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LGEBRA

LGEBRA MANUAL DE PREPARACIN PRE-UNIVERSITARIA

IDEA, DISEO Y REALIZACIN Departamento de Creacin Editorial de Lexus Editores

LEXUS EDITORES S.A. Av. Del Ejrcito 305 Miraflores, Lima-Per www.lexuseditores.com Primera edicin, febrero 2008 Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per: 2008-01600 ISBN: 978-9972-209-44-4

EDICIN 2008

PRESENTACINSi usted, estimado lector, considera que la matemtica es una de las materias de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirn el dominio progresivo y la maestra avanzada en el tema, ha abierto el libro apropiado. Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodolgicos tendientes a mejorar la articulacin terica y prctica entre el nivel secundario y la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva como herramienta de auto-evaluacin para los alumnos que se encuentran en etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos sern capaces de juzgar sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores. Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado para la redaccin de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparacin pre-universitaria en lgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios, usando mtodos apropiados, fciles y amigables. Este manual conduce al lector de una manera didctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo ms sencillo a lo ms complejo, con numerosos ejercicios resueltos y propuestos, brindndole de esta manera una base muy slida para que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecuado conocimiento y dominio de la materia. Un DVD, producido con la ms alta tecnologa digital e infogrfica, acompaa esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre en trminos entendibles y amenos. Es prcticamente como tener un profesor en casa a tiempo completo.

Los Editores

SUMARIOPag.

Conceptos Fundamentales

13 13 14 14 15 15 15 15 15 16 17 17 17 18 18 25 26 26 26 31 31 35 39 39 39 40 47 50 50 50 50 51 56

Expresin algebraica / Clasificacin de las expresiones algebraicas Teora de exponentes

Trmino algebraico Potenciacin Leyes que rigen a los exponentes Multiplicacin de potencias de bases iguales

Divisin de potencias de bases iguales / Exponente cero Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raz de una potencia

Raz de un producto Leyes de los signos en las operaciones algebraicas Multiplicacin / Divisin Potenciacin / Radicacin Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Ecuaciones exponenciales Solucin de una ecuacin exponencial Ejercicios Resueltos Valor numrico de las expresiones algebraicas Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Grado de las Expresiones Algebraicas Grado Grado de un monomio / Grado de un polinomio Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Notacin Polinmica Polinomio Valor numrico de un polinomio Cambio de variable en un polinomio Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Polinomios Especiales Polinomio ordenado / polinomio completo Polinomio homogneo Polinomios idntico / Polinomio idnticamente nulos Polinomio entero en x Ejercicios Propuestos

59 59 59 60 60 60 68 70

Ejercicios Resueltos

Expresiones Algebraicas

Suma y resta 70 Supresin de signos de coleccin / Introduccin de signos de coleccin 70 Ejercicios Resueltos 70 Ejercicios Propuestos 72 Multipicacin de expresiones algebraicas 74 Propiedades de la multiplicacin 74 Ejercicios Resueltos 74 Casos que se presentan en la multiplicacin 76 Productos notables 76 Ejercicios Resueltos 77 Valor numrico de una expresin algebraica 82 Ejercicios Resueltos 83 Ejercicios Propuestos 88 Divisin algebraica / Definicin 90 Propiedades de la divisin / Casos de la divisin 90 Mtodo normal 90 Mtodo de coeficientes separados / Mtodo de Horner 91 Ejercicios Resueltos 92 Regla de Ruffini 99 Ejercicios Resueltos 100 Ejercicios Propuestos 102 Teorema del resto o de Descartes 105 Regla prctica para hallar el resto 105 Ejercicios Resueltos 106 Ejercicios Propuestos 112

Divisibilidad Algebraica

115 115

Principios de la divisibilidad algebraica Ejercicios Propuestos

Ejercicios Resueltos 116 123

Cocientes Notables Forma general de los coeficientes notables

126

Definicin 126 126 126 127 127 Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso

Desarrollo del cociente notable 127 Reglas prcticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable Determinacin de un trmino cualquiera de un cociente notable 128 Ejercicios Resueltos 129 Ejercicios Propuestos 133

Factorizacin

136

Definicin / Mtodo para factorizar 136 Factor comn / Factor comn monomio / Factor comn polinomio 136 Factor comn por agrupacin 136 Ejercicios Resueltos 137 139 Mtodo de identidades

Diferencia de cuadrados 139 Trinomio cuadrado perfecto 139 Suma o diferencia de cubos 139 Ejercicios Resueltos Mtodo del aspa Aspa simple Aspa doble Ejercicios Resueltos Ejercicios Resueltos Aspa doble especial Ejercicios Resueltos 139 142 142 143 145 146 147 149 143

Mtodo de divisores binomios 149 Finalidad / Divisor binomio Ceros de un polinomio Fundamento terico 149 149 Determinacin de los posibles ceros de un polinomio 149 Formas de factorizacin 149 Ejercicios Resueltos 150 Mtodo de artificios de clculo 152 Reduccin a diferencia de cuadrados 152 Ejercicios Resueltos 152

Mtodos de sumas y restas 153 Cambio variable Ejercicios Resueltos Factorizacin recproca Polinomio recproco Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco Ejercicicios Resueltos Factorizacin simtrica y alternada Polinomio simtrico Representacin de expresiones simtricas Propiedad fundamental de un polinomio simtrico Polinomio alterno Propiedades fundamentales de un polinomio alterno Propiedades de los polinomios simtricos y alternos Factorizacin de un polinomio simtrico y alternos Otros artificios Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos 155 155 157 157 157 157 159 159 159 160 160 160 160 160 163 163 164 169 169 169 169 171 173 173 173 173 174 174 175 175 176 176 180 183

Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo Mximo comn divisor Mnimo comn mltiplo Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Fracciones Algebraicas Principales conceptos / Definicin Signos de una fraccin Cambios de signo en una fraccin Simplificacin de fracciones Ejercicios Resueltos Operaciones con fracciones algebraicas Suma y resta Multiplicacin y divisin Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Introduccin el Binomio de Newton

Factorial de un nmero 183 Propiedades de los factoriales 183 Ejercicios Resueltos 183

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones Propiedades de las combinaciones Ejercicios Resueltos Desarrollo del binomio de Newton / Mtodo de induccin Frmula del trmino general Ejercicios Resueltos Trmino central Ejercicios Resueltos Tringulo de Pascal o de Tartaglia Ejercicios Propuestos Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario Propiedades del desarrollo del binomio Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

185 186 187 190 191 191 194 194 196 197 200 200 200 204 206 206 206 206 207 207 208 209 212 212 212 219 219 224

Radicacin

Principales conceptos / Definicin Elementos de una raz / Signo de las races Raz de un monomio Raz cuadrada de un polinomio / Regla prctica Raz cuadrada por el mtodo de coeficientes indeterminados Raz cbica de polinomios / Regla prctica general Ejercicios Resueltos Races dobles / Concepto Transformacin de radicales dobles en radicales simples o sencillos Ejercicios Resueltos Descomposicin de radicales mltiples en simples Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Operaciones con Races

227227 227 227 227 228 228 228 234 234 235

Principales conceptos Valor Aritmtico de un radical / Valor algebraico de un radical Radicales homogneos / Homogenizacin de radicales Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales Suma de radicales / Multiplicacin de radicales Potencia de radicales / Raz de radicales Ejercicios Resueltos Racionalizacin Fraccin irracional / Factor racionalizante Casos

Primer caso / Ejercicios Resueltos Segundo caso / Ejercicios Resueltos Tercer caso / Ejercicios Resueltos Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

235 235 237 238 240

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas 243Principales conceptos 243 Formas singulares o determinadas 243 Formas indeterminadas 243 243 Verdadero valor / Clculo del verdadero valor

Forma 0/0 243 Ejercicios Resueltos 244 Forma / / Ejercicios Resueltos 247 Forma - / Ejercicios Resueltos 249 Forma 0 . / Ejercicios Resueltos 251 Ejercicios Propuestos 252

Cantidades Imaginarias y Nmeros Complejos

255

Principales conceptos 255 Cantidades imaginarias / Definicin 255 Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria 255 Transformacin de la potencia im donde m es entero y positivo Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Nmeros complejos, Definicin Clase de nmeros complejos / Complejo real / Complejo puro Complejo nulo / Complejos iguales Complejos conjugados / Complejos opuestos 255 256 261 264 264

264 264 264 264 265 265 265 266 266 267 269 269 274

Representacin grfica de un complejo Representacin cartesiana / Representacin polar o trigonomtrica Operaciones con complejos / Suma de complejos Multiplicacin de complejos / Propiedades Divisin de complejos Potencia de un complejo / Propiedades Raz de un complejo Ejercicios Resueltos Races cbicas de la unidad Propiedades / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Ecuaciones 277Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuacin Clasificacin de las ecuaciones Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones Ecuaciones de primer grado con una incgnita / Discucin de la solucin Ejercicios Resueltos Problemas Resueltos Ejercicios Propuestos Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes Solucin del sistema Clasificacin de los sistemas de ecuaciones Principios fundamentales para la trasformacin de sistema de ecuaciones Mtodos de eliminacin y resolucin / Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin / Mtodo de reduccin Ejercicios Resueltos Problemas Resueltos Ejercicios Propuestos 277 277 277 277 278 278 282 287 290 290 290 290 290 290 291 292 298 304

Determinantes 307Definicin Signos de un elemento Determinante de un segundo orden Valor determinante de segundo orden Determinante de tercer orden Regla de Sarrus Forma prctica de la regla de Sarrus Menor complementario de un determinante Desarrollo de un determinante por menores complementarios Propiedades de los determinantes Ejercicios Resueltos Mtodo de los determinantes para hallar la solucin de un sistema de ecuaciones Regla de Cramer Discusin de la solucin de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos 307 307 307 308 308 308 309 309 310 310 312 310 310 317 322

Ecuaciones de Segundo Grado 326Resolucin de una ecuacin de segundo grado con una incgnita 326 Deduccin de la frmula general 326

Discucin de las races de la ecuacin de segundo grado Propiedades de las races de una ecuacin de segundo grado Forma de una ecuacin de segundo grado conociendo races . Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Ecuaciones reductibles a cuadrticas / Ecuaciones bicuadradas Propiedades de las races de una ecuacin bicuadrada Formacin de una ecuacin bicuadrada Ejercicios Resueltos Ecuaciones recprocas Ejercicios Resueltos Ecuaciones binomias y trinomias Ejercicios Resueltos Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos Ecuaciones exponenciales Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

327 327 327 327 335 339 339 339 339 340 340 343 343 345 350 352 356 358 359 360

Desigualdad e Inecuaciones

363363 363 364 365 365 366 366 366 367 367 367 367 370 372 373

Desigualdades, definiciones importantes Propiedades de las desigualdades Ejercicios sobre desigualdades Clases de desigualdades Inecuaciones de primer grado con una incgnita Solucin a una inecuacin Intervalo abierto / Intervalo cerrado Valor absoluto / Ejercicios Resueltos Inecuaciones / Sistema de inecuaciones Sistema de inecuaciones con una incgnita Sistemas de inecuaciones con dos o ms incgnitas Ejercicios Resueltos Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Progresiones 375Progresin aritmtica (P.A.) o progresin por diferencia / Propiedades 375 Medios aritmticos o diferenciales / Definicin 375

Interpolacin de medios aritmticos Ejercicios Resueltos Progresin geomtrica (P.G.) o progresiones por cociente Representacin de una progresin geomtrica / Propiedades Medios geomtricos o proporcionales / Definicin Interpolar medios geomtricos entre dos nmeros dados . . Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

376 376 379 379 380 380 380 385

Logaritmos 388Principales conceptos / Definicin Ejercicios Resueltos Sistema de logaritmos Propiedades generales de los logaritmos Cologaritmo / Antilogaritmo Cambio de un sistema de logaritmos a otro Ejercicios Resueltos Logaritmos como progresiones / Definicin Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. Sistema de logaritmos neperianos Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs Propiedades del sistema logaritmos Clculo de la mantisa Transformar un logaritmo totalmente negativo en otro parcialmente negativo y viceversa Clculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos Producto de logaritmos / Multiplicacin y divisin de logaritmos entre si Conversin de logaritmos decimales a logaritmos neperianos Conversin de logaritmos neperianos a logaritmos decimales Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos 388 388 389 390 390 390 391 396 396 397 398 398 398 398 399 399 400 400 400 401

Inters Compuesto

404 404 405

Principales conceptos / Deduccin de la frmula Anualidades, Definicin

Caso en que el tiempo es mltiplo del perodo de capitalizacin Anualidad de capitalizacin (Ac) / Deduccin de la frmula

405 405

Anualidad de amortizacin (Aa) / Deduccin de la frmula 406 Ejercicios Resueltos 406 Ejercicios Propuestos 413

L G E B R A

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

El lgebra es la parte de la matemtica que estudia a la cantidad en su forma ms general obteniendo generalizaciones sobre el comportamiento operacional de los nmeros. Estudia de esta manera, funciones numricas; para lo cual se emplea nmeros, letras y signos de operacin. Como el estudio de una funcin conduce finalmente al planteamiento de una ecuacin o igualdad, se dice tambin que el lgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuacin:

Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen nmeros y letras son expresiones algebraicas; a excepcin de las ltimas tres, que reciben el nombre de funciones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el clculo superior. Para una mayor ilustracin, indicaremos la definicin de las siguientes funciones trascendentes: Funcin exponencial.- Representada por una base numrica y un exponente literal, como por ejemplo: 7x (base = 7, exponente = x). Funcin logartmica.- Representada por el smbolo log. y que se toma en una cierta base a un determinado nmero. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo en base b del nmero N. Funcin trigonomtrica.- Representada por las funciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados sobre un nmero real. Ejemplo: sen x, que se lee: seno de x.

EXPRESIN ALGEBRAICAEs el conjunto de nmeros y letras unidos entre s por los signos de operacin de la suma, la resta, la multiplicacin, la divisin, la potenciacin y la radicacin.(*) Ejemplos: Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS2 2 2

ii) 4x iii) 4x + 5y + 7z_________

Segn el tipo de nmero o variable de sus exponentes, radicales o denominadores las expresiones algebraicas pueden clasificarse en:

iv) ________________ 3x5 + 7 x2 - 5xy4 3x2y - 3xy7 No son expresiones algebraicas: i) 5x Expresiones Algebraicas

ii) loga x iii) sen x (*)Las letras son empleadas tanto para representar valores conocidos o datos (en este caso; por convencin, se usa las primeras letras del alfabeto) como valores desconocidos (se usa las ltimas letras del alfabeto).

{

Racionales Irracionales

{

Enteras Fraccionarias

a) Expresin algebraica racional Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes enteros o no tiene letras en su cantidad subradical (es decir, al interior de la raz).

- 13 -

Ejemplos: i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7 1 x4 + 1 x8 + 1 x4 iii) 3 5 3 x2 4z2 2z3 iv) + + 2 3yz 7xy 9y4NOTA:

Ejemplos:

i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8 ________ __ iii) 4x2 + 5y2 + 8 z 2 7 8 iv) __ + __ + __ x y z ___ v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 xyz Resumen de las caractersticas de las expresiones algebraicas.

Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raz que se encuentra en el interior del radical. De este modo:n

__ A , se lee raz n de A

Donde n = ndice, A = cantidad subradical

a.1) Expresin algebraica racional entera Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes enteros positivos o no tiene letras en su denominador.Ejemplos:

i) 2x2 + 5y7 + 12y15 1 + 1 + 1 z4 ii) 3x 5y 4 iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 a.2) Expresin algebraica racional fraccionaria Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes negativos o tiene letras en su denominador.Ejemplos:

Expresiones Algebraica

TRMINO ALGEBRAICO

i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4 1 + 2 + 7 ii) 3x 5y 4z2 4x2 + 3y3 + 7z4 iii) 4x5 + 5yz iv) 4x4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2 b) Expresin algebraica irracional Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad subradical.

{ {Racionales Exponente entero Subradical sin letras Irracionales Exponente fraccin Subradical con letras

Enteras Exponente entero positivo Denominador sin letras

Fraccionarias Exponente entero negativo Denominador con letras

Es aquella expresin algebraica cuyas partes no estn separadas ni por el signo ms ni por el signo menos. En otras palabras, un trmino algebraico es un monomio.Ejemplos:

i) 4x2 ii) +5y3z4 iii) -3x4y5z8

- 14 -

L G E B R A

Partes de un Trmino Algebraico coeficiente

LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTESMultiplicacin de Potencias de Bases Iguales. Se escribe la base comn y como exponente se escribe la suma de ellos. am. an = am+nEjemplos:

(-7) x4

exponente parte literal

i) x5 . x7 = x5+7

= x12

TEORIA DE EXPONENTESLa Teora de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operacin que permite la presencia del exponente es la potenciacin, la cual se define as:

ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15 iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048 Divisin de Potencias de Bases Iguales. Se escribe la base comn y como exponente se escribe la diferencia de dichos exponentes. am = am-n anEjemplos:

POTENCIACINEs la operacin que consiste en repetir un nmero llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operacin se le denomina potencia, y se representa as: Potencia = (base)exponenteEjemplos:

x8 = x8-3 i) x3 x12 = x12-(-3) = x12+3 = x15 ii) x-3 2m+3 = 2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64 iii) 2m-3 5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5 iv) = = 52x+1 52x+1 52x+1 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625 Exponente Cero. Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. As: a0 = 1, donde: a 0 Ejemplos: i) 57 = 51 = 5 ii) 40 9 2 0

i) 27 = 144424443 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 factores 2 ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125

142435 factores 5

iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 1442443 6 factores 4 En general: an = a .a.a.a. .a 1442443 n factores a NOTA: Recuerdese que para efectos del estudio algebraico, la base es literal y el exponente es numrico: x5, y4, z8, etc.

= 42

1

= 42 = 160

iii) 24

0

+ 57

+ 87

0

= 2 + 5 + 8 = 15

- 15 -

Exponente Negativo

Potencia Negativa de un Cociente.

Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo, es igual a una fraccin cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la misma expresin pero con el signo del exponente cambiado a positivo. As: 1 , donde: a 0 a-n = an Ejemplos: 1 i) x-3 = x3 1 = 0,5 iii) 2-1 = 2 Potencia de un Producto. Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. (a.b)n = an. bn Ejemplos: i) (a . b)5 = a5.b5 ___ 2 ii) (3x ) = 3x2 iii) x4y4 = (xy)4 3x . 2x (3 . 2)x 6x iv) = = 6x 6x 6x Potencia de un Cociente. Se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. a = a2b4 ii) b4 a-3 = b5 iv) -5 b a32

Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva. Luego, puede procederse como en el caso anterior.

() ()a = -n b bn Ejemplos: i) 1 -3= 5 3= 53 = 125 ii) 5 1

1 -2 1 -3 1 -4= 2 2 + 3 3 + 5 iii) + + 2 3 5 1 1 1 Potencia de Potencia.

() () () () () () () () () ()2 -2= 5 2= 52 = 25 5 2 22 4

4

= 4 + 27 + 625 = 656

Se escribe la misma base y el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes. (am)n = am . n Ejemplos: i) (x2)3 = x(2)(3) = x6 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60 iii) (x-3)-4 = x12 iv) (x-2)5 = x-10 Nota: Para el caso de tener muchos exponentes, se puede generalizar la regla como sigue: { [(am)n]r }s = am . n . r . s

()Ejemplos: i)

a n an = b bn

RAZ DE UNA POTENCIA

() ()

x x = y y4

4

4

x x ii) = y7 y

7

()

7

Se escribe la base y como nuevo exponente, la divisin del exponente de la potencia entre el ndice del radical.n

3 3 33 27 iii) = = 5 53 125

8n 8 n iv) = = 4n n 2 2

()

__

ap = an

p _

- 16 -

L G E B R A

Ejemplos: i)

Raz de un Cociente.10 _ _

___ ___ ___ ___ _ ___ __ 48 12 _ _ 4 ii) x48 = x 4 = 3x12 = x 3 = x4 ______ ____ _______ _______ __ ____ __ __ ___ __ ____ ___ ___ ___ 64 32 iii) x = x = x16 = x8 = x4

x10 = x 5 = x2

5

__

3

Se extrae la raz tanto del numerador como del denominador, y luego se procede a dividir estas races resultantes. __ __ n a n a = __ n b b

5

Nota: Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar la regla como sigue: _________ ______ ____ _ __ __ ___ 1 a = mnsr a = a mnsr

Ejemplos: _____ ___ 5 20 5 x20 x x4 i) = ___ =

ii)

4

y35 x20 y7 _____ ___ 4 20 16 x = 2 = ____ y35

625

4

5

Exponente FraccionarioToda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a la raz de dicha cantidad, cuyo ndice es el denominador de la fraccin y el numerador permanece como exponente. Por lo tanto:p __ _ n n a = ap

Introduccin de un Factor en un Radical. Se multiplica el exponente del factor por el ndice del radical, de la siguiente forma. __ n ______ n ap b = apn . b Ejemplos: _ _ 5 i) x2 y = i) x23

Ejemplos: __ 3 _ 5 i) a 5 = a3 __ 1 _ 3 ii) 8 3 = 8 = 2 __ 2 2 _ 3 iii) 64 3 = ( 64 ) = (4)2 = 16

x(2)(5)y = x10y3

5

______ _______

5

____ ____

_ _ _

y2 = x(5)(3)y2 = x15y2

3

LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICASMULTIPLICACINEl producto de dos trminos de signos iguales es positivo, y de signos diferentes es negativo. a) b) c) [+] . [+] [-] . [-] [+] . [-] [-] . [+] = [+] = [+] = [-] = [-]

RAZ DE UN PRODUCTOEs igual a extraer la raz de cada factor, y luego efectuar el producto.

ab = aEjemplo: ______ i) x10y25 =5 7

n

__

n

__ .

b

n

__

___ x10 .5

___ y25 = x2y55

d)

__ 7 __ 7 __ ii) xy = x . y

DIVISINLa divisin de dos trminos de signos iguales es positivo, y de signos diferentes es negativo:

- 17 -

[+] a) = [+] [+] [-] c) = [+] [-]

[+] b) = [-] [-] [-] d) = [-] [+]

1.- Calcular el valor de:

2x+4 + 36(2x-2) E = 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1) Solucin: Por la ley de la teora de exponentes se conoce que: m am+n = am . an ; am-n = a an Aplicando al ejercicio: 2 2x . 24 + 36 22 E = 2x 2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 2 Operando apropiadamente: 16 . 2x + 9 . 2x E = 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x

POTENCIACINLa potencia de una base con exponente par, siempre es positiva; pero la potencia de una base con exponente impar, depende del signo de la base: a) b) c) d) [+]par [+]impar [-] par [-]impar

= [+] = [+] = [+] = [-]

( )x

( )

RADICACINSi el ndice es impar, el resultado tendr el mismo signo que la cantidad subradical. Si el ndice es par y la cantidad subradical es positivo, el resultado tendr doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad subradical es negativa el resultado ser una cantidad imaginaria, que no existir en el campo real. ___ [+] ___ impar b) [-] ___ par c) [+] ___ par d) [+] a)impar

Se hace el cambio de 2x = a, para hacer ms simple las operaciones: 16a + 9a 25a E = = = 5 32a - 16a - 8a - 3a 5a Rpta.: = 5

= [+] = [-] = [] = cantidad imaginaria

2.- Calcular el valor de:4 43 8 3 E = [4(4-1)n]2

( )

-n

Solucin: Transformemos el numerador, para escribir con base 4:

Nota: Para efectos de estudio, se emplear, en el caso (c), races de ndice par y cantidad subradical positivas; el signo aritmtico de la raz; es decir, el valor positivo.

(8 ) [ ]4 _ 3 4 _ = (23)3

-n

-n

= (24)n = (22)2 = 4

[ ]

-n

Reemplazando en la expresin original:3-2n 43 . 4-2n = 43 . 4-2n = 4 E = (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n

EJERCICIO RESUELTOSE = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4 Sobre las leyes de la teora de exponentes y los signos en las operaciones algebricas. Rpta.: = 4

- 18 -

L G E B R A

3.- Hallar el valor de la expresin: ___________ n 20n+1 E = 4n+2 + 22n+2

multiplicando potencias de bases iguales: 36 . 79 . 56 . 212 E = 36 . 79 . 56 . 211 simplificando:12 E=2 = 212-11 = 21 = 2 211

Solucin: Transformando el denominador: 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) = 4n+2 + (22)n+1 = 4n+2 + 4n+1 = 4n+1 (41+1) = 4n+1 . 5 reemplazando en la expresin, y transformando el numerador: __________ n (4 . 5)n+1 E = 4n+1 . 5

Rpta.: 2 5.- Calcular el valor de:

E=

[ ]33 __

_ ____ 33

-6 3

_ _

Solucin: Escribimos la raz principal en la forma exponencial: -6 _ 3 3 E= _ 3 3 3

operando en el numerador: __________ n n+1 . 5n+1 E= 4 4n+1 . 51 simplificando y descomponiendo la potencia: _______ __ n 5n . 51 = n n E = 5 = 5n = 5 41

[ ]

luego, transformamos los exponentes:1/2 -1/6 1 1 -1/6 3 - 3 3 2 3 1/3 3 3 E = (3) = (3) 1 - 6 1 1 1 1 1 3 - - 6 6 6 6 6 0 3 . 3 3 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3

Rpta.: 5 = 4.- Calcular el valor de: 216 . 353 . 803 E = 154 . 149 . 302 Solucin: Se sabe que: (a . b)n = an . bn descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley: (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E = (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 aplicando la ley anterior: 36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 E = 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 526 3 4 3

[ ] [ ] [ ]( )3 E=

Rpta.: 3 6.- Simplificar la expresin:

{

1 1 m-1 m(m3) 2 5

[

]}

-2

Solucin: Efectuando operaciones:1 E = (m-1)-2 (m1)5

[

] {[(m ) ]}-2 1 3 2

1 -2 5

2 3 2 3 - - 2- - E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5

- 19 -

E=m

2

-

2+3 5

=m

2

-

5 5

= m2-1 = m1 = m

Luego:n

_________________

n

Rpta.: m E= 7.- Calcular: E=n

____n+2 2

_________ n+1 2__ ____ __ n+2 4 4n

[

10n + 15n + 6n 1 = n 10 + 15n + 6n (5 . 2 . 3)n

]

(5 . 2 . 3)n 1

Simplificando:n n n E = (30)n = 30 = 301 = 30

Solucin: Trabajando con el denominador: ___ ___ __ _____ n+2 n+2 4 4n = 4 . 4n/2

Rpta.: 30 9.- Calcular: 2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n E = 3 2 2 . 5 + 5n1 _ n

___ __n+2

=

n+2

=

4 = 4 ___ ____ (2) = _2_____ = 2n 1+ 2 n+2 2 2 n+2 n+2

n+2

[

]

Solucin: =2

n+2 ___ n+2

Separemos los exponentes que aparecen sumados: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n E = 23 . 52 + 5n

reemplazando, descomponiendo y simplificando:

E= Rpta.: 2 8.- Calcular:

n

___ _ n 2n . 21 n = 2n = 2n = 21 = 2 2

[

]

1 _ n

Hagamos que: 2n = a; 5n = b: 10ab - ab E = 8b + b

[

] [ ]

1 _ n

9ab = 9b

1 _ n

1 _ =an

_____________ E=

n

n

10n + 15n + 6n 5-2 + 2-n + 3-n

1 n _ _ n n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2

Rpta.: 2 10.- Calcular: (3n + 6) veces (2n + 3) veces6447448

Solucin: En primer lugar transformemos el denominador: _____________ E=

n

n

10 + 15 + 6 1 + 1 + 1 5n 2n 3n

n

n

x.x.x..x x . x . x . x 1 E = 6 x.x.x..x x xn+2 1442443

[

][

6447448

][ ]

(4n - 2) veces Solucin: Cada expresin se reduce: x2n+3 1 x3n+6 E = x4n-2 x6 xn+2

Dando comn denominador en el denominador de la raz: _________________ E=

(

10n + 15n + 6n n 6 + 15n + 10n 5n . 2n . 3n

)

[ ][ ][ ]

- 20 -

L G E B R A

Que se puede escribir as: x3n x6 . x2n x3 . 1 = x3n+2n . x6+3 E = 4n -2 6 n 2 x x x x x x4n+n . x-2+6+2 x3n x6 = x2n x3 = x9-6 = x3 E = 4n -2 x x x6 Rpta.: x3 11.- Resolver:x-1

3 3 3 = ( ( 4 ) (4) 4) 3 3 = ( ( 4) 4)x-1 -1/2 1 x-1- 2 2

2

igualando los exponentes: x - 1 - 1 = 2 1 2 1 eliminado los denominadores:

_______ ____ 3x-7 ____ 3 23x-1 - 8x-3 = 0

2x - 2 - 1 = 4 2x = 7 Rpta.: x = 7/2 13.- Hallar el valor de: ____ n+1 2 n n+1 256 4n -1 E= 1 __ _ n 64n+1 4-1

Solucin: Transpongamos trminos: _______ x-1 ____ ____ 3 3x-7 23x-1 = 8x-3 = 0

3x-1 x-3 ___ ___ 23(x-1) = (23)3x-7 3x-1 x-3 ___ ___ 2 3x-3 = 2 3x-7

-1

Solucin: Previamente se opera en forma parcial: 256n+1 = (64 . 4)n+1 = 64n+1 . 4n+1 n+1 (n+1)(n-1) ____ n2-1 n2-12 n+1 n2-1 n+1 4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1 1 - 1

Si igualamos los exponentes (dado que son funciones exponenciales): 3x - 1 3x - 9 = 3x - 3 3x - 7 (3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9) 9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x2 - 27x - 9x + 27 simplificando: -21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7 12x = 20 5 Rpta.: x = 3 12.- Resolver:x-1

___ _ 1 1 _ _ _ -1 n 4 = 4 = 4n = 4-n

1 n

Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresin inicial: ________________ E=

n

n+1 64 . 4n+1 . 4n-1 64n+1 . 4-n

3 ( 4) Solucin:

___ 4 = 9 3 16

simplificando y efectuando: _______ 4n+1+n-1 4-n _____ _____ ___ n n n E = 42n-(-n) = 42n+n = 43n E=2

n

Transformemos buscando una base comn: 3 4 3 = ( ( 4 ) (3) 4)x-1 1/2

E = 4 n = 43 = 64 Rpta.: 64

3n

- 21 -

14.- Calcular el valor de:2a 2b 4a-b + 12 . 4a-b R = ____ a-b 4a+b

Reemplazando los equivalentes en la expresin propuesta: __________ E=x4

x4

[]x 4

(63)x3x4

3

_____

]

x

Solucin: La expresin se puede escribir as:2a 2b 2a 2b a-b a-b a-b a-b 4 + 12 . 4 4 12 . 4 R = = + a+b a+b a+b 4a-b 4a-b 4a-b

Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: ______ _____ _______ _______ E=x4

[x4 n-1

_____ 3 (63)x3x

=

[ ] [63 3x __ 3

x

=

6

x3

]

1 x

E=

6 x4 = 6 x4 = 6

Operando convenientemente: R=42a a+b - a-b a-b

Rpta.: 6 16.- Calcular el valor de: ________ _______ E=

12 + a+b 2b - 4 a-b a-b

y, efectuando los exponentes:2a-a-b 12 R = 4 a-b + a+b-2b 4 a-b

n-1 4 +1 + 1-n 4 +1

n-1

+ Solucin:

n-1

5n-1 + 1 1-n 5_______ +1n-1 6 +1 + 61-n + 1 n-1

_____ ___

7n-1 + 1 71-n + 1

Simplificando: R=4a-b a-b

Desarrollando el caso general: _______ ________n-1 n-1 a +1 = 1-n a +1

12 + =4+3=7 a-b 4 a-b

an-1 + 1 -(n-1) a +1 _______ n-1 n-1 a +1 = = 1

n-1

Rpta.: 7 15.- Calcular el valor de: 3 81 n

n-1

a n-1 _______

+ 1

_____ ___ n-1 a +1 n-1 1 + a n-1 a

n-1

=

E=

Solucin:

[3 n

_______ 216n+1 3 3

]

3

3

n

Por convenir, se realiza las siguientes equivalencias: 33n

= xn

813 33

= (34)3 + ( 33 )4 = x4 = 3(3n 1 .3 )

n

n+1

= 3(3

n . 3)

= (33 )3 = x3

n

216 = 63

Por lo tanto, por analoga: ___ _____ n-1 n-1 4 +1 =4 41-n + 5 ___ _____ n-1 n-1 5 +1 =5 51-n + 5 __ _ _____ n-1 n-1 6 +1 =6 1-n 6 +5 ___ _____ n-1 n-1 7 +1 =7 1-n 7 +5

an-1 + 1 n-1 ___ 1 = a n-1 = a an-1 + 1 a n-1

- 22 -

L G E B R A

Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 Rpta.: 22 17.- Simplificar: n n 2 2 x4n + x3n 3n x + 2 2 x2n + xn xn + 1

19.- Calcular el valor de: __ 7 -1 7 7 __ 7 7 7 E = __ __ 7 -7 __ 7 __ 7 -7 7 7 -7 7 7

E= Solucin:

[(

[ ]7

)( )

]

Resolviendo por partes: n n 2 2 4n2 3n2 x +x x3n (xn + 1) = 2 2 2 2 x2n + xn x4n (xn + 1) ______ ____ n n 2 2 2 = x3n -n = x2n = x2n

__ 7 Si definimos 7 = x, luego: __ 1 _ 7 -1 77 = 77 = 7 = x1 - -7 1 = 1 = 1 7 = 7 7 = __ x 71/2 7 7

Solucin:

Reemplazando:

Reemplazando: n 2 4n2 x + x3n E = = 2 2 x2n + xn

2 3n2 x (xn + 1) 2 2 x4n (xn + 1) ____ 2n _ _ n = x2n = x n

( xx )7 E =

x

__x

n

(7 _ )1 x

1 _ (7-x) x

7 x7 = x = =7 -1 7 .7 70

Rpta.: x2 18.- Simplificar: _____ _____________ ______ _________ ________________ ________ n _____ _____ __ ___ ______ n ____ _ ______ ___ __ n ___ E=

Reponiendo el valor de x: __ 7 E = ( 7 )7 = 7 Rpta.: 7 20.- Sealar el exponente de x despus de simplificar (hay n radicales):

xn

xn

2

x xn3

n

n4

xn

n

n

Extrayendo raz a cada factor, sucesivamente: _________ _ __ __ ____ ___ ___ _ __ _ ___ _ _ ____ n2 n _ __ _ _ n n 2 3 4 n xn xn xn E = x . xn

n3

E= Solucin:

4

x3

4

___________ __ ___ ___ _ _ ___ __ 4 4 x3 x3 x3

___________ _ __ ____ ___ __ ____ _ __ _____ _ __ __ n n n3 n4 nn x x E=x.x. x ___ ___ ___ ______ 4 _ ___ n n n n4 E = x . x . x . x xn

Suponiendo n = 1, se obtiene que:

x3 = x3/4 = x 4Suponiendo n = 2, se obtiene que: _______ ___ 4 ___________ _______ 2 ______ 4 4 4 4 3 x x3 = x3 x3 . 4 . x3 = x12 . x3 =x15 16

4

__

4-1 __

por lo que, al final se obtendr: E = x . x . x . x x = xn1442443

n veces Rpta.: xn

=x

42 - 1 4 2

- 23 -

Suponiendo n = 3, se obtiene: _______ ____ _______ 4 63 43-1 ___ 3 ___ __ ___ 4 4 4 3 3 3 63 4 3 4 3 x x x = x = x =x

E=

[( ) ]6 10n

1 _ n

6 = 10bb

Suponiendo n = 4, se obtiene: _________________ 4 ________ ____ _______ 4 43-1 ___ 4 ___ ___ 4 4 4 3 3 3 3 255 4 4 x x x x = x = x

Rpta.: 0,6 22.- Simplificar: __

b

y, as sucesivamente. Para n casos se puede generalizar como: E=x4n-1 ___ 4n

E=

[ ]-b -b -b b b b

b

Solucin: Trabajando con el exponente: 1 _____ __ __ __ -1 b bb b bb b b b

4n - 1 luego, el exponente es: 4n 21.- Simplificar la expresin: 2 . 12 30 . 6n + n+2 4 5n-1 E = 23 . 5n . 14n 2n+1 . 5n + 25 . 10n - 7n Solucin: Trabajando por partes: 2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 3n+2 = = 4n+2 4n+2 4n+2 = 2n . 3n . 32 = 9 . 6n 30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1 = = = 6n . 6 = 6 . 6n 5n+1 5n+1 5n+1 2n+1 . 5n = 2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n 23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) = =23 . 10 n 7 7n Reemplazando: 6n + 9 . 6n - 6 . 6n E = 2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n 4 (6)n E = 4 (10)n1 _ n n n n n

( ) ( ) b = b =b

[

n

n+2

n+1

]

1 n

[( )]b 1 b b

-b -b -b 0

-1

=b

( )bb -b

-1

=bb

A continuacin, hagamos que x = b-b , y reemplacemos en E: E = [bb ]b = bb Rpta.: b 23.- Calcular: E=n ______________ _________ ____ 52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1 5 5n . 8 - 5n+1 __ _ __ _ 1/n 5-1 5-1-x x -x . bx

= bb = b1 = b

Solucin:

Operando por partes: 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n = 25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n = 50n . 2 + 50n = 50n . 3 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3(n+1)(n-1) ______ 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1 __ 1 __ 1/n 5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n n2-1 ___

[ [ ]

]

1 _ n

(I) (II) (III) (IV)

- 24 -

L G E B R A

Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: 50 . 3 . 5n-1 5n . 3 E = 5-1 . 5-n .5 = 10 5-1-n

Solucin:1 _ n

[

n

][ ]n

1 _

50 . 5n-1 5 = 5-1-nn n n-1

( )

n

Haciendo x =

3 , por lo tanto x3 = 3

3

__

Reemplazando: ___ x x E = xx . x3

2 .5 .5 = 5-1-n 1 1 _ _ n n n+n-1+1+n n n 3n = [2 . 5 ] = [2 . 5 ]

[

n

n-1

] [n

1 _

]

1 _ n

[

1

]

x3

1 . x

Efectuando las operaciones necesarias:

= Rpta.: 250

[(2 . 53)n]n

= 2 . 53 = 250

3 _ E = xx . xx

[

1 _ x

( )

]

x2

= (x )

x x2

[

x

3 . _ 1 _ x x

]

x2

24.- Calcular el valor de:

E=

[

__ 3 3 -1 __3 3 3 3 33 __ 3 __

]

__ 3 . 3 -13

= xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9 Rpta.: 9

3

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular: a) 3 125 ____ _ ___ __ 2 ___ __ 2 ____ __ ___ __ _ ___ _ __ _ __2 2 2

b) 625

c) 25

d) 5

e)

5

5

__

E=

[

______ __ _ __ ___ _ __ 2

__ 2

2

2 1 c) __ 2

]

1 _ 2

4. Calcular n en la igualdad: ___________________ _ _______________ ____ ____ _____ 32 __ 93 3 3 3 3 x x x x = x

1444442444443

( )

-1

a) 2 1 d) 2

__ b) 2 e) 4

n radicales a) 6 5. Efectuar: b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

2. Hallar E = a.b en la relacin: a .b =2 a) 1 1 b) __ 2b a 21/2

J=

__ c) 2

d) 2

e) 4

__ 5 a) 6

5 5 (3 ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) __1 _ 6

__ 3 b) 5

3 5-2

____________________________ _ ____________ _________ ______________ ______ 3 3 53

c)

5

6

__

4

-6 5

-10

__ 6 d) 3

3 e) 5

5

3. Simplificar: __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 5 5 5 5 5 5 __ 5 E = 55 2-1

6. Efectuar: 156 . 124 . 59 . 63 10 . 3 .5 11 13 4

a) 1

b) 3

c) 5

d) 2

e) 6

- 25 -

7. Efectuar:

1 41 - ( ) 2 -1

E=

[( ) ( )1 2 b) 1/4 E= b) x

1 + 125 c) 2

1 ( ) + (81 ) d) 4

-1 -3

--16

1 2

]

1 2

9. Calcular:

__ ________________ _ _ ____ _ _______ ________ 4 4 3 3 x x x3 E = __ _ _____________ _____ _______ _______ 5 5 5 3 3 x x x3

__ 4 e) x

4

a) 1/2 8. Calcular:

e) 3

a) 1/x

b) x

c) x2

d) x3

{ }x xx c) x2

xx - xxx x 2xx x x x __ d) x

[ ]

2

10. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z despus de simplificar: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ a b c yb c a b a x zc E= b zc xa y

b) b c) c

a) 1

e) xx

a) a

d) 1

e) 0

ECUACIONES EXPONENCIALESSon igualdades relativas cuyas incgnitas aparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incgnitas. Ejemplos de ecuaciones exponenciales:i) 5x ii) 238x

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Resolver:

( )( )Solucin: 3 22 x

9 4

x

8 27

x-1

2 = 3

2 = 3

Transformando las potencias: = 125 = 512-x

[( )] [( )]. 2 33 45

x-1

iii) A

[ ]

x 2 4

= A16

Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia: 3 ( ) {[ ( ) ] } = ( 2) 3 22x

SOLUCIN DE UNA ECUACIN EXPONENCIALEs el valor o valores que verifican la igualdad relativa. Ejemplos:i) 5 = 125 x = 3, dado que: 5 ii) 7x+1 x 3

3 2

-1

3

x-1

-1

= 1252+1

= 343 x = 2, dado que: 7

= 7 = 343

3

( )( ) ( ) 3 3 = ( ( 2) 2)2x-3x+3 -1

3 2

2x

3 2

-3+3

3 = 2

-1

Para obtener la solucin se debe tener en cuenta: 1) Las bases de las potencias deben ser iguales. 2) Para que haya igualdad, los exponentes de las potencias, como consecuencia, deben ser iguales. En resumen: Si Am = An m = n

Igualando los exponentes: -x + 3 = -1 x=4 Rpta.: 4 2.- Resolver: 3x + 3x-1 + 3x-2 + 3x-3 + 3x-4 = 363

- 26 -

L G E B R A

Solucin: Transformando las potencias:x x x x 3x + 3 + 3 +3 +3 = 363 2 3 4 3 3 3 3

Solucin: Efectuando operaciones: 58x . 4-x

= 516

60

igualando exponentes: 8x . 4-x = 1660 transformando:

haciendo y = 3x, se obtiene: y y y y y + + + + = 363 3 9 27 81 eliminado denominadores: 81y + 27y + 9y + 3y = y = 363 . 81 reduciendo: 121y = 363 . 81 363 . 81 y = 121 y = 243 pero: y = 3x = 243 = 35 x=5 Rpta.: 5 3.- Resolver: 9x+2 = 9x + 240 Solucin: Descomponiendo las potencias: 9x . 92 = 9x + 240 haciendo: y = 9x 81y = y + 240 de donde: y = 3 Sustituyendo en (a): 9x = 3 o: x = 1/2 Rpta.: 1/2 Solucin: 4.- Resolver: 9 =9x 1/2

(23)- (22)x

x

= (24)

60

23x . 2-2x = 2240 23x-2x = 2240 2x = 2240 x = 240 Rpta.: 240 5.- Resolver:

( )Solucin:

1 4

( )1 2

4x

= 0,7071

1 2 = 2 2 = 2- 2 Obsrvese que: 0,7071 =

__

1 _

2

2

(a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )de donde: 4x = 41/2 1 luego: x = 2 Rpta.: 1/2 6.- Resolver: xx = 33

1 4

( )1 2

4x

1 = 2

1 2

1 = 1 = 4 4

1 4

( )1 2

2

1 = 4

( )1 2

1/2 4

Haciendo el cambio de variable:

[5 ]

-x x 4 8

=5

1660

y = x3

(a)

- 27 -

Extrayendo raz cbica: __ 3 __ 3 x3 = y __ 3 x = y

(b)

8.- Calcular el valor de n: _________n-1

n x + xn +5 = x5 n x + xn+5

2

2

Solucin: Descomponiendo las potencias: _____________n-1

reemplazando (a) y (b) en la ecuacin inicial:

( 3y )y = 3o, tambin:

__

xn + xn . x5 = x5 xn + xn . x5

2

2

(y ) = 31 3 y 3

y

factorizando los numeradores y denominadores: ___ __________n-1

y

=3

xn (1 + x5) = x5 xn (1 + x5) ___ _ __2

2

Elevando al cubo, se tendr: yy = 33 de donde: y = 3 reemplazando en (b): __ x = 33

n-1

xn = x5 xn ____ n-1 xn2-n = x5n(n-1) ____ x (n-1) = x5

__ 3 Rpta.: 3 7.- Resolver:

xn = x5 luego: n=5x 33 39

[5 ]Solucin:

= 59

9

Rpta.: 5 9.- Resolver la siguiente ecuacin exponencial: 3 = 27 Solucin: Como 27 = 33 entonces:x 3 x-4 9

Efectuando operaciones:9 3 9 53 . 3 = 59 x

o: 5 de donde: 3x 9+3 x 9+3 3

= 5

9 9

33 = (33)9 = 33.9 igualando los exponentes:2 9 18

x

x-4

x-4

= 9 = (3 ) = 3

9

3x = 3 . 9x-4 = 3 . (32) 3x = 32x-7

x-4

= 31 . 32x-8 = 32x-7

igualando los exponentes: 9 + 3 = 18 3x = 9 = 32 luego: x = 2 Rpta.: 2x

igualando los exponentes: x = 2x - 7 x=7 Rpta.: 7

- 28 -

L G E B R A

10.- Resolver la siguiente ecuacin exponencial: __ x-x [(ax)x] = a1/8 Solucin: Efectuando operaciones: ___ 1 32

12.- Resolver: b donde : b = xxn-x x

=x

n x x x

x

(a )a

x-x x2

=a

Solucin: Reemplazando b en la ecuacin: (xx )x xn-x

__-3 = a2

x2 . x-x

igualando los exponentes: ___ x2 . x-x = 2-3 x2-x = 2-3/2 = (2-1)3/2

= xx

n xx

Efectuando operaciones: xxx . xn-x

1 = 22 1 - 2

( )

3/2

= xx = xx

n xx

xx

x+n-x

n xx n xx

1 x2-x = 2 por comparacin: 1 Rpta.: 2 11.- Resolver:

( )

xx = xx igualando exponentes:

n

1 x = 2

xn = x

n xx

igualando exponentes nuevamente: n = xxn

Solucin:

n

xn + an = 1 (b2a)n + xn b

Elevando a la n potencia e intercambiando los exponentes: nn = ( xx de aqu se obtiene: xn = n de donde:n n n

)

= (xn)

xn

Elevando a la potencia n ambos miembros de la igualdad: x +a 1 = (b2a)n + xn b bn(xn + an) = (b2a)n + xn bnxn + bnan = b2nan + xn transponiendo trminos: bnxn - xn = b2nan - bnan xn (bn -1) = bnan (bn -1) simplificando: xn = bnan xn = (ab)n x = ab Rpta.: abn n

__

__ n x = n

Rpta:

n

13.- Resolver:x x - 18 18 = x-1 . 12 18

Solucin: Transformando los exponentes negativos en positivos:x 1 = 1 . 12 18 x 18 18

- 29 -

transponiendo:x

x 18

Solucin: Transformando adecuadamente:1 4x 3x = 3x . 3 2 4x - - 1 1 32 42

1

x = 18

18

x

. 12

= (18 . 12)

18

x x x = (32 . 2 . 22 . 3) 18 = (33 . 23) 18

x = (3 . 2)3 efectuando: x=6 6x

[

]

18

x

Transponiendo trminos negativos: 3x 4x = 3x . 3 2 4x + + __ 2 3 __ 1 = 3x 3 + 1 __ 4x 1 + 2 3

(

)

(

)

1 elevando a la : x x por lo tanto: x=6 Rpta.: 6 14.- Resolver: (bb . x)x = bb Solucin: Elevando a la potencia bb: (bb . x)b luego: (bb. x)bb . x b.x 1-b

1 x

= 6

6

1

3 = 3x 3 __ +1 4x 2 3

( ) (

)

3 = 3x . 4 4x . __ 2 3 8 . __ 3x 4x = 33 4x = 8 = 43/2 = 4 __ x 3 33/2 3 33 4 = 4 ( 3 ) (3 ) por lo tanto: = bb1-b+b x 3/2

( )3/2

= bb

1-b . bb

= bb 3 Rpta.: 2 16.- Resolver:2 - x 9

3 x = 2

= bb

identificando exponentes: b b . x = b ; x = bbb

2 + x 9

2 - x2 ( 9)

2

x = b1-b Rpta.: b1-b 15.- Resolver: 4x - 3x1 2

1 +x m3 =

1 -x m3 =

m2

Solucin: Transformando a frmulas exponenciales:1 1 +x -x 3 3 2 2 -x +x m9 =m9

= 3

x+

1 2

- 22x-1

.

m

(2/9)2 - x2

2

- 30 -

L G E B R A

de aqu:1 +x 3 2 -x 9 1 -x 3 2 +x 9

VALOR NUMRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS+ 2 2 22

m

=m

( )-x 9

igualando exponentes: 1 + x 1 -x 3 3 2 = + 2 -x 2 +x 2 + x 2 -x 9 9 9 9

Se denomina valor numrico de una expresin algebraica al valor que toma dicha expresin cuando se le asigna determinados valores a sus letras.

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Hallar el valor numrico de: 1 -( 2)

(

)(

)

Eliminado denominadores: 1 + x 2 + x = 2 -x +2 ( )( 9 ) ( 13 - x)( ) 3 9 Efectuando operaciones: 2 + x + 2 x + x2 = 2 - x - 2 x + x2 + 2 27 3 9 27 3 9 eliminando trminos y transponiendo: x + x + 2 x + 2 x=2 3 3 9 9 eliminando denominadores: 3x + 3x + 2x + 2x = 18 10x = 18 Rpta.: 1,8 x = 1,8 E= E=

( ) ( ) ( )1 z 1 - y 1 + x

( )

1 z

-1

( )

1 - y

-1

1 - x

( )

para: x = 4, y = 2, z = 3 Solucin: Reemplazando los valores asignados:

( ) ( ) ( )1 3-3

1 3

( )

1 3

-1

1 - 2

( )

1 - 2

-1

1 + 4

1 - 4

( )

1 ( 2)

Efectuando operaciones y transformaciones: __________________________ =

17.- Resolver la ecuacin exponencial: 1 xx = __ 4 2 Solucin: Trabajando con el segundo miembro:1 _ 1 _ 4 1 x = = 2 x 1 _ 1 _ 8 1 _ 2 8

( )

1 - 2

( ) ( )

-2

1 + 4

1 - 2

= = Rpta.: 5

_________________ (3)3 - (2)2 + (4)1/2

27 - 4 + 2 = 25 = 5

( ) [( ) ] ( ) = [( ) ]1 42

1 _

4

1 = 4

1 16

1 x = 16x

( )

1 16

2.- Calcular el valor numrico de: ab + ba E = 1+a 1+b ab + ba para: ab = 2 y ba = 0,5

como consecuencia: 1 x = 16 1 Rpta.: 16

[

1-a

1-b

]

2

- 31 -

Solucin: Transformando previamente:

-a -b

Solucin:

ab . b + ba . a ab(b ) + ba(a ) E = = a b a b ab . b + ba . a ab . b + ba . a reemplazando los datos:

[

][2

2

a -a

b -b

]

2

1 1 (ab) + (b ) 20,5 + (0 5) 2 E = = a b (ab) b + (ba) a 20,5 + (0 5) 2 2 2

[

1 ba

1 a ab

][ ]

2

Transformando el numerador y denominador separadamente: _______________ ___________ _____ __ __ __ 3 3 36 2 3 x x x x = x43 = x43/36 _____________ _____ _____ 1/2 ___ __ __ __ __ 3 3 9 x x x x = x31 = x31/9

reemplazando:43 36 x E = 31 x9

1 22 + 2 E = 1 1 2 2 + 4

[ ][ ][ ]( )1 2

1 __ 4 + 2 4 = 1 = 2 2 + 4

2

[]81 36

1 - 9

=

[

43 31 x 36 9

] [1 =x 4 =

1 - 9

43 - 124 = x 36

]

1 - 9

= x

[ ]

1 - 9

= x(36)( 9 )

81

1

x

4

16 = 8 E = 2 Rpta.: E = 8 3.- Hallar el valor numrico de: E=x Solucin: Transformando la expresin:x x E = xx . x x+xx x xx . xx = xx . x x x+xx xx+x

___ 4 E = 16 = 2 Rpta.: E = 2 5.- Calcular el valor numrico de:x

;

para: xx = 2

E = xxy si se cumple las condiciones siguientes:

( xx) x x x x (x ) = (xx )Solucin:

xayb = 2a xbya = 2b

(1) (2)

Reemplazando el dato: (2) E = (2)(2) = 24 = 16 Rpta.: E = 16 4.- Hallar el valor numrico de: __________ _____ ______ _ __ ___ ____ __ __ _ 3 3 2 3 4 x x x x _____ ___ ___ ___ E = ____ _ _ __ 1/2 __ ___ ___ _ _ _ 3 3 x x x x para: x = 16

Multiplicando (1) . (2): xa+b . ya+b = 2a+b de aqu: xy = 2 (3)1 2

[

]

Dividiendo (1) entre (2): xa-b = 2a-b ya-b x y =2

- 32 -

L G E B R A

Luego, se deduce que: x = 2y Sustituyendo (4) en (3): (2y) (y) = 2 2y2 = 2 Sustituyendo en (4): x = 2y Por lo tanto: E = (x)xy = (2)2 .1 = 4 Rpta.: E = 4 6.- Calcular el valor numrico de: ________ 2 x+b a - 2bx E = x-b a2 + 2bx _____ _ para x = a2 - b2 ___________ ________ 2 (a - 2bx) (x + b)2 E= (a2 + 2bx) (x - b)2 x = 2(1) = 2 y=1 (4)

7.- Calcular el valor numrico de: E= x para: xx = 2 Solucin: Transformando la expresin:+1 x-1 - x +1 x . xx . x 5xx xx x . x x(x 5xx

[

x-1 - 1) +1

]

E=x E=x

[

]

= x

x x . xx - x + 1 5xx

[

]

x x x . xx - x + xx 5x

(

)

= x5x

x xx+x -x . xxx

E = x5x

x xx . xxx

el orden de los factores exponentes no altera el producto y sacando 5:

E=

[(

xx

xx

)

xx 5 xx

]

Reemplazando xx = 2 se obtiene: E = [(2)2] = 210 = 1 024 Rpta.: 1 024 8.- Calcular el valor numrico de: _____ _____ bb + x + x b + x E = __ xx __ 3 b a2 para: x = __ 3 __ 3 b2 - a2 Solucin: Factorizando y efectuando: _____ _____ ___ ( b + x __ ) (x + b) (b + x)3 __ E = = x3 x3_____ _____ __________ 3 3 5

xx

Solucin: Introduciendo factores: Operando el cuadrado cada expresin: _______________ ____ _______ 2 2 (a - 2bx) (x + 2bx + b2) E= (a2 + 2bx) (x2 - 2bx + b2) ______ si x = a2 - b2 x2 = a2 - b2 reemplazando: _______________ ________ ________ 2 2 2 (a 2bx) (a b + 2bx + b2) E= 2 2 2 (a + 2bx) (a - b + 2bx + b2) ________ _____ ________ 2 2 (a - 2bx) (a + 2bx) E= (a2 + 2bx) (a2 - 2bx) Rpta.: E = 1

=

b+x = b +1 x ) ( x ) (

- 33 -

Reemplazando x:

3 3

__ ______ __ 2 2 b (c + d) a2 = b +c + d + a E = + + b c +d a b c+d a E = 1 + 1+ 1 = 3 Rpta.: E = 3 10.- Calcular el valor numrico de E = x+y, en la siguiente ecuacin: __ n-y abn-1 x = b ab n-1 ab

E=

E=

E=

E=

[ ] [ ] ] [ [ ] b __ + 1 3 b a2 __ __ 3 3 b2 - a2 __ 3 __ b2 - a2 + 1 __ 3 a23

__ 3 __ 3 __ b2 - a2 + a2 + 1 __ 3 a23 3

Solucin: Efectuando operaciones en el primer miembro:n-2

a1 1 - n-1

.b

1 n-1 - n-1

n-2

an-2 n-1

=

.b

n2-2n+1-1 n-1

__ 3 b2 __ 3 a23

n-2

a(n-2) n-1

1

=

b2 = b a2 a

.b

n(n-2) n-1

= a n-1 . b n-1

1

n

Igualando el segundo miembro: a n-1 . b n-1 = bx . a n-y . b n-y = b1 n 1 1 1 x + n-y

b Rpta.: E = a 9.- Calcular el valor numrico de: _____________ ________________ (a + b)(b + c + d) (a + b + c)(c + d + b) E = + b cd _____________ (a + b)(a + c + d) + a si: ab + ac + ad + bc + bd = 0 Solucin: Efectuando operaciones se obtiene: _______________________ ab + ac + ad + b2 + bc + bd E = b ____________________________ (c + d)2 + ab + ac + bc + bd + ad + c+d reemplazando por el valor del dato se obtiene:

. a n-y

Por lo tanto, se puede deducir que: 1 = 1 n-1 n-y n-y=n-1 y=1 Del mismo modo, tambin se deduce que: 1 = n x + n-y n-1 1 = n x + n-1 n-1 1 = n x + x=1 n-y n-1 E=x+y=1+1=2 Rpta.: E = 2

- 34 -

L G E B R A

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular el valor de: ____________ ____ n 9n+1/4 3n-2 E= __ 1 3n 3 __ a) 3 b) 3 c) 9 6. Simplificar: ______________________ __ -1 m 2m+3 . 72m+1 - 2m+1 . 72m . ( m J = 3 ) 2m+5 . 72m - 2m+1 . 72m+1 __ ___ m m a) 3 b) 9 c) 27 d) 3m e) 1

[m-1 m

d) 27

e) 81

2. Calcular el valor de: __ m m 1 x + x E = m m+1 ______ __m+1

7. Si xy = yx, calcular: 2xy-x G= a) x 8. Calcular:

]

m2-1

[

x-y]

-x-y

[y-x]

-y-x

b) yx

c) y

d) x-y

e) yx

para x = a) 1

mmc) m __ d) m e) mm+1

b) m

C= a) 1

n-1

3. Simplificar la expresin:

10n-1 + 6n-1 + 15n-1 -1 -1 -1 (2n-1) + (3n-1) + (5n-1) b) 6 c) 30 d) 10 e) 18

E= a) x2

[ ]1 1- x

_____ ____ ___ xx+1

(x )

x2- 1 x-2

9. Calcular: _ _ __ 2 -1 2 R= 2 __ 2 a) 1/2 b) 2 c) 21 _ - __

b) xx

__ x c) x

2

2

d) 1

e) x

(

)

4. Simplificar la expresin: 1 _______________ _________ aa ___ a a -a a a 2a -1 y = aa aa aa . a-2a __ a) aa b) a2a c) a d) a

d) 2

e) 4

e) a-a

5. Simplificar:

10. Simplificar: _ -1 _________________ _ _ x x x __ x-1 x-1 E= x x __ __ __ a) x b) x c) 1 d) xx e) x5

(

)

( )n-1 n-1

(ab)-1 ab{(ab)3} E = -2n m 2n 1 m _ _ _ _ _ _ 1 1 2 (ab ab ) am bm

{[

{ [

1 1 2 5

][ ]}d) 1

]}

-2

11. Simplificar:

a) ab

a b) b

1 c) ab

_____ __ x . (x ) ( x ) 3 x2x-3 R = __ -n __ __ . ____ ______ -n -n __ -1 3 x-2 . x-2 x-2 144424443 xx10 n2 veces 2

[

n-1

n -12n

][ ] ()d) x e) 1

e) a

a) x6

b) x9

c) x3

- 35 -

12. Simplificar:4 -1/16 2 3 -11/6 2 3

-1 2 2 -2

17. Efectuar: 1 _____ __ 2 43 3 _______ _____ 3 ___ 4 8 27 271 - 2 1 6

( ) ________ _____ __ 3 43 3 ___ _____ ___ 4 9 64 27

{[(a ) ] } . a . {a [a (a ) ] } L =

[ 3

_______ _____ _ ______ _ _ __ __ __ __ __ 3 a a a a b) a8

] [ ]. d) a13 _7 ___ _ -1 7 -77 __

-12

________ ___ _______ _ _____ __ 3 3 a a-4

27

A=

[ ] [ ]b) 1/3 c) 1/9 d) 1/4 e) 2

a) a10 13. Calcular:

c) a12

e) 1

a) 1/2

y= a) 7

[ ] [ ]7___ 7 ___________ __

_ __

_7

18. Calcular: ________________ ______ __________________ _ ____

77

7

b) 1

__ c) 7

d) 49

e) 343

n n 32n + 8 + 16 90 + 16n - 32 25n-8 + 1 5 62n 8n + 4n C = n+1 3n+2 1-n 1-n 2 1 - 3 + n+1 3n+2 n-1 8 -2 3 +1

_________n

14. Sealar el exponente de x, despus de simplificar: __ 72 4 x ___

d) -2

a) 1

b) 0

c) -1

e) 1/2

6x __ 8 x P = __ 9 __ 3 x __ . x xa) 3 15. Efectuar: b) 2 c) 4

[ ]) 4 _ _ 3 4

19. Expresar en forma simplificada: ____________________________ _ ________________________ __________________ __________ ______ __ n n-1 n-2 3 L= x x x x x2 x __ __ __ n 2n a) xn x b) xn-1 x c) xn-1 x __ _ n2 d) xn2 e) x

d) 1

e) 5 20. Simplificar la expresin:16 - 30

J = _ 1_ _ (6 + 3 - 2 ) 2 _ _ 3 2 a) 2 b) 3 16. Efectuar:

(

[ ] [ ] [ ]_ c) 66

2 _ _ 4 4

3 _ _ 2 4

_ d) 26

_ e) 62

a) x-1 -1 1

x E= x __ 1 b) x c) x2 d) x

[ ]1 x x x-x2x2

____ __ _ _______ _______ ___ ___ ____ __

e) 1

R=

{

1 -1+ 1 -2 + 1 -2 1 - (3) 2 3 2 . 3 1 -1 -1 1 - ( 2) 1 -1 -1 -1 -1 + 2 +3 +6 2 5

[( ) ( ) ( ) ] ( )] ( )b) 16 c) 4 d) 9

[

( )

}

-2

21. Resolver la ecuacin exponencial: _ ____ __2

=

2__ 3

__ a) 1

2 b) 2

2 c)

a) 25

e) 81

1 d) 2

e) 2

- 36 -

L G E B R A

22. Hallar el valor de x y n en la siguiente igualdad: =2 __ b) x = 2 n=2 e) x = 2-8 n = 1/8 xn .x .. x x -2

28. Resolver y dar el valor de y en: (2x)x+y = (y)2x+yx 2x (2x) = y

( )

y

a) x = 2 n = 1/4 d) x = 2-5 n = 2-2

c) x = 2-8 n = 2-2

a) -3 4 29. Resolver:

9 b) 16

3 c) 4

-9 d) 16

9 e) 4

x2x-1 = 2 1 a) 2 30. Resolver: d) 81 e) 243 a) 2 22x+2 - 2 . 32x+2 = 6x b) 1 c) -2 1 d) 2 e) -1 2 1 b) 4 1 c) - 2 1 d) - 4 1 e) 16

23. Calcular x en: ________

a) 27

n

xn + 9n = 1 81n + xn 3 c) 3

b) 9

24. Calcular x despus de resolver: _ _____ 4 6 561 . 12x = 6x 1 a) 4 b) 4 c) 9 1 d) 9 e) 16

31. Si E = 16, calcular x siendo: E=4 .4 a) 2 b) -2xx -xx

. 4

x-x

. 4

-x-x

. 2

xx

25. Calcular el valor de a despus de resolver: aa = bb ab = 2a siendo a b. 1 a) 2 b) 2 1 c) 4 d) 8 e) 4

c) 3

d) -3

e) 4

32. Calcular el valor de: _______ _ _____ _ _ __ ___ _ __ ___ __ _ __ __ F= a b c b c a si abc = u8 a) u3 b) u5 c) u7

( )( )( )d) u9 e) u11

_____ ____ __ ___ _ __ __ c a b

26. Resolver y dar un valor de x en: (3x + y)x-y = 9 x-y ____ 324 = 18x2 + 12xy + 2y2 a) -3/4 b) -9/4 c) 5/4 d) 3/4 e) 9/4

33. Calcular el valor de A = xyz si: (0,1)0,4 (0,2)0,3 (0,3)0,2 (0,4)0,1 = 2x . 3y . 5z a) 0,1 b) -0,1 c) 0,12 d) -0,12 e) 1/5

34. Calcular el valor de n en:

27. Resolver la ecuacin exponencial: x __ 2 b) 22 x2x

=4 d) 2 1 e) 4 1 a) 2

{[ ] [ ] }81-8 -3 -1 -2

+ 27

-9

-2

-1 -4

n

__ 4 = 3 2 1 d) 9 1 e) 8

__ a) 2

1 c) 2

1 b) 3

1 c) 4

- 37 -

35. Hallar el valor numrico de: ___ ______ _ __ ____ __ 5 3 x x x R = ______ __ x5 x ___ 7 para x = 260

d) 32 e) 2

39. Calcular el valor numrico de: _________ _____ _ _ ________

-3/2

5

a) 4

b) 8

c) 16

36. Calcular Y = x-X , si se cumple que: x __ 5 b) 55 xx 5xx

_ a8 a-2b-12 C = 1 1 - 2 __ 2 1 32 ___ __ _ ___ a32 a2 a2 ________ _ _____ __

2

2

. para a = 2 b = 6 a) 4 b) 2 c) 8

(

a3 a a-1 d) 6

)e) 12

= 3 125 1 c) 5p

a) 5

d) 5

5

e) 5

-5

40. Hallar el valor numrico de: E = 223 . 156 - 223 . 134 - 22 . 119 + 104 . 8 - 103 . 30 a) 25 b) 32 c) 30 d) 7

37. Calcular el valor de E = P _ __ x si x =2 a) 64 b) 32 y

_ x _ x P = xx

e) 0

c) 16

d) 4

e) 2 1)C 7)C.

CLAVE DE RESPUESTAS 2)A 8)C 14)D 20)B 26)C 32)E 38)C 3)E 9)A 15)E 21)B 27)A 33)A 39)B 4)C 10)D 16)A 22)C 28)E 34)C 40)C 5)D 6)E

m siendo: 38. Calcular L = n __ . . __ 10.

11)C 12)D 17)D 18)A 23)A 29)B 24)B 30)C

__ _ m=

10

10

__ 5 n = 5 c) 2

_.. _ 5

13)B 19)C 25)C

__ a) 10

b) 10

d) 5

1 e) 5

31)A 37)D

35)A 36)C

- 38 -

L G E B R A

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADOEs una caractersticas de la expresin algebraica, que viene dados por el exponente de sus letras, el cual debe ser un nmero entero y positivo, y permite determinar el nmero de soluciones de una ecuacin. Puede ser de dos tipos: relativo y absoluto. El primero se refiere a una sola letra y el segundo a todas sus letras.

cuando tiene 2 trminos; trinomio cuando tiene 3 trminos, etc. Grado Absoluto de un Polinomio (G.A.P.). Est dado por el trmino que tiene mayor grado absoluto. Grado Relativo de un Polinomio (G.R.P.). Est dado por el trmino de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio. Ejemplo: Determinar los grados del siguiente polinomio. P = 4x4y3z5 + 8x5y4z6 + 9x6y2z8 Solucin: Como no se especifica qu grado debe darse, se obtendrn los dos grados: absoluto y relativo.

GRADOS DE UN MONOMIOMonomio. Es la mnima expresin algebraica que tiene un slo trmino algebraico. Como toda expresin algebraica tendr dos grados que son: Grado Absoluto. (G.A.). El grado absoluto de un monomio est dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Grado relativo. (G.R.). Est dado por el exponente de la letra referida a dicho monomio. Ejemplo: Determinar los grados siguiente monomio: M = 45x7y8z4 Solucin: Se debe dar como respuesta los dos grados es decir, el grado absoluto y el relativo. 1) G.A.M. = 7 + 8 + 4 = 19

Grado (1) Absoluto = de P

{

G.A. de 4x4y3z5 es 12 G.A. de 8x5y4z6 es 15 G.A. de 9x6y2z8 es 16

Luego: G.A.P. = 16

2)

G.R.M. =

{

GRx = 7 con respecto a x GRy = 8 con respecto a y GRz = 4 con respecto a z Grado (2) Relativo = de P

GRADOS DE UN POLINOMIOPolinomio.Es una expresin algebraica que tiene 2 o ms trminos algebraicos; recibe el nombre de binomio

{

Grado Relativo con respecto a x = 6 (por ser el mayor exponente) Grado Relativo con respecto a y = 4 (por ser el mayor exponente) Grado Relativo con respecto a z = 8 (por ser el mayor

- 39 -

EJERCICIOS RESUELTOS

y3b

Solucin:

m-1 + m 5m-4 - 4 6 3

1.- Hallar a y b si el Grado Absoluto del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el Grado relativo con respecto a x. Siendo el monomio: M = (a + b) x Solucin: DATOS: i) G.A.M. = 17 Efectuando: 2a - 2 + 3b = 17 Luego por el enunciado (1): 2a + 3b = 19 2(a - 1) + 3b = 17 ii) 2(a - 1) = a + b efectuando: 2a - 2 = a + b o tambin: De (II): a-b=2 a=2+b (II) (III) (I)2(a-1)

Simplificando la expresin: m m 5m-4 3 m-1 4 - x x = 3 x m-1 + 4 6 M= 5m-4 x 6

tambin: M = x

Para que la expresin sea de 6to. Grado el exponente debe ser igual a 6. m - 1 m 5m - 4 + - = 6 3 12 18 Dando comn denominador y eliminado denominadores: 12(m - 1) + 3m - 2(5m - 4) = 36 . 6 12m - 12 + 3m - 10m + 8 = 216 5m = 220 Rpta.: m = 44 3.- Hallar el grado absoluto de la expresin: ____ b+c ____ a+b wazc M = xcya si se cumple la siguiente expresin: (b + c) + (b - a) + (b - c) + (b + a) = 0 Solucin: El grado absoluto de M ser la suma de los exponentes de x, y, w, z. c + a c + a (c + a) (b + a + b + c) G.A.M. = + = a+b b+c (a + b)(b + c) (a + c)2 + 2b(a + c) G.A.M. = ab + ac + bc + b2 a2 + c2 + 2ac + 2ab + 2bc = b2 + ab + ac + bc de la condicin: 1 + 1 + 1 + 1 =0 b+c b-a b-c b+a (I)-1 -1 -1 -1

reemplazando (III) en (I): 2(2 + b) + 3b = 19 de donde: En (III): Rpta.: b=3 a=2+3=5 a=5 b=3 2.- Hallar el valor que debe darse a m para que la expresin:3

M= sea de 6to. Grado.

_________ ___ m-1 4 m x x _______ 6 5m-4 x

- 40 -

L G E B R A

Agrupando y efectuando de acuerdo a lo sealado grficamente: b-c+b+c b+a+b-a + = 0 b2 - c2 b2 - a2 2b 2b + = 0 2 2 2 b - c b - a2

de la condicin: 2 -1 +3 - 1 +4 -1 +5 -1 ++n +1-1=m 2 3 4 5 n+1 2 1 3 1 4 1 5 1 ++ n + 1 - 1 - + - + - + - =m 2 2 3 3 4 4 5 5 n+1 n+1 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ++ 1 - 1 =m 1 - 2 3 4 5 n+1 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 =m (1 + 1 + 1 + + 1) 1442443 2 3 4 5 n+1 n haciendo:

dividiendo entre 2b: 1 + 1 =0 2 2 2 b - c b - a22 b2 - a2 + b - c2 = 0 (b2 - c2)(b2 - a2)

(

)

1 + 1 + 1 + 1 + + 1 =p 2 3 4 5 n+1 n-p=m p=n-m (I)

Para que la expresin sea cero, el numerador debe ser cero, as: b2 - a2 + b2 - c2 = 0 2b2 = a2 + c2 Reemplazando (II) en el G.A.M. (I): 2b2 + 2ac + 2bc + 2ba G.A.M. = b 2 + ab + ac + bc 2(b2 + ac + bc + ab) = =2 b 2 + ab + ac + bc Rpta.: G.A.M. = 2 4.- Si se cumple que: 1 + 2 + 3 + + n =m 2 3 4 n+1 Hallar el grado de: xn+m M = 3 4 x x x . . . n factores Solucin: El grado pedido es: 1 + 1 + 1 + + 1 G.A.M. = n + m - 2 3 4 n+1 (II)

Sustituyendo en el G.A.M. = n + m - (n - m) = n + m - n + m = 2m Rpta.: G.A.M. = 2m 5.- Hallar el grado de la expresin: _____________ ________ ______________ 3 ________ 3 3 4 + 2 4 + 2 4 + M = 4a x

Solucin: El grado es el exponente de x: _____________ ________ ______________ 3 ________3 3

4 + 2 4 + 2 4 + = m

Elevando al cubo se obtiene: ____ ____________ _________ 3 3 4 + 2 4 + = m3 4+2 pero se puede reemplazar la raz por su valor que es m: 4 + 2m = m3 m3 - 2m - 4 = 0 probando para m = 2, se obtiene:

(

)- 41 -

(2)3 - 2(2) - 4 = 0 Rpta.: G.A.M. = 2

6.- Calcular el valor de m si el grado de la expresin es de 7mo. Grado: -1 __ -m m m m m m 3 m 3m x x x __ m m M= x4 . x

Para determinar el grado relativo de y (G.R.y) en el monomio M1 se calcula el exponente de y: b3 + 1 (b + 1)(b2 - b + 1) = G.R.y = ab2(b + 1) (b + 1)ab 2 b2 - b + 1 = 2 2 ab2 ab ab Se observar que tiene el mismo valor que el G.R.x, es decir = 10, luego: 1 - 1 + 1 = GR = 10 GRy = x a ab ab2 Rpta.: GRy M1 = 10 8.- Hallar el grado absoluto de la expresin: __ n 6 x y M = _________________ n+1 2 2n+1 x . x4 . x9 xn _1 ( 2) 2 n 16 3

m

(

)

Solucin: Multiplicando los ndices de los radicales mayores: 1 -1 m __ -1 -1 -1 -m m . m = m-m . m m = m-m . mm = m0 = 1 Luego la expresin propuesta es igual a: _________ _____1 x x xm . xm . x m2 x M = = __ m m x4m . x x4 . x m

m

3m

3

3m3

(

)

xm . x1/m . x3m = x4m . x11 -1 m M=x

(

)

[

]

Dato: n(2n + 1)(n + 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = 6 Solucin: Transformando la expresin:n _ _ y6 M = ______________ n+1 2 2 2 2 2n+1 x1 + 2 + 3 + + n

de acuerdo con el dato: 1 - 1 = 7 ; 1 =8 G.A.M.: m m 1 Rpta.: M = m 7.- Si el grado relativo a x en el monomio: _________ ______ ___ _____ _____ a a __ __ b b b b x y z y z x M = __ b+1 __ ab x y

_

x2 n

1 8

16

[

]

es igual a 10, hallar el G.R. respecto a y en el monomio. M1 = Solucin: Para determinar el G.Rx en el monomio M se calcula el exponente de x: 1 1 1 G.Rx: + - = 10 2 a ab ab (I)

[

2 ab

______ _ __ b+1 x y

]

3 b +1

n _ _ y6 M = 1 (2n + 1)(n + 1) n(2n + 1)(n + 1) 6 x 4 x2 n (2 )

_

1 8

[

]

n _ _ _ _ x2 n 2 y 6 M = n x6 __ __ n - n = 2n El G.A.M. = 2 n 2 + 6 6

Rpta.: G.A.M. = 2n

- 42 -

L G E B R A

9.- Hallar el coeficiente del monomio: M=9a

DATOS: Por dato (1), la diferencia de exponentes de x es 12: GRx : n - (1-m) = 12 n - 1 + m = 12 n + m = 13 ()

( )

1 - x3a+2b y3a-b 3

b

Si su grado absoluto es 8 y el grado relativo respecto a y es 1. Solucin: Por primer dato: es decir la suma de exponentes de x es y es 8: G.A.M.: 3a + 2b + 3a - b = 8 6a + b = 8 ()

Por dato (2), la diferencia de exponentes de y es 10: GRy: m - (n - 3) = 10 m - n + 3 = 10 m-n=7 Sumando () y (): 2m = 20 ; m = 10 ()

Por segundo dato: es decir el exponente de y es igual a 1: G.R.y : 3a - b = 1 Sumando () y (): 9a = 9 En (): 6(1) + b = 8 ; b=2 ; a=1 ()

reemplazando en (): n + 10 = 13 Luego: G.R.z = 5n - (m - 2) = 5n - m + 2 Sustituyendo los valores de m y n: G.R.z = 5(3) - 10 + 2 G.R.z = 7 11.- Hallar el valor de m para que la siguiente expresin sea de 2do. grado absoluto: ; n=3

Sustituyendo estos valores en el coeficiente: 9 se tiene: 9a a

1 (- 3)

b

( ) ( ) ( )

1 = 1 - 1 = 1 =1 - 9 9 3 3 9 M=

b

2

Rpta.: Coeficiente = 1 10.- En el siguiente monomio: xnymz5n M = x1-m yn-3 zm-2 El grado relativo respecto a x es 12, el grado relativo respecto a y es 10, hallar el grado relativo respecto a z. Solucin: Para hallar el grado respecto a z debe de calcularse los valores de m y n. Solucin:

[)

a

4

(a-2 bm/5)-1/2 __________ ______3

3

___________

a0 bm/5

]

Trabajando con el numerador: ______ ____

3

(a-2 b

1 - 2 m/5

2 5 2 1 m - = a 3 b 3 = a 3 b 30

1 (-2)

( ) (m )( 1 )

Trabajando con el denominador: ___________ _ _______4

a3

m 3 m - - 5 4 40 a b =a b 0

- 43 -

Reemplazando los equivalentes en la proposicin1 m -3 1 3 m m a 3 b 30 + - - M = = a 3 4 30 40 3 m b a4 b 40

-3 5 4 m 4

[ ][[-3

]

13.- Si anbn = kn donde k es una constante, calcular el G.A. de: ____ _______ ___________ n 2n k +b kn + a2n M= = a-2n kn + 1 b-2n kn + 1

Solucin: Trabajando con cada expresin. ____ _______ ___________ n 2n k +b anbn + b2n M1 = = a-2n kn + 1 b-2n anbn + 1 ____________ =

-5 -10m M = a 12 b 120

] = [a b- ] = a b-3

-5 12

m 12

Por el Dato G.A.M.: 5 + m = 2 4 4 Rpta.: m = 3 12.- Hallar la suma de los grados relativos respecto a x e y en la siguiente expresin: (x + y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn + yn) M = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x y x2 y2 x3 y3 x4 y4 xn yn ; 5+m=8

M1 =

bn (an + bn) bn + 1 an ________ _ _____ bnan(an + bn) (bn + an) __

( )( )( )( ) ( )

M1 =

bnan = b 2 a 2

n n

an(bn + an) n a +1 bn

n(n+ 1) Dato: 1 + 2 + 3 + 4 n= 2 Solucin: Operando con el denominador, se obtiene: (x + y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn + yn) M = x + y x2 + y2 x3 + y2 x4 + y4 xn + yn 2 2 3 3 4 4 xy xy xy xy xnyn

M2 =

____ __ _______ n n a b + a2n = a-2n anbn + 1 ________ _____ anbn(an + bn) (an + bn)

___________

=

( )( )( )( ) ( )

n n _ _ M2 = a 2 b 2

por lo tanto: n + n = 2n = n G.A.M1 = 2 2 2 n + n =n G.A.M2 = 2 2 Rpta.: G.A.M. = n 14.- Calcular el valor de x e y en el monomio: _______ 3 ax+y by+6 M = a2/3 b1-y si es de 2do. grado respecto a a y de 7mo. grado absoluto.

Simplificando se obtiene: M = (xy)(xy)2(xy)3(xy)4 (xy)n = (xy)1+2+3++nn(n+1)

M = (xy)

2

n(n+1)

=x

2

y

2

n(n+1)

Luego el grado absoluto es la suma de los exponentes: n(n + 1) n(n + 1) 2n(n + 1) G.A.M. = + = n(n + 1) 2 2 2 Rpta.: G.A.M. = n (n + 1)

- 44 -

L G E B R A

Solucin: i) Por el dato (1): x+y 2 G.A.M2 = - = 2 2 2 ii) Por dato (2): G.A.M.: x+y 2 y+6 - + - (1 - y) = 7 3 3 3 reemplazando () en () se obtiene: y+6 2 + - (1 - y) = 7 3 y+6 - (1 - y) = 5 3 y + 6 - 3(1 - y) = 15 Rpta.: y = 3 () ()

Operando: (m + n)2 (m + n)2 - (m - n) 2mn(m - n)2 (m + n)2 dividiendo todo entre : m-n 1 = 0 2mn(m - n) ; 2mn(m - n) - 1 = 0

1 2mn (m - n) = 1 ; mn (m-n) = 2 1 Rpta.: 2 16.- Hallar el grado de la siguiente expresin algebraica:1 1+ 1 1 1+ 2

1 1+ 3

1 1+ n

M= x+3 2 En (): - = 2 3 3 Rpta.: x = 5 15.- Si m > n > 0 y la expresin: ______________ (xm+n + ym-n)m+n M = 2mn m+n m+n m-n m-n m-n m+n y +zm-n

x2 . x4 . x6 . x2n

Solucin: Operando:

M=

( )( )( ) ( )1 1 + 1 1 1 1 1 + 1 + 1 + n 2 3

x2+4+6+8++2n

el ndice se tiene: 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 (1 + ( n ) 1 )( 2 )( 3 )( 4) 3 4 5 + 1 = 1 = ( 21 )( (n n ) n+ 2 )( 3 )( 4 ) 1 en el exponente de x se tendr: 2 + 4 + 6 + 8 + +2n = 2(1 + 2 + 3 + 4 + n) n+1 = 2(n) 2

(

)

es de grado absoluto cero, calcular: p = m . n(m - n) Solucin: Para determinar el grado de M, debe hallarse los mayores exponentes tanto en el numerador como en el denominador; la diferencia de estos exponentes es el G.A.M. G.A.M.: (m + n)(m + n) (m + n)(m + n) (m - n)(m - n) - = 0 m-n 2mn

( )

reemplazando, la expresin compleja se transforma en:n(n+1) n(n+1) M = x = x (n+1) = xn n+1

Rpta.: G.A.M. = n

- 45 -

17.- Dado el polinomio: P = 2xab-4

+ 4(xy)ab-4

+ 3ya

2(b-4)

+ 5y4+a

b-4

Por dato y recordando que el grado absoluto del polinomio es igual al grado del trmino, de ms alto grado:

Si la suma de los grados absolutos de todos los trminos del polinomio es (a6+2)2 calcular el valor de b. Solucin: Llamando I, II, III y IV a los trminos del polinomio. El grado absoluto de cada trmino es: G.A.T. (I) G.A.T. (II) G.A.T. (III) G.A.T. (IV) = ab-4 = a2(b-4) =ab-4

G.A.P .

G.A.P.: +ab-4

{ }G.A.t (I) =m+n+1-3 =m+n -2 G.A.t (II) = m + 2 + n - 1 =m+n+1 G.A.t (III) = m + 3 + n - 2 =m+n+1 m+n+1=8 m+n=7

=m+n+1

()

= 4 + ab-4

Por dato y recordando que G.R. y es igual al grado del trmino de ms alto grado relativo:

La suma de los grados absolutos segn enunciado es: ab-4 + a2(b-4) + ab-4 + ab-4 + 4 + ab-4 = (a6 + 2)2 en el primer trmino haciendo: ab-4 = y, se obtiene: y + y2 + y +y +4 + y = (a6 + 2)2 y2 + 4y + 4 = (a6 + 2)2 (y + 2)2 = (a6 + 2)2 de aqu: y+2=a +2 Reponiendo valor de y: ab-4 = a6 igualando exponentes: b-4=6 Rpta.: b = 10 18.- Calcular m y n para que el polinomio: P = 3xm+1 6

G.R.y:

{ }n-3 n-1 n-2

=n-1=5 n=6

En (): m+6=7 m=1 Rpta.: m = 1, n = 6 19.- Dados los siguientes polinomios:

y=a

6

P = 5xm+11 yn-3 +7xm+7 yn-2+6xm+2 yn+1 Q = 2x2m+6 yn+2+12x2m+2 yn+7+8x2m yn+10 Determinar el G.A. del polinomio Q, sabiendo que: el grado absoluto de P es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q es 4. Solucin: Por el dato (1):

y

n-3

+ 7x

m+2

y

n-1

+ 11x

m+3

y

n-2

G.A.P.

sea de grado absoluto 8 y de grado relativo respecto a y igual a 5. Solucin: Llamando I, II y II, a los trminos del polinomio.

{

G.A.t (I) G.A.t (II) G.A.t (III)

=m+n+8 =m+n+9 =m+n+3

}

m+n+9

Por dato (1): G.A.P.: De donde: m + n + 9 = 16 m+n=7 ( )

- 46 -

L G E B R A

Por el dato (2): menor exponente de y en Q: n+2=4 En (): n=2 m+2=7 m=5 El grado absoluto de Q es: G.R.y: G.R.x:

{ } { }m+n-2 m+n+5 m+n-6 m-3 m-4 m+2 n=2

=m+n+5

=m+2

Por dato (1) : G.R.x - G.R.y = 5 ; esto es:

G.A.Q.

{

G.A.t (I) = 2m + n + 8 G.A.t (II) = 2m + n + 9 G.A.t (III) = 2m + n + 10

}

(m + n + 5) - (m + 2) = 5 ; 2m + n + 10 de aqu:

Por el dato (2): el menor exponente de y es: m-4=3 Luego: m = 7

reemplazando valores de m y n: G.A.Q. = 2(5) + (2) + 10 = 22 Rpta.: G.A.Q. = 22 20.- Si en el polinomio: P = 4xm+n-2 ym-3 +8xm+n+5 ym-4 + 7xm+n-6 ym+2

De acuerdo con el pedido, el G.A.P. es igual al mayor grado de todos los trminos, es decir:

G.A.P . se verifica que la diferencia entre los grados relativos de x y es 5 y adems que el menor exponente de y es 3. Hallar su grado absoluto. Solucin: Por el dato (1)

{

G.A.t (I)

= 2m - 5 + n

G.A.t (II) = 2m + n + 1 G.A.t (III) = 2m + n - 4

}

= 2m + n + 1

= 2(7) + 2 + 1 = 17

Rpta.: G.A.P. = 17

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Si el monomio: M = 26

a

b 2 xb y xa yb

es de grado absoluto 4, y los grados relativo a x y son iguales. Calcular el valor de: E = 3b - 2a a) 4 a) 1 b) 5 c) -4 d) -1 e) -2

___ { [ ( a ) ] } M = {[ b ] }-2 -x x x 4 -4 -x2 1 x

sea de grado 120? b) 5 c) 2 d) 3 e) 7

2. Qu valor debe tomar x para que el monomio:

3. Hallar el valor de m de tal manera que la expresin:

- 47 -

[a) 10

_________ _____ _ __ a a2 a3 a3(a2)[(a1/2)1/3]1/2

]

-m

e) 120

8. Hallar el valor de m si la expresin:mm

1 e) 4

M= es de grado 32.

m-m 3m m xm x(m )

sea de grado 120 b) 20 c) 30 d) 40

a) 4

b) 2

c) 2

1 d) 2

4. Hallar el grado del siguiente monomio: _____________ __ ____ _______ ______ 3 3 3 M = 7x 6 + 6 + 6 +

9. Cuntas letras se deben tomar en el siguiente monomio: M = a6 b24 c60 d120 para que su grado sea 6 006? e) 6 a) 12 b) 10 c) 15 d) 13 e) 11

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

5. Hallar el grado del nomonio: M = 4x(bc) y(ac) z(ab) si se cumple: yz - a2 = xz - b2 = xy - c2 = x2 + y2 + z2 - d2 = 0 y adems abcd = m a) m b) m2 c) m4 d) m8 e) m124 4 4

10. Hallar el grado de la expresin: M = 5x a) 2

10 -

4 -

6 +

6 +

6

+ veces

b) 3

c) 5

d) 10

e) 4

11. Si el grado absoluto de la expresin:3 (xyz) p+q+r (a + b + c)++ M =

6. Hallar el grado de la expresin: M=

-2 4

xn+m yn-m+2 z2n xn-m ym+n+2 z2m ; c) 3 m = 32-3 125 -10

(x + y + z)p+q es nulo, hallar el valor de: + J = a) r b) p + q c) -r

z

-1

siendo n = 16 a) 5 b) 4

d) 2

e) 1

d) -1

e) -q

7. Hallar el valor de: V=

(

2 11

) ( ) (+

-2

4 -1+ 11

1 - 3 17

)

-3

. a

siendo el valor de a el que se obtiene, para que la expresin: 3 a-2 x x3a M = xa+1

12. Si m > n > 0 y la expresin: m-n m-n (m-n)n xm+n + ym-n E = m-n 2mn m+n m-n m-n 2 2m-1 2m-2 m-n m+n x +z y +z

[

]

[

][

]

es de grado nulo. Calcular: m + n E = n m

sea de primer grado. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 16

a) 5

b) 4

c) 6

d) 7

e) 3

- 48 -

L G E B R A______ m+n m+n

13. Si A =

(

2

)

m2-n2

P (x,y) = 3xn+7 ym-1 + 6xn+8 ym + 5xn ym+1 Q (x,y) = 4xm+1 yn + 7xm+2 yn+1 + 8xm+3 yn+2

hallar el grado de: m+n m-n m+n m-n m-n A +A m+n M = m + n 2m m-n m-n

[

](1 2

)

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

18. Hallar E = m + n si el G.A. del polinomio: P (x,y) = 4xm+3 yn-2 + 5xm+1 yn+1 + 7xm yn+2 es de grado absoluto 8 y el grado relativo a x supera en una unidad al grado relativo a y. a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 10

(

)

a) 1

b) 2

c) m

d) m-n

e) 0

14. Hallar el valor de m para que el monomio: 2 3 x 3 xm x M = 3 xm x-3 sea de segundo grado.

[

]

19. Calcular el valor de x para que la expresin sea de segundo grado:x x M = a a2

a3 axd) 4

x

x

e) 5

a) 1 a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7 15. Hallar m y n si el polinomio: P (x,y) = 4x2m+n-4 ym+n+2 + 7x2m+n-3 ym+n+1 + 9x2m+n-2 ym+n es de grado absoluto veintiocho y la diferencia de los grados relativos de x y es 6. Dar m + n a) 10 b) 12 c) 8 d) 14 e) 16

b) 2

c) 3

20. Si el grado absoluto de: M1

xa yb z w = ab

b

a

a b

______ xa2 yab

16. Se tienen dos polinomios P y Q, si el polinomio P es de grado 10 respecto a x. En el polinomio Q el grado respecto a x es 5 grados menos que el grado respecto a y. Hallar el grado respecto a y en el polinomio Q, siendo: P (x,y) = xm2 +1

es igual a 7, hallar el grado respecto a x en el monomio: a xya zb4 M2 = b

xy

2 b

(z ) (z )

-1 a3

-2 a3

a) 5

b) 4

c) 3

d) 6

e) 7

yn-1 + 3xm yn-6

2-1

yn+1 + 7xmn-2

2+1

yn CLAVE DE RESPUESTAS 1) A 6) D 11) C 16) B 2) B 7) A 12) C 17) C 3) D 8) A 13) E 18) D 4) B 9) E 14) C 19) C 5) C 10) B 15) A 20) E

Q (x,y) = 2x a) 10 b) 5

m+7

- 5x

m

y

+ 9x

m-1

y

n-3

c) 15

d) 12

e) 2

17. Determinar el grado absoluto de Q, si el grado absoluto de P es 20 y el mayor exponente de y en Q es 10.

- 49 -

NOTACIN POLINMICA

Notacin polinmica es la representacin de un polinomio, mediante sus variables y constantes. Se denomina variable a toda magnitud que cambia de valor, se le representa por las ltimas letras del abecedario: x,y,z, etc. Se denomina constante a toda magnitud que tiene un valor fijo, no cambia su valor; se le representa por las primeras letras del abecedario: a,b,c, etc.

VALOR NUMERICO DE UN POLINMIOEs el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en l valores asignados a sus variables. Ejemplo.- Sea el polinomio: P(x, y) = x2 + y2 - 5 hallar P(2,4) Solucin: Se reemplaza los valores de x e y, as: P(2,4) = 22 + 52 - 5 = 4 + 25 - 5 = 24 CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO Es la expresin que se obtiene al cambiar la variable del polinomio por otra. Ejemplo: Sea el polinomio: P(x) = 4x2 + 5x + 6

POLINOMIOPolinomio es una expresin que consta de ms de un trmino general, un polinomio se representa de la siguiente manera: P (x, y) , se lee polinomio en x,y. donde P es el nombre genrico: (x, y) son las variables x y. Por lo tanto: P(x,y), significa que el polinomio es de nombre P y de variables x, y. Ejemplos: i) P(x,y) = 4x + 5y + 7 ii) P(x, y, z) = 4x3 + 7xy + 6z2 iii) P(x) = 4x3 + 5x2 + 7x En general se tendr:2 2

calcular P(y + 1) Solucin: Se reemplaza x por y+1; as:

P (x,y,z) 123

= ax + by + cz

2

3

5

P(y + 1) = 4(y + 1)2 + 5(y + 1) + 6 efectuando operaciones: P(y + 1) = 4(y2 + 2 + 1) + 5y + 5 + 6

nombre genrico

variables

constantes

P(y + 1) = 4y2 + 8y + 4 + 5y + 11 P(y + 1) = 4y2 + 13y + 15

- 50 -

L G E B R A

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Calcular: E = Q [P(-2)] siendo: P (x) = 3x3 + 5x2 + 2x + 8 y: Q(x) = (2x + 1) (5x - 1)n 2 2n-1

x - 1 , calcular: 3.- Si P (x) = x + 1 R = P{P[P(25)]} Solucin: Calculando por partes:n n

+ (x + 5) (x + 1) + (2x + 5) (x - 1)

25 - 1 24 24 P(25) = = = = 4 25 + 1 5 + 1 6 4-1 3 3 P[P(25)] = P [4] = = = = 1 4+1 2+1 3 1-1 0 P{P[P(25)]} = P[1] = = = 0 1+1 2 Rpta.: E = P{P[P(25)]} = 0 4.- Si P ( x ) = x(2 - x) + 5, calcular:

Solucin: Clculo de P (-2): P(-2) = 3(-2)3 + 5(-2)2 + 2(-2) + 2(-2) + 8 = -24 + 20 - 4 + 8 = 0 P(-2) = 0

Clculo de Q [P(-2)] Q [P(-2)] = Q[0] = (0 + 1)n (0 - 1)2n-1 + (0 + 5)n (0 + 1) + (0 + 5)n(0 - 1) Q[0] = (1)n (-1)2n-1 + 5n + 5n(-1) Solucin: Q[0] = (1) (-1) + 5n - 5n = -1 Rpta.: E = Q [P(-2)] = - 1 2.- Si P (x) = x2 - x + 2, calcular: R = P{P[2 - P(-1)]} Solucin: Clculo de P (-1): P(-1)