algebra basica

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David Gonzles Lpez LGEBRA BSICA Teora y prctica LGEBRA BSICA Teora y Prctica David Gonzles Lpez Primera Edicin 2009 Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2009 16362 Segunda Edicin 2011 Lambayeque, diciembre 2011 Impreso en Impresiones Montenegro Calle Manco Cpac 485 - Chiclayo 500 ejemplares Consultas y sugerencias al e-mail del autor: [email protected] Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del autor. Presentacin Presentacin Presentacin Presentacin El lgebra es el lenguaje de las matemticas y una de sus ramas que estudia a la cantidad del modo ms general posible. Las matemticas son, esencialmente, la expresin o reduccin de ideas complejas y sofisticadas mediante smbolos, y operaciones sobre smbolos. Una vez que tenemos los smbolos y las operaciones aparece el lgebra. El lgebra tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver las cuestiones relativas a la cantidad, determinando las operaciones que hay que efectuar para llegar a cierto resultado, transformando las expresiones algebraicas en otras equivalentes y adquiriendo las bases para mas tarde poder hacer planteamientos matemticos que representen la realidad. El dominio del lgebra elemental tiene una enorme importancia para el dominio de la matemtica porque en l se conjugan capacidades, habilidades y destrezas; ya que en cada uno de sus temas el alumno deber poner en juego un alto grado de prctica y abstraccin. El propsito de este material es hacer llegar a los postulantes a universidades y centros de estudios superiores el desarrollo terico, prctico y formativo de algunos temas del lgebra, los cuales son muy necesarios y relevantes para el aprendizaje del lgebra y la matemtica en general. Sirve tambin como material de consulta para los estudiantes de cursos avanzados de matemticas. Cada tema desarrollado tiene parte terica, ejercicios resueltos y propuestos para una cabal retroalimentacin. Estos temas se han desarrollado minuciosamente, para una fcil comprensin por el lector; en muchos casos, se ha optado por dos o ms formas de solucin, dndole al estudiante un mayor panorama en cuanto los criterios a tomar frente a un problema determinado. En la segunda edicin se han incluido el tema de logaritmos, ejercicios adicionales de los temas de lgebra tratados en este material y preguntas de lgebra en los exmenes de admisin de algunas universidades del Pas. Espero que este material logre convertirse en un importante auxiliar pedaggico para todos los estudiantes egresados de secundaria; y a travs de l, logre aportar en su preparacin preuniversitaria y en su posterior desarrollo profesional. El Autor NDICE Presentacin 1.1. CONCEPTOS PREVIOS 01 Conjuntos numricos / El conjunto de los nmeros naturales / El conjunto de los nmeros enteros / El conjunto de los nmeros racionales / El conjunto de los nmeros irracionales / El conjunto de los nmeros reales / El conjunto de los nmeros complejos. 1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................. 04 lgebra / Expresiones algebraicas / trmino algebraico / trminos semejantes / clasificacin de las expresiones algebraicas / Grado de una expresin algebraica / Polinomios especiales / valor numrico de expresiones algebraicas. 1.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS ... 11 Adicin y sustraccin de polinomios / Multiplicacin de polinomios / Productos notables / Divisin de polinomios / Teorema del resto / Teorema del factor / Cocientes notables. 1.4. FACTORIZACIN . ... ... 28 Polinomio primo sobre un conjunto numrico / Mtodos para factorizar una expresin algebraica. 1.5. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES . 43 Fraccin algebraica / Clases de fracciones / signos de una fraccin / simplificacin de fracciones/ Operaciones con fracciones / simplificacin de fracciones complejas / Fracciones parciales. 1.6. TEORA DE EXPONENTES .. 59 Potenciacin / Radicacin / Leyes de exponentes. 1.7. RACIONALIZACIN .. .. 68 Factor racionalizante / casos que se presentan para racionalizar. 1.8. LOGARTMOS . 70 Definicin / identidad fundamental del logaritmo / propiedades generales del logaritmo / Antilogaritmo / Cologaritmo / Sistema de logaritmos / Ecuacin logartmica / Inecuacin logartmica. 1.9. EJERCICIOS ADICIONALES 86 Grado, polinomios y valor numrico / Divisin de polinomios / Productos notables / Factorizacin / Fracciones algebraicas racionales / Teora de exponentes / Logaritmos. 1.10. PREGUNTAS DE LGEBRA EN LOS EXMENES DE ADMISIN 99 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo (UNPRG) / Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) / Universidad Nacional de Ingeniera (UNI). DAVID GONZLES LPEZ 1 LGEBRA BSICA - TEORA Y PRCTICA 1.1. CONCEPTOS PREVIOS Conjuntos numricos Los conjuntos numricos que se estudian en las matemticas son: Los nmeros naturales, nmeros enteros, nmeros racionales, nmeros irracionales, nmeros reales y nmeros complejos. El conjunto de los nmeros naturales ) N ( Es el conjunto denotado por N cuyos elementos son empleados para realizar la operacin de contar. N={ } . . . , n , . . . 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, N={ } natural nmero un es x / x El conjunto de los nmeros enteros ) Z ( Contar con nmeros ms y ms grandes no era problema, contar en forma descendente era asunto distinto : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Pero qu vena despus de cero?. Sin embargo, si se habla de deudas, temperaturas muy fras y an de las cuentas regresivas en los lanzamientos a la luna, debemos tener una respuesta. Enfrentndose a este problema, los matemticos inventaron un cmulo de nmeros: , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ... llamados enteros negativos, que junto con los nmeros naturales forman el conjunto de los nmeros enteros, denotado por . { } . . . , n , . . . , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . .. , n , . . . Z = = { } entero nmero un es x / x Del conjunto podemos obtener los siguientes subconjuntos : { } 1 , 2 , 3 , 4 , . . . Z = + = { } . . . 4, 3, 2, 1, { } 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . Z0 = + 0= { } . . . 4, 3, 2, 1, 0, El conjunto de los nmeros racionales ) Q ( Enfrentados a la necesidad de dividir, los matemticos decidieron que el resultado de dividir un entero entre otro entero distinto de cero se poda ver como un nmero. Esto significa que: ,28 ,1514 ,32 ,87 ,43etc. son nmeros con todos los derechos y privilegios de los enteros e inclusive un poco ms. Siempre es posible dividir excepto entre cero. De manera natural esos nmeros se llaman nmeros racionales (una razn de nmeros). El conjunto de los nmeros racionales se denota por Q. DAVID GONZLES LPEZ 2 )` = . . . ,nm, . . . , 5 , . . . , 1 ., . . ,21, . . . , 0 , . . . ,31, . . . ,21, . . . , 1 , . . . ,nm, . . . Q )` = = 0 n , Z n , m ; nmx / x Q Cundo un nmero decimal es racional? a) Los nmeros decimales finitos son racionales Q1002323 , 0 = b) Los nmeros decimales peridicos puros y peridicos mixtos son nmeros racionales. Q3193... 3333 , 0 = = Q9902399902 241... 2414141 , 0 == Q3379921... 212121 , 0 = = Q991229902 2321 ... 2323232 , 1 =+ = El conjunto de los nmeros Irracionales ) I ( Est formado por todos los nmeros decimales que no se pueden expresar de la forma nm con Z n , m y 0 n . El conjunto de los nmeros irracionales se denota por I . { } . . . , e 4 , . . . , , . . . , 5 , . . . , 3 , . . . , 2 , . . . , 5 , . . . , , . . . I3 = { } preidica no infinita decimal cin representa tiene x / x I = Hay dos nmeros irracionales muy importantes en las matemticas, dichos nmeros son: a) El nmero pi ) ( , cuya aproximacin decimal es: 1416 , 3 Una primera referencia del valor de aparece en la Biblia. En el primer libro de los Reyes, captulo 7, versculo 23. Aqu el valor de es 3, inexacto por supuesto. El nmero se obtiene de la relacin que existe entre la longitud de una circunferencia y su dimetro, es decir: = =ncia circunfere la de Radio : Rncia circunfere la de Longitud : C2RC b) El nmero e (psilon ), cuya aproximacin decimal es: 7182 , 2 e = El conjunto de los nmeros Reales ) R ( El conjunto de los nmeros reales denotado por R , es la reunin de los nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales As : I Q Z N R = , adems = I Q . Tambin I Q R = . Intuitivamente los nmeros reales se representa por una recta y la llamamos RECTA REAL DAVID GONZLES LPEZ 3 )` = ,... 28 ,..., 5 ,..., 2 ,...,23,..., 1 ,..., 0 ,..., 1 ,..., 2 ,..., 5 ,..., ..., R { } irracional o racional nmero un es x / x R = El conjunto de los nmeros Complejos ) C ( Sean las ecuaciones 0 1 x2= + y 0 4 x2= + desarrollando se tiene 1 x2 = 0 4 x2= + 1 x2 = 4 x = i x = i 2 x = Ambas ecuaciones no tienen solucin en el conjunto de los nmeros reales. Frente a esta situacin aparece el nmero 1 i = que satisface 1 i2 = .Descartes fue el primero en llamarlo nmero imaginario. Es as como aparecen los nmeros complejos: i 2 3 , i 0 5 , i 2 7 , i 421 , i32 , i 2 3 , i 4 , i 2 + + + , etc. Los nmeros complejos se denotan por C. { } 1 i , R b , a ; bi a x / x C = + = = Los nmeros complejos se representan de la siguiente forma : bi a + forma binmica : ) b , a ( forma cartesiana , donde : a parte real : b parte imaginaria Conclusin - Todo nmero es complejo - C R Q Z N - I es disjunto de Z , N y Q Grfica DAVID GONZLES LPEZ 4 1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS lgebra Parte de la matemtica elemental que estudia a las cantidades en su forma ms general, haciendo uso para ello de letras y nmeros. Teniendo como objetivo transformar, generalizar, simplificar y resolver cuestiones relativas a la cantidad. Expresiones algebraicas Llamamos expresin algebraica a toda combinacin de nmeros y letras (variables) unidas entre s por los signos de diferentes operaciones aritmticas: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin en una cantidad limitada de veces (cuyos exponentes a lo ms son nmeros racionales). Ejemplos: y 4 x , y - xyz 4x ,y 6 3x5 x 6x , y 5 y 2x , 2x , y x32 322 32 3+ No son expresiones algebraicas: x log , x cos , 84x Observacin Los tres ltimos ejemplos son expresiones trascendentes o no algebraicas, denominadas: exponencial, trigonomtrica y logartmica respectivamente. Trmino algebraico Es aquella expresin algebraica donde no se encuentran presentes las operaciones de adicin y sustraccin. Ejemplo: Otros ejemplos : , z y x , 4xy - , y x 3 , x 73 1/2 2 3 Trminos semejantes Son aquellos trminos que tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes Ejemplos: a) xy 21 , y x 3 , xy 4 son trminos semejantes b) y x21 , y x 3 , y x 2 , y x432 3 2 3 2 3 2 3 son trminos semejantes Clasificacin de las expresiones algebraicas A. Por su forma o naturaleza Se clasifican de acuerdo a la forma de sus exponentes que afectan a sus variables. a) Expresin algebraica racional (E.A.R.) Una expresin algebraica es racional cuando los exponentes de la parte literal( letras) son nmeros enteros. Ejemplos: 23324 2xy 7y 2x 5 , ) y x (1 , 2yx , z 7 xy 5 y 4 +++ + No son expresiones algebraicas racionales: z 7 3x 5x , 1 xy , y x 61/4 1/2 2+ + + + 3x 2 +coeficiente exponente parte literal signo DAVID GONZLES LPEZ 5 - Expresin algebraica racional entera (E. A. R. E.).- Es aquella expresin algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes enteros positivos en su parte literal; es decir, no tiene parte literal en su denominador. Ejemplos: 8 x 6 7x , 432x 5y x 43 2+ + - Expresin algebraica racional fraccionaria ( E. A. R. F.).- Es aquella expresin algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes negativos en su parte literal; es decir, tiene parte literal en su denominador. Ejemplos: y xxy , x 6 x 7 , x43 83++ b) Expresin algebraica irracional ( E. A. I. ) Una expresin algebraica es irracional cuando presenta exponentes fraccionarios en su parte literal. Ejemplos: x 5x12 , x 4 x 6 5x , x 10 x 8 x 5738 9 8 / 1 2 / 1 3 / 1+ + + Observa el siguiente esquema: B. Por su nmero de trminos Pueden ser: a) Monomio Es una expresin algebraica que consta de un slo trmino. Dicho trmino es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicacin y la potenciacin de exponente natural. Tambin podemos decir, un monomio es una expresin algebraica racional entera que consta de un slo trmino. Ejemplos: y x 7 , 4x 3 5 y z y x 52 3 4 b) Multinomio Es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos algebraicos Ejemplos: y x 7 y x 2 y 3x5 2 4 3 4 + y 3 x y x 2 4x5 5 3 4+ + Un caso particular de stos es el polinomio o polinomio entero. Polinomio entero: es aquella expresin algebraica cuyos trminos son todos expresiones algebraicas racionales enteras. Ejemplos: 4 x 5 x 2 3x P(x)3 4+ + = y y x 5 7xy 3xy y) Q(x,8 4 4 3+ + = C CL LA AS SI IF FI IC CA AC CI I N N D DE E L LA AS S E EX XP PR RE ES SI IO ON NE ES S A AL LG GE EB BR RA AI IC CA AS S Expresiones algebraicas racionales Expresiones algebraicas irracionales Enteras Fraccionarias DAVID GONZLES LPEZ 6 Grado de una expresin algebraica A. Grado de un monomio - Grado absoluto: est dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. - Grado relativo: est dado por el exponente de la letra referida. Ejemplo: Sea el monomio: 9 3 6z y x 12 Grado absoluto ) GA ( : 18 9 3 6 = + + Grado relativo ) GR ( Grado relativo respecto a x ) GR (xes 6 Grado relativo respecto a y ) GR (yes 3 Grado relativo respecto a z ) GR (zes 9 B. Grado de un polinomio - Grado absoluto: est dado por el monomio de mayor grado absoluto. - Grado relativo: est dado por el mayor exponente de la letra referida. Ejemplo: Sea el polinomio: y 5 y x 8 y 3x3 3 4 + Grado absoluto: Grado absoluto ) GA ( de y 3x3 4es 7 3 4 = + Grado absoluto ) GA ( de y x 83 es 4 1 3 = + Grado absoluto ) GA ( de y 5 es 1 Por lo tanto, el Grado absoluto ) GA ( del polinomio es 7 Grado relativo: Grado relativo respecto a x ) GR (xes 4 ( mayor exponente de la variable x ) Grado relativo respecto a y ) GR (yes 3 ( mayor exponente de la variable y) Polinomios especiales A. Polinomio completo con respecto a una letra: es el polinomio que presenta todas las potencias de una letra, desde el mayor grado hasta el cero inclusive. El trmino algebraico que tiene la letra de grado cero se llama trmino independiente. Ejemplo: 8 xy 4 x 5 y x 3 ) y , x ( P2 2 3 + = Este polinomio es completo respecto a x B. Polinomio ordenado con respecto a una letra: es el polinomio cuyos exponentes de la letra considerada, van aumentando o disminuyendo, segn sea ascendente o descendente la ordenacin. Ejemplo: y 9 xy 7 y x 6 y 8x y) P(x,3 6 4 3 5 + = Este polinomio es ordenado con respecto a x C. Polinomio completo y ordenado con respecto a una letra: es aquel polinomio que presenta las dos caractersticas anteriores. Ejemplos: 3 x 4 x 3 x x 8x P(x)2 3 4 5+ + + = 4 y x 3 y xy y 5x y) Q(x,3 2 3 4 2+ + + = ( polinomio completo y ordenado con respecto a y) DAVID GONZLES LPEZ 7 D. Polinomio homogneo: es el polinomio que presenta el mismo grado absoluto en todos sus trminos. Ejemplo. xy 2 x 4 y x 6 y 7x y) P(x,4 5 2 3 3 2 + = E. Polinomios idnticos: son aquellos polinomios que presentan en sus trminos semejantes, coeficientes iguales. Sea cx bx ax ) x ( P2 3+ + = y px nx mx ) x ( Q2 3+ + = Decimos que p c , n b , m a ) x ( Q ) x ( P = = = As : 1 x28y x 3 ) x ( P2+ = es idntico a ) 3 4 ( x 4 y x 3 ) x ( Q2 + = F. Polinomio nulo: es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos o iguales a cero. Tambin se le llama polinomio idnticamente nulo. Sea d cx bx ax ) x ( P2 3+ + + = , decimos que 0 d , 0 c , 0 b , 0 a 0 ) x ( P = = = = = G. Polinomio opuesto: es aquel polinomio que se obtiene cambiando de signo a todos sus coeficientes del polinomio dado Sea d cx bx ax ) x ( P2 3+ + + = decimos que ) x ( P es su opuesto d cx bx ax ) x ( P 2 3 = As : Sea x 4 y x 3 x 2 ) x ( P2 3 + = su opuesto es x 4 y x 3 x 2 ) x ( P2 3+ = Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales 1. Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios: a) x x x2 3+ + c) 4 4 2 2 3y xy y x y x + b) 6 x 4 x 3 x 54 2 + d) 6 4 2 2 3 4 5y 3 y x z x 4 y x 6 x + 2. Hallar el grado de los siguientes polinomios con relacin a cada una de sus letras. a) 3 2 3xy x x + c) 2 5 3 2 4 3z xy z x y x + + b) 5 4 2 3 4xy 4 y x 6 x 4 x + d) 11 15 8 3 4 6 2 4z y x y x 4 xy y x + + 3. Hallar a y b en el monomio b a b ay x 5 + si el grado relativo respecto a x es 8 y respecto a yes 12. 4. Hallar my n sabiendo que el monomio : n 3 ) 1 m ( 2y x ) n m ( + tiene grado absoluto igual a 17 y que adems su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo con respecto a x . 5. Si 8 5 2z y x 7 ) z , y , x ( P = calcular : y xzGR GRGA GR++ 6. Si 10 5 14z y x 5 ) z , y , x ( Q = calcular : x yzGR GRGA GR++ 7. Sea el siguiente monomio b ay x 5 ) y , x ( M = y sabiendo que 5 GA 2 GRx = = calcular 2 2b a + 8. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio : 5 4) x 1 ( ) 5 x ( ) x ( P + + = 9. Sea 2 n 2 n n 6 2 ny x y x ) y , x ( P + ++ = . Si cada trmino tiene el mismo grado absoluto, hallar n . 10. Sea a 5 a 7 a 2 2 a 3 a 5 a 1 ay x y x y x y x ) y , x ( P ++ + + = , adems 7 ) P ( GRx = Hallar el ) P ( GA 11. Hallar ) b a ( + si 8 b a b a b a ax 8 y x 2 y x 3 ) y , x ( P + = + es homogneo. DAVID GONZLES LPEZ 8 12. Hallar ) d c b a ( + si d x ) 5 c ( x ) 8 b 4 ( x ) 12 a 2 ( ) x ( P2 3+ + + + = es nulo. 13. Sea el polinomio 16 b c 15 b a 18 ax 7 x 18 x 5 ) x ( P + + + + = , hallar c y b , a para que el polinomio ) x ( P sea completo y ordenado en forma descendente. 14. Calcular p n m E + + = en la identidad ) 3 x )( 2 x )( 1 x (13 x 10 x3 xp2 xn1 xm2 + ++ 15. Se sabe que el polinomio 3 a 4 b a 1 c b 1 d cx 8 x 7 x 5 x 2 ) x ( P + + ++ + + = es completo y ordenado descendentemente , calcular d c b a M + + + = . 16. Si el polinomio 6 m 3 m n 5 n px 7 x 4 x 3 ) x ( P + + + = es completo y ordenado ascendentemente, calcular el valor de ) p 4 n 3 m 2 ( + . 17. Determinar ) c b a ( + + sabiendo que el polinomio c x 11 bx 5 ax x 3 ) x ( P2 2+ + + = es idnticamente nulo. 18. Si ) x ( P es idnticamente nulo, hallar 2) b a ( en 2 ) 2 x ( b ) 3 x ( a ) a x ( P + + + + = . 19. Hallar ) b a ( ab E + = si el polinomio 8 b a b 2 a b b a b 2 ay x 7 y x 5 y x ) y , x ( P + + + = es homogneo 20. En el polinomio homogneo ab 3 b a b a) y x ( ) y x ( ) y , x ( P + = + el grado relativo a x es 48. Indicar el valor de ) b a ( + . 21. Halle el nmero de trminos del polinomio completo y ordenado ... x ) 3 n ( x ) 2 n ( x ) 1 n ( ) x ( P4 n 5 n 6 n+ + + = 22. Si el polinomio ) x ( P es ordenado y completo. Indicar cuntos trminos tiene. ... x ) 5 n ( x ) 4 n ( x ) 3 n ( ) x ( P6 n 7 n 8 n+ + + = Valor numrico de expresiones algebraicas Se denomina valor numrico de una expresin algebraica al resultado de sustituir cada una de las letras(variables) por nmeros y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos: 1. Hallar el valor numrico de 3y xy x 3E += para -1/2 y , 1 x = = Solucin 3)21( ) 1 ()21( ) 1 ( 3E = + = = + 323213= 32325= 335= 33534 39 5 = 2. Si 3 x ) 1 x ( P + = + , hallar ) 4 ( P ) 3 ( P E + = Solucin Primera forma: Haciendo 1 k x k 1 x = = + Escribiendo la expresin original en trminos de k tenemos: 2 k P(k) 3 1 k ) k ( P + = + = Una vez reducida se hace: x k = y se tiene 2 x ) x ( P + = hallamos 1 2 3 ) 3 ( P = + = y 6 2 4 ) 4 ( P = + = Luego 5 6 1 ) 2 4 ( ) 2 3 ( ) 4 ( P ) 3 ( P E = + = + + + = + = DAVID GONZLES LPEZ 9 Segunda forma: Reemplazamos x por 1 x para hallar el ) x ( P 3 x ) 1 x ( P + = + 3 ) 1 x ( ) 1 ) 1 x ( ( P + = + 2 x ) x ( P + = hallamos 1 2 3 ) 3 ( P = + = y 6 2 4 ) 4 ( P = + = Por lo tanto 5 6 1 ) 4 ( P ) 3 ( P E = + = + = Tercera forma: Escribiendo ) 3 x ( + en funcin de 1 x + : 2 ) 1 x ( ) 1 x ( P + + = + luego donde aparezca ) 1 x ( + se colocar x : 2 x ) x ( P + = Por lo tanto 5 ) 2 4 ( ) 2 3 ( ) 4 ( P ) 3 ( P E = + + + = + = Cuarta forma: Para calcular la expresin pedida podemos hacer: 4 x 3 1 x = = + 3 x 4 1 x = = + Estos valores se reemplazan en la igualdad original ( 3 x ) 1 x ( P + = + ) 1 3 4 ) 3 ( P = + = y 6 3 3 ) 4 ( P = + = Luego, 5 6 1 ) 4 ( P ) 3 ( P E = + = + = Ejercicios 02: Valor numrico de expresiones algebraicas Hallar el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas 1. 3 23 2 2y xz y xE+ = para 1 z , 1 y , 2 x = = = 2. 3 y x 3 y x E3 3 2+ = para 2 / 1 y , 1 x = = 3. y x z 21 y 2 x 3E+ + = para 2 / 1 z , 3 / 1 y , 2 / 1 x = = = 4. 2 3 23 2 3z y xz y xE + = para 2 z , 2 / 1 y , 1 x = = = 5. xz z zy 2 xE3 2 2 2= para 2 z , 1 y , 1 x = = = 6. ) y x )( x z y ( ) z y x (xyz 2yxzzxy 3E2 + + + + = para 2 z , 1 y , 1 x = = = 7. yy xxy xE2 2+= para 1/2 y , 2 x = = 8. ) xxy( )y1x1( E + = para 1/2 y , 3 / 1 x = = DAVID GONZLES LPEZ 10 9. xy1y 3 y x 5E23 2+ = para 2 y , 2 / 1 x = = 10. y - xx x xy 23yxE2= para 1 y , 2 / 1 x = = 11. ) z k )( y k )( x k ( k z3E = para 6 z , 2 y , 5 x = = = sabiendo que z y x k 3 + + = 12. ) c x )( b x )( a x ( x E = donde 2 2 b , 2 2 a , 2c b ax = + =+ += y 3 2 c = 13. y 2 x 3y 2 x 5 y 2 xy 2 x 5E+++= si se cumple que 2xy 4yx= + Resolver los siguientes ejercicios sobre valor numrico de un polinomio 14. Sea 4 x x ) x ( P2+ = , calcular : ) 3 ( P ) 1 ( P) 2 ( P ) 0 ( PE + += 15. Sea 2 x 3 x 4 ) x ( P2+ + = , calcular )) 1 ( P ( P )) 0 ( P ( P E + = 16. Si 3 x ) 7 x ( P = + , calcular ) 2 / 1 ( P ) 2 / 1 ( P E + = 17. Sea 5 x 2 ) 1 x ( P = , hallar ) 4 ( P 18. Sabiendo que 1 x x ) 1 x 2 ( P2+ + = + y 1 x x ) 2 x ( Q2+ = + , calcular )) 2 ( Q ( P 19. Si tenemos que 3 x ) Q(x , 2 x ) x ( P3 2+ = + = y 4 x ) x ( R4+ = calcular ) 16 ( R ) 27 ( Q ) 4 ( P E + + = 20. Si 3 x1 x 3) x ( P+= hallar )) x ( P ( P 21. Si 1 x1 x 2) x ( P= adems 1 )) x ( P ( P = , hallar el valor de 5 x 8 E + = 22. Si xnm)n mxn mx( P =+ hallar ) 3 ( P 23. Si x1 x 2)) x ( Q ( P = y 1 xx) x ( Q= , hallar ) x ( P 24. Si b ax x ) a x ( P2+ = + y a bx x ) b x ( Q2+ = , determinar )) 0 ( Q ( P 25. Si 3 cx ax ) 1 x ( Q , 1 bx x 3 ) 1 x ( P2 2+ + = + = + y ) 1 x ( Q ) x ( P + = , hallar c b a E + + = 26. Sabiendo que x 5 ) 2 x ( P ) 1 x ( P = + + + y 2 ) 3 ( P = ,hallar ) 2 ( P ) 5 ( P E = 27. Se definen P 2 x ) 2 ) 1 x ( f ( + = + y 7 x ) 1 x ( P + = , a base de ello determinar ) 7 ( f 28. Si 5 x 4 ) x ( P + = y 5 x 8 ) 3 ) x ( g ( P + = + , hallar ) 4 ( g DAVID GONZLES LPEZ 11 1.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS Adicin y sustraccin de polinomios La adicin de polinomios es una operacin que tiene por objeto reunir dos o mas polinomios (sumandos) en una sola expresin( suma) La sustraccin de polinomios es la operacin que consiste en sumar al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo para obtener el polinomio diferencia. La adicin y la sustraccin de polinomios consiste en la reduccin de trminos semejantes As, sean los polinomios R , Q , P y S R Q P = + y S ) Q ( P Q P = + = Ejemplos 1. Hallar la suma de 3 y xy 7 4x ; x 3 xy 3 y 2 ; y xy 3 x 22 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + Solucin Sea 3 y xy 7 4x x 3 xy 3 y 2 y xy 3 x 2 S2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + = Agrupando trminos semejantes y reducindolos se tiene: 3 ) y y 2 y ( ) xy 7 xy 3 y x 3 ( ) x 4 x 3 x 2 ( S2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + = 3 y 2 xy 7 x 3 S2 2 2 + = 2. Sea 3 y 2 y x 2 x 5 P2 2 3 + = y 3 x 2 y x 5 x 2 Q2 2 3 = hallar Q P Solucin = + = ) Q ( P Q P 3 y 2 y x 2 x 52 2 3 + ) 3 x 2 y x 5 x 2 (2 2 3 + = 3 y 2 y x 2 x 52 2 3 + 3 x 2 y x 5 x 22 2 3+ + + = x 2 y 2 ) 3 3 ( ) y x 5 y x 2 ( ) x 2 x 5 (2 2 2 2 3 3+ + + + + = x 2 y 2 y x 7 x 32 2 3+ + 3. De xy 5 y y x2 2 + restar xy 7 y 3 y x 22 2 + Solucin Sea ) xy 7 y 3 y x 2 ( xy 5 y y x M2 2 2 2 + + = xy 7 y 3 y x 2 xy 5 y y x M2 2 2 2+ + + = ) xy 7 xy 5 ( ) y 3 y ( ) y x 2 y x ( M2 2 2 2+ + + + = xy 2 y 2 y x 3 M2 2+ = Ejercicios 03: Adicin y sustraccin de polinomios enteros Hallar la suma de : 1. 2 2 2 2 2 2y xy 7 x ; x 3 xy 3 y 2 ; y xy 3 x + + + 2. x y 5 xy 4 x 3 ; x 3 y x y x 5 ; y xy x3 2 3 3 3 2 3 2 3+ + + + 3. 2 2 2 2 2 2y41x31xy65 ; y81x61xy21 ; xy43y32x65+ + + DAVID GONZLES LPEZ 12 4. x43x65x53 ; 3 x83x32 ; 5 x x3 4 3 2 4 + + 5. 4 2 2 3 4 3 2 2 4 4 2 2 4y71y x41y x65 ; y141xy61y x83x65 ; y72y x 2 x + + + 6. 2 3 4 2 5 3 5x41x61x32 ; x101x83x 3 ; x54x32x + + + + 7. 2 2 3 3 2 2 3 2 3ax41x a21a32 ; x91ax87x a73 ; x31ax65a92 + + 8. 5 2 3 4 5 3 2 4 5 4 2 3 5 5y31y x52y 2x ; x91y x65y x53 ; y61xy43y x101 ; y x Resolver 9. De xy 3 y x2 2 + restar xy 4 x 3 y2 2 + 10. De 8 y 6 y3 2 + restar y 6 y 3 y 22 4+ 11. De 19 x 6 x 9 x2 3 + restar 3 2x 6 43 x 21 x 11 + + 12. De 31 y 6 y 9 y2 3 5 + restar y 19 y 8 y 31 y 112 3 4 + 13. Restar 7 x 6 x 9 x 62 3 + de 15 x 25 x 8 x2 3 4+ + 14. Restar 5 4 3 2 5y 25 xy 6 y x x + + de 4 5 2 3 5xy 15 x 19 y x 8 y 3 15. Restar 5 y 8 y 15 y 8 y 235 4 3 + de 9 y y 8 y 34 3 5+ + 16. Restar 6 x43y x613 2+ + de 29y x x97xy832 3 2 + 17. Hallar la expresin que sumada con 5 x x2 3+ da 6 x 3 18. Hallar la expresin que sumada con x b 9 a 5 + da a 9 x 8 + 19. De 3 3b31a21 restar la suma de 2 2ab43b a23+ con 3 2 2b32ab65b a81+ 20. De la suma de 2 2y92xy65x53+ con 41y31xy232+ restar la suma de xy91y32x922 2+ con 21y23xy922x45172 2 Multiplicacin de polinomios La multiplicacin de polinomios es la operacin que consiste en obtener una expresin llamada producto, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador As, sean los polinomios Q , P y R R Q P = Propiedades : n m n mx x x += y n . m n mx ) x ( = Ejemplos 1. Sea 2 2y32xy 2 x 3 P + = y y x32Q = hallar Q P DAVID GONZLES LPEZ 13 Solucin ) y x32)( y 6 xy 2 x 3 ( Q . P2 2 + = ) y )( y 6 ( ) x32)( y 6 ( ) y )( xy 2 ( ) x32)( xy 2 ( ) y )( x 3 ( ) x32)( x 3 ( Q . P2 2 2 2 + + + + + = 3 2 2 2 2 3y 6 xy 4 xy 2 y x34y x 3 x 2 Q . P + + = 3 2 2 2 2 3y 6 ) xy 4 xy 2 ( ) y x34y x 3 ( x 2 Q . P + + + = 3 2 2 3y 6 xy 6 y x313x 2 Q . P + = 2. Sea 2 ny x 3 P = y 4 2 n n 2y y x x 2 Q + = hallar Q . P Solucin ) y y x x 2 ( ) y x 3 ( Q . P4 2 n n 2 2 n+ = ) y )( y ( ) y x )( y ( ) )(2x y ( ) y )( x 3 ( ) y x )( x 3 ( ) x 2 )( x 3 (4 2 2 n 2 n 2 2 4 n 2 n n n 2 n + + + + + = 6 4 n 2 n 2 4 n 2 n 2 n 3y y x y x 2 y x 3 y x 3 x 6 + + = 6 4 n 4 n 2 n 2 2 n 2 n 3y ) y x y x 3 ( ) y x 2 y x 3 ( x 6 + + + = 6 4 n 2 n 2 n 3y y x 4 y x 5 x 6 + = Productos notables Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operacin. Los ms importantes son: 1. Binomio al cuadrado ( Trinomio cuadrado perfecto) 2 2 2y xy 2 x ) y x ( ) y x )( y x ( + + = + = + + 2 2 2y xy 2 x ) y x ( ) y x )( y x ( + = = 2 2 2 2 2y b abxy 2 x a ) by ax ( ) by ax )( by ax ( + + = + = + + 2 2 2 2 2y b abxy 2 x a ) by ax ( ) by ax )( by ax ( + = = 2. Trinomio al cuadrado yz 2 xz 2 xy 2 z y x ) z y x ( ) z y x )( z y x (2 2 2 2+ + + + + = + + = + + + + bcyz 2 acxz 2 abxy 2 z c y b x a ) cz by ax ( ) cz by ax )( cz by ax (2 2 2 2 2 2 2+ + + + + = + + = + + + + 3. Binomio al cubo ) y x ( xy 3 y x y xy 3 y x 3 x ) y x ( ) y x )( y x )( y x (3 3 3 2 2 3 3+ + + = + + + = + = + + + ) y x ( xy 3 y x y xy 3 y x 3 x ) y x ( ) y x )( y x )( y x (3 3 3 2 2 3 3 = + = = 3 3 2 2 2 2 3 3 3y b y axb 3 by x a 3 x a ) by ax ( ) by ax )( by ax )( by ax ( + + + = + = + + + 3 3 2 2 2 2 3 3 3y b y axb 3 by x a 3 x a ) by ax ( ) by ax )( by ax )( by ax ( + = = DAVID GONZLES LPEZ 14 4. Trinomio al cubo ) z x )( z y )( y x ( 3 z y x ) z y x ( ) z y x )( z y x )( z y x (3 3 3 3+ + + + + + = + + = + + + + + + xyz 3 ) xz yz xy )( z y x ( 3 z y x ) z y x (3 3 3 3 + + + + + + + = + + 5. Producto de una suma por su diferencia( Diferencia de cuadrados) n 2 m 2 2 n 2 m n m n my x ) y ( ) x ( ) y x )( y x ( = = + 2 2y x ) y x )( y x ( = + 2 2 2 2 2 2y b x a ) bx ( ) ax ( ) by ax )( by ax ( = = + 6. Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos n 3 m 3 n 2 n m m 2 n my x ) y y x x )( y x ( + = + + n 3 m 3 n 2 n m m 2 n my x ) y y x x )( y x ( = + + 3 3 2 2y x ) y xy x )( y x ( + = + + 3 3 2 2y x ) y xy x )( y x ( = + + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2y b x a ) by ( ) ax ( ) y b abxy x a )( by ax ( + = + = + + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2y b x a ) by ( ) ax ( ) y b abxy x a )( by ax ( = = + + 7. Identidad de ARGAND n 4 n 2 m 2 m 4 n 2 n m m 2 n 2 n m m 2y y x x ) y y x x )( y y x x ( + + = + + + my n : nmero par m 4 m 2 m 2 m 4 m 2 m m m 2 m 2 m m m 2y y x x ) y y x x )( y y x x ( + + = + + + 1 x x ) 1 x x )( 1 x x (k 2 k 4 k k 2 k k 2+ + = + + + 1 x x ) 1 x x )( 1 x x (2 4 2 2+ + = + + + 4 2 2 4 2 2 2 2y y x x ) y xy x )( y xy x ( + + = + + + 8. Producto de binomios con un trmino comn ab x ) b a ( x ) b x )( a x (2+ + + = + + abc x ) bc ac ab ( x ) c b a ( x ) c x )( b x )( a x (2 3+ + + + + + + = + + + 9. Producto de binomios de la forma ) d cx )( b ax ( + + bd x ) bc ad ( acx ) d cx )( b ax (2+ + + = + + 10. Identidades de Legendre ) y x ( 2 ) y x ( ) y x (2 2 2 2+ = + + xy 4 ) y x ( ) y x (2 2= + ) y b x a ( 2 ) by ax ( ) by ax (2 2 2 2 2 2+ = + + abxy 4 ) by ax ( ) by ax (2 2= + 11. Identidades de Lagrange ) y x )( b a ( ) bx ay ( ) by ax (2 2 2 2 2 2+ + = + + ) z y x )( c b a ( ) cy bz ( ) cx az ( ) bx ay ( ) cz by ax (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + + = + + + + + DAVID GONZLES LPEZ 15 Observacin Identidades complementarias 1. Condicionales: Si 0 c b a = + + se verifica que: ) ac bc ab ( 2 c b a2 2 2+ + = + + 2 2 2 2 2 2 2a c c b b a ) ca bc ab ( + + = + + abc 3 c b a3 3 3= + + ) c b c a b a ( 2 c b a2 2 2 2 2 2 4 4 4+ + = + + ) c b a ( 2 ) c b a (4 4 4 2 2 2 2+ + = + + ) ac bc ab ( abc 5 c b a5 5 5+ + = + + 2. ) b a ( ab 8 ) b a ( ) b a (2 2 4 4+ = + 3. Identidad de Gauss abc 3 c b a ) bc ac ab c b a )( c b a (3 3 3 2 2 2 + + = + + + + abc ) a c )( c b )( b a ( ) ca bc ab )( c b a ( + + + + = + + + + Ejemplos 1. Simplificar | | ) y y x x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( E4 2 2 4 2 2 2+ + + + = Solucin Ordenando la expresin { | | } ) y y x x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( E4 2 2 4 2 2+ + + + = aplicamos diferencia de cuadrados | | ) y y x x ( ) y x ( ) y x ( E4 2 2 4 2 2+ + + = en el corchete aplicamos identidad de Legendre ) y y x x ( ) y x ( 2 E4 2 2 4 2 2+ + = los parntesis dan diferencia de cubos ) y x ( 2 E6 6+ = 2. Simplificar n 3 2 n n 2 m n m m 2 2 n m n 2 n m m 2y 4 ) y y x y x x ( ) y x y y x x ( E + + + + + + + = Solucin Ordenando cada expresin | | | |n 3 2 n m n 2 n m m 2 2 n m n 2 n m m 2y 4 ) y x ( ) y y x x ( ) y x ( ) y y x x ( E + + + + + + = haciendo a y y x xn 2 n m m 2= + + y b y xn m= se tiene n 3 2 2y 4 ) b a ( ) b a ( E + + = aplicando la identidad de Legendre n 3y 4 ab 4 E + = reemplazando los valores de a y b n 3 n m n 2 n m m 2y 4 ) y x )( y y x x ( 4 E + + + = de los parntesis resulta diferencia de cubos n 3 n 3 m 3y 4 ) y x ( 4 E + = n 3 n 3 m 3y 4 y 4 x 4 E + = m 3x 4 E = DAVID GONZLES LPEZ 16 Ejercicios 04: Multiplicacin de polinomios enteros- Productos notables Multiplicar 1. ) 7 x )( 9 x (4 4 2. ) 4 m )( 5 m )( 1 m (2 2 2 + 3. ) 4 y x )( 3 y x ( + + + 4. ( ) 1 x 2 x 4 )( 1 x 22+ + 5. ) y23x32)( y41xy31x21(2 2 + 6. ) xy y 2 x23)( y21xy31x52(2 2 2 2 + + 7. ) 2 x31x 2 )(52x41x83(3 2+ + 8. ) a32ax x23)( a23x21ax31(2 2 2 2+ + 9. ) x101y x23)( x41x41y x31y21(3 3 4 2 3 + + 10. ) x x )( x x 2 x (2 3 n 2 n 1 n+ + + + + 11. ) x x )( x 3 x 2 x (1 n n 1 n n 2 n + + ++ + 12. ) x 2 x )( x 2 x x (1 a 3 a 1 a a 2 a + + + + + 13. ) x x x )( x 2 x x 3 (2 n 1 n n 2 n n 1 n + + Simplificar 14. ) 1 x )( 1 x )( 1 x )( 1 x )( 1 x ( E8 4 2+ + + + = 15. ) k ky y )( k ky y )( k y )( k y ( E2 2 2 2+ + + + = 16. ) x x ( 36 ) 4 x ( ) 5 x ( ) 2 x ( ) 1 x ( E2 2 2 2 2 + + = 17. 2 2 2 2) 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( ) 2 x ( E + + = 18. ) x 1 x )( x x )( x x ( Ey 4 y 4 y y y y + + + = 19. | | ) y y x x )( y (x ) y x ( ) y x ( Ey 8 y 4 y 4 y 8 y 2 2y 2 y y 2 y y + + + + = 20. ) 1 x x )( 1 x )( 1 x )( 1 x )( 1 x ( E2 4 4 4+ + + + + = 21. | | ) y y x x )( x y ( ) x 3 y 2 ( ) y 3 x 2 ( E8 4 4 8 2 2 2 2+ + + + = 22. ) y y x x )( y y x x )( y x ( E2 2 4 2 2 4 2 4+ + + = 23. ) y x )( y x )( y xy x ( E2 2+ + + = 24. ) 1 x x )( 1 x )( 1 x ( E2 3+ + = 25. 44 2) 1 x )( 1 x )( 1 x )( 1 x ( 1 E + + + + = 26. ) z y x ( 4 ) z y x ( ) z y x ( ) z y x ( ) z y x ( E2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + + + + + + = 27. 222 2 222 2) 1x1x ( )x1x ( ) 1x1x ( )x1x ( E + + + + = 28. ) c b a )( c b a ( b) - c (a ) a c b ( E + + + + + + = DAVID GONZLES LPEZ 17 29. 2 10 54 7 2 2) y x ( ) y x ( ) x y () y x ( ) y x (E + = 30. . . . ) 1 x x )( 1 x x )( 1 x x )( 1 x x ( E4 8 2 4 2 2+ + + + + = hasta n factores Resolver 31. Si 8 y x = + y 16 xy = , hallar 2 2y x + 32. Si 2x1x = hallar 4 4x x + 33. Si 5 b a = + y 2 ab = calcular ) b a ( ) b a ( ) b a ( E4 4 3 3 2 2+ + + + + = 34. Si 12 z y x = + + y 60 yz xz xy = + + , hallar 2 2 2) z y ( ) z x ( ) y x ( M + + + + + = 35. Si 20 r q p = + + y 300 r q p2 2 2= + + hallar el valor de 2 2 2) r q ( ) r p ( ) q p ( E + + + + + = 36. Si 0 z y x = + + simplificar zx yz xy) x z ( ) z y ( ) y x (E2 2 2+ + + + + + += Divisin de polinomios La divisin de polinomios es una operacin que consiste en hallar el polinomio cociente dados el polinomio dividendo y el polinomio divisor. En la divisin de polinomios se cumple: R C Q P + = QRCQP+ = donde = P Polinomio dividendo = C Polinomio cociente = Q Polinomio divisor = R Polinomio resto o residuo = +QRC Cociente completo En la divisin exacta de polinomios 0 R = y se cumple que: C Q P CQP = = donde 0 Q Propiedad : n mnmxxx = , donde 0 x Casos de la divisin - Cuando se trata de dos monomios Reglas o pasos a seguir: Se dividen los signos mediante la regla de signos Se dividen los coeficientes Se dividen la letras aplicando la propiedad: n mnmxxx = , donde 0 x Ejemplo: Dividir 4 5 25 8 4z y x 4z y x 12E= DAVID GONZLES LPEZ 18 Efectuando z y x 3 z y x 3 E3 2 4 5 5 8 2 4= = - Cuando se trata de un polinomio y monomio Reglas o pasos a seguir: Se escribe la divisin como una suma del cociente de 2 monomios Se divide cada cociente de monomios Ejemplo: Dividir 2 23 4 3 2 5 4yz x 2z y x 2 z y x 4E + = Efectuando z xy y x 2yz x 2z y x 2yz x 2z y x 4E3 4 22 23 4 32 22 5 4+ = += - Cuando se trata de dos polinomios Para efectuar la divisin entre dos polinomios se conocen varios mtodos. Presentaremos a continuacin algunos de ellos. a. Mtodo clsico o normal Reglas o pasos a seguir: 1) Se ordenan los polinomios, generalmente en forma decreciente con respecto a una sola letra o variable 2) En caso existan dos o mas variables se asumir solo a una de ellas como tal y las dems harn el papel de nmeros o constantes. 3) Se divide el primer trmino del dividendo, por el primer trmino del divisor, obtenindose el primer trmino del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y el resultado se resta del dividendo. 4) Se baja el trmino siguiente del dividendo, y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo ms un grado menos que el grado del divisor. O en todo caso si la divisin es exacta el resto ser un polinomio idnticamente nulo. Ejemplos 1. Dividir 4 x 8 x 4 x 5 x 6 ) x ( P2 3 4+ + = entre 2 x 3 x 2 ) x ( Q2+ = Solucin 4 x 8 x 4 x 5 x 62 3 4+ + 2 x 3 x 22+ 2 3 4x 6 x 9 x 6 + 2 x 2 x 32 + 4 x 8 x 10 x 42 3+ + x 4 x 6 x 42 3 + 4 x 4 x 42+ + 4 x 6 x 42+ 8 x 2 + Luego, el polinomio cociente es 2 x 2 x 3 ) x ( C2 + = y el resto 8 x 2 ) x ( R + = DAVID GONZLES LPEZ 19 2. Dividir 5 4 3 2 4 2 3 5y 6 xy 24 y x 33 y x 5 y x 26 x 6 ) y , x ( P + + + = entre2 2y xy 3 x 2 ) y , x ( Q + = Solucin 5 4 3 2 2 3 4 5y 6 xy 24 y x 33 y x 26 y x 5 x 6 + + + 2 2y xy 3 x 2 + 2 3 4 5y x 3 y x 9 x 6 + 3 2 2 3y 7 xy 4 y x 7 x 3 + + 3 2 2 3 4y x 33 y x 29 y x 14 + 3 2 2 3 4y x 7 y x 21 y x 14 + 4 3 2 2 3xy 24 y x 26 y x 8 + 4 3 2 2 3xy 4 y x 12 y x 8 + 5 4 3 2y 6 xy 20 y x 14 + 5 4 3 2y 7 xy 21 y x 14 + 5 4y xy Luego, el polinomio cociente es 3 2 2 3y 7 xy 4 y x 7 x 3 ) x ( C + + = y el resto 5 4y xy ) x ( R = Observacin - Teorema ( Algoritmo de la divisin de polinomios) Dados un polinomio ) x ( P de grado 1 n > y un polinomio ) x ( Q de grado m, con n m 1 ; entonces existen polinomios nicos ) x ( C y ) x ( R , que tienen la propiedad de que: ) x ( R ) x ( C ) x ( Q ) x ( P + = , donde el grado de ) x ( R es menor que el grado de ) x ( Q . - Si al dividir ) x ( P entre ) x ( Q se obtiene 0 ) x ( R = , es decir si ) x ( C . ) x ( Q ) x ( P = , se dice que ) x ( Q divide o es divisor o factor de ) x ( P . b. Divisin sinttica La divisin sinttica es un procedimiento prctico para encontrar el cociente y el resto de la divisin de un polinomio ) x ( P de grado 2 o mas, entre un binomio de la forma r x ) x ( Q = (o cualquier otra expresin transformable a sta). A la divisin sinttica tambin se le conoce con el nombre de Regla de Ruffini Si dividimos 0 11 n1 nnna x a . . . x a x a ) x ( P + + + + = de grado n entre r x ) x ( Q = , entonces por el algoritmo de la divisin de polinomios existe 12 n2 n1 n1 nb . . . x b x b ) x ( C + + + = de grado 1 n y ) x ( R un polinomio constante talque : ) x ( R ) r x )( x ( C ) x ( P + = Por divisin sinttica podemos hallar el polinomio cociente ) x ( C y el polinomio resto ). x ( R Reglas o pasos a seguir: - Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable. En caso falte un trmino este se completa con cero. - En caso hubiesen dos o mas variables se considera solo a una de ellas como tal y las dems harn el papel de nmeros o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero ( 0), se despeja la variable y sta se coloca en el ngulo izquierdo del grfico. DAVID GONZLES LPEZ 20 - Se baja el primer coeficiente del polinomio dividendo siendo este el primero del polinomio divisor. Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna - Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la ltima operacin efectuada caiga debajo del ltimo coeficiente del polinomio dividendo. Llegado este momento se reduce la columna que falta, y siempre se cumplir que la ltima columna le va ha pertenecer al resto, y este siempre ser un valor numrico. Observaciones - La divisin sinttica tambin es aplicable cuando el divisor es un binomio de la forma r ax . - La divisin sinttica es tambin aplicable cuando el divisor es un polinomio de segundo grado factorizable de la forma ) s x )( r x ( o no factorizable, o un polinomio de grado 2 o mas. Esta divisin se realiza por el llamado Mtodo de Horner . Ejemplos 1. Dividir 2 x x 5 x 2 ) x ( P2 3 + = entre = ) x ( Q 2 x Solucin Hacemos 2 x 0 2 x = = Aplicando divisin sinttica tenemos 2 1 5 2 2 2 4 2 1 1 2 4 Luego , 1 x x 2 ) x ( C2 = y = ) x ( R -4 2. Dividir 3 x x 2 x 3 ) x ( P2 3 4+ + = entre = ) x ( Q 3 x + Solucin Hacemos 3 x 0 3 x = = + Aplicando divisin sinttica tenemos 3 0 1 2 3 3 60 21 9 180 60 20 7 3 183 Luego , 60 x 20 x 7 x 3 ) x ( C2 3 + = y 183 ) x ( R = 3. Dividir 1 x 12 x 5 x 29 x 18 ) x ( P2 3 5 + = entre = ) x ( Q 2 x 3 + Solucin Hacemos 32x 0 )32x 3( )32x ( 3 2 x 3 ) x ( Q = = + + = + = Aplicando divisin sinttica tenemos 32 12 5 29 0 18 1 6 14 8 12 4 6 9 21 12 18 5 DAVID GONZLES LPEZ 21 Cociente primario 6 x 9 x 21 x 12 x 18 ) x ( A2 3 4+ + = Dividiendo todo el cociente primario entre3, porque es el primer coeficiente del divisor se tiene: El cociente verdadero 36 x 9 x 21 x 12 x 18) x ( C2 3 4+ + = 2 x 3 x 7 x 4 x 6 ) x ( C2 3 4+ + = y 5 ) x ( R = 4. Dividir 1 x 312 x 2 x 16 x 17 x 699 18 27 36+ + + + Solucin Observamos que los exponentes del dividendo son mltiplos del exponente 9 del divisor, luego se puede aplicar el mtodo de la divisin sinttica. Hacemos y x9= . Al transformar el dividendo y reemplazar el cambio de variable se tiene =+ + + +1 x 312 x 2 ) x ( 16 ) x ( 17 ) x ( 699 9 3 9 4 91 y 312 y 2 y 16 y 17 y 62 3 4+ + + + Tambin hacemos 31y 0 )31y 3( )31y ( 3 1 y 3 ) y ( Q = = + + = + = Aplicando divisin sinttica tenemos 31 2 16 17 6 12 7 5 2 3 9 21 15 6 9 Cociente primario 9 y 21 y 15 y 6 ) y ( A2 3+ + = Dividiendo todo el cociente primario entre3, porque es el primer coeficiente del divisor se tiene: El cociente verdadero en trminos de y , 39 y 21 y 15 y 6) y ( C2 3+ += 3 y 7 y 5 y 2 ) y ( C2 3+ + = reemplazando 9x y = tenemos el cociente verdadero en trminos de x , 3 x 7 x 5 x 2 ) x ( C9 18 27+ + = y el resto 9 ) x ( R = c. Mtodo de Horner Se emplea para dividir un polinomio ) x ( P de grado n entre un polinomio ) x ( Q de grado m donde 0 11 n1 nnna x a . . . x a x a ) x ( P + + + + = 0 11 m1 mmmb x b . . . x b x b ) x ( Q + + + + = , 0 b a , m nm n Reglas o pasos a seguir: - Se completan y ordenan los polinomios. En caso falte un trmino este se completar con cero. - En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las dems harn el papel de nmeros o constantes. DAVID GONZLES LPEZ 22 - Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo, y en forma vertical los coeficientes del divisor, todos cambiados de signo a excepcin del primero. - Se divide el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor, obteniendo el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo, y los resultados se colocan dejando una columna de lado. - Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tanta veces hasta que la ltima operacin efectuada caiga debajo del ltimo coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reduce las columnas que falten; separando los coeficientes del cociente y el resto respectivamente. Ejemplos 1. Dividir 1 x 5 x 4 x 6 x 2 ) x ( P2 3 4 + + = entre 3 x 2 x 2 ) x ( Q2 + = Solucin 2 2 6 4 1 5 2 2 3 3 4 4 6 3 29 3 1 2 23 27 2 Luego , 23x 2 x ) x ( C2+ + = y 27x 2 ) x ( R + = 2. Dividir 5 x 9 x 4 x 6 ) x ( P2 3 5 + = entre 2 x x 3 ) x ( Q3 + = Solucin 3 6 0 4 5 0 9 0 0 2 4 1 0 0 0 0 2 6 4 2 0 2 0 2 9 2 13 Luego , 2 x 2 ) x ( C2 = y 9 x 2 x 13 ) x ( R2 + = 3. Hallar p n m E + + = si la divisin 6 x 2 x 3p nx mx x 14 x 9 x 1232 3 4 5 + + + es exacta. Solucin Utilizando el mtodo de Horner, el resto debe ser un polinomio idnticamente nulo DAVID GONZLES LPEZ 23 3 12 9 14 p n m 0 0 8 24 2 9 0 6 18 6 6 12 4 0 4 3 2 p 12 n 22 m 30 + Luego, el resto es 0 x 0 x 0 ) p 12 ( ) n 22 ( x ) m 30 ( ) x ( C2 2+ + = + + + = As tenemos que: 30 m 0 m 30 = = 22 n 0 n 22 = = + 12 p 0 p 12 = = Finalmente 64 12 22 30 p n m E = + + = + + = 3. Dividir 2 25 3 2 2 3 4 5y 3 xy x 4y 2 y x 16 y x 5 y x 14 x 8+ + + + + + con respecto a x . Solucin Utilizando el mtodo de Horner se tiene: 4 8 14 5 16 2 0 1 2 6 3 12 3 9 4 1 3 8 2 6 2 3 1 2 4 1 Luego, el resto es 3 2 2 3y 2 xy y x 3 x 2 ) y , x ( C + + = y 5 4y 4 xy ) y , x ( R = Teorema del resto Si ) x ( P es un polinomio de grado n y r x ) x ( Q = , entonces el resto o residuo de dividir ) x ( P por ) x ( Q esta dado por R ) r ( P = . Demostracin En efecto, por el algoritmo de la divisin R ) x ( C ) r x ( ) x ( P + = Como esta igualdad es vlida para todo x , en particular para r x = entonces R ) r ( C ) r r ( ) r ( P + = Entonces R ) r ( P = Ejemplos 1. Hallar el resto de dividir 1 x 4 x x ) x ( P2 3 + = entre 2 x ) x ( Q + = Solucin Hacemos 2 x 0 2 x = = + Luego el resto es 3 1 ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( P R2 3= + = = DAVID GONZLES LPEZ 24 2. Hallar el resto de 2 x 32 x x 18 x 92 3 + Solucin Hacemos 32x 0 2 x 3 = = Luego el resto es 320232)32( 18 )32( 9 )32( P R2 3 = + = = 3. Hallar el resto de 2 x8 x 5 x 8 x 3 x 2 x32 4 5 8+ + Solucin Hacemos 2 x 0 2 x3 3 = = + no se saca raz ! Dando la forma al dividendo 8 x 5 x 8 x ) x ( 3 x ) x ( 2 x ) x ( ) x ( P2 3 2 3 2 2 3+ = reemplazando 8 x 5 x 8 x ) 2 ( 3 x ) 2 ( 2 x ) 2 ( R2 2 2 2+ = efectuando resulta 8 x R + = 4. Hallar el resto de 1 x 5 x4 ) 2 x 5 x ( 3 ) 1 x 5 x (22 2 3 2 + + + + + + Solucin Hacemos que 1 x 5 x 0 1 x 5 x2 2= + = + Reemplazando en el dividendo 4 27 8 4 ) 2 1 ( 3 ) 1 1 ( R2 3+ = + + + = 15 R = 5. Hallar el resto de y 2 xy x ) y x (5 5 5+ + Solucin Hacemos que y 2 x 0 y 2 x = = + Reemplazando en el dividendo 5 5 5 5 5 5y y 32 y y ) y 2 ( ) y y 2 ( R + = + = 5y 30 R = Teorema del factor Dado un polinomio ) x ( P de grado n , un nmero r es una raz de ) x ( P si y solo si r x ) x ( Q = es un factor de ) x ( P . Demostracin i) En efecto, por el algoritmo de la divisin R ) x ( C ) r x ( ) x ( P + = Por el teorema del resto 0 ) r ( P = , entonces 0 R = Por lo tanto, ) x ( C ) r x ( ) x ( P = , luego r x es un factor de ) x ( P DAVID GONZLES LPEZ 25 ii) Recprocamente, si r x ) x ( Q = es un factor de ) x ( P , entonces ) x ( C ) r x ( ) x ( P = Como el resto 0 ) r ( P R = = , entonces 0 ) r ( C ) r r ( ) r ( P = = Significa que r es una raz de ) x ( P . Ejemplos 1. Determinar si 2 x ) x ( Q + = es factor de 4 x 5 x x ) x ( P2 3+ + = Solucin Hacemos 2 x 0 2 x = = + Entonces 18 4 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( P R2 3 = + + = = Luego 2 x ) x ( Q + = no es factor de 4 x 5 x x ) x ( P2 3+ + = 2. Determinar si 1 x 2 ) x ( Q = es factor de 3 x x 12 x 4 ) x ( P2 3 + = Solucin Hacemos 21x 0 1 x 2 = = Entonces 0 3 )21( )21( 12 )21( 4 )21( P R2 3= + = = Como 0 R = entonces 1 x 2 ) x ( Q = es factor de 3 x x 12 x 4 ) x ( P2 3 + = Observacin - Races de un polinomio: De acuerdo al teorema del factor se conoce que dado un polinomio de grado 1 n , un nmero r se llama raz o cero del polinomio ) x ( P si 0 ) r ( P = . Ejemplo: Sea 4 x 4 x x : ) x ( P2 3+ , el nmero 2 x = es una raz o un cero de ) x ( P puesto que 0 ) 2 ( P = Cocientes notables Son divisiones indicadas de dos expresiones binmicas. Se denominan notables porque no se requiere efectuar la operacin, directamente se escribe el cociente. - Primer caso 1 n 2 n 3 n 2 2 n 1 nn na x a . . . x a ax xa xa x + + + + + = donde: n es par o impar Ejemplos * 4 3 2 2 3 45 5y xy y x y x xy xy x+ + + + = * 3 2 2 2 2 2 2 2 3 22 24 2 4 22 28 8) y ( ) y )( x ( ) y ( ) x ( ) x (y x) y ( ) x (y xy x+ + + == 6 4 2 2 4 6y y x y x x + + + = - Segundo caso 1 n 2 n 3 n 2 2 n 1 nn na x a . . . x a ax xa xa x + + =+ donde n es par DAVID GONZLES LPEZ 26 Ejemplo * 3 5 2 5 2 5 2 2 3 25 24 5 4 25 220 8) y ( ) y )( x ( ) y ( ) x ( ) x (y x) y ( ) x (y xy x + =+=+ 15 10 2 5 4 6y y x y x x + = - Tercer caso 1 n 2 n 3 n 2 2 n 1 nn na x a . . . x a ax xa xa x + + =++ donde n es impar * 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 22 25 2 5 22 210 10) y ( ) y )( x ( ) y ( ) x ( ) y ( ) x ( ) x (y x) y ( ) x (y xy x+ + =++=++ 8 6 2 4 4 2 6 8y y x y x y x x + + = - Caso a xa xn n+ donde n es par o impar Por el Teorema del resto: a x 0 a x = = Luego, n n na 2 a a R = + = Divisin inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE. - Caso a xa xn n+ donde n es impar Por el Teorema del resto: a x 0 a x = = + Luego, n n na 2 a ) a ( R = = Divisin inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE. - Caso a xa xn n++ donde n es par Por el teorema del resto a x 0 a x = = + Luego, n n n n na 2 a a a ) a ( R = + = + = Divisin inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE Ejercicios 05: Divisin de polinomios enteros- Cocientes notables Dividir 1. y x 5 y x 32 3 2 entre y x 32 2. 4 6 8x 8 x 10 x 4 entre 3x 2 3. 8 10 8 2 9 12 18 18z y x 7 z y x 35 y x 21 entre y x 75 4. 2 2 3 4n m83n m32m41+ entre 2m41 5. 6 5 2 4 3 3 4xy y x41y x51y x32 + entre 3xy51 DAVID GONZLES LPEZ 27 6. 3 4 2 2 2 3yz x21xyz65z y x32yz x43 + entre xyz65 7. 1 m 1 m m 2 mx 9 x 6 x 15 x + + + entre 2 mx 3 8. n 1 n 1 nx52x41x32 + entre 2 nx32 Dividir por el mtodo clsico y por divisin sinttica 9. 2 x 3 x 2 x2 3 + entre 3 x + 10. 1 x 3 x 3 x 22 4 + entre 2 x 11. 21x65x32x432 3 + entre 21x 12. 2 x x 3 x 43 4 + entre 1 x 2 + Dividir por el mtodo clsico y por el mtodo de Horner 13. 1 x x x 3 x2 3 4+ + entre 2 x x2+ 14. 1 x 3 x 2 x 22 3 5+ + entre 2 x x 22 15. 1 x x x32x312 3 4 + entre 2 x 32+ 16. 2 x x x 3 x3 4 5 + entre 1 x 3 x x 22 3 + Resolver 17. Calcular ab si la siguiente divisin es exacta 5 x 2 xb ax x 3 x 2 x22 3 4 + + + 18. Hallar my n si la divisin es exacta 4 x 2 xn 2 mx x 3 x23 4+ + 19. Calcular b a + si la divisin 2 x x 5b ax x 15 x 11 x 522 3 4 + + deja como resto: 9 x 2 20. Calcular c . b . a si el polinomio c bx ax x 3 x2 3 4+ + + + es divisible por 2 x x 2 x2 3 + 21. Hallar el resto en 1 m xm mx x m x 2 x2 2 3 4+ + + 22. Hallar el resto en 2 x5 x 2 x 8 x77 80+ + + + 23. Hallar el resto en 3 x4 x x 243 x22 27+ + + + 24. El residuo de dividir 3 x x 2c bx ax x 4 x 82 32 3 5+ + + + + + es : 7 x 11 x 52+ + , hallar abc E = 25. Determinar n m+ sabiendo que 15 x 16 x 7 nx mx2 3 4+ + + es divisible por 5 x 3 x2+ 26. En la siguiente divisin 1 x xa ax x 2 x x 322 3 4 + + + + el residuo no es de primer grado. Calcular dicho resto. 27. Si c x ) 3 b 4 ( bx x ) x ( P2 3+ + = es divisible entre ) 4 x )( 3 x ( + , hallar ) 1 ( P 28. Escribir el cociente sin efectuar la divisin : DAVID GONZLES LPEZ 28 a) y 2 x 3y 16 x 814 4 c) 1 x 21 x 102410 e) y 3 x 2y 243 x 325 5++ g) y x 2y x 5129 9++ b) 3 x243 x5 d) 3 26 4 2m 5 xy 4m 25 y x 16+ f) 3 29 6y 7 x 4y 343 x 64 h) 3 318 18b ab a+ i) 1 x1 x321++ j) x1 ) 1 x (n+ + k) 1 y x) 2 y ( ) 3 x (2 24 2 4 2 + + l) 5 y x) 2 y ( ) 3 x (2 23 2 3 2 + 1.4. FACTORIZACIN Factorizar es la transformacin de un polinomio en una multiplicacin indicada de dos o mas polinomios primos dentro de cierto campo de nmeros Factorizar tambin significa, convertir una suma algebraica en producto de factores primos. Polinomio primo sobre un conjunto numrico Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no admite ser transformado en multiplicacin indicada. Todo polinomio primo tiene como nicos divisores a el mismo y a cualquier constante no nula de un cierto campo de nmeros. Un polinomio primo tambin es denominado polinomio irreductible y factor primo. Ejemplos 1. 2 x 3 + es primo en R , Q y C 2. 5 x2 es primo en Q. No es primo en R 3. 1 x x2+ es primo en Q y R . No es primo en C Generalmente trabajaremos en los racionales ) Q ( salvo que se indique lo contrario. Pero debe tenerse en cuenta lo siguiente: * ) 2 x )( 4 x )( 3 x )( 1 x ( ) x ( P2 2 + + = est factorizado en Q. * ) 2 x )( 4 x )( 3 x )( 3 x )( 1 x ( ) x ( P2 + + + = est factorizado en R . * ) 2 x )( 4 x )( 3 x )( 3 x )( i x )( i x ( ) x ( P + + + = est factorizado en C. El nmero de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numrico en el que se trabaje. En el conjunto numrico de los racionales, el nmero de factores primos se calcula contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados tambin factores algebraicos). As por ejemplo: * 3 2) 4 x ( ) 3 x ( ) x ( P + = tiene 2 factores primos * 3 2) 3 x ( ) 2 x )( 2 x ( x ) x ( P + = tiene 4 factores primos * 4 5 2 2) y 2 x ( ) y 3 x ( y x ) x ( P + = tiene 4 factores primos DAVID GONZLES LPEZ 29 Mtodos para factorizar una expresin algebraica A. Mtodo de factor comn Factor comn de dos o ms expresiones algebraicas es la parte numrica y/o literal que est repetida en dichas expresiones. El mtodo consiste en extraer el o los factores comunes y dejarlos como un producto indicado. El factor comn puede ser: Factor comn MONOMIO Factor comn POLINOMIO Factor comn POR AGRUPACIN DE TRMINOS Ejemplo: 1. Factorizar la siguiente expresin: 4 2 5 3 2 2y x 12 y x 6 y x 3 P + + = Solucin El factor comn es 2 2y x 3 , es un monomio ) y 4 xy 2 1 ( y x 3 P2 3 2 2+ + = 2. Factorizar la siguiente expresin: b 2 a 1 b 1 a b a 2y x 24 y x 48 y x 72 P + + = + + Solucin El factor comn es b ay x 24 , es un monomio ) y xy 2 x 3 ( y x 24 Pb a b a+ + = 3. Factorizar la siguiente expresin: 11 2 5 10 2 7) 1 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( P + + + + = Solucin El factor comn es 10 2 5) 1 x ( ) 1 x ( + + , es un polinomio | | ) 1 x ( 1) (x ) 1 x ( ) 1 x ( P2 2 10 2 5+ + + + = ) 1 x 1 x 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( P2 2 10 2 5 + + + + = ) x 2 ( ) 1 x ( ) 1 x ( P10 2 5+ + = 4. Factorizar c cx ) x 1 ( b ) 1 x ( a N + = Solucin Extrayendo factor comn " c " en los dos ltimos trminos ) 1 x ( c ) x 1 ( b ) 1 x ( a N + = A. Mtodo de factor comn B. Mtodo de identidades C. Mtodo del aspa simple D. Regla de Ruffini E. Mtodo de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes b) Quita y pon o reduccin a diferencia de cuadrados c) Sumas y restas especiales DAVID GONZLES LPEZ 30 Extrayendo factor comn 1 en el trmino central ) 1 x ( c ) 1 x ( b ) 1 x ( a N + + = Extrayendo factor comn ) 1 x ( ) c b a )( 1 x ( N + + = 5. Factorizar bcd acdx abdx abcx d x a c x a b x a x a M2 2 2 2 2 2 3 3+ + + + + + + = Solucin Agrupando de dos en dos ) bcd acdx ( ) abdx d x a ( ) abcx c x a ( ) b x a x a ( M2 2 2 2 2 2 3 3+ + + + + + + = Extrayendo factor comn en cada parntesis ) b ax ( cd ) b ax ( adx ) b ax ( acx ) b ax ( x a M2 2+ + + + + + + = Extrayendo factor comn ) b ax ( + ) cd adx acx x a )( b ax ( M2 2+ + + + = Agrupando de dos en dos en el segundo parntesis | | ) cd adx ( ) acx x a ( ) b ax ( M2 2+ + + + = Extrayendo factor comn dentro del corchete | | ) c ax ( d ) c ax ( ax ) b ax ( M + + + + = ) d ax )( c ax )( b ax ( M + + + = B. Mtodo de identidades Para este caso se utilizar los productos notables en forma inversa; entre los mas importantes tenemos: Trinomio cuadrado perfecto. Se caracteriza por: - Tener dos trminos que son cuadrados perfectos. - El otro trmino es el doble producto de las races cuadradas de los cuadrados perfectos. - Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo. El trinomio con estas caractersticas se reduce a un binomio al cuadrado. Para factorizarlo se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino y entre ellas va el signo del segundo trmino. Forma general : a) 2 n m n 2 n m m 2) y x ( y y x 2 x + = + + b) 2 n m n 2 n m m 2) y x ( y y x 2 x = + Ejemplos: 1. 2 2 2) y x ( y xy x + = + + 2. 2 3 2 2 3 3 6 4) x 3 y x 2 ( x 3 y x 3 4 y x 4 = + Diferencia de cuadrados. Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar se extrae la raz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma el producto de la suma de las races multiplicada por la diferencia de ellas. Forma general : ) y x )( y x ( y xn m n m n 2 m 2 + = Ejemplos: 1. ) y x )( y x ( y x2 2+ = 2. ) y 5 y x 3 )( y 5 y x 3 ( y 5 y x 94 2 4 2 8 2 4 + = DAVID GONZLES LPEZ 31 Suma o diferencia de cubos Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos, para factorizar se recuerda el producto notable Forma general a) ) y y x x ( ) y x ( y xn 2 n m m 2 n m n 3 m 3+ + = + b) ) y y x x ( ) y x ( y xn 2 n m m 2 n m n 3 m 3+ + = Ejemplos: 1. ) y xy x ( ) y x ( y x2 2 3 3+ + = + 2. ) y 9 z xy 6 z x 4 )( y 3 xz 2 ( y 27 z x 86 2 3 4 2 3 2 9 6 3+ + = Otros ejemplos 1. Factorizar 2 2 2n 4 mn 4 p 4 m P + + = Solucin Agrupando el 1 , 3 y 4 trmino 2 2 2p 4 ) n 4 mn 4 m ( P + + = Factorizando el parntesis 2 2p 4 ) n 2 m ( P + = Factorizando toda la expresin ) p 2 n 2 m ( ) p 2 n 2 m ( P + + + = 2. Factorizar 2 2 2 2 4 4b a 3 ) b a ( ab 2 b a P + + + + = Solucin Sabemos que: 2 2 2 2 2 2b a b a 2 b a 3 + = , luego 2 2 2 2 2 2 4 4b a b a 2 ) b a ( ab 2 b a P + + + + + = agrupando adecuadamente 2 2 2 2 4 2 2 4b a ) b a ( ab 2 ) b b a 2 a ( P + + + + + = Factorizando el trinomio cuadrado perfecto 2 2 2 2 2 2 2b a ) b a ( ab 2 ) b a ( P + + + + = Toda la expresin es un trinomio cuadrado perfecto | |2 2 2ab ) b a ( P + + = 2 2 2) ab b a ( P + + = 3. Factorizar 3 2 2 2y ) y x ( z ) yz x ( x E + + + = Solucin Efectuando las operaciones indicadas 3 2 2 3y z y z x xyz x E + + + = Agrupando adecuadamente ) z y z x xyz ( ) y x ( E2 2 3 3+ + + = Factorizando los parntesis ) y x xy ( z ) y xy x ( ) y x ( E2 2 2 2+ + + + + = El factor comn es ) y xy x (2 2+ + ) z y x )( y xy x ( E2 2+ + + = DAVID GONZLES LPEZ 32 4. Factorizar 3 x x x P2 3 + + = Solucin Sabemos que: 1 1 1 3 = , luego 1 1 1 x x x P2 3 + + = Agrupando adecuadamente ) 1 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( P2 3 + + = Factorizando en el 1 y 2 parntesis ) 1 x ( ) 1 x )( 1 x ( ) 1 x x )( 1 x ( P2 + + + + + = El factor comn es: ) 1 x ( ) 1 1 x 1 x x )( 1 x ( P2+ + + + + = ) 3 x 2 x )( 1 x ( P2+ + = C. Mtodo del aspa simple Se utiliza para factorizar trinomio de la forma: a) c bx xn n 2 b) c bx axn n 2 Para factorizar se hace lo siguiente: - Se descompone en dos factores el primer trmino, estos factores se colocan en las puntas de la izquierda del aspa. - Se descomponen en dos factores el trmino independiente, incluyendo el signo, estos factores se colocan en las puntas de la derecha del aspa. - El trmino central debe ser igual a la suma de los productos del aspa. - Los factores son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa. Ejemplos 1. Factorizar 15 x 14 x 8 F2 + = Solucin 15 x 14 x 8 F2 + = 3 x 4 x 6 5 x 2 x 20 x 14 La expresin factorizada es: ) 5 x 2 )( 3 x 4 ( 15 x 14 x 8 F2+ = + = 2. Factorizar 36 x 109 x 25 F2 4+ = Solucin 36 x 109 x 25 F2 4+ = 9 x 252 2x 9 4 x 2 2x 100 2x 109 La expresin factorizada es: ) 4 x )( 9 x 25 ( 36 x 109 x 25 F2 2 2 4 = + = ) 2 x )( 2 x )( 3 x 5 )( 3 x 5 ( 36 x 109 x 25 F2 4+ + = + = DAVID GONZLES LPEZ 33 3. Factorizar 11 4 7 8 3 12y x 4 y x 68 y x 64 F + = Solucin El factor comn de la expresin es 3 4y x 4 ) y y x 17 x 16 ( y x 4 F8 4 4 8 3 4+ = Aplicamos aspa simple en el parntesis y tenemos ) y x ( ) y x 16 ( y x 4 F4 4 4 4 3 4 = Factorizando las diferencias de cuadrados tenemos ) y x )( y x ( ) y x 4 )( y x 4 ( y x 4 F2 2 2 2 2 2 2 2 3 4+ + = Factorizando las diferencias de cuadrados en el primer y tercer parntesis ) y x )( y x )( y x ( ) y x 4 )( y x 2 )( y x 2 ( y x 4 F2 2 2 2 3 4+ + + + = 4. Factorizar 3 c 5 c 2 ) b a )( 4 c ( ) b a ( M2 2+ + + + + + = Solucin Extrayendo el signo menos en los tres ltimos trminos ) 3 c 5 c 2 ( ) b a )( 4 c ( ) b a ( M2 2 + + + + = Aplicando aspa simple en el ltimo parntesis ) 3 c )( 1 c 2 ( ) b a )( 4 c ( ) b a ( M2 + + + + + = Aplicando aspa simple en toda la expresin ) 3 c )( 1 c 2 ( ) b a )( 4 c ( ) b a ( M2 + + + + + = ) 1 c 2 ( ) b a ( + + ) 1 c 2 )( b a ( + + ) 3 c ( ) b a ( + )) 3 c ( )( b a ( + ) b a )( 4 c ( + + La expresin factorizada es: ) 3 c b a )( 1 c 2 b a ( 3 c 5 c 2 ) b a )( 4 c ( ) b a ( M2 2+ + + + + = + + + + + + = Observacin Recordemos que: - Sea ) x ( P un polinomio de grado 1) (n n , " r " es raz o cero de 0 ) r ( P ) x ( P = Es decir, raz o cero es el valor que anula al polinomio. D. Regla de Ruffini La regla de Ruffini se basa en el siguiente teorema: Sea 0 11 n1 nnna x a . . . x a x a ) x ( P + + + + = , 0 an y 0 a0 un polinomio de grado n cuyos coeficientes son enteros. Si el nmero racional qp , expresado en forma irreductible, es una raz de ) x ( P , entonces p es divisor exacto de 0a y q es divisor exacto de na . La Regla de Ruffini permite factorizar polinomios de grado 2 o ms que acepte factores de primer grado de la forma r x r sx . Tambin, podemos decir que la Regla de Ruffini sirve para hallar los divisores binmicos de un polinomio. Pasos a seguir - Determinacin de las posibles races racionales ( o ceros ) de un polinomio de grado 2 o ms: DAVID GONZLES LPEZ 34 *Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, las posibles races o ceros estarn dados por los divisores del trmino independiente con su doble signo. *Si el coeficiente del primer trmino es diferente a la unidad, se procede como en el caso anterior y adems se consideran las fracciones que resultan de dividir todos los divisores del trmino independiente entre los divisores del primer coeficiente. As: Posibles races racionales de un polinomio ( PRR) Dado: 0 11 n1 nnna x a . . . x a x a ) x ( P + + + + = , donde 0 an , 0 a0 y +z n PRR)` =n0a de positivos Divisoresa de positivos Divisores - Luego, se utiliza la Regla de Ruffini ( o divisin sinttica) tantas veces como ceros o races tenga el polinomio. Ejemplos: 1. Factorizar 4 x 4 x x ) x ( P2 3+ = Solucin Posibles races o ceros: PRR 4 , 2 , 1 = 1 4 4 1 1 4 0 1 2 4 0 1 0 4 2 2 2 1 0 2 1 0 Luego, el polinomio factorizado es igual a: ) 2 x )( 2 x )( 1 x ( 4 x 4 x x ) x ( P2 3+ = + = 2. Factorizar 2 x 5 x x 3 x ) x ( P2 3 4+ + = Solucin Posibles races o ceros: PRR 2 , 1 = 1 2 5 1 3 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 0 2 4 2 1 2 1 0 El polinomio factorizado es igual a: ) 1 x 2 x )( 2 x )( 1 x ( 2 x 5 x x 3 x ) x ( P2 2 3 4 + + = + + = DAVID GONZLES LPEZ 35 3. Factorizar 3 x x 20 x 12 ) x ( P2 3 + + = Solucin Posibles races o ceros: PRR)` =12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 13 , 1 PRR)` =43 ,23 , 3 ,121 ,61 ,41 ,31 ,21 , 1 21 3 1 20 12 3 7 6 31 6 4 1 2 1 0 6 4 23 18 2 1 0 18 12 0 El polinomio factorizado es igual a )23x )(31x )(21x ( 12 3 x x 20 x 12 ) x ( P2 3+ + = + + = Tambin llegamos a factorizarlo de la siguiente manera: Como )21x ( + es factor de ) x ( P Tenemos ) 6 x 14 x 12 ( )21 x 2( ) x ( P2 ++= ) 3 x 2 )( 1 x 3 )( 1 x 2 ( ) 3 x 7 x 6 ( 2 )21 x 2(2+ + = ++= 4. Factorizar x x 2 x x 2 ) x ( P2 4 5 + = Solucin Factorizamos x en el polinomio y lo expresamos como ) 1 x 2 x x 2 ( x ) x ( P3 4 + = Utilizamos la Regla de Ruffini para factorizar en el parntesis Posibles races o ceros: PRR)` = 2 , 1 1 PRR)` =21 , 1 21 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 2 0 2 2 2 2 2 2 0 DAVID GONZLES LPEZ 36 El polinomio factorizado es igual a ) 2 x 2 x 2 )( 1 x )(21x ( x ) 1 x 2 x x 2 ( x x x 2 x x 2 ) x ( P2 3 4 2 4 5+ + = + = + = Tambin llegamos a factorizarlo de la siguiente manera: Como )21x ( es factor de ) x ( P Tenemos ) 2 x 2 x 2 ( 1) (x )21x ( x ) x ( P2+ + = ) 1 x 2(x 1) (x )21 x 2( x2+ += ) 1 x x ( 1) (x ) 1 x 2 ( x ) x ( P2+ + = E. Mtodo de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes Mediante transformaciones u operaciones adecuadas se pueden lograr expresiones iguales para luego proceder a un cambio de variable, de tal manera que se obtenga una forma de factorizacin mas simple por los mtodos ya estudiados. Ejemplos 1. Factorizar 3 ) 3 x )( 2 x )( 1 x )( 2 x ( F + + + = Solucin Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene | || | 3 ) 1 x )( 2 x ( ) 3 x )( 2 x ( F + + + = 3 ) 2 x x )( 6 x x ( F2 2+ + + = Haciendo: m x x2= + 3 ) 2 m )( 6 m ( ) m ( F + = ) 5 m )( 3 m ( ) 15 m 8 m ( ) m ( F2 = + = Reemplazando y escribiendo en trminos de x ) 5 x x )( 3 x x ( ) x ( F2 2+ + + = 2. Factorizar ) 3 x )( 2 x )( 1 x ( x 1 F + + + + = Solucin Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene | || | ) 2 x )( 1 x ( ) 3 x ( x 1 F + + + + = ) 2 x 3 x )( x 3 x ( 1 F2 2+ + + + = Haciendo: a x 3 x2= + 2 2) 1 a ( 1 a 2 a ) 2 a ( a 1 ) a ( F + = + + = + + = Reemplazando y escribiendo en trminos de x 2 2) 1 x 3 x ( ) x ( F + + = 3. Factorizar 1 ) 1 x 3 x ( ) 6 x 5 x )( x x ( F2 2 2 2+ + + + + + + = Solucin Expresando en su forma de factores al primer sumando 1 ) 1 x 3 x ( ) 3 x )( 2 x )( 1 x ( x F2 2+ + + + + + + = Agrupando y efectuando en la forma indicada 1 ) 1 x 3 x ( ) 2 x 3 x )( x 3 x ( F2 2 2 2+ + + + + + + = DAVID GONZLES LPEZ 37 Haciendo: m x 3 x2= + 2 2 2 2) 1 m ( 2 ) 1 m 2 m ( 2 2 m 4 m 2 1 ) 1 m ( ) 2 m ( m ) m ( F + = + + = + + = + + + + = Reemplazando y escribiendo en trminos de x 2 2) 1 x 3 x ( 2 ) x ( F + + = 4. Factorizar 1 ) y x ( 10 ) y x ( 5 ) 1 y x ( ) y , x ( F2 4 + + + + = Solucin Haciendo: 1 m y x m 1 y x = + = + + 1 ) 1 m ( 10 ) 1 m ( 5 m ) m ( F2 4 = ) 4 m )( 1 m ( 4 m 5 m 1 10 m 10 5 m 10 m 5 m ) m ( F2 2 2 4 2 4 = + = + = ) 2 m )( 2 m )( 1 m )( 1 m ( ) m ( F + + = Reemplazando y escribiendo en trminos de x e y ) 2 1 y x )( 2 1 y x )( 1 1 y x )( 1 1 y x ( ) y , x ( F + + + + + + + + + + = ) 3 y x )( 1 y x )( 2 y x )( y x ( ) y , x ( F + + + + + + = b) Quita y pon o reduccin a diferencia de cuadrados Consiste en sumar y restar una misma expresin en forma conveniente de modo tal que al hacer agrupaciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cuadrados. Ejemplos 1. Factorizar 4 x ) x ( F4+ = Solucin Sabemos que: 4 x 4 x ) 2 x (2 4 2 2+ + = + Quitando y poniendo 2x 4 2 2 4x 4 x 4 4 x ) x ( F + + = 2 2 4x 4 ) 4 x 4 x ( ) x ( F + + = El parntesis es un trinomio cuadrado perfecto 2 2 2x 4 ) 2 x ( ) x ( F + = Por lo tanto la expresin factorizada es: ) 2 x 2 x )( 2 x 2 x ( ) x ( F2 2+ + + = 2. Factorizar 4 x 11 x 25 ) x ( F2 4+ + = Solucin Sabemos que: 4 x 20 x 25 ) 2 x 5 (2 2 2+ + = + Quitando y poniendo 2x 9 2 2 2 4x 9 x 9 4 x 11 x 25 ) x ( F + + + = 2 2 4x 9 ) 4 x 20 x 25 ( ) x ( F + + = El parntesis es un trinomio cuadrado perfecto 2 2 2x 9 ) 2 x 5 ( ) x ( F + = Por lo tanto la expresin factorizada es: ) 2 x 3 x 5 )( 2 x 3 x 5 ( ) x ( F2 2+ + + = DAVID GONZLES LPEZ 38 3. Factorizar 1 y xy 4 x 4 ) y , x ( F4 2 4+ + = Solucin Sabemos que: 1 x 4 x 4 ) 1 x 2 (2 4 2 2+ + = + y 4 2 2 2 2y xy 4 x 4 ) y x 2 ( + = Quitando y poniendo 2x 4 2 2 4 2 4x 4 x 4 1 y xy 4 x 4 ) y , x ( F + + + = Agrupando en forma adecuada ) y xy 4 x 4 ( ) 1 x 4 x 4 ( ) y , x ( F4 2 2 2 4 + + + + = ) y xy 4 x 4 ( ) 1 x 4 x 4 ( ) y , x ( F4 2 2 2 4+ + + = Factorizando ambos parntesis ( trinomio cuadrado perfecto) 2 2 2 2) y x 2 ( ) 1 x 2 ( ) x ( F + = Por lo tanto la expresin factorizada es: ) y 1 x 2 x 2 ( ) y 1 x 2 x 2 ( ) x ( F2 2 2 2 + + + + = c) Sumas y restas especiales Consiste en sumar y restar una expresin en forma conveniente de modo tal que se obtenga por lo general ) 1 x x (2+ + o ) 1 x x (2+ ambos componentes de una diferencia o suma de cubos; en otros casos se puede buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la factorizacin del polinomio. Ejemplos 1. Factorizar 1 x x ) x ( F5+ + = Solucin Sumamos y restamos 2x 2 2 5x x 1 x x ) x ( F + + + = Agrupamos en forma adecuada y factorizamos ) 1 x x ( ) x x ( ) x ( F2 2 5+ + + = ) 1 x x ( ) 1 x ( x ) x ( F2 3 2+ + + = ) 1 x x ( ) 1 x x )( 1 x ( x ) x ( F2 2 2+ + + + + = Extrayendo factor comn ) 1 x x (2+ + la expresin queda factorizada | | 1 ) 1 x ( x ) 1 x x ( ) x ( F2 2+ + + = ) 1 x x )( 1 x x ( ) x ( F2 3 2+ + + = 2. Factorizar 1 a a ) x ( F5 + = Solucin Primera forma Sumamos y restamos 2a 2 2 5a a 1 a a ) x ( F + + = Agrupamos en forma adecuada y factorizamos ) 1 a a ( ) a a ( ) x ( F2 2 5 + + + = ) 1 a a ( ) 1 a ( a ) x ( F2 3 2+ + = ) 1 a a ( ) 1 a a )( 1 a ( a ) x ( F2 2 2+ + + = Extrayendo factor comn ) 1 a a (2+ la expresin queda factorizada | | 1 ) 1 a ( a ) 1 a a ( ) x ( F2 2 + = DAVID GONZLES LPEZ 39 ) 1 a a )( 1 a a ( ) x ( F2 3 2 + + = Segunda forma Completando el polinomio sumando y restando: 2 3 4a a a + + 2 3 4 2 3 4 5a a a a a a 1 a a ) x ( F + + + + = Ordenando convenientemente y factorizando tenemos ) a 1 a ( ) a a a ( ) a a a ( ) x ( F2 3 2 4 3 4 5 + + + + = ) 1 a a ( ) 1 a a ( a ) 1 a a ( a ) x ( F2 2 2 2 3+ + + + = ) 1 a a ( ) 1 a a ( ) x ( F2 3 2 + + = 3. Factorizar 1 x x ) x ( F8 10+ + = Solucin Primera forma Haciendo m x2= 1 m m ) m ( F4 5+ + = Sumando y restando 2m y luego agrupando 2 2 4 5m m 1 m m ) m ( F + + + = ) 1 m m ( ) 1 m ( m ) m ( F2 4 3 2+ + + = Factorizamos 1 m3 y 1 m m2 4+ + ( Identidad de ARGAND) ) 1 m m )( 1 m m ( ) 1 m m )( 1 m ( m ) m ( F2 2 2 2+ + + + + + = Luego, la expresin factorizada es ) 1 m m )( 1 m m ( ) m ( F3 2+ + + = Reemplazando el valor de m y escribiendo en trminos de x ) 1 x x )( 1 x x ( ) x ( F2 6 2 4+ + + = ) 1 x x )( 1 x x )( 1 x x ( ) x ( F2 6 2 2+ + + + = Segunda forma Completando con: 2 4 6x , x , x 2 4 6 2 4 6 8 10x x x x x x 1 x x ) x ( F + + + + + = 2 4 6 2 4 6 8 10x x x 1 x x x x x ) x ( F + + + + + = ) 1 x x ( x ) 1 x x ( ) 1 x x ( x ) x ( F2 4 2 2 4 2 4 6+ + + + + + + = ) 1 x x )( 1 x x )( 1 x x ( ) x 1 x )( 1 x x ( ) x ( F2 6 2 2 2 6 2 4+ + + + = + + + = Ejercicios 06: Factorizacin Factor comn y/o agrupacin de trminos 1. 3 2 2 3y 2 xy y x 2 x F + = 2. z y ) xz y x ( x F2 2 2 + = 3. 3 4 6 7x 2 x x 2 x F + = 4. 2 2 3 2 2 3y x y y x xy x F + + = 5. ) b 2 a )( z y x ( ) b a 2 )( y x z ( F + + = 6. p m p m p n p ny x y y x x F + ++ + + = 7. ) n m )( n m ( m ) n m ( ) n m ( 3 ) n m ( ) n m ( 3 F2 2 + + + = DAVID GONZLES LPEZ 40 8. ) p r ( q ) r q ( p F2 2 2 2+ + + = 9. ) n m ( xy ) y x ( mn F2 2 2 2 + = 10. ) 4 m ( ) 4 m )( 3 m ( ) 4 m )( 3 m )( 2 m ( F + + + + + + + + = 11. 1 x 1 y x yy x xy y x F + ++ + + = 12. b p a p b n n a b m a my z x z y y x y x x F + + + + + = + + Identidades 13. 2 2) x y 3 ( ) y x 3 ( F + = 14. 2 2) a 3 bx ( ) b 3 ax ( F = 15. 16 x 8 x x F2 6 = 16. 7 3 4 4 3 7a x a x a x F + = 17. 3 2a a 3 a 3 1 F + = 18. 5 2 3 2 3 2 3y z x z y y x F + = 19. 1 n mn m 2 m F2+ + + + = 20. 2 2) x m ( ) mx 1 ( F + + = 21. 6 4 2a a 6 a 12 8 F + = 22 2 2y 4 x 2 y 4 xy 4 x F + + + + = Aspa simple 23. 3 x 10 x 8 F2 + = 24. 8 x 2 x 15 F2 4 + = 25. 3 x 14 x 5 F3 6 = 26. 3 2 2 3 4b a 24 b a 4 b a 4 F = 27. 4 ) y x ( 13 ) y x ( 12 F2 + = 28. 2 2y 15 xy 19 x 6 F + + = 29. 4 4 a 4 a 2x 50 x 5 x F + = + + 30. 6 ) 1 x ( ) 1 x ( F2 4 + = 31. 2 2 m 2 m 2x 3 x 4 x 4 F = + + 32. 30 3 3 F1 x 2 x 2 = + + Regla de Ruffini 33. 3 x x 3 x F2 3+ = 34. 2 x x 2 x F2 3 + = 35. 6 x 11 x 6 x F2 3+ + + = 36. 4 x 3 x 3 x 3 x F2 3 4 + + = 37. 6 x x 10 x 4 x F2 4 5+ + = 38. 14 x 15 x 6 x F2 3+ + + = 39. 3 x 4 x 5 x 2 F2 3+ = 40. 1 x 7 x 16 x 12 F2 3+ + + = 41. 4 x 8 x 5 x 10 x x 2 F2 3 4 5 + + = 42. 1 x x 9 x 13 x 8 x 12 F2 3 4 5 + + = DAVID GONZLES LPEZ 41 43. 65 x 6 x 12 x 8 F2 3 + = 44. 1 x 19 x 30 F2 3 + = Cambio de variable o agrupaciones convenientes 45. 12 ) 2 x )( 1 x )( 2 x )( 3 x ( F + + = 46. 1 ) 4 x )( 3 x )( 2 x )( 1 x ( F + + + + + = 47. 3 ) 1 x )( 2 x )( 3 x )( 2 x ( F + + + = 48. 63 ) 5 x )( 3 x ( ) 1 x ( F2+ + + = 49. ) 1 x )( 2 x )( 3 x ( x 10 F + + = 50. 24 ) 4 x )( 3 x )( 2 x )( 1 x ( F + + + = 51. 15 x 3 x 3 ) 1 x x ( F2 2 2 + + + + = 52. 1 x 28 x 7 ) 6 x )( 3 x )( 2 x )( 1 x ( F2+ + + = 53. 15 ) 6 x 4 x ( ) 2 x ( F2 2 + = 54. 1 ) 1 x 3 x ( ) 6 x 5 x )( x x ( F2 2 2 2+ + + + + + + = Quita y pon o reduccin a diferencia de cuadrados 55. 1 x x F2 4+ + = 56. 4 2 2 4n n m m F + + = 57. 4 2 2 4n 9 n m 2 m F + + = 58. 16 x 12 x F4 8+ = 59. 4 2 2 4y y x 3 x 4 F + + = 60. 9 x 2 x F2 4+ + = 61. 4 4y 4 x F + = 62. 4 4 4c 64 b a F + = 63. 4 2 2 4y 49 y x 5 x F + + = 64. 2 2 4 4y x 27 y x F + = Sumas y restas especiales 65. 1 a a F5+ + = 66. 1 x x F5 + = 67. 1 x x F5 7 + = 68. 2 a ) 1 a ( F5+ + + = 69. m ) 1 m ( F5+ + = 70. 1 x x F4 5+ + = 71. 1 x x F2 10+ + = 72. 1 m m F8 10+ + = 73. 1 x x F8+ = 74. 1 x x F2 10 + = Factorizar y simplificar DAVID GONZLES LPEZ 42 75. 3 34 4xy 8 y x 8) y x ( ) y x (E+ += 76. 4 43 3 3 3y x) y x )( y x ( ) y x )( y x (E + + += 77. )32 x 4 x64 x 12 x)(128 x 24 x64 x( E2222 + = 78. 1 y x 2 xy x1 y xy xE22+ + = 79. bc 2 c b ac b ab 2 aE2 2 22 2 2 + += x2 2 22 2 2a c bc 2 bb c ac 2 a + + 80. b a bc ac abb a c b b a c aE2 2 2 23 2 2 3 2 2+ + + += 81. y x y x x2 x xE3 43 6+ += 82. ) 4 x 3 )( 2 x 3 (9 x 27 ) 1 x 3 (E3 + + = 83. ) 1 x )( x x x () 1 x )( x 3 x 3 (E2 2 3 43 3 + + = 84. 22 2x 1) y x ( ) xy 1 (E + += 85. 4 2 4 22 4 4 2x ) x x 1 () x 1 ( ) x 1 (E + + + += 86. 2 22 2 2 2 2 2y ) y 2 x ( x z) y x z ( y ) x z y ( xE + + += 87. ) n m ( xy ) y x ( mn) y x ( ) n m ( ) y x ( ) n m (E2 2 2 22 2 2 2+ + + + += 88. 2 24 2 2 4b ab ab b a 3 aE + = 89. | |2 2 2 2 2 22 2 222 2) m n ( ) n m () n m ( 4 ) n m ( ) n m (E + + += 90.

(((( + + =22 22 2 2)ab ( - )ba ( 4 )abba( )abba( E DAVID GONZLES LPEZ 43 1.5. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Fraccin algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales en donde al menos una letra o variable figura en el denominador. Notacin: QP , donde P y Q son polinomios enteros Ejemplos c b a1 a ,z xy 3 x 2 ,zy x ,x3 ,y xy x4 2+ + + ++ Clases de fracciones Existen las siguientes clases de fracciones algebraicas: A. Fraccin propia Se caracteriza porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador Ejemplos: , 1 x3 x43+ 1 x3 x43+ y 2 33y x2 xy ++ ( respecto de x ) B. Fraccin impropia Se caracteriza porque el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador . , 2 xx x23 5++5 x 41 x 2 x33+ + y 3 y xy x 2 24+ ( respecto de y) Observacin Toda fraccin algebraica racional impropia se puede convertir en la suma de un polinomio (cociente) con una fraccin la cual es propia a travs de la divisin. As: Sea QP es una fraccin racional impropia R C . Q P + = QRCQP+ = , donde QR es fraccin propia Ejemplo 1 x1 x 3) 2 x 3 (1 x3 x 2 x 32 22 3+ + = + C. Fraccines Homogeneas Son fracciones que tienen el mismo denominador ) x 1 (x , ) 1 x )( 1 x (1 x 5 x 2 , 1 xx 4 , 1 x3 x22 32 2 + + + D. Fraccin Heterogeneas Son fracciones que tienen diferente denominador 4 x2 x , 2 x 35 x 2 , 1 xx 5 , 1 x3 x 222 32++++ + P Q R C DAVID GONZLES LPEZ 44 E. Fracciones equivalentes Son aquellas que teniendo formas diferentes se caracterizan porque siempre tendrn los mismos valores numricos, para cualquier valor asignado a sus variables, a excepcin de aquellos que hagan cero el denominador Ejemplo 4 , 3 x ; 4 x112 x 7 x3 x2 ++ + + As por ejemplo para 411230 x = = para 512041 x = = F. Fracciones complejas o compuestas Se caracterizan porque en su numerador o denominador, o en ambos, aparecen otras fracciones algebraicas. Ejemplos: , xy1xyyx , 3x42 x , 5 x 21 x2 xx , 2 x1 x 3x 5 , x 32 x1 x++++++ 1 xx 1x7x1 x22++ + G. Fracciones continuas Es un caso particular de las fracciones complejas, que se caracterizan porque en el numerador de cada fraccin siempre esta la unidad. Ejemplo 1 x1x1x1+ H. Fraccin irreductible Son aquellas fracciones que se caracterizan porque en el numerador y denominador aparecen expresiones que no tienen ningn factor comn( el numerador y denominador son primos entre s) es decir no admiten simplificacin. Ejemplos 23x , x5 , 1 x3 x++ Signos de una fraccin Toda fraccin posee tres signos : signo del numerador, signo del denominador y signo de la fraccin. El cambio de dos signos de una fraccin no altera el signo total de la fraccin Ejemplos 1. QPQPF= = 2. QPQPQPF== = 3. QPQPQPQPF+ =+ =+ =+++ = DAVID GONZLES LPEZ 45 4. QPQPQPQPG++ =++ =++ = = 5. 1) b a (b aa b) a b (a bb aH = = == 6. 1) c a )( a b () c a )( a b () c a )( a b () c a )( a b () a c )( a b () c a )( b a (J = = = = 7. 03 x53 x5x 353 x5K ==+= Observaciones - En toda fraccin podrn efectuarse tres formas de jugar con los signos y tendremos como resultado otras fracciones equivalentes. Ejemplo (3) (2) (1) 7 x2 x7 xx 2x 72 xx 7x 2 =+ =+ = - Si a los componentes de una fraccin se les multiplica o divide por una expresin diferente de cero tendremos como resultado otras fracciones equivalentes. Ejemplo 0 m , mbmabmambaF = = = Simplificacin de fracciones Simplificar una fraccin es transformarla en otra equivalente e irreductible. Para simplificar una fraccin se sugiere descomponer, tanto numerador y denominador en sus factores primos(factorizarlos) para luego eliminar sus factores comunes. Ejemplo Simplificar: 1 x1 x x) 1 x x )( 1 x () 1 x x )( 1 x x (1 x1 x xF222 232 4+ + +=+ + + + +=+ + += Operaciones con fracciones - Para sumar o restar fracciones es necesario hallar el mnimo comn mltiplo de los denominadores. Ejemplos 1. Efectuar y simplificar: 6 x x7 x 42 x33 x2M2 ++= Solucin ) 2 x )( 3 x (7 x 42 x33 x26 x x7 x 42 x33 x2M2+ ++= ++= el m.c.m. es ) 2 x )( 3 x ( + 3 x1) 2 x )( 3 x (2 x) 2 x )( 3 x (7 x 4 9 x 3 4 x 2) 2 x )( 3 x () 7 x 4 ( ) 3 x ( 3 ) 2 x ( 2M=+ +=+ + + +=+ + += DAVID GONZLES LPEZ 46 2. Efectuar y simplificar: 1 xx 31 xx 41 x1M322+= Solucin ) 1 x x )( 1 x (x 3) 1 x )( 1 x (x 41 x11 xx 31 xx 41 x1M22322+ + ++ =+= el m.c.m. es ) 1 x x )( 1 x )( 1 x (2+ + + ) 1 x x )( 1 x )( 1 x (1 x 2 x) 1 x x )( 1 x )( 1 x (x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 1 x x x x xM2222 3 2 3 2 2 3+ + + + =+ + + + + + + + + += ) 1 x x )( 1 x (1 x) 1 x x )( 1 x )( 1 x () 1 x )( 1 x (M2 2+ + + =+ + + = 3. Efectuar y simplificar: 2x 2 214 x 412 x 23M+= Solucin 2 x 214 x 412 x 23M2++= ) 1 x )( 1 x ( 21) 1 x ( 41) 1 x ( 23) 1 x ( 21) 1 x ( 41) 1 x ( 23M2+ ++=++= el m.c.m. es ) 1 x )( 1 x ( 4 + ) 1 x ( 45) 1 x )( 1 x ( 4) 1 x ( 5) 1 x )( 1 x ( 45 x 5) 1 x )( 1 x ( 42 1 x 6 x 6) 1 x )( 1 x ( 42 ) 1 x ( ) 1 x ( 6M+=+ =+ =+ + = + + + = 4. Efectuar y simplificar: 2 2 2x 2 81) x x 4 4 ( 45x 3 x 12 124M++ ++ = Solucin ) 4 x ( 21) 4 x 4 x ( 45) 4 x 4 x ( 34M2 2 2+ ++ = ) 2 x )( 2 x ( 21) 2 x ( 45) 2 x ( 34M2 2+ += el m.c.m. es 2 2) 2 x ( ) 2 x ( 12 + 2 22 2 22 22 2 2) 2 x ( ) 2 x ( 1224 x 6 ) 4 x 4 x ( 15 ) 4 x 4 x ( 16) 2 x ( ) 2 x ( 12) 4 x ( 6 ) 2 x ( 15 ) 2 x ( 16M+ + + + +=+ += 2 222 22 2 2) 2 x ( ) 2 x ( 1228 x 124 x 5) 2 x ( ) 2 x ( 1224 x 6 60 x 60 x 15 64 x 64 x 16M+ + + =+ + + + += DAVID GONZLES LPEZ 47 - Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores entre si. Ejemplos 1. Simplificar )50 x 107 x 7)(1425 x 5( M++ += Solucin 41 x) 5 x )( 10 ( 14) 1 x ( 7 ) 5 x ( 5) 50 x 10 ( 14) 7 x 7 )( 25 x 5 ()50 x 107 x 7)(1425 x 5( M +=++ +=+ + +=++ += 2. Simplificar )4 x 225 x)(30 x xx 6)(15 x 36 x 5 x( M222 + = Solucin 6 x) 3 x ( x)) 2 x ( 2 ( ) 5 x )( 6 x )( 5 x ( 3) 5 x )( 5 x )( x 6 )( 2 x )( 3 x () 4 x 2 )( 30 x x )( 15 x 3 () 25 x )( x 6 )( 6 x 5 x (M22 2= + + = + = 3. Simplificar )4 x52 x )(1 x53 x ( M++ + = Solucin ) 4 x )( 1 x () 3 x 2 x )( 8 x 2 x ()4 x3 x 2 x)(1 x8 x 2 x( )4 x52 x )(1 x53 x ( M2 2 2 2+ + +=+ + +=++ + = ) 3 x )( 2 x () 4 x )( 1 x () 1 x )( 3 x )( 2 x )( 4 x (M + =+ + += - Para dividir fracciones, se invierte la fraccin del divisor y se procede como en la multiplicacin. Ejemplos 1. Simplificar 6 x 2x 5 x 5 x 6 x 2x xM223++= Solucin ) 1 x ( x 5 ) 3 x ( x 2) 3 x ( 2 ) 1 x ( x) x 5 x 5 )( x 6 x 2 (6) x)(2x - x ()x 5 x 56 x 2)(x 6 x 2x x(6 x 2x 5 x 5 x 6 x 2x xM22 232 23 223 + + = + +=++=++=x 5) 1 x () 1 x ( x 5 ) 3 x ( x 2) 3 x ( 2 ) 1 x )( 1 x ( xM += + + + = 2. Simplificar 56 x xx 25 x 5 x 64 x125 xM22 323 + + += Solucin ) x 25 x 5 x )( 64 x () 56 x x )( 125 x ()x 25 x 5 x56 x x( )64 x125 x(56 x xx 25 x 5 x 64 x125 xM2 3 22 32 322322 323+ + +=+ ++= + + += ) 8 x ( x) 7 x )( 5 x () 25 x 5 x ( x ) 8 x )( 8 x () 7 x )( 8 x )( 25 x 5 x )( 5 x (M22 + +=+ + + + += DAVID GONZLES LPEZ 48 3. Simplificar )x1 x1 x ( )2 x1 x 2x ( M22 + + = Solucin )x1 x( )2 x1 x( )x1 x x x( )2 x1 x 2 x 2 x( )x1 x1 x ( )2 x1 x 2x ( M323 32322 +++=+ ++ + += + + = 2 xx) 1 x )( 2 x (x ) 1 x ()1 xx)(2 x1 x( M2 3 233 23+=+ + +=+ ++= Simplificacin de fracciones complejas Regla - Se efectan las