sustituyendo (20) en (2d): (D + R)x = b (21) i.e. Dx + Rx = b Dx = b - Rx D-1Dx = D-1(b - Rx) x = D-1(b - Rx) (22)
  • 25. que se traduce en la frmula recursiva: x(k+1) = D-1(b Rx(k)) ; k = 0,1,2 (23) Esto es: ( k 1) 1 x1 (b1 a12 x2k ) a13 x3 k ) ( ( a1n x ( k ) ) a11 n 1 x2k 1) ( (b2 a21 x1 k ) a23 x3k ) ( ( a2 n x ( k ) ) a22 n 1 x3k 1) ( (b3 a31 x1 k ) a32 x2k ) ( ( a3 n x ( k ) ) a33 n 1 xnk 1) ( (bn an1 x1 k ) an 2 x2k ) ( ( an , n 1 x ( 1) ) k ann n k 0,1, 2... (24)
  • 26. El mtodo comienza con una primera aproximacin: T x(0) = x x x (0) (0) (0) 1 2 3 x (0) n que se sustituye en los segundos miembros de (24) para generar una nueva aproximacin: T x(1) = x x x (1) (1) (1) 1 2 3 x (1) n Asimismo, se sustituye x(1) para obtener: T x(2) = x x x (2) (2) (2) 1 2 3 x (2) n Este procedimiento se repite sucesivamente. El criterio que identifica una buena aproximacin a la solucin del sistema es el siguiente: x( n1) x( n) (25) En donde es un vector de tolerancia preestablecido
  • 27. 0,0,0,...,0 T Suponiendo un sistema de 3 x 3 y el vector inicial: x(0) = el cual se sustituye en (24) 1 0 0 a x1 11 b 0 a12 a13 x1 1 1 x2 0 a22 0 b2 a21 0 a23 x2 x b a 0 x3 3 3 31 a32 1 0 0 a33 (25) Entonces se obtiene la siguiente aproximacin: T x(0) = b1 b2 b3 (26) a11 a22 a33 El cual se utiliza generalmente como vector inicial x(0) en la resolucin de sistemas de ecuaciones a travs del mtodo de Jacobi.
  • 28. Ejemplo. Resolver por el mtodo de Jacobi, el siguiente sistema de ecuaciones 6 x1 2 x2 x3 22 x1 8 x2 2 x3 30 x1 x2 6 x3 23 Solucin. ( k 1) 1 1 x1 (b1 a12 x2 a13 x3 ) (22 2 x2k ) x3k ) ) ( ( a11 6 1 x2k 1) ( (30 x1 k ) 2 x3k ) ) ( ( 8 ( k 1) 1 x3 (23 x1 k ) x2k ) ) ( ( 6 T b b2 b3 T 22 30 23 x ( 0) 1 , , a11 a22 a33 6 8 6
  • 29. Para k = 0 se tiene 1 x (1) 1 (22 2 x2 x3 ) (0) (0) 6 1 x (1) 2 (30 x1 2 x3 ) (0) (0) 8 1 x (1) 3 (23 x1 x2 ) (0) (0) 6 Sustituyendo los valores: 1 30 23 x (22 2 ) 1.778 (1) 1 6 8 6 1 22 23 x(1) 2 (30 2 ) 3.250 8 6 6 (1) 1 22 30 x3 (23 ) 3.847 6 6 8
  • 30. 1.778 3.250 3.847 (1) T Consecuentemente: x Ahora, para k = 1: 1 x (22 2(3.250) 3.847) 1.942 (2) 1 6 1 x2 (30 1.778 2(3.847)) 3.011 (2) 8 1 x (23 1.778 3.250) 4.079 (2) 3 6 esto implica que 1.942 3.011 4.079 (2) T x
  • 31. Continuando con estos pasos se tiene entonces: k=2 1.983 2.973 4.012 (3) T x k=3 x(4) 2.007 2.995 3.998 T k=4 x(5) 2.002 3.001 3.998 T k=5 2.000 3.001 4.000 (6) T x k=6 x(7) 2.000 3.000 4.000 T
  • 32. Con lo que se obtiene la solucin final: x1 = 2.000 x2 = 3.000 x3 = 4.000 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por medio del mtodo de Gauss-Seidel. Considera una tolerancia de 0.001 y redondeo a cuatro cifras significativas. 6 x1 2 x2 x3 22 x1 8 x2 2 x3 30 x1 x2 6 x3 23
  • 33. Solucin. Despejamos x1, x2 y x3 de la primera, segunda y tercera ecuacin, respectivamente 1 x1 22 2 x2 x3 6 1 x2 30 x1 2 x3 8 1 x3 23 x1 x2 6 Ahora, expresamos estos despejes en trminos recursivos 1 x1( k 1) 6 22 2 x2( k ) x3( k ) 1 x2 ( k 1) 30 x1( k 1) 2 x3( k ) 8 1 x3( k 1) 23 x1( k 1) x2 ( k 1) 6
  • 34. Tenemos el vector de aproximaciones iniciales x (0) (22 / 6,30 / 8, 23/ 6)T 22 30 23 Sea k=0, x1(0) , x2 (0) , x3(0) 6 8 6 1 22 2 30 23 x1(1) 8 6 1.778 6 30 1.778 2 1 23 x2 (1) 8 6 3.014 1 x3(1) 23 1.778 3.014 4.039 6 . Y ahora x1(1) 1.778, x2(1) 3.014, x3(1) 4.039. Como x (1) x (0) (1.778 3.667,3.014 3.75,4.039 3.833) (1.889,0.736,0.206)
  • 35. Es mayor a la tolerancia prefijada (0.001,0.001,0.001), es necesario hacer otra iteracin. En las siguientes iteraciones, los resultados son: k=1 con x (2) 1.989, x (2) 2.989, x (2) 4.000 1 2 3 k=2 con x1(3) 2.004, x2(3) 3.001, x3(3) 4.000 k=3 con x1(4) 2.000, x2(4) 3.000, x3(4) 4.000 Es claro que el mtodo de Gauss Seidel converge ms rpido a la solucin del sistema que el de Jacobi. Sin embargo, es importante sealar que la convergencia de estos mtodos no siempre est asegurada.
  • 36. Ambos mtodos utilizan una tcnica similar a la del punto fijo vista en la unidad anterior. Recordemos que el mtodo del punto fijo tiene dos desventajas: 1. En algunas ocasiones no converge a la solucin. 2. Cuando converge a la solucin lo hace de forma muy lenta. Estos mismos problemas pueden presentarse tanto en el mtodo de Jacobi como en el mtodo de Gauss-Seidel. Como ya hemos visto, el mtodo del punto fijo converge en la n-sima iteracin si, y slo si, g ( ) 1; xn1 a
  • 37. donde a es la raz buscada. Se puede probar que este criterio de convergencia para el mtodo del punto fijo se preserva tanto para el mtodo de Jacobi, como para el mtodo de Gauss-Seidel y que se traduce en la expresin n aii j 1 ai , j ; j i (26.a) Esto es, el coeficiente diagonal en cada una de las ecuaciones del sistema en valor absoluto debe ser mayor que la suma en valor absoluto de los dems coeficientes en la ecuacin. Este criterio es suficiente, aunque no necesario, para garantizar la convergencia, es decir, si (26.a) se cumple habr convergencia y si no se cumple puede que el mtodo converja o no. Los sistemas que cumplen con esta propiedad son conocidos como diagonalmente dominantes.
  • 38. Ejemplo. Determina si la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales del ejemplo anterior es diagonalmente dominante. Solucin. Tenemos el sistema 6 x1 2 x2 x3 22 x1 8 x2 2 x3 30 x1 x2 6 x3 23 Por lo que la matriz de coeficientes es 6 2 1 A 1 8 2 1 1 6
  • 39. Entonces, tenemos que a11 a12 a13 a22 a21 a23 a33 a31 a32 ya que |6|>|2|+|1| |8|>|-1|+|2| |6|>|1|+|-1| Por lo tanto, la matriz de coeficientes del sistema es diagonalmente dominante