Algebra oro – [PDF Document]

  • 8/7/2019 Algebra oro1/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.ALGEBRA Curso 2008/09Tema I. CONJUNTOS, APLICACIONES YRELACIONES BINARIAS.Jos e Juan Carre no Carre noDepartamento de Matematica AplicadaEscuela Universitaria de InformaticaUniversidad Politecnica deMadrid
  • 8/7/2019 Algebra oro2/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.INDICETEMA I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONESBINARIAS.1 ConjuntosPartes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Productocartesiano.2 AplicacionesCorrespondencias y aplicaciones. Aplicaciones inyectivas,sobreyectivas y biyectivas. Composicion de aplicaciones.Inversa.3 Relaciones binarias Definiciones y propiedades. Relaciones deorden. Relacion de equivalencia. Congruencias modulo n. Conjuntocociente Zn.
  • 8/7/2019 Algebra oro3/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Conjuntos: Definiciones. Cardinal. 1 Definiciones:Conjunto: coleccion no ordenada de objetos quellamaremos elementos. Pertenece: Si aes un elemento de X, senota a X, yse lee a pertenece a X.No pertenece: Si aNO es un elemento de X, se notaa X. Conjunto vaco: es el conjunto que no tieneelementos y se nota .En general: los elementos se indican con letrasmin usculasy los conjuntos con may usculas.Definiciones de conjuntos: por extension: se indican todos loselementos delconjunto. por comprension: se da una propiedad que cumplenlos elementos del conjunto y solo ellos. Notacion: se utilizanlas llavescomo delimitadores.
  • 8/7/2019 Algebra oro4/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Definiciones. Cardinal. 2Ejemplo:Definicion: Dado un conjunto finito X, llamamoscardinal de X, ylo denotamos por |X| o biencard(X), aln umero de elementos de X. Siel conjunto no tiene unn umero finito de elementos se dice que es infinito.Ejemplo:
  • 8/7/2019 Algebra oro5/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Definiciones. Cardinal. 3Definicion: Un conjunto X essubconjuntode unconjunto Y, y se denota porX Y, si todo elemento de Xes unelemento de Y.Se dice tambien que X esta contenido en Y.Si X no esta contenido en Y se denota X Y.Si X Y y existe a Y tal que a X se dice que X esun subconjuntopropio de Y y se denota por X Y.Formalmente:X Y si a X = a Y.X Y si a X tal que a Y.X Y si X Y y a Y tal que a X.
  • 8/7/2019 Algebra oro6/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Definiciones. Cardinal. 4Observacion:Tambien se utiliza el smbolo para indicar larelacion decontenido entre dos conjuntos.X para cualquier conjunto X.Conjuntos con notacion especial:Numeros naturales: N = { 0,1,2,3,4, . . . }. Enteros: Z = { . .. ,4,3,2,1,0,1,2,3,4, . . . }. Racionales: Q = { a/b | a,b Z,b = 0}. Reales: R.Cadena de inclusiones estrictas: N Z Q R.Notacion: con el smbolo se elimina el 0 del conjunto:N = N{0}.con el smbolo + nos restringimos a los numerosmayores que 0: R+= { a R | a 0 }.
  • 8/7/2019 Algebra oro7/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Definiciones. Cardinal. 5Definicion: Dos conjuntos X e Y se dice que soniguales, y sedenotaX = Y, si ambos tienen los mismoselementos: a X a Y .Caracterizacion:X = Y X Y e Y XConsecuencia:X = Y x X tal que x Y o bien y Y tal que yEjemplo:
  • 8/7/2019 Algebra oro8/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Partes de un conjunto.Definicion: Dado un conjunto X, llamamosconjuntode las partesdeX, y se denotaP(X), al conjunto cuyoselementos son todos lossubconjuntos de X.Ejemplo:Proposicion: Dado un conjunto finito X de cardinaln N, se tiene que |P(X)| = 2n.Ejemplo:
  • 8/7/2019 Algebra oro9/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Operaciones con conjuntos. 1Definiciones: (Operaciones con conjuntos).Dados dos conjuntosA,B U ( U es el conjunto universal)Union: A B = {x / x A o bien x B}.Interseccion: A B = {x / x A y x B}.Disjuntos: A y B son conjuntos disjuntos si suinterseccion esvaca: A B = .Complementario: de un conjunto A respecto de U esel conjuntoA = {x / x U y x A}.Diferencia: A B = {x / x A y x B}.Propiedad: A B = A B
  • 8/7/2019 Algebra oro10/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Operaciones con conjuntos. 2 Propiedades: ALGEBRA DE BOOLEAsociativa(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)Conmutativa A B = B A A B = B AIdempotente A A = A A A = AAbsorcion A (B A) = A A (B A) = AAcotacion A U = U A =Identidad A = A A U = ADistributivaA (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C) Complementario A = ALeyes de De MorganA B = A B A B = A B
  • 8/7/2019 Algebra oro11/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Producto cartesiano.Definicion: Dados dos conjuntos X e Y, llamamosproductocartesianode X e Y , y se denotaX Y, alconjunto formado por todoslos pares ordenados (x, y) conx X e y Y :X Y = { (x, y) / x X e y Y }Ejemplo:Propiedad: (x, y) = (x, y) x = x e y = y.Ejemplo:Proposicion: Dados dos conjuntos X e Y , se verifica:|X Y| = |X|.|Y| y |X Y| = |X| + |Y| |X Y|
  • 8/7/2019 Algebra oro12/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Correspondencias y aplicaciones. 1Definicion: Dados dos conjuntos X e Y, llamamoscorrespondenciade X en Y a cualquier subconjunto deX Y .X se llama conjunto inicial.Y conjunto final.Se escribe: f : X YEjemplo:Representacion: Mediante un diagrama sagitalSi (a,b) es un par de la correspondencia, entonces: se dibujauna flecha desde ahasta b: a b se dice que aes un origen de b, yque b es una imagen de a.
  • 8/7/2019 Algebra oro13/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Correspondencias y aplicaciones. 2 Definicion: Unaaplicacionde Xen Y, es unacorrespondencia de X en Y tal que cada elemento de xXtiene una unica imagen en Y, denotada por f(x) Y.Definicion: Sea f : X Y una aplicaci onDado A X se llama imagen de A, y se denota f(A),al conjunto detodos los elemetos de Y de la formaf(a), siendo a A:f(A) = {f(a) Y / a A }.Se llama imagen de la aplicacion f, y se denota Im f,al conjunto:Im f = f(X) = {f(x) Y / x X }.Im f Y y si A X = f(A) Im f.Ejemplo:
  • 8/7/2019 Algebra oro14/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas ybiyectivas. Definiciones: Una aplicacion f : X Y sellama: Sobreyectiva: si Im f = Y.Inyectiva: si x, x X, x = x = f(x) = f(x).Biyectiva: si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.Observaciones:1 Como Im f Y, f es sobreyectiva y Y x X con f(x) = y.2 f NO es sobreyectiva y Y tal que y Im f.3 f es inyectivax, x X, f(x) = f(x) = x = x.4 f NO es inyectivax, x X, x = x tales que f(x) = f(x).Ejemplo:
  • 8/7/2019 Algebra oro15/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Composicion de aplicaciones. Inversa. 1Definicion: La aplicaci on identidad, id : X X , sedefine comoid(x) = x, para todo x X .Definicion: Dadas dos aplicaciones f : U V yg : V W , con V V,se llama composici on de f con ga la aplicaci on g f : U Wdefinida por g f(u) = g(f(u)), uU.Ejemplo:Proposicion: La composici on de aplicaciones de unconjunto en s mismo, en general, NO es conmutativa.Ejemplo:C i i d li i I
  • 8/7/2019 Algebra oro16/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Composicion de aplicaciones. Inversa. 2Definicion: Dada una aplicaci on f : X Y llamamosinversa de f,caso de que exista, a una aplicaci ong : Y X tal que g f = idX y f g = idY. Proposicion: La inversade f , si existe, es unica y ladenotaremos f1.Observaciones:Si g = f1 entonces f = g1.f tiene inversa f es biyectiva.Ejemplo:Proposicion: Dada una aplicaci on f : X Y , si X eY sonconjuntos finitos y |X| = |Y| se verifica que:f inyectiva = f es biyectiva.f sobreyectiva = f es biyectiva.Observacion: No es cierto con conjuntos no finitos.ALGEBRA R l i bi i D fi i i
  • 8/7/2019 Algebra oro17/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones binarias. Definiciones ypropiedades. 1 Definicion: Dados dos conjuntos A y B, unarelacionbinariade A con B es cualquier correspondencia de A enB, esdecir, cualquier subconjunto R del productocartesiano de A BR A B = {(a,b) / a A,b B}.Diremos que un elemento a A esta relacionado con unelemento b Bpor la relacion binaria R si se verifica que(a, b) R. Se notara: aR b.Se notara: a R b cuando aNO esta relacionado con b.Observacion: Una relacion tambien puede definirsemediante unapropiedad P:a R b P(a,b) es cierta.Y entonces R puede expresarse como:R = { (a,b) A B/ P(a,b) es cierta }.ALGEBRA R l i bi i D fi i i
  • 8/7/2019 Algebra oro18/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones binarias. Definiciones ypropiedades. 2Nota: A partir de ahora trabajaremos solo conrelaciones binariasdefinidas sobre un mismo conjunto A, esdecir: R A A.Ejemplo:Representacion: Mediante un diagrama sagitalSi a R b entonces se dibuja una flecha desde ahastab: a bEjemplo:ALGEBRA R l i bi i D fi i i
  • 8/7/2019 Algebra oro19/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones binarias. Definiciones ypropiedades. 3Propiedades: Sea R una relacion binaria sobre unconjunto A. Diremos que R es:1 Reflexiva: si x A se verifica quex R x.2 Simetrica: si x, y A se verifica quex R y = y R x.3 Transitiva: si x, y, z A se verifica quex R y, y R z = x R z.4 Antisimetrica: si x, y A se verifica quex R y, y R x = x = y.ALGEBRA Relaciones binarias Definiciones
  • 8/7/2019 Algebra oro20/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones binarias. Definiciones ypropiedades. 4Observacion: Sea R una relacion binaria sobre unconjunto A. Se verifica que R:1 No es Reflexiva: si x A se verifica quex R x.2 No es Simetrica: si x, y A se verifica quex R y e y R x.3 No es Transitiva: si x, y, z A se verifica quex R y, y R z y x R z.4 No es Antisimetrica: si x, y A se verifica quex R y, y R x y x = y.ALGEBRA Relaciones binarias Definiciones y
  • 8/7/2019 Algebra oro21/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones binarias. Definiciones ypropiedades. 5Ejemplo:ALGEBRA Relaciones de orden y de equivalencia
  • 8/7/2019 Algebra oro22/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones de orden y de equivalencia.Definicion: Sea R una relaci on binaria en A. Se diceque R es una1 relaci on de ordenen A si R verifica las propiedadesreflexiva, antisim etrica y transitiva. Se dice que (A,R)esunconjunto ordenado.2 relaci on de equivalenciaen A si R verifica laspropiedades reflexiva, sim etrica y transitiva.Ejemplo: Son conjuntos ordenados(N,), (Z,), (Q,), (R,),siendo el menor usual en cada conjunto.ALGEBRA Relaciones de equivalencia 1
  • 8/7/2019 Algebra oro23/27ALGEBRAJJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones de equivalencia. 1Ejemplo: Son relaciones binarias de equivalencia:1EnZZse define la relacion:(a,b) R(c,d) ad = cb.2 Relacion de congruencia modulo 2 en Z.Dados a, b Z,a R b b a es multiplo (entero) de 2.3 Relacion de congruencia modulo n en Z, conn N. Dados a,b Z,a R b b a es multiplo (entero) de n.Notacion: a b (mod n), si a R b y se dira que aes congruente conb modulo n.Observacion: Se verifica:a b (mod n) k Z tal que b = a+ nk.ALGEBRA Relaciones de equivalencia 2
  • 8/7/2019 Algebra oro24/27JJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones de equivalencia. 2Definicion: Sea R una relaci on binaria sobre unconjunto A. Paracada elementoa A se define laclase deequivalencia dea, que se denota [a] o bien a, como elconjunto detodos los elementos de A relacionados cona:[a] = {x A / x R a}Cualquier x [a] es un representante de la clase [a].Proposicion: Sea R una relaci on binaria sobre A,a,b A, severifican:1 a [a] (y por tanto [a] = ).2 [a] = [b] a R b.3 [a] [b] = a R b.Observacion: Por la propiedad (1) todo elemento de Aesta en una clase.ALGEBRA Relaciones de equivalencia 3
  • 8/7/2019 Algebra oro25/27JJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Relaciones de equivalencia. 3Ejemplo: A = { a,b, c,d} con la relacion:R = { (a, a), (a,b), (b, a), (b, b), (c, c), (d,d) }.Definicion: Sea R una relaci on binaria sobre unconjunto A. Sellamaconjunto cociente deA porR, y lonotaremos A/R, al conjunto cuyos elementos son lasclases deequivalencia de los elementos de A:A/R =[a] / a AEjemplo: La relacion de equivalencia en ZZ:(a,b) R(c, d) ad = cb.verifica(a, b)=(c, d) ZZ ab=cd.Y el conjunto cociente es: ZZ/R = Q.ALGEBRA Congruencias modulo n: Zn 1
  • 8/7/2019 Algebra oro26/27JJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Congruencias modulo n: Zn. 1Teorema: (Teorema de la divisi on euclidea).Dados a,b Z siendob= 0, existen q, r Z unicostales quea= b q+ r y 0 r < |b|.El numero a es el dividendo, b el divisor, q elcociente y r el resto.Ejemplo: Divisiones entre 30 y 7.Observacion: Si a,b Z, b> 0, los posibles restosde dividirapor b son: 0,1,2, . . . , (b 1)y aes de la forma:a= b q (b divide a a)a= b q+ 1 o biena= b q+ 2 o bien. . .a=bq+ (b1)con q Z.ALGEBRA Congruencias modulo n: Zn 2
  • 8/7/2019 Algebra oro27/27JJCCConjuntosDefiniciones.Cardinal.Partes de unconjunto.Operaciones conconjuntos.Producto cartesiano.AplicacionesCorrespondencias yaplicaciones.Aplicacionesinyectivas,sobreyectivas ybiyectivas.Composicion deaplicaciones.Inversa.RelacionesbinariasDefiniciones ypropiedades.Relaciones de orden.Relaciones deequivalencia.Congruenciasmodulo n. Conjuntocociente Zn.Congruencias modulo n: Zn. 2Proposicion: Sea n N:1 z Z, z es congruente m odulo n con exactamenteun entero del conjunto{ 0, 1,2, . . . , n 1 }.2 a b (mod n) a y b tienen el mismo restoen la divisi on eucldeapor n.Teorema: El conjunto cociente para la relaci on decongruencia modulon N, que denotaremos Zn, esZn =0,1, . . . , n 1Nota: Los elementos 0,1, . . . , n 1 se llamanrepresentantescanonicos de sus respectivas clases deequivalencia.Ejemplo: Z3 =0,1,2.
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