algebra divertida

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Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solucin de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una aficin para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carcter. Por ello, un profesor de matemticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matar en ellos el inters, impedir su desarrollo intelectual y acabar desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos plantendoles problemas adecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podr despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemticas tiene tambin una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro est, si ve las matemticas como una materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volver a ocuparse una vez pasado ste. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemticas puede ser tanto o ms divertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemticas, ya no las olvidar fcilmente, presentndose entonces una buena oportunidad para que las matemticas adquieran un sentido para l, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesin, o su profesin misma o la ambicin de su vida.

G. POLYA

INTRODUCCINLGEBRA es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible. El concepto de la cantidad en lgebra es mucho ms amplio que en Aritmtica. En Aritmtica las cantidades se representan por nmeros y stos expresan valores determinados. As, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nmero distinto de 20. En lgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. As, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestra eleccin, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Los smbolos usados en lgebra para representar las cantidades son los nmeros y las letras. Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar distintos valores diferencindolos por medio de comillas ( a, a,a) o tambin por medio de subndices ( X1, X2, X3 ). Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacer las mismas operaciones que con los nmeros aritmticos.

1) Escribir la suma de A y B. 2) Compro X libros por Bs m. Cunto me cost cada libro?. 3) Tena Bs 9 y gast Bs X. Cunto me queda? 4) Escriba la diferencia entre m y n. 5) Deba X bolvares y pagu 6. Cunto debo?

A+B Bs (m / X ) Bs ( 9 X ) mn Bs ( X 6 ) ( X m ) km. X+2

6) De una jornada de X kilmetros se han recorrido m kilmetros. Cunto falta por recorrer?

7) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enteros consecutivos posteriores.

X + 1,

8) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enteros consecutivos anteriores.

X - 1, X 2

9) Siendo Y un nmero entero par, escriba los tres nmeros pares consecutivos posteriores.

Y + 2, Y + 4, Y + 6 Bs ( A + X + m ) Bs ( X + 9 Y )

10) Jaimito tena Bs A, cobr Bs X y le regalaron Bs m. Cunto tiene Jaimito? 11) Arturo tena Bs X, gan Bs 9 y pag Bs Y Cunto tiene Artturo?

12) Al vender un carro en Bs X gan Bs 300.000 Cunto me cost el carro?

Bs ( X 300.000)

13) Si han transcurrido X das de un ao. Cuntos das faltan por transcurrir?

( 365 X ) das.

14) Si un pantaln cuesta $ b Cunto costarn 8 pantalones; 15 pantalones; X pantalones.?

Ejemplos:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

$ 8b; $ 15b; $ XbING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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-2-

Para que el alumno tenga una visin mas profunda del lgebra me permito recomendar la lectura y anlisis del captulo PRELIMINARES ( pgina 5 hasta pgina 39 ) del reconocido libro LGEBRA DE AURELIO BALDOR, de donde han sido extrados los enunciados de los problemas que se resuelven en esta gua para estudiantes.

Para determinar cul es el capital inicial del comerciante no queda ms que resolver la ltima ecuacin. ( Capital inicial X = 1.120 ,oo)

LA VIDA DE DIOFANTOLa vida ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto, notable matemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico. Reproducimos esta inscripcin: En la lengua verncula:CAMINANTE! AQU FUERON SEPULTADOS LOS RESTOS DE DIOFANTO. Y LOS NMEROS PUEDEN MOSTRAR, OH, MILAGRO!, CUN LARGA FUE SU VIDA. CUYA SEXTA PARTE CONSTITUY SU HERMOSA INFANCIA. HABA TRANSCURRIDO ADEMS UNA DUODCIMA PARTE DE SU VIDA, CUANDO DE VELLO CUBRISE SU BARBILLA Y LA SPTIMA PARTE DE SU EXISTENCIA TRANSCURRI EN UN MATRIMONIO ESTRIL. PAS UN QUINQUENIO MS Y LE HIZO DICHOSO EL NACIMIENTO DE SU PRECIOSO PRIMOGNITO. QUE ENTREG SU CUERPO, SU HERMOSA EXISTENCIA, A LA TIERRA, QUE DUR TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU PADRE Y EN PROFUNDA PENA DESCENDI A LA SEPULTURA, HABIENDO SOBREVIVIDO CUATRO AOS AL DECESO DE SU HIJO.

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONESEl idioma del lgebra es la ecuacin. Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma algebraico, escribi el gran Newton en su manual de lgebra titulado: Aritmtica Universal.. Isaac Newton mostr con ejemplos cmo deba efectuarse la traduccin. He aqu uno de ellos: En la lengua VernculaUn comerciante tena una determinada suma de dinero El primer ao se gast 100 libras Aument el resto con un tercio de ste Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras Y aument la suma restante en un tercio de ella Llegando as su capital a tres medios del inicial

En el idioma del lgebra:X

En el idioma del lgebra

X 6 X 12 X 7 5

X

X 100 (X-100) + X-100 3 4X 400 34X 700 + 3

= 4X 400 3

- 100 = 4X - 700 34X 700 3

X 2

= 16X - 2.800 9

316X - 2.800 9 = 3X 2

X=X+ X +X+5+X+4 6 12 7 2

Dime cuntos aos haba vivido Diofanto cuando le lleg la muerte. -3ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-4-

Al resolver la ecuacin y hallar el valor de la incgnita, X = 84, conocemos los siguientes datos biogrficos de Diofanto: se cas a los 21 aos, fue padre a los 38, perdi a su hijo a los 80 y muri a los 84.

Se recomienda a los estudiantes que en todos los ejercicios que se propongan resolver, sigan los cinco (5) pasos indicados y de esa manera notarn lo til que resultan. Es bueno recordar que existen tres mtodos para resolver un sistema de ecuaciones, a saber, el mtodo de igualacin, el mtodo de sustitucin (utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el mtodo de reduccin (utilizado en el ejercicio # 2). Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones consulte las pginas 321, 322, 323, 340 y 341 del lgebra de Baldor. Con la hoja de clculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER.

Para resolver cualquier problema con las herramientas del lgebra se recomienda seguir los siguientes pasos:1.- Identificar el problema ( Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver ). 2.- Identificar las incgnitas ( Asignar letras a las cantidades desconocidas ). 3.- Expresar el problema en lenguaje algebraico ( Construir ecuaciones utilizando nmeros para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras sern las indicadas en el paso anterior ). 4.- Resolver el problema ( Resolver la ecuacin o sistema de ecuaciones ). 5.- Comprobar los resultados ( introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen). Partiendo de la premisa que el inters primordial de este trabajo es el de ayudar metodolgicamente a los estudiantes, se har nfasis especial en el segundo y tercer paso (Identificar las incgnitas y Expresar el problema en lenguaje algebraico) y se indicarn los resultados, dejando la posibilidad de qu e el usuario practique la secuencia de resolucin en algunos ejercicios. De la misma forma, algunas veces, se dejarn en blanco los pasos 1 y 5 para que el estudiante se ejercite. Lo que se quiere transmitir es que la esencia para resolver un problema en lgebra est representada en identificar las incgnitas y saber expresarlo en lenguaje algebraico. La herramienta para resolverlo puede ser manual o en computadora (el resultado ser el mismo) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -5-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-6-

EJERCICIO # 1La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos nmeros conociendo el

EJERCICIO # 2La suma de dos nmeros es 540 y su diferencia es 32. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos nmeros conociendo el

producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

producto de su suma y su diferencia.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero menor. Y = Nmero mayor.La suma de dos nmeros es 540:

X = Nmero mayor. Y = Nmero menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de dos nmeros es 106:

X + Y = 106 Y=X+8

(1)

X + Y = 540 X Y = 32

(1)

El nmero mayor excede al menor en 8:RESOLVER EL PROBLEMA:

La diferencia de estos mismos nmeros es 32: (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) X + (X+8) = 106 2X = 106 8 ; 2X = 98 ; X = 98 / 2 ; X + X + 8 = 106

Sumando estas dos ecuaciones: X + Y = 540 X Y = 32 2X = 572 X = 572 / 2 Si X = 286 y X + Y = 540 286 + Y = 540 ; Y = 540 286 ; ;

X = 49 Y = 57

X = 286

Si X = 49

y Y=X+8

;

Y = 49 + 8

Y = 254

Los dos nmeros buscados son 57 y 49COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos nmeros es 106,

Los nmeros buscados son 286 y 254COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos nmeros es 540,

(49+57=106). El nmero mayor excede al menor en 8, (57=49+8).

(286+254 = 540) y su diferencia es 32, (286-254 = 32) -7-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-8-

EJERCICIO # 3Entre A y B tienen $ 1.154 y B tiene 506 menos que A. Cuntos $ tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar la cantidad de $ que tienen dos

A + B = 1.154 - A + B = - 506 2B = 648 B = 648 / 2 ; B = 324 ; y como A + B = 1.154 ; A = 830

A + 324 = 1.154

A = 1.154 324

personas conociendo la cantidad total y la diferencia de las dos cantidades individuales.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS: Entre A y B tienen $ 1.154, (830 + 324 =

1.154) y B tiene 506 menos que A. (324 = 830 506). A tiene $830 y B tiene $324

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EJERCICIO # 4Dividir el nmero 106 en dos partes, tales que la mayor exceda a la menor en 24.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Entre A y B tienen $ 1.154: B tiene $ 506 menos que A:RESOLVER EL PROBLEMA:

A + B = 1.154 B = A - 506

(1) (2)

Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) A + (A - 506) = 1.154 ; 2A = 1.154 + 506 A = 1.660 / 2 Si A = 830 y B = A 506 B = 830 506 : ;

X = Parte mayor. Y = Parte menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = 830 B = 324

Dividir el nmero 106 en dos partes: Tal que la mayor exceda a la menor en 24:RESOLVER EL PROBLEMA:

X + Y = 106 X = Y + 24

(1) (2)

Tambin se puede resolver con un enfoque similar al ejercicio anterior, para lo cual podemos colocar en el lado izquierdo de la igualdad de la segunda ecuacin a la variable A y despus sumar las dos ecuaciones. Como B = A 506 ; - A + B = - 506ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1 y 2. Utilice cualquiera de los dos mtodos indicados en dichos ejercicios.

X = 65-9-

;

Y = 41ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-10-

Los dos nmeros que cumplen con las condiciones del problema son 65 y 41COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 6Repartir $ 1.080 entre A y B de modo que A reciba 1.014 ms que B.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valores X=65 , Y=41 . Verifique que las igualdades se cumplen.

EJERCICIO # 5A tiene 14 aos menos que B y ambas edades suman 56 aos. Qu edad tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que le tocan a B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Repartir $ 1.080 entre A y B:

A + B = 1.080 A = B + 1.014

(1) (2)

A = Edad de A. B = Edad de B.

De modo que A reciba 1.014 ms que B:RESOLVER EL PROBL EMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene 14 aos menos que B: Ambas edades suman 56 aos:RESOLVER EL PROBLEMA:

A = B - 14 A + B = 56

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la del ejercicio 3. Utilice cualquiera de los dos mtodos indicados en dicho ejercicio. (1) (2)

A = 1.047

;

B = 33

A recibir $ 1.047 y B recibir $33COMPROBAR LOS RESULTADOS: Lea el enunciado del ejercicio y verifique

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1, 2 y 3. Utilice cualquiera de los dos mtodos indicados en dichos ejercicios.

si con estos valores se cumple lo indicado.

A = 21

;

B = 35

EJERCICIO # 7Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 103.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A tiene 21 aos y B tiene 35.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valores A=21 , B=35 . Verifique que las igualdades se cumplen. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -11-

-12-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X.

RESOLVER EL PROBLEMA:

X + X + 1 + X + 2= 204 ; 3X + 3= 204 ; X= 201 / 3

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = 67 ; (X + 1) = 68 ; (X + 2) = 69Los tres nmeros buscados son 67, 68 y 69 (1)COMPROBAR LOS RESULTADOS: 67 + 68 + 69 = 204

Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 103:

X + (X+1) = 103RESOLVER EL PROBLEMA:

X + X + 1 = 103

;

2X = 103 1

;

X = 102 / 2

EJERCICIO # 9Hallar cuatro nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 74.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 51

;

(X + 1) = 52

Los dos nmeros buscados son 51 y 52COMPROBAR LOS RESULTADOS: 51 + 52 = 103.

EJERCICIO # 8Hallar tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 204.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X. (X+2) = Nmero consecutivo a X + 1. (X+3) = Nmero consecutivo a X + 2.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar cuatro nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 74:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X. (X+2) = Nmero consecutivo a X + 1.

X + (X+1) + (X+2) + (X+3) = 74RESOLVER EL PROBLEMA:

(1)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Trate de resolverlo atendiendo los pasos de los tres ejercicios anteriores.

X = 17

;

(X + 1) = 18

Hallar tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 204:

(X + 2) = 19(1) -13-

;

(X + 3) = 20-14-

X + (X+1) + (X+2) = 204ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los cuatro nmeros buscados son 17, 18, 19 y 20ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS: 17 + 18 + 19 + 20 = 74

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 10Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Costo del caballo. B = Costo del coche. C = Costo de los arreos.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Pagu $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos:

X = Cualquier nmero entero par (X+2) = Nmero par consecutivo a X.

A + B + C = 325 A = B + 80 C = B - 25

(1)

El caballo cost $ 80 ms que el coche:

(2)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Los arreos costaron $ 25 menos que el coche:RESOLVER EL PROBLEMA:

Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos cuya suma sea 194: X + (X+2) = 194 (1)RESOLVER EL PROBLEMA:

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) (B + 80) + B + (B 25) = 325 ; 3B = 270 Como A = B + 80 ; A = 90 + 80 ; C = 90 25 ; 3B + 80 -25 = 325 ; B = 270 / 3 ;

Utilice los mismos pasos de los tres ejercicios anteriores

X = 96

;

(X + 2) = 98

B = 90

Los nmeros buscados son 96 y 98COMPROBAR LOS RESULTADOS: 96 + 98 = 194.

A = 170 C = 65

Como C = B 25 ;

EJERCICIO # 11Pagu $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo cost $80 ms que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El caballo cost $170, el coche $90 y los arreos $65 Es bueno recordar que existen dos mtodos para resolver este sistema de ecuaciones, a saber, el mtodo de sustitucin (utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el mtodo de reduccin (utilizado en el ejercicio # 2). Utilice el que a su criterio le parezca ms fcil atendiendo a la forma como est expresado algebraicamente el problema.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-15-

-16-

EJERCICIO # 12Pagu $ 87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero cost $ 5 ms que el libro y $ 20 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Como

C = B 20

;

24 = B 20 ;

B = 44

El libro cost $19, el traje $44 y el sombrero $24COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 13La suma de tres nmeros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Costo del libro. B = Costo del traje. C = Costo del sombrero.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Pagu $ 87 por un libro, un traje y un sombrero: El sombrero cost $ 5 ms que el libro: El sombrero cost $ 20 menos que el traje:RESOLVER EL PROBLEMA:

A + B + C = 87 C=A+5 C = B - 20

(1) (2) (3)

X = Nmero menor. Y = Nmero del medio. Z = Nmero mayor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de tres nmeros es 200: El mayor excede al del medio en 32: El mayor excede al menor en 65:RESOLVER EL PROBLEMA:

X + Y + Z = 200 Z = Y + 32 Z = X + 65

(1) (2) (3)

Utilizando el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo lado de la igualdad: A + B + C = 87 -A +C= 5 - B + C = - 20 3C = 72 C = 72 / 3 Como C=A+5 ; 24 = A + 5 ; ;

Utilice el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo lado de la igualdad:

C = 24-17-

X = 34

;

Y = 67

;

Z = 99-18-

A = 19ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los nmeros buscados son 34, 67 y 99ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Los Cestos tienen 200, 190 y 185 manzanas respectivamente.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 14Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas ms que el segundo y 15 ms que el tercero. Cuntas manzanas hay en cada cesto?IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 15Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Manzanas que contiene el 1er cesto. B = Manzanas que contiene el 2do cesto. C = Manzanas que contiene el 3er cesto.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Nmero que representa la parte mayor. B = Nro. que representa la parte del medio. C = Nmero que representa la parte menor.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Tres cestos contienen 575 manzanas :

A + B + C = 575 A = B + 10 A = C + 15

(1)

Dividir 454 en tres partes ( la suma de tres partes debe ser igual a 454): A + B + C = 454 (1) La parte menor es 15 unidades menor que la del medio:

El primer cesto tiene 10 manzanas ms que el segundo:

(2)

C = B - 15 C = A - 70

(2)

El primer cesto tiene 15 manzanas ms que el tercero:RESOLVER EL PROBLEMA:

La parte menor es 70 unidades menor que la mayor: (3)RESOLVER EL PROBLEMA:

(3)

Utilice cualquiera de los tres mtodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de determinar cul es de ms fcil aplicacin. En estos casos es ms recomendable el mtodo de reduccin.

Utilice cualquiera de los tres mtodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de determinar cul es de ms fcil aplicacin. En estos casos es ms recomendable el mtodo de reduccin.

A = 200

;

B = 190

;

C = 185-19-

A = 193

;

B = 138

;

C = 123-20-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Las tres partes buscadas son 193, 138 y 123COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 17La suma de las edades de tres personas es 88 aos. La mayor tiene 20 aos ms que la menor y la del medio 18 aos menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 16Repartir 310 bolvares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 ms que la tercera.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Bs que le tocan a la 1ra persona. Y = Bs que le tocan a la 2da persona. Z = Bs que le tocan a la 3ra persona.

X = Edad de la persona mayor. Y = Edad de la persona del medio. Z = Edad de la persona menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de las edades de tres personas es 88 aos:

X + Y + Z = 88 X = Z + 20 Y = X - 18

(1)

Repartir 310 bolvares entre tres personas:

X + Y + Z = 310 Y = X - 20

(1)

La mayor tiene 20 aos ms que la menor:

(2)

La segunda persona recibe 20 menos que la primera:

(2)

La del medio tiene 18 aos menos que la mayor:

(3)

La segunda persona recibe 40 ms que la tercera:RESOLVER EL PROBLEMA:

Y = Z + 40

(3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Utilice el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo lado de la igualdad:

Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 12.

X = 42

;

Y = 24

;

Z = 22

X = 130

;

Y = 110

;

Z = 70

Las tres edades son 42, 24 y 22 respectivamenteCOMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los Bs 310 se repartirn en 130, 110 y 70 bolvares respectivamente . ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -21-

-22-

EJERCICIO # 18Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Edad de Francisco. Y = Edad de Antonio.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Francisco triplica la de Antonio: Ambos suman 40 aos:X = Parte mayor. Y = Parte menor.

X = 3Y X + Y = 40

(1) (2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Sustituyendo (1) en (2) (1) 3Y + Y = 40 ; 4Y = 40 ; Y = 40 / 4

Dividir 642 en dos partes:

X + Y = 642 X = Y + 36

Tales que una exceda a la otra en 36:RESOLVER EL PROBLEMA:

Y = 10(2) Si Y = 10 y X = 3Y

X = 30

Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 1.

La edad de Francisco es 30 y la de Antonio 10COMPROBAR LOS RESULTADOS:

X = 339

;

Y = 303

Las dos partes son 339 y 303COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 20Se compr un caballo y sus arreos por $ 600. Si el caballo cost 4 veces el precio de los arreos. Cunto cost el caballo y cunto los arreos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 19La edad de Francisco triplica la de Antonio y ambos suman 40 aos. Encuentre las edades de ambos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Costo del caballo. Y = Costo de los arreos.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-23-

-24-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA

Se compr un caballo y sus arreos por $ 600:

Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. (1)

X + Y = 600 X = 4Y

X = 32

;

Y = 16

El caballo cost 4 veces lo de los arreos:

(2)

En el 1er piso hay 32 habitaciones y 16 en el 2doCOMPROBAR LOS RESULTADOS:

RESOLVER EL PROBLEMA

Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior.

X = 480

;

Y = 120

EJERCICIO # 22Repartir $ 300 entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triple que la de A.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

El caballo cost $ 480 y los arreos $ 120COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 21En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las del 2do piso son la mitad que las del 1ro. Cuntas habitaciones hay en cada piso?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que le tocan a B. C = Cantidad de $ que le tocan a C.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Repartir $ 300 entre A, B y C: La parte de B sea doble que la de A: La parte de C sea el triple de la de A:RESOLVER EL PROBLEMA:

X = Habitaciones del primer piso. Y = Habitaciones del segundo piso.

A + B + C = 300 B = 2A C = 3A

(1) (2) (3)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones:

X + Y = 48 Y = X/2

(1)

Las del 2do piso son la mitad que las del 1ro:

Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) y notar como se simplifica el problema (A+2A+3A=300).

(2) -25-

A = 50

;

B = 100

;

C = 150-26-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 24El mayor de dos nmeros es 6 veces el menor y ambos nmeros suman 147. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 23Repartir 133 manzanas entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad que la de B y la de C el doble que la de B.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero mayor. Y = Nmero menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de manzanas que le tocan a A B = Cantidad de manzanas que le tocan a B C = Cantidad de manzanas que le tocan a CEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

El mayor de dos nmeros es 6 veces el menor:

X = 6Y

(1)

Ambos nmeros suman 147: Repartir 133 manzanas entre A, B y C:

X + Y = 147

(2)

A + B + C = 133 A = B/2 C = 2B

(1)

RESOLVER EL PROBLEMA:

La parte de A sea la mitad que la de B:

Sustituya la ecuacin (1) en la ecuacin (2) y notar como se simplifica el problema: (2)

X = 126COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

Y = 21

La parte de C sea el doble que la de B:

(3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) y notar como se simplifica el problema:

EJERCICIO # 25Repartir $ 140 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad que la de A y un cuarto que la de C.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A = 19

;

B = 38

;

C = 76

COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-27-

-28-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que le tocan a B. C = Cantidad de $ que le tocan a C.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Dividir el nmero 850 en tres partes:

A + B + C = 850 A = B/4 A = C/5

(1) (2) (3)

La primera parte sea el cuarto de la segunda: La primera parte sea el quinto de la tercera:

Repartir $ 140 entre A, B y C: La parte de B sea la mitad que la de A:

A + B + C = 140 B = A/2 B = C/4

(1) (2) (3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

La parte de B sea un cuarto que la de C:

Despeje B y C en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente y despus sustityalas en la ecuacin (1).

A = 85

;

B = 340

;

C = 425

RESOLVER EL PROBLEMA:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Despeje A y C en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente y despus sustityalas en la ecuacin (1).

A = 40

;

B = 20

;

C = 80

EJERCICIO # 27El doble de un nmero equivale al nmero aumentado en 111. Hallar el nmero.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 26Dividir el nmero 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

El doble de un nmero:

2X 2X = X + 111ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Equivale al nmero aumentado en 111:

-29-

-30-

RESOLVER EL PROBLEMA:

2X X = 111COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

X = 111

EJERCICIO # 29Si un nmero se multiplica por 8 el resultado es el nmero aumentado en 21. Hallar el nmero.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 28La edad de Mara es el triple de la de Rosa ms quince aos y ambas edades suman 59 aos. Hallar ambas edades.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si un nmero se multiplica por 8 : El resultado es el nmero aumentado en 21:

8X 8X = X + 21

M = Edad de Mara. R = Edad de Rosa.

RESOLVER EL PROBLEMA: Con un despeje sencillo de 8X= X + 21 se

obtiene el resultado siguiente:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Mara es el triple de la de Rosa ms quince aos:

X=3(1)COMPROBAR LOS RESULTADOS:

M = 3R + 15Ambas edades suman 59 aos:

EJERCICIO # 30M + R = 59(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Si al triple de mi edad aado 7 aos, tendra 100 aos. Qu edad tengo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Sustituya la ecuacin (1) en la ecuacin (2):

M = 48COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

R = 11

X = Mi edad.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-31-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-32-

Si al triple de mi edad aado 7 aos: Tendra 100 aos:RESOLVER EL PROBLEMA:

3X + 7 3X + 7 = 100

A = 36

;

B = 12

;

C = 48

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

3X = 100 7COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

X = 93 / 3

;

X = 31

EJERCICIO # 32La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Gustavo el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 aos. Qu edad tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 31Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.

E = Edad de Enrique. P = Edad de Pedro. J = Edad de Juan. G = Edad de Gustavo.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro: La edad de Juan es el triple de la de Enrique:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

E = P/2 J = 3E G = 2J

(1) (2) (3) (4)

Dividir 96 en tres partes:

A + B + C = 96 A = 3B C=A+B

(1) (2)

La edad de Gustavo es el doble de la de Juan: Las cuatro edades suman 132 aos:RESOLVER EL PROBLEMA:

La primera parte sea el triple de la segunda:

E + P + J + G = 132

La tercera parte sea igual a la suma de la primera y la segunda: (3)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya la ecuacin (3) en la ecuacin (1) y en la ecuacin resultante introduzca la ecuacin (2): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -33-

Utilice el mtodo de sustitucin, para lo cual se recomienda que coloque todas las ecuaciones con las incgnitas del lado izquierdo del signo de igualdad y mantenga el orden de secuencia de las letras (E,P,J,G): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -34-

E P/2 = 0 - 3E + J = 0 - 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 Si multiplica la primera ecuacin por 2 y posteriormente se suman las cuatro ecuaciones: 2EP = 0 - 3E + J = 0 - 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 0 + 0 + 0 + 2G =132 2G = 132 Como Como Como ; G = 132 / 2 ; ; ; ; 66 = 2J ;

T = Costo del traje. B = Costo del bastn. S = Costo del sombreroEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Se ha comprado un traje, un bastn y un sombrero por $259:

T + B + S = 259 T = 8S

(1)

El traje cost 8 veces lo que el sombrero:

(2)

G = 66 J = 33 E = 11 P = 22

El bastn cost $30 menos que el traje:RESOLVER EL PROBLEMA:

B = T 30

(3)

G = 2J J = 3E E = P/2

33 = 3E ; 11 = P/2 ;

Despeje S en (2) y sustityala en (1) y posteriormente sustituy a (3) en la ecuacin resultante.

T = 136

;

B = 106

;

S = 17

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 33Se ha comprado un traje, un bastn y un sombrero por $259. El traje cost 8 veces lo que el sombrero y el bastn $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 34Una estilogrfica y un lapicero han costado $18. Si la estilogrfica hubiera costado 6 dlares menos y el lapicero 4 dlares ms, habran costado lo mismo cada uno. Cunto cost cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

-35-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-36-

E = Costo de la estilogrfica. L = Costo del lapicero.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 10 aos la edad de A era el triple de la de B:

A 10 = 3 (B-10)

(2)

Una estilogrfica y un lapicero han costado $ 18:

E+ L = 18

Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de escribir : A 10 = 3B 10 . La edad de B hace diez aos es (B-10) y el triple de esa edad es 3(B-10). (1)RESOLVER EL PROBLEMA:

Si la estilogrfica hubiera costado 6 dlares menos (E 6) y el lapicero 4 dlares ms (L + 4), habran costado lo mismo: E-6=L+4 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

A = 40COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

B = 20

Simplifique la ecuacin (2) y posteriormente use el mtodo de reduccin:

E = 14

;

L=4

EJERCICIO # 36La edad actual de A es el triple que la de B, y dentro de 5 aos ser el doble. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 35La edad actual de A es el doble que la de B, y hace 10 aos la edad de A era el triple de la de B. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Edad de A. B = Edad de B.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad actual de A es el triple que la de B:

A = 3B

(1)

A = Edad de A. B = Edad de B.

Dentro de 5 aos la edad de A ser el doble de la de B:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A + 5 = 2 (B + 5)

(2)

La edad actual de A es el doble que la de B:

A = 2B

(1) -37-

Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de escribir : A + 5 = 2B + 5 . La edad de B dentro de 5 aos ser (B+5) y el doble de esa edad es 2(B+5).ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-38-

RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

EJERCICIO # 38; B=5

A = 15COMPROBAR LOS RESULTADOS:

A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana $66 y B pierde $90, A tendr el doble de lo que le quede a B. Cunto tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 37A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5. A tendr $20 ms que B.Cunto tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene la mitad de lo que tiene B:

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B.

A = B/2 (1) Si A gana $66 y B pierde $90, A tendr el doble de lo que le quede a B: (A + 66) = 2 (B 90) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene doble de dinero que B:

Sustituya (1) en (2):

A = 2B

(1)

A = 82

;

B = 164

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Si A pierde 10 dlares (A-10) y B pierde cinco (B-5), A tendr $20 ms que B: (A 10) = (B - 5) + 20 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EJERCICIO # 39En una clase el nmero de seoritas es 1/3 del nmero de varones. Si ingresaran 20 seoritas y dejaran de asistir 10 varones, habra 6 seoritas ms que varones.Cuntos varones hay y cuantas seoritas?.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Sustituya (1) en (2):

A = 50COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

B = 25ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-39-

-40-

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 40V = Cantidad de varones. S = Cantidad de seoritas.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tena el padre hace 5 aos era el doble de la edad que tendr su hijo dentro de 10 aos. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

En una clase el nmero de seoritas es 1/3 del nmero de varones: S = V/3 (1) Si ingresaran 20 seoritas (S + 20) y dejaran de asistir 10 varones (V 10), habra 6 seoritas ms que varones: (S + 20) = (V 10) + 6 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

P = Edad actual del padre. H = Edad actual del hijo.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo: Sustituya (1) en (2): 1/3 V = V 10 + 6 -20 V = 3 ( V 24 ) 72 = 2V ; ; ; 1/3 V + 20 = V -10 + 6 1/3 V = V 24 ; ; 72 = 3V V

P = 3H

(1)

La edad que tena el padre hace 5 aos (P 5) era el doble de la edad que tendr su hijo dentro de 10 aos (H + 10):

V = 3V 72 V = 72 / 2

(P - 5) = 2 (H + 10)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

V = 36

Sustituya (1) en (2): Si V = 36 y S = V/3 S = 36 / 3 ;

P = 75 S = 12

;

H = 25

Los resultados se leen: En la clase hay 36 varones y 12 seoritas.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los resultados se leen: Actualmente el padre tiene 75 aos y el hijo 25.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

-41-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-42-

EJERCICIO # 41Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendran lo mismo. Cunto tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 42Un colono tiene $ 1.400 en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene ms dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendran igual cantidad de dinero.Cunto tiene cada bolsa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

E = Cantidad de $ que tiene Enrique. H = Cant. de $ que tiene el hermano de Enrique.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de $ en la 1ra bolsa. B = Cantidad de $ en la 2da bolsa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano:

E = 5H

(1)

Un colono tiene $ 1400 en dos bolsas:

Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendran lo mismo (Enrique tendr 50 menos y su hermano tendr 50 ms de lo que tienen actualmente): (E - 50) = (H + 50) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

A + B = 1.400

(1)

Si de la bolsa que tiene ms dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendran igual cantidad de dinero:

(A - 200) = (B + 200)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (1) en (2):

E = 125

;

H = 25

A = 900

;

B = 500

Enrique tiene $125 y su hermano $25.COMPROBAR LOS RESULTADOS

Una bolsa tiene $900 y la otra $500COMPROBAR LOS RESULTADOS

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-43-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-44-

EJERCICIO # 43El nmero de das que ha trabajado Pedro es 4 veces el nmero de das que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 das menos y Enrique 21 das ms, ambos habran trabajado igual nmero de das.Cuntos das trabaj cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 44Hace 14 aos la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 aos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

P = Das que trabaj Pedro. E = Das que trabaj Enrique.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

P = Edad del padre hace 14 aos. H = Edad del hijo hace 14 aos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 14 aos la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo: P = 3H (1) Ahora es el doble (14 aos despus):

El nmero de das que ha trabajado Pedro es 4 veces el nmero de das que ha trabajado Enrique: P = 4E (1) Si Pedro hubiera trabajado 15 das menos (P 15) y Enrique 21 das ms (E + 21), ambos habran trabajado igual nmero de das: (P 15) = (E + 21) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

(P + 14) = 2 (H + 14)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (1) en (2):

Sustituya (1) en (2):

P = 42 ; E = 12

;

H = 14

P = 48

Los resultados se leen: Hace 14 aos el padre tena 42 aos y el hijo 14 aos.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Pedro trabaj 48 das y Enrique 12 das.COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-45-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-46-

EJERCICIO # 45Un hacendado compr doble nmero de vacas que de bueyes. Por cada vaca pag $70 y por cada buey $85. Si el importe de la compra fue de $ 2.700. Cuntas vacas y cuantos bueyes compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 46Compr doble nmero de sombreros que de trajes por $702. Cada sombrero cost 2 y cada traje 50. Cuntos sombreros y cuntos trajes compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

S = Sombreros comprados. T = Trajes comprados.

V = Cantidad de vacas compradas. B = Cantidad de Bueyes comprados.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Compr doble nmero de sombreros que de trajes:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

S = 2T

(1)

Un hacendado compr doble nmero de vacas que de bueyes:

V = 2B

(1)

Sea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo, generalmente se cae en el error de expresarlo 2V=B y la expresi n correcta es V=2B, es decir por cada valor que asigne a B obtendr el doble valor de V.[ Si compro un buey (B=1) comprar dos vacas (2=2*1)] Por cada vaca pag $70 y por cada buey $85. El importe de la compra fue de $ 2.700: 70 V + 85 B = 2.700 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo, generalmente se cae en el error de expresarlo 2S=T y la expresin correcta es S=2T, es decir por cada valor que asigne a T obtendr el doble valor de S.[ Si compro un traje (T=1) comprar dos sombreros (2=2*1)]. Cada sombrero cost $2 y cada traje $50 y el costo total fue de $702: 2 S + 50 T = 702 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

Sustituya (1) en (2):

S = 26 ; B = 12

;

T = 13

V = 24

Se compraron 26 sombreros y 13 trajes.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Se compraron 24 vacas y 12 bueyes.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-47-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-48-

EJERCICIO # 47Un hacendado compr caballos y vacas por 40.000 bolvares. Por cada caballo pag 600 y por cada vaca 800. Si compr 6 vacas menos que caballos. Cuntas vacas y cuntos caballos compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 48Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condicin de que por cada problema que resuelva el muchacho recibir $12, y por cada problema que no resuelva perder $5. Despus de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe $73. Cuntos problemas resolvi y cuantos no?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

V = Vacas compradas. C = Caballos comprados.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

R = Problemas resueltos. N = Problemas no resueltos.

Un hacendado compr caballos y vacas por 40.000 bolvares. Por cada caballo pag 600 y por cada vaca 800: 800 V + 600 C = 40.000 (1) Compr 6 vacas menos que caballos:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un padre pone 16 problemas a su hijo:

V=C-6

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

(1) . Por cada problema que resuelva recibir $12 y por cada problema que no resuelva perder $5. Despus de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe $73: 12R 5N = 73 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

R + N = 16

Sustituya (2) en (1):

V = 26

;

C = 32

Aplique el mtodo de reduccin:

Se compraron 26 vacas y 32 caballos.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

R=9

;

N=7

El muchacho resolvi 9 ejercicios y no resolvi 7. -49COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-50-

EJERCICIO # 49Un capataz contrata un obrero por 50 das pagndole $3 por cada da de trabajo con la condicin de que por cada da que el obrero deje de asistir al trabajo perder $2. Al cabo de los 50 das el obrero recibe $90. Cuntos das trabaj y cuantos no?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 50Un comerciante compr 35 trajes de $30 y $25, pagando por todo $1.015. Cuntos trajes de cada precio compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Trajes de $30 comprados. B = Trajes de $25 comprados. T = Das trabajados. N = Das no trabajados.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante compr 35 trajes de $30 y $25:

Un capataz contrata un obrero por 50 das:

A + B = 35

(1) . Pagndole $3 por da trabajado y descontndole $2 por cada da que deje de asistir al trabajo. Al cabo de los 50 das el obrero recibe $90: 3T 2N = 90 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

T + N = 50

(1) . (2)

Pagando por todo $1.015:

30A + 25B = 1.015

RESOLVER EL PROBLEMA:

Aplique el mtodo de reduccin:

Aplique el mtodo de reduccin:

A = 28 N = 12

;

B=7

T = 38

;

El comerciante compr 28 trajes de $30 y 7 de $25COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El obrero trabaj 38 das y dej de asistir 12 dasCOMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-52-

-51-

EJERCICIO # 51Un comerciante compr trajes de dos calidades por $1.624. De la calidad mejor compr 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le cost $7 ms que cada traje de la calidad inferior. Cul era el precio de un traje de cada calidad?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 52Se han comprado 80 pies cbicos de madera por $68,40 . La madera comprada es cedro y caoba. Cada pie cbico de cedro cost 75 centavos y cada pie cbico de caoba 90 centavos. Cuntos pies cbicos se han comprado de cedro y cuntos de caoba?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Costo de traje de calidad mejor. B = Costo de traje de calidad inferior.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

D = Pies cbicos de cedro comprados C = Pies cbicos de caoba compradosEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante compr trajes de dos calidades por $1.624. De la calidad mejor compr 32 trajes y de la calidad inferior 18: 32A + 18B = 1.624 (1) . Cada traje de la mejor calidad le cost $7 ms que cada traje de la calidad inferior: A =B+7 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Se han comprado 80 pies cbicos de madera. La madera comprada es cedro y caoba: (1) . Cada pie cbico de cedro cost 75 centavos y cada pie cbico de caoba 90 centavos. El costo total fue de $68,40: 0,75D + 0,90C = 68,40 (2) Tenga cuidado con las unidades en que se expresa el problema. Si en un miembro de la ecuacin se colocan dlares, en el otro tambin deben ir dlares. El error ms comn que se comete en este ejercicio es colocar : 75D + 90C = 68,40RESOLVER EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

D + C = 80

Aplique el mtodo de sustitucin. Sustituya (2) en (1)

A = 35

;

B = 28

Cada traje de calidad mejor cost $35 y cada traje de calidad inferior cost $28.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-53-

-54-

Despeje D o C en la ecuacin (1) y sustityala en la ecuacin (2):

Utilice el mtodo de reduccin. Recuerde como se resolvi el ejercicio # 12.

D = 24

;

C = 56

A = 36

;

B = 72

;

C = 88

Se compraron 24 pies cbicos de cedro y 56 pies cbicos de caoba.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Las tres partes sern 36, 72 y 88COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 53Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 54La edad de A es el triple que la de B y hace 5 aos era el cudruple de la de B. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.

A = Edad actual de A. B = Edad actual de B.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Recuerde lo indicado en los ejercicios 35 y 36. La edad de A es el triple que la de B:

Dividir 196 en tres partes:

A + B + C = 196 B = 2A

(1) . (2)

A = 3B (A 5) = 4 (B - 5)

(1) (2)

Hace 5 aos la edad de A era el cudruple de la de B:RESOLVER EL PROBLEMA:

La segunda parte sea el doble de la primera:

La suma de las dos primeras partes exceda a la tercera en 20:

Sustituya (1) en (2): (3) -55-

A = 45

;

B = 15

A + B = C + 20RESOLVER EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A tiene actualmente 45 aos y B 15.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-56-

EJERCICIO # 55Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por $ 16.000. Cada traje cost el doble de lo que cost cada par de zapatos ms $50. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 566 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2.000 bolvares ms. Cul era el valor de la casa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

T = Precio de cada traje. Z = Precio de cada par de zapatos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Valor de la casa. Y = Aporte de cada persona.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por $ 16.000: 50T + 35Z = 16.000 (1) . Cada traje cost el doble de lo que cost cada par de zapatos ms $50: T = 2Z + 50 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales: X = 6Y (1) Pero dos de ellas desistieron del negocio (ahora sern 4 personas las que aporten) y entonces cada una de las restantes (4) tuvo que poner 2.000 bolvares ms (el aporte individual ser de Y+2000):

X = 4 (Y + 2.000)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (2) en (1):

T = 250

;

Z = 100

Sustituya (1) en (2):

Cada traje cost $250 y cada par de zapatos $100COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Y = 4.000

;

X = 24.000

El valor de la casa era de Bs 24.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

-57-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-58-

EJERCICIO # 57Tena $85. Gast cierta suma y lo que me queda es el cudruple de lo que gast. Cunto gast?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Edad actual de A. B = Edad actual de B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 12 aos (- 12) la edad de A era el doble de la de B:

(A 12) = 2(B 12)

(1)

X = $ que gast.

Dentro de 12 aos (+12) la edad de A ser 68 menos que el triple de la de B: (A + 12) = 3(B + 12) 68 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Tena $85 y gast cierta suma:

85 - X 85 X = 4X

(1) (2)

Lo que me queda (85 X) es el cudruple de lo que gast:RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique las dos ecuaciones y posteriormente use el mtodo de reduccin:

A = 52

;

B= 32

Despejando: 85 X = 4X ; 85 = 5X ; X = 85 5 Gast $17

A tiene 52 aos y B 32COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 17COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 59Tengo $1,85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas. Cuntas son de 10 centavos y cuntas de 5 centavos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

EJERCICIO # 58Hace 12 aos la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 aos la edad de A ser 68 aos menos que el triple de la de B. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -59-

Es importante recordar lo necesario que es trabajar con las mismas unidades en una ecuacin. Si relaciono dlares tiene que ser con dlares o si relaciono centavos tiene que ser con centavos. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -60-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Monedas de 10 centavos. V = Monedas de 5 centavos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Costo de cada caballo. Y = Costo total.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hacendado compr 35 caballos:

Tengo $1,85 en monedas de 10 centavos ($ 0,10) y de 5 centavos ($ 0,05):

Y = 35X

(1)

0,10X + 0,05V = 1,85En total tengo 22 monedas:

(1)

Si hubiera comprado 5 caballos ms (40) por el mismo precio (Y) cada caballo le habra costado $10 menos (X 10): Y = 40( X 10) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

X + V = 22

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Iguale las dos ecuaciones y obtendr directamente el valor de X:

Utilice los dos mtodos para solucionar este sistema de ecuaciones.

X = 80Cada caballo cost $80COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 15

;

V= 7

Tengo 15 monedas de 10 centavos y 7 de 5 centavosCOMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 61Un hombre deja una herencia de $ 16.500 para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba 2.000 ms que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 60Un hacendado compr 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos ms por el mismo precio, cada caballo le habra costado $10 menos. Cunto le cost cada caballo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Parte de la herencia que le corresponde a cada hijo. Y = Parte de la herencia que le corresponde a cada hija.-61ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-62-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Y cuya suma es el triple de su diferencia:RESOLVER EL PROBLEMA:

Un hombre deja una herencia de $ 16.500 para repartir entre 3 hijos y 2 hijas: 3X + 2Y = 16.500 (1) Manda que cada hija reciba 2.000 ms que cada hijo:

X + Y = 3(X Y )

(2)

Simplifique la ecuacin (2) y sustityala en (1)

Y = X + 2.000

(2)

X = 36

;

Y = 18

RESOLVER EL PROBLEMA:

Los nmeros buscados son 36 y 18 NOTA: La ecuacin (2) tambin pudo ser expresada como: X + Y = 3 (18) lo que es lo mismo que X+Y=54.. Si ese fuera el caso se recomienda usar el mtodo de sustitucin: X Y = 18 X + Y = 54 2X = 72 X = 72 2 ; X = 36 ; 36 Y = 18 ; Y = 18

Sustituya (2) en (1)

X = 2.500

;

Y = 4.500

Cada hijo recibir $2.500 y cada hija $4.500COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 62Hallar dos nmeros cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triple de su diferencia.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 635 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido dos socios ms, cada uno hubiera pagado 800 bolvares menos. Cunto cost la tienda?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Primer nmero buscado. Y = Segundo nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar dos nmeros cuya diferencia es 18:

X Y = 18ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

(1) -63-

X = Costo total de la tienda. Y = Aporte individual.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-64-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hacendado compr dos caballos, pagando por ambos $120:

Cinco personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales: X = 5Y (1) Si hubiera habido 2 socios ms (7), cada uno hubiera pagado 800 bolvares menos: X = 7(Y 800) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Xm + Xp = 120

(1)

Si el caballo peor hubiera costado $15 mas (Xp + 15) el mejor habra costado doble que l: Xm = 2(Xp + 15) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin (2) y sustityala en (1) Sustituya (1) en (2). Recuerde el ejercicio # 56

Xm = 90

;

Xp = 30

X = 14.000La tienda cost Bs 14.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

El caballo mejor cost $ 90 y el peor $30COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 65Compr cudruple nmero de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos ms y 5 vacas ms tendra triple nmero de caballos que de vacas. Cuntos caballos y cuntas vacas compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 64Un hacendado compr dos caballos, pagando por ambos $120. Si el caballo peor hubiera costado $15 ms. El mejor habra costado doble que l. Cunto costo cada caballo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Xm = Costo del caballo mejor. Xp = Costo del caballo peor.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Xc = # de caballos comprados. Xv = # de vacas compradas.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

-65-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-66-

Compr cudruple nmero de caballos que de vacas (Recuerde lo indicado en los ejercicios 45 y 46): Xc = 4Xv (1) Si hubiera comprado 5 caballos ms (Xc + 5) y 5 vacas ms (Xv + 5) tendra triple nmero de caballos que de vacas: (Xc + 5) = 3(Xv + 5) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Tena cierta suma de dinero ( X ) . Ahorr una suma igual a lo que tena ( X + X ) y gast 50 dlares ( X + X 50 ) luego ahorr una suma igual al doble de lo que me quedaba [( X + X 50) + 2( X + X 50 )] y gast 390 dlares [( X + X 50) + 2( X + X 50 ) 390 ]. Ahora no tengo nada:

[(X + X 50) + 2( X + X 50) - 390] = 0RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituyendo (1) en (2)

Simplificando:

X = 90Al principio tena $90

Xc = 40

;

Xv = 10

Compr 40 caballos y 10 vacasCOMPROBAR LOS RESULTADOS

COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 67Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 metros y el ancho se aumenta en 4 metros, la superficie de la sala no vara. Hallar las dimensiones de la sala.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 66Tena cierta suma de dinero. Ahorre una suma igual a lo que tena y gast $50; luego ahorr una suma igual al doble de lo que me quedaba y gast $390. Si ahora no tengo nada. Cunto tena al principio?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

L = Largo de la sala. A = Ancho de la sala. S = Superficie de la sala.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Suma de dinero que tena.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Para calcular la superficie de una sala se multiplica el ancho por el largo: S = L.A (1)ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-67-

-68-

Una sala tiene doble largo que ancho:

L = 2A

Dentro de 5 aos ser el doble: (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

(P + 5) = 2(H + 5)

(2)

Si el largo se disminuye en 6 metros (L 6) y el ancho se aumenta en 4 metros (A + 4), la superficie no vara: S = (L 6)(A + 4) (3)RESOLVER EL PROBLEMA:

Ordene las ecuaciones y utilice el mtodo de reduccin:

P = 35

;

H = 15

Como la superficie no vara, iguale la ecuacin (1) con la (3) y en la ecuacin resultante sustituya (2):

La edad actual del padre es 35 aos y la del hijo 15COMPROBAR LOS RESULTADOS

L = 24

;

A = 12

La sala tiene 24 metros de largo y 12 metros de anchoCOMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 69Hallar el nmero que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo (doble) disminuido en 11.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 68Hace 5 aos la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 aos ser el doble. Qu edades tienen ahora el padre y el hijo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar el nmero ( X ) que disminuido en sus tres octavos (-3/8 X) equivale ( = ) a su duplo ( 2X ) disminuido en 11:

X 3/8 X = 2X 11

P = Edad actual del padre. H = Edad actual del hijo.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin: X 3/8 X 2X = - 11 - 11 X 8 = -11 ; ; 8X 3X 16X = - 11 8

Hace 5 aos la edad de un padre era tres veces la de su hijo:

(P 5) = 3(H 5)

(1) -69-

X = (-11) (8) - 11ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-70-

X=8El nmero buscado es 8COMPROBAR LOS RESULTADOS

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EJERCICIO # 70Hallar el nmero que aumentado en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 14.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Qu nmero ( X ) hay que restar de veintids (22-X) para que la diferencia ( - ) equivalga ( = ) a la mitad de veintids (11) aumentada en los 6/5 del nmero que se resta ( 6/5 X ).?:

22 - X = 11 + 6/5 XRESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X=5X = Nmero buscado.El nmero buscado es 5COMPROBAR LOS RESULTADOS

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar el nmero ( X ) que aumentado en sus cinco sextos ( + 5/6 X) equivale ( = ) a su triple (3X) disminuido en 14:RESOLVER EL PROBLEMA:

X + 5/6 X = 3X 14

EJERCICIO # 72Cul es el nmero que tiene 30 de diferencia entre sus 5/4 y sus 7/8.?IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Simplifique la ecuacin:

X = 12

El nmero buscado es 12COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = Nmero buscado.

EJERCICIO # 71Qu nmero hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en los 6/5 del nmero que se resta?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

5/4 X 7/8 X = 30RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = 80ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El nmero buscado es 80 -71-

-72-

EJERCICIO # 73Despus de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40 metros.Cul era la longitud de la pieza?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cantidad de Bs que tena.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Despus de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tena me quedan 39 bolvares:

X ( 1/3 X + 1/8 X ) = 39

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = Longitud inicial de la tela.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = 72

Tena 72 bolvaresCOMPROBAR LOS RESULTADOS

Despus de vender 3/5 de una pieza de tela (3/5 X) quedan 40 metros:

X 3/5 X = 40

EJERCICIO # 75El largo de un buque que es de 800 pies excede en 744 pies a los 8/9 del ancho. Hallar el ancho.

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = 100La longitud de la tela era de 100 metrosCOMPROBAR LOS RESULTADOS

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Ancho del buque.

EJERCICIO # 74Despus de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tena me quedan 39 bolvares,Cunto tena?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

800 = 8/9 A + 744RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

A = 63El ancho del buque es de 63 pies. -73COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-74-

EJERCICIO # 76Hallar dos nmeros consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero menor. (X + 1) = Nmero consecutivo a X.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

7/8 X = [3/5 (X + 1)] + 17RESOLVER EL PROBLEMA:

X = Primer nmero. (X + 1) = Nmero consecutivo a X.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Despeje X en la ecuacin

X = 64COMPROBAR LOS RESULTADOS

;

(X + 1) = 65

Los nmeros consecutivos son 64 y 65

4/5 (X + 1) = X - 4RESOLVER EL PROBLEMA:

Despeje X en la ecuacin

EJERCICIO # 78; (X + 1) = 25 La diferencia de los cuadrados de dos nmeros pares consecutivos es 324. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 24

Los nmeros consecutivos son 25 y 26COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 77Hallar dos nmeros consecutivos tales que los 7/8 del menor excedan en 17 a los 3/5 del mayor.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Primer nmero. (X + 2) = Nmero par consecutivo a X

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

(X + 2) X = 324Tenga cuidado, recuerde que diferencia entre dos nmeros es la RESTA del nmero mayor menos el nmero menor. Es muy comn que los alumnos se equivoquen colocando X2 (X + 2)2 = 324 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -76-

2

2

-75-

RESOLVER EL PROBLEMA:

X2

+ 4X + 4

X2 = 324

EJERCICIO # 80; 4X + 4 = 324 4X = 324 4 ; X = 320 4

En tres das un hombre gan $175. Si cada da gan la mitad de lo que gan el da anterior, Cunto gan cada da?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 80

;

(X + 2) = 82

Los nmeros pares consecutivos son 80 y 82COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 79Hallar tres nmeros consecutivos tales que la suma de los 3/5 del menor con los 5/6 del mayor exceda en 31 al del medio.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Ganancia del 1er da. B = Ganancia del 2do da. C = Ganancia del 3er da.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

En tres das un hombre gan $175:

A + B + C = 175 B = A/2 C = B/2

(1)

Cada da gan la mitad de lo que gan el da anterior:

(2) (3)

X = Primer nmero. (X + 1) = Nmero consecutivo a X. (X + 2) = Nmero consecutivo a X + 1

RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

3/5 X + 5/6 (X + 2) = (X + 1) +31RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya la ecuacin (3) en la (1) y en la ecuacin resultante sustituya (2):

A = 100 ;

B = 50

;

C = 25

Despeje X en la ecuacinX = 70 ; (X + 1) = 71 ; (X + 2) = 72 Los nmeros consecutivos son 70, 71 y 72COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El primer da gan $100, el 2do da $50 y el 3ro $25COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-78-

-77-

EJERCICIO # 81Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y alimentacin de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15 meses ha ahorrado $300. Cul es su sueldo mensual?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 160El sueldo mensual es de $160 Tambin puede enfocarse la solucin de la siguiente manera: El sueldo mensual es igual a la suma de los gastos ms el ahorro. Si en 15 meses el hombre ahorr $300 quiere decir que mensualmente ahorr 20 dlares (300 15 = 20). El sueldo mensual ser: X = X/2 + 3/8 X + 20 Al resolver esta ecuacin obtengo el mismo resultado:COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = Sueldo mensual

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y alimentacin de su familia: Y 3/8 del sueldo en otros gastos:

X/2

EJERCICIO # 82Vend un automvil por 8.000 bolvares ms la tercera parte de lo que me haba costado, y en esta operacin gan 2.000 bolvares. Cunto me haba costado el auto?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

3/8 XX/2 + 3/8 X = 7/8 X

Lo que significa que mensualmente gasta:

Puede ahorrar mensualmente una cantidad equivalente al sueldo menos los gastos: X 7/8 X = X/8 Si en 15 meses ha ahorrado $300 quiere decir que:

X = Costo del automvil.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

15 ( X/8) = 300RESOLVER EL PROBLEMA:

Resolviendo 15 ( X/8) = 300ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Vend un automvil por 8.000 bolvares ms la tercera parte de lo que me haba costado: -79ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

8.000 + X/3-80-

Y en esta operacin gan 2.000 bolvares. Si tomamos en cuenta que la ganancia es igual al precio de venta (8000+ X/3) menos el precio de costo (X) :

Ganancia ($8) = Venta (7/2 X) menos Compra (5/2 X):

8 = (7/2 X) (5/2 X)RESOLVER EL PROBLEMA:

2.000 = 8.000 + X/3 - XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

X=8Compr 8 librosCOMPROBAR LOS RESULTADOS

Resolviendo 2.000 = 8.000 + X/3 - X

X = 9.000El Automvil cost Bs 9.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 84A puede hacer una obra en 3 das y B en 6 das. En cunto tiempo pueden hacer la obra trabajando los dos juntos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 83Compr cierto nmero de libros a 2 por $5 y los vend a 2 por $7, ganando en esta operacin $8. Cuntos libros compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero de das que tardaran enhacer la obra trabajando juntos A y B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Nmero de libros comprados.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si en X das los dos juntos hacen toda la obra, en 1 da harn 1/X de la obra.

Ganancia es igual a venta menos costo. Compr cierto nmero de libros a 2 por 5 dlares (5/2 X) y los vend a 2 por 7 dlares (7/2 X) ganando en esta operacin $8:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A Puede hacer una obra en 3 das: En un da hace 1/3 de la obra. B puede hacer la misma obra en 6 das: En un da hace 1/6 de laobra.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-81-

-82-

Los dos juntos harn en un da ( 1/3 + 1/6 ) de la obra; pero como en un da los dos hacen 1/X de la obra, tendremos:

La otra llave puede llenar el tanque en 20 minutos: En un minuto llenar 1/20 del depsito. Las dos llaves juntas llenarn en un minuto (1/10+1/20) del depsito; pero como en un minuto las dos llaves abiertas llenarn 1/X del depsito, tendremos:

1/3 + 1/6 = 1/XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:RESOLVER EL PROBLEMA:

1/10 + 1/20 = 1/X

X=2A y B trabajando juntos pueden hacer la obra en dos das.COMPROBAR LOS RESULTADOS

Despejando X en la ecuacin:

X = 6,67Las dos llaves juntas llenarn el depsito en 6,67 minutos (6 minutos y 2/3 de minuto o lo que es lo mismo: 6 minutos y 40 segundos)COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 85Una llave puede llenar un depsito en 10 minutos y otra en 20 minutos. En cunto tiempo pueden llenar el depsito las dos juntas?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 86Una llave puede llenar un depsito en 4 minutos, otra en 8 minutos y un desage puede vaciarlo, estando lleno, en 20 minutos. Si tenemos el tanque vaco y abierto el desage y se abren las dos llaves.En cunto tiempo se llenara el depsito?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Tiempo en minutos en que las dos llaves juntas pueden llenar el depsito.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si en X minutos las dos llaves juntas pueden llenar el depsito, en 1 minuto llenarn 1/X del depsito. Una llave puede llenar un depsito en 10 minutos: En un minuto llenar 1/10 del depsito. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -83-

X = Tiempo en minutos en que se llenar el depsito.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-84-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si en X minutos se puede llenar el depsito, en 1 minuto se llenar 1/X del depsito. Una llave puede llenar un depsito en 5 minutos: En un minuto llenar 1/5 del depsito. La otra llave puede llenar el tanque en 8 minutos: En un minuto llenar 1/8 del depsito. Un desage puede vaciarlo, estando lleno, en 20 minutos: En un minuto vaciar 1/20 del depsito. Las dos llaves juntas llenarn en un minuto (1/5+1/8) y el desage vaciar del depsito en un minuto (-1/20); pero como en un minuto llenarn 1/X del depsito, tendremos:

Antes de resolver este ejercicio se recomienda consultar el ejercicio # 84 para facilitar su enfoque.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero de das que tardara Aen hacer la obra trabajando soloEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

1/5 + 1/8 1/20 = 1/XRESOLVER EL PROBLEMA:

Si en 6 das los dos juntos hacen toda la obra, en 1 da harn 1/6 de la obra. A Puede hacer la obra en X das: En un da hace 1/X de la obra. B solo puede hacer la misma obra en 10 das: En un da hace 1/10 de la obra. Los dos juntos harn en un da ( 1/X + 1/10 ) de la obra; pero como en un da los dos hacen 1/6 de la obra, tendremos:

1/X + 1/10 = 1/6RESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

Despejando X en la ecuacin:

X = 40/13El depsito se llenar en 3 minutos y 1/13 de minutoCOMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 15A trabajando solo puede hacer la obra en 15 das.

EJERCICIO # 88Un capataz contrata un obrero ofrecindole un sueldo anual de $ 3.000 y una computadora. Al cabo de siete meses el obrero es despedido y recibe $1.500 y la computadora.Cul era el valor de la computadora?.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 87A y B trabajando juntos hacen una obra en 6 das. B solo puede hacerla en 10 das. En cunto tiempo puede hacerla A?.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-85-

-86-

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Valor de la computadora.

Una serpiente mide un metro ms 1/5 de su longitud total:

X = 1 + 1/5 X

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA:

Si el sueldo anual era de $ 3.000 y una computadora, quiere decir que el sueldo mensual era de:

Despejando X en la ecuacin:

( 3.000 + X ) 12

X = 1,25La serpiente mide 1,25 metrosCOMPROBAR LOS RESULTADOS

El sueldo de 7 meses ser de:

7 [( 3.000 + X ) 12]

Si por los siete meses de trabajo recibi $1.500 y la computadora:

EJERCICIO # 90La quinta parte del personal de una empresa labora en el departamento de produccin, la tercera parte en el departamento de personal, el triple de la diferencia entre estos dos nmeros en el departamento de transporte y usted es el gerente. Cuntas personas en total laboran en dicha empresa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

7 [( 3.000 + X ) 12] = 1.500 + XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

X = 600El valor de la computadora era de $ 600COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 89Una serpiente mide un metro ms un quinto de su longitud total. Cunto mide la serpiente?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Personal que labora en la empresa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La quinta parte del personal de una empresa labora en el departamento de produccin:

X = Longitud de la serpiente.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X/5-88-

-87-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

La tercera parte labora en el departamento de personal:

X/3

El triple de la diferencia entre estos dos nmeros en el departamento de transporte:

A = Cantidad de refrescos A que se venden diariamente. B = Cantidad de refrescos B que se venden diariamente.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

3 ( X/3 X/5 )

Una tienda vende diariamente 1.000 refrescos de las marcas A y B:

Recuerde que la diferencia de dos nmeros es la resta del nmero mayor menos el menor y X/3 es mayor que X/5; si coloca X/5 X/3 se alterarn los resultados.Como usted es el gerente, y el total del personal ser la suma de todos los que laboran en la empresa:

A + B = 1.000Por cada refresco A se venden tres de la marca B:

(1)

3A = BRESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

X = X/5 + X/3 + 3 (X/3 X/5) + 1RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituyendo (2) en (1)

Despejando X en la ecuacin:

A = 250

;

B = 750

X = 15En la empresa laboran 15 personasCOMPROBAR LOS RESULTADOS

Diariamente la tienda vende 250 refrescos de la marca A y 750 de la marca B.COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 91Una tienda vende diariamente 1000 refrescos de las marcas A y B. Por cada refresco A se venden tres de la marca B. Cuntos refrescos de cada marca vende la tienda diariamente?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 92Para fabricar una pintura debo mezclar tres componentes: A, B y C. Se utiliza un 30% de B, un octavo de la mezcla es de A y el resto de C. Cuntas unidades de cada componente debo mezclar para obtener 100 unidades de pintura?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

-89-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-90-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de componente A quecontiene la mezcla. B = Cantidad de componente B que contiene la mezcla. C = Cantidad de componente C que contiene la mezcla.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EJERCICIO # 93Una fbrica ensambla dos productos: A y B. El producto A representa el 60% de la produccin total. Si se producen 100 unidades de B. Cul es la produccin total?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Si llamamos X a las unidades de pintura fabricadas, tendremos que para fabricar una unidad:

X=A+B+C

Para fabricar 100 unidades de pintura se utiliza un 30% de B, (30% = 0,30):

X = Produccin total. A = Cantidad de producto A ensamblado. B = Cantidad de producto B ensamblado.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

B = (0,30) (100) = 30

Para fabricar 100 unidades de pintura se utiliza un octavo de A, (1/8 = 0,125):

Una fbrica ensambla dos productos: A y B:

A = (0,125) (100) = 12,50 100 = 30 + 12,50 + CSi se producen 100 unidades de B:

X=A+B

(1)

La parte restante es del componente C:

El producto A representa un 60% de la produccin total:

A = 0,60 X B = 100

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

(3)

Despejando C en la ltima ecuacin:

RESOLVER EL PROBLEMA:

C = 57,50

;

A = 12,50

; B = 30,00

Sustituyendo (2) y (3) en (1): X = 0,60 X + 100 ; X 0,60 X = 100 ; 0,40 X = 100 X = 100 0,40 ; X = 250 La produccin total es de 250 unidadesCOMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Para fabricar 100 unidades de pintura debo mezclar 12,50 unidades de A, 30 unidades de B y 57,50 unidades de C.COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-91-

-92-

EJERCICIO # 94Hace 5 aos yo tena la edad actual de Luis, Pedro tiene el doble de la edad de Luis y 10 aos ms que yo. Cul es la edad de cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 95Hace 5 aos Luis tena mi actual edad, Pedro tiene el doble de la edad de Luis y 20 aos ms que yo.Cul es la edad de cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Mi edad actual. L = Edad actual de Luis. P = Edad actual de Pedro.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Mi edad actual. L = Edad actual de Luis. P = Edad actual de Pedro.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 5 aos yo tena la edad actual de Luis:

X-5=L P = 2L

(1)

Hace 5 aos Luis tena mi actual edad:

L-5=X P = 2L

(1)

Pedro tiene el doble el doble de la edad de Luis:

(2)

Pedro tiene el doble el doble de la edad de Luis:

(2)

Pedro tiene 10 aos ms que yo:RESOLVER EL PROBLEMA:

P = X + 10

(3)

Pedro tiene 20 aos ms que yo:

P = X + 20

(3)

Multiplique la ecuacin (2) por -1 y despus sume las tres ecuaciones y obtendr el valor de L, despus calcule X y P :

RESOLVER EL PROBLEMA:

L = 15 ; P = 30 ; X = 20Luis tiene 15 aos, Pedro 30 y yo 20

L = 15 ; P = 30 ; X = 10Luis tiene 15 aos, Pedro 30 y yo 10COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS

-94-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-93-

EJERCICIO # 96Tengo cuatro hijos. A tiene 3 aos ms que B, B tiene un ao ms que C, C tiene el doble de edad que D, D tiene 10 aos menos que B. Qu edad tiene cada uno de mis hijos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 97Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre ms en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. Cuntos hombres haba en el lado del primer cuadrado y cuntos hombres hay en la tropa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

A= B= C= D=

Edad actual de Edad actual de Edad actual de Edad actual de

A. B. C. D.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene 3 aos ms que B:

A=B+3 B=C+1 C = 2D D = B - 10

(1)

B tiene un ao ms que C:

(2)

Se quiere formar una figura geomtrica (cuadrado) utilizando una formacin militar. Debemos recordar que un cuadrado tiene sus lados iguales (largo = ancho). Imaginemos un tablero de ajedrez, para saber cuntas casillas lo conforman basta con multiplicar las casillas horizontales con las verticales. En forma similar debemos hacer con esta formacin militar; al multiplicar los hombres de una fila por los de una columna obtendremos el nmero de hombres que forman ese cuadrado especficamente y al sumarle los que quedan fuera o restarle los que faltan obtendremos el nmero total de la tropa.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

C tiene el doble de edad que D:

(3)

D tiene 10 aos menos que B:RESOLVER EL PROBLEMA:

(4)

X = # de hombres en un lado del primer cuadrado. Y = # total de hombres que conforman la tropa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = 22 ; B = 19 ; C = 18COMPROBAR LOS RESULTADOS

;

D=9

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-95-

Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Esto significa que colocando X hombres en las filas y X hombres en las columnas, quedan 36 hombres fuera, el nmero total ser igual a : ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -96-

Y = (X) (X) + 36

(1)

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Entonces pone un hombre ms ( X + 1 ) en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado:

D = Distancia de ida o vuelta.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Y = (X + 1) (X + 1) - 75RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Debemos recordad que distancia es el producto de la velocidad por el tiempo.

D=V.T

Utilizando el mtodo de igualacin: (X) (X) + 36 = (X + 1) (X + 1) 75 que al resolver: Qu distancia podr recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 Km por hora?.

X = 55

;

Y = 3.061

D1 = V1 T1 = 50 T1

En la tropa hay 3.061 hombres y en los lados del primer cuadrado haba 55 hombres en cada fila y en cada columna.COMPROBAR LOS RESULTADOS

Si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda 10 Km por hora?.

D2 = V2 T2 = 10 T2D1 = D2

Como la distancia de ida debe ser igual a la distancia de vuelta:

EJERCICIO # 98Un hombre que est en una ciudad dispone de 12 horas libres. Qu distancia podr recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 Km por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda 10 Km por hora?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

50 T1 = 10 T2Como el seor dispone de 12 horas:

(1)

RESOLVER EL PROBLEMA:

T1 + T2 = 12

(2)

Resuelva el sistema de dos ecuaciones ( 1 y 2 ) y obtendr los siguientes resultados:

T1 = 2

;

T2 = 10

Se trata de un hombre que dispone de un tiempo determinado para ir y venir a un sitio utilizando mviles con diferentes velocidades para su ida y vuelta. Debe tenerse clara la idea de que la distancia de ida debe ser igual a la de vuelta. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -97-

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de distancia obtendremos:

La distancia recorrida de ida o vuelta fue de 100 Km.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

D1 = 100

;

D2 = 100

-98-

EJERCICIO # 99La semana pasada usted cancel el sueldo de 15 obreros contratados y 10 obreros fijos con Bs. 3.000.000. Esta semana, con la misma cantidad de dinero, usted cancel el sueldo de 8 obreros fijos y 18 contratados. Cul es el sueldo semanal de cada obrero fijo y cada obrero contratado?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Sueldo de obrero fijo. Y = Sueldo de obrero contratado

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboracin en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendaciones a la siguiente direccin : [email protected] . Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o prctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envelo a la anterior direccin y se le enviar resuelto a la suya.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La semana pasada usted cancel el sueldo de 15 obreros contratados y 10 obreros fijos con Bs. 3.000.000:

10 X + 15 Y = 3.000.000

(1)

Esta semana, con la misma cantidad de dinero, usted cancel el sueldo de 8 obreros fijos y 18 contratados:

8 X + 18 Y = 3.000.000RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Resuelva el sistema de dos ecuaciones, utilizando el mtodo de reduccin, y obtendr los siguientes resultados:

X = 150.000

;

Y = 100.000

El sueldo semanal de cada obrero fijo es de Bs 150.000 y el de cada obrero contratado Bs 100.000.COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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