Algebra Baldor – [PDF Document]

  • 1. A L G E B R A A S S W E L I O B A L D O R #Nfi)ADOR,DIRECTOR Y JEFE DE * CATEDRA DE MATEMATICAS COLEGIO BALDOR. ABjANA,CUBA. > i : DE LA CATEDRA DE J7EM ATICAS, STEVEN S S tflD E M Y. HOBOKEN, W^-JERSEY, U S A. f jiOFESOR DE MATEMATICAS. S foT P E TE R S CO LLEG E. SEY CITY, NEW-JERSEY CON GRAFICOS Y 6523EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS DCIMA SEXTA REIM PRESI N MXICO, 1998 O ^ PA IA CULTURAL EDITORA Y DISTRIBUIDORA DE TEXTOSAMERICANOS. T » * (CCEDTA) Y CODICE AMERICA, S.A. MIAMI, FLORIDA; US A PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V. MEXICO IrPUBLICACIONESCULTURAL

2. lgebra Derechos reservados: 1983, Compaa Editora yDistribuidora de textos Americanos, S.A. (CCEDTA) Cdice, Edicionesy Distribuciones, S.A. O CDICE AMRICA De esta edicin: 1983,PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V. Renacimiento 180 Colonia SanJuan Tlihuaca Delegacin Azcapotzalco, C.P. 02400, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial. Registronm. 129 ISBN 84-357-0062-3 (Cdice, Amrica) ISBN 968-439-211 -7(Publicaciones Cultural S.A. de C.V.) Queda prohibida lareproduccin o transmisin total o parcial del contenido de lapresente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas,sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso enMxico Printed in Mxico Primera edicin: 1982 Dcima quintareimpresin: 1997 Dcima sexta reimpresin: 1998 Esta obra se terminde imprimir en enero de 1998 en los talleres de Compaa EditorialUltra, S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas EsmeraldaC.P. 09810, Mxico, D.F. 3. Para responder a la gentil deferenciaque han tenido con esta obra los Profesores y Alumnos de la AmricaLatina, hemos introducido, en la presente edicin, una serie demejoras que tienden a que este libro sea ms eficaz e interesante.Hemos procurado que la presentacin constituya por si sola unapoderosa fuente de motivacin para el trabajo esco lar. El contenidoha sido cuidadosamente revisado y se han introducido diversoscuadros y tablas para un aprendizaje ms vital y efectivo. El usodel color, en su doble aspecto esttico y funcional, hacen de estaobra, sin lugar a dudas, el Algebra ms pedaggica y novedosa de laspublicadas hasta hoy en idioma espaol. Los Editores han estimadooportuno introducir algunos aa didos que contribuyan a completar elcontenido de los programas vigentes. Tales aadidos son, paraenumerar slo algunos, las Notas sobre el Concepto de Nmero; Notasobre las cantidades complejas e imaginarias y el Cuadro de losTipos Bsicos de Descomposicin Factorial. Esperamos que elProfesorado de Hispanoamrica sepa aqui latar el ingente esfuerzorendido por todos los tcnicos que han intervenido en la confeccinde esta obra. Slo nos queda reiterar nuestro ms profundoagradecimiento por la acogida que le han dispensado siempre. LosEditores 4. Con acendrada devocin y justo orgullo, dedico esteesfuerzo editorial, a la inolvidable memoria de mi madre, ProfesoraDoa Ana Luisa Serrano y Poncet, que fuera Presidenta de estaEmpresa durante los arios 1921 a 1926. Dr. Jos A. Lpez Serrano 5.NCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIM l- fio y el conteo del nmerode animales que posean; ‘OS (25,000-5/000 A. C .) Medir y contarfueron as surgi la Aritmtica. El origen del Algebra es primerasactividad* matemticas del hombre pri- posterior. Pasaron cientos desiglos para que el hom- yo. Haciendo marcas en los troncos de losrboles bre alcanzara un concepto abstracto del nmero, base *aban#estos primeros pueblos, la medicin del tiem- indispensable para laformacin de la ciencia algebraica. PRELIMINARES O )1 ) ALGEBRA esla ram a de la Matemtica que estudia la cantidad consi derada delmodo ms general posible. CARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CONLA ARITMETICA El concepto de la cantidad en Algebra es mucho msamplio que en A ritm tica. En A ritm tica las cantidades serepresentan por nmeros y stos ex presan valores determ inados. As,20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nm ero distinto de 20. EnAlgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan por m edio de letras, las cuales pueden representar todos losvalores. As, a representa el valor que nosotros le asignemos, y portanto puede re presentar 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestraeleccin, aunque con viene advertir que cuando en un problem aasignamos a una letra un valor determ inado, esa letra no puederepresentar, en el mismo problema, otro valor distinto del que lehemos asignado. ( T ) NOTACION ALGEBRAICA Los smbolos usados enAlgebra para representar las cantidades son los nmeros y lasletras. 5 6. 6 a l g e b r a Los nmeros se emplean para representarcantidades conocidas y de terminadas. Las letras se emplean pararepresentar toda clase de cantidades, ya sean conocidas odesconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primerasletras del alfa beto: a, b, c, d . .. Las cantidades desconocidasse representan por las ltimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y,z. Una misma letra puede representar distintos valoresdiferencindolos por medio de comillas; por ejemplo: a a » , a'»,que se leen a prima, a se gunda, a tercera, o tambin por medio desubndices; por ejemplo: alt a2, (h, que se leen a subuno, a subdos,a subtres. . 4 ) FORMULAS Consecuencia de la generalizacin queimplica la representacin de las cantidades por medio de letras sonlas frmulas algebraicas. Frmula algebraica es la representacin, pormedio de letras, de una regla o de un principio general. As, laGeometra ensea que el rea de un rectngulo es A = b X igual alproducto de su base por su altura; luego, llamando A _ al rea delrectngulo, b a la base y h a la altura, la frmula ‘ representar deun modo general el rea de cualquier rectngulo, pues el rea de unrec tngulo dado se obtendr con slo sustituir A =bxh= S m X2 m =6 mJ b y h en la frmula anterior por sus valores en el caso dado. As,si la base de un rec- _ tngulo es 3 m. y su altura 2 m., su reaser: ‘ El rea de otro rectngulo cuya /4=6x/i=8 m.x3^ m.=28 m.2.base fuera 8 m. y su altura 3 m. sera: /* Q , + SIGNOS DEL ALGEBRALos signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Operacin, Signos de Relacin y Signos de Agrupacin. ( T ) SIGNOS DEOPERACION En Algebra se verifican con las cantidades las mismasoperaciones que en Aritmtica: Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin,Elevacin a Poten cias y Extraccin de Races, que se indican con lossignos siguientes: El Signo de la Suma es +, que se lee ms. As a +b se lee a ms b. ( ) En el Cap. XVIII, pgina 270, se estudiaampliamente todo lo relacionado con las frmulas algebraicas. 7.FRILIM ‘M AK # 7 El Signo de la Resta es , que se lee menos. As, ab se lee a me nos b ‘ El Signo de la M ultiplicacin es X, que selee multiplicado por. As, a x b se lee a multiplicado por b* Enlugar del signo X suele emplearse un punto entre los factores ytambin se indica la multiplicacin colocando los factores entreparntesis. As, a.b y (, que se lee mayor que. As, x + y > m selee x + y mayor que ra. )-^-{c d }indica que la suma de a y b debedi vidirse entre la diferencia de c y d. MODO DE RESOLVER LOSPROBLEMAS EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA Exponemos a continuacin unejemplo para hacer notar la difeiencia entre el mtodo aritmtico yel algebraico en la resolucin de problemas, fundado este ltimo enla notacin algebraica y en la generalizacin que sta implica. Lasedades de A y B suman 48 aos. Si la edad de B es 5 veces la edad deA, qu edad tiene cada uno? METODO ARITMETICO Edad de A ms edad de 5= 48 aos. Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos: Edad deA ms 5 veces la edad de A 48 aos. O sea, 6 veces la edad de A = 48aos; luego, Edad de A= 8 aos. R. Edad de 3 = 8 aos X 5 = 40 aos. R.METODO ALGEBRAICO Como la edad de A es una cantidad desconocida larepresento por x. Sea x = edad de A . Entonces 5x = edad de B. Comoambas edades suman 48 aos, tendremos: x + 5x = 48 aos; o sea, 6x =48 aos. 8 LGEBRA 9. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS # 9 Si 6 vecesx equivale a 48 aos, x valdr la sexta parte de 48 aos, o seaEntonces x = 8 aos, edad de A . R. 5x = S aos X 5 = 40 aos, edad deB . R. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS En Algebra, cuando seestudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos oque son de condicin o de modo de ser opuestos, se expresa elsentido, condicin o modo de ser (valor relativo) de la canti dadpor medio de los signos + y , anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) yanteponien do el signo a las cantidades tomadas en sentido opuestoal anterior (can tidades negativas). As, el haber se designa con elsigno + y las deudaj con el signo . Para expresar que una personatiene $100 de haber, diremos que tiene + $100, y para expresar quedebe $100, diremos que tiene $100. Los grados sobre cero deltermmetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con elsigno . As, para indicar que el termmetro marca 10 sobre ceroescribiremos + 10 y para indicar que marca 8o bajo ceroescribiremos 8o El camino recorrido a la derecha o hacia arriba deun punto se desig na con el signo + y el camino recorrido a laizquierda o hacia abajo de un punto se representa con el signo .As, si hemos recorrido 200 m. a la derecha de un punto dado,diremos que hemos recorrido +200 m., y si recorremos 300 m. a laizquierda de un punto escribiremos 300 m. El tiempo transcurridodespus de Cristo se considera positivo y el tiem po transcurridoantes de Cristo, negativo. As, +150 aos significa 150 aos D. C. y78 aos significa 78 aos A. C. En un poste introducido en el suelo,representamos con el signo + la porcin que se halla del suelo haciaarriba y con el signo la porcin que se halla del suelo hacia abajo.As, para expresar que la longitud del pos te que se halla del suelohacia arriba mide 15 m., escribiremos +15 m., y si la porcinintroducida en el suelo es de 8 m., escribiremos 8 m. La latitudnorte se designa con el signo + y la latitud sur con el sig no ; lalongitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa.Por lp tanto, un punto de la Tierra cuya situacin geogrfica sea:+45 de longitud y 15 de latitud se hallar a 45 al este del primermeridia no y a 15 bajo el Ecuador. ( 2 ) ELECCION DEL SENTIDOPOSITIVO La fijacin del sentido positivo en cantidades que puedentomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestravoluntad; es decir, 10. 1 o ALGEBRA que podemos tomar como sentidopositivo el que queramos; pero una vez fijado el sentido positivo,el sentido opuesto a ste ser el negativo. As, si tomamos comosentido positivo el camino recorrido a la dere cha de un punto, elcamino recorrido a la izquierda de ese punto ser negativo, peronada nos impide tomar como positivo el camino recorrido a laizquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha delpunto sera negativo. As, si sobre el segmento AB tomamos comopositivo el sentido de A hacia B, el sentido de B hacia A seranega- + + tivo, pero si fijamos ———— * *——— comosentido positivo A—————————–BA————————- de B hacia A , el senti- ~ do de A haciaB sera 4. A las 3 a. m. el termmetro marca 8o y al medioda +5.Cuntos grados ha subido la temperatura? 5. A las *8 a. m. eltermmetro marca 4o; a las 9 a. m. ha subido 7o; a las 4 p. m. hasubido 2o ms y a las 11 p. m. ha bajado 11. Expresar la temperaturaa las 11 p. m. 6. A las 6 a.m. el termmetro marca 8. De las 6 a. m.a las 11 a.m. sube a razn de 4o por hora. Expresar la temperatura alas 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. 7. A las 8 a. m. eltermmetro marca I o. De las 8 a. m. a las 11 a. m. baja a razn de2o por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razn de 3o por hora.Expresar la temperatura a las 10 a. m., a las 11 a. m., a las 12 a.m. y a las 2 p. m. 8. El da 10 de diciembre un barco se halla a 56al oeste del primer meridiano. Del da 10 al 18 recorre 7o hacia eleste. Expresar su lon gitud este da. 9. El da primero de febrero lasituacin de un barco es: 71 de longitud oeste y 15 de latitud sur.Del da primero al 26 ha recorrido 5o hacia el este y su latitud esentonces de 5o ms al sur. Expresar su situacin el da 26. 12. 12 #ALGEBRA }Q. El da 5 de mayo la situacin de un viajero es 18 delongitud este y 65 de latitud norte. Del da 5 al 31 ha recorrido 3ohacia el este y se ha acercado 4o al Ecuador. Expresar su situacinel da 31. 11. Una ciudad fundada el ao 75 A. C. fue destruida 135aos despus. Expresar la fecha de su destruccin. 3) Un mvil recorre40 m. en lnea recta a la derecha de un pun to A y luego retrocedeen la misma direccin a razn de 15 m. por segun do. Expresar a qudistancia se halla del punto A al cabo del 1?, 29, 39 y 49 segundo.El mvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego, su posicin es + 40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda aderecha. Entonces empieza a moverse de la derecha hacia laizquierda (sentido negativo) a razn de 15 m. por segundo; luego, enel primer segundo se acerca 15 m. al punto A y como estaba a 40 m.de ese punto, se halla a 40 15 = 25 m. a la derecha de A; luego, suposicin es +25 m. R. En el 29 segundo se acerca otros 15 m. alpunto A; luego, se hallar a 25 15 = 10 m. a la derecha de A; suposicin ahora es + 10 m. R. En el 3er- segundo recorre otros 15 m.hacia A, y como estaba a 10 m. a la derecha de A , habr llegado alpunto A (con 10 m.) y recorri do 5 m. a la izquierda de A, esdecir, 10 15 = 5 m. Su posicin ahora es 5 m. R. En el 49 segundorecorre otros 15 m. ms hacia la izquierda y como ya estaba a 5 m. ala izquierda de A, se hallar al cabo del 49 segundo a 20 m. a laizquierda de A , o sea 5 15 = 20 m.; luego, su posicin ahora es 20m. R. m* EJERCICIO 3 (SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DEABAJO A ARRIBA). 1. Expresar que un mvil se halla a 32 m. a laderecha del punto A; a 16 m. a la izquierda de A. 2. Expresar quela parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y tieneenterrados 4 m. 3. Despus de caminar 50 m. a la derecha del punto Arecorro 85 m. en sentido contrario. A qu distancia me hallo ahorade A? 4. Si corro a la izquierda del punto B a razn de 6 m. porsegundo, a qu distancia de B me hallar al cabo de 11 segs.? fy Doscorredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que correhacia la izquierda de A va a 8 m. por seg. y el que corre hacia laderecha va a 9 m. por seg. Expresar sus distancias del punto A alcabo de 6 seg. 8. Partiendo de la lnea de salida hacia la derechaun corredor da dos vueltas a una pista de 400 m. de longitud. Si yoparto del mismo punto y doy 3 vueltas a la pista en sentidocontrario, qu distancia hemos recorrido? 7. Un poste de 40 pies delongitud tena 15 pies sobre el suelo. Das despus se introdujeron 3pies ms. Expresar la parte que sobresale y la enterrada. 13.CANTIDAD POftlTIVAS Y M16ATIVAS 1 3 8. Un mvil recorre 55 m. a laderecha del punto A y luego en la misma direccin retrocede 52 m. iAqu distancia se halla de A? 9. Un mvil recorre 32 m. a la izquierdadel punto A y luego retrocede en la misma direccin 15 m. A qudistancia se halla de A} 10. Un mvil recorre 35 m. a la derecha deB y luego retrocede en la misma direccin 47 ni. A qu distancia sehalla de B? 11. Un mvil recorre 39 m. a la izquierda de M y luegoretrocede en la misma direccin 56 m. A qu distancia se halla de Ai?12. A partir del punto B una persona recorre 90 ni. a la derecha yretro cede, en la misma direccin, primero 58 m. y luego 36 m. A qudistancia se halla de B? 13. Un mvil recorre 72 m. a la derecha deA y entonces empieza a retro ceder en la misma direccin, a razn de30 m. por seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del 1$,2^, 39 y 4^ seg. ^.4. Un auto recorre 120 Km. a la izquerda delpunto M y luego retrocede a razn de 60 Km. por hora. A qu distanciase halla del punto M al cabo de la 1?, 2*, 3* y 4^ hora? Valorabsoluto de una cantidad es el nmero que representa la can tidadprescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativoes el sentido de la cantidad, representado por el signo. As, elvalor absoluto de + $8 es $8, y el valor relativo haber, expre sadopor el signo +; el valor absoluto de $20 es $20, y el valorrelativo deuda, expresado por el signo . Las cantidades 4-7 y 7otienen el mismo valor absoluto, pero su valor relativo es opuesto,pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero;8o y 11 tienen el mismo valor relativo (grados bajo cero) ydistinto valor absoluto. El valor absoluto de una cantidadalgebraica cualquiera se representa colocando el nmero quecorresponda a dicho valor entre dos lneas ver ticales. As, el valorabsoluto de + 8 se representa | 8 |. u c jo expuesto anteriorm entese deduce la diferencia entre cantida des aritmticas y algebraicas.Cantidades aritmticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los nmeros, pero no nosdicen el sentido o valor relativo de las cantidades. As, cuando enAritmtica escribimos que una persona tiene $5, te nemos solamentela idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero con esto nosabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda. Escribiendo queel termmetro marca 8o, no sabemos si son sobre cero o bajo cero.VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS 14. Cantidadesalgebraicas son las que expresan el valor absoluto de lascantidades y adems su sentido o valor relativo por medio del signo.As, escribiendo que una persona tiene 4- $5 expresamos el valor absoluto $5 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por elsigno +; escribiendo $8 expresamos el valor absoluto $8 y elsentido o valor rela tivo (deuda) expresado por el signo ;escribiendo que el termmetro mar ca + 8 tenemos el valor absoluto8o y el valor relativo (sobre cero) expre sado por el signo +, yescribiendo 9o tenemos el valor absoluto 9o y el valor relativo(bajo cero) expresado por el signo . Los signos + y tienen enAlgebra dos aplicaciones: una, indicar las operaciones de suma yresta, y otra, indicar el sentido o condicin de las cantidades.Esta doble aplicacin se distingue porque cuando los signos 4 – 0tienen la significacin de suma o resta, van entre trminos oexpresiones in cluidas en parntesis, como por ejemplo en (4. 8) +(4) y en (7) ( 4- 6). Cuando van precediendo a un trmino, ya sealiteral o numrico, expresan el sentido positivo o negativo, comopor ejemplo en a, 4- b, 4- 7, 8 REPRESENTACION GRAFICA DE LA SERIEALGEBRAICA DE LOS NUMEROS Teniendo en cuenta que el 0 en Algebra esla ausencia de la canti dad, que las cantidades positivas sonmayores que 0 y las negativas meno res que 0, y que las distanciasmedidas hacia la derecha o hacia arriba de un punto se consideranpositivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un punto negativas,la serie algebraica de los nmeros se puede representar de estemodo: – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 ‘ 3 + 4 + 5 – I | | I i h H I II- NOMENCLATURA ALGEBRAICA ( 7)EXPRESION ALGEBRAICA es ]arepresentacin de un smbolo alge- braico o de una o ms operacionesalgebraicas. 14 AL0KBRA ____ (5x 3y)cr a, 5x, 4a, (o 4- b)c ,——— jr. TERMINO es una expresin algebraica que consta de un solosmbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o .As, a, 3b, 2xyf —- son trminos. 7 3x Ejemplos 15. NOMENCLATURAAIGEM AICa 1 5 Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, elcoeficiente, la parte literal y el grado. Por el signo, son trminospositivos los que van precedidos del sig no + y negativos los quevan precedidos del signo As, + a, + 8x, + 9ab son trminos positivosy x, bbc y son trminos negativos. El signo + suele omitirse delantede los trminos positivos. As, a equivale a + a; 3ab equivale a +3ab. Por tanto, cuando un trmino no va precedido de ningn sign^positivo. El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera,generalmente el primero, de los factores del trmino. As, en eltrmino 5a el coeficiente es 5; en 3a2x z el coeficiente es 3. Laparte literal la constituyen las letras que haya en el trmino. As,3x *y* x 8y4 en 5xy la parte literal es xy; en – la parte literales . M 9y EL GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absolutoy con relacin a una letra. Grado absoluto de un trmino es la sumade los exponentes de sus factores literales. As, el trmino 4a es deprimer grado porque el expo nente del factor literal a es 1; eltrmino ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes desus factores literales es 1 + 1 = 2; el trmino a2b es de tercergrado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es2 + 1 = 3; 5a*b3c2 es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4 + 3 + 2 = 9. El grado de untrmino con relacin a una letra es el exponente de dicha letra. Asel trmino bx8 es de primer grado con relacin a b y de tercer gradocon relacin a x; 4x2y4 es de segundo grado con relacin a x y decuarto grado con relacin a y. (zo)8 ~ T T ‘ ^ 7 W 2. Dgase elgradoo absoluto de los trminos siguientes: 5a, 6*b, a-b2, 5asb4c,8x6y6, 4m2n3, xyz5 3. Dgase el grado de los trminos siguientesrespecto a cada uno de sus factores literales* a3b’, 5x4y3, 6a2bxz,4abcy2, 10m2n364c5 4. De los trminos siguientes escoger cuatro quesean homogneos y tres heterogneos: ‘4alib2, 6ab8, x5, 6x4y, 2a8x4,ab5, 4abcx2, 2ac 5. Escribir tres trminos enteros; dosfraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos,fraccionarios e irracionales. 6. Escribir un trmino de cada uno delos grados absolutos siguientes: de tercer grado, de quinto grado,de undcimo grado, de dcimo quinto grado, de vigsimo grado. 7.Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuartogrado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que seade sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factoresliterales que sea de dcimo grado con relacin a la b. CLASIFICACIONDE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 6 ALGEBRA MONOMIO es una expresinalgebraica 3a, 5b, -j-j. que consta de un solo trmino,como______________ / 2 2 j POLINOMIO es una expresin algebraica queconsta de ms de un trmino, como a + b, a + x y, x34- 2×2+ x + 7.a,2 5mx4 Binomio es un polinomio que a+ b, x y, – consta de dostrminos, com o:______ ___________ / a a+b+c, xz5x + 6, 5x26y*+consta de tres trminos, com o_________ Z1 Trinomio es un polinomioque a + 6+c, x25x + 6, 5x26y*+ o EL GRADO de un polinomio puede serabsoluto y con relacin a una letra. Grado absoluto de un polinomioes el grado de su trmino de mayor grado. As, en el polinomio x45x3+x23x el primer trmino es de cuarto grado; el segundo, de tercergrado; el tercero, de segundo grado, y el ltimo, de primer grado;luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto. 17.NOMCNCLATURA ALGtBRAICA ~J Grado de un polinomio con relacin a unaletra es el mayor expo nente de dicha letra en el polinomio. As, elpolinomio a6+ a4x2- a2x4 es de sexto grado con relacin a la a y decuarto grado con relacin a la x. EJERCICIO 5 1. Dgase el gradoabsoluto de los siguientes polinomios: a) x3+x2+x. c)a?,ba2b2+ab3b4. b) 5fl3a2+4a46. d) x56x4y3a2b+x,y*3y6. 2. Dgase elgrado de los siguientes polinomios con relacin a cada una de susletras: a) a*+a2ab3. cj 4tf2x+a>95a368x6. b) x4+ 4x36X2)44xy d)m4n2mn6+mx4y8x8-f)>lsm11. ^4^ CLASES DE POLINOMIOS ^ Un polinomio es entero cuando ninguno de sus trminos tiene deno- x2 x 1 minador literal como x2+ 5x 6; ——— 1 ; fraccionario cuandoalguno 2 3 5 a2 b de sus trminos tiene letras en el denominadorcomo H—— 8; racional b c cuando no contiene radicales, como enlos ejemplos anteriores; irracional cuando contiene radical, comoVa+’/tTVFVabc; homogneo cuando to dos sus trminos son del mismogrado absoluto, como 4a3+ oa2b-i- 6afr2+ fr3, y heterogneo cuandosus trminos no son del mismo grado, como x3+ x2+ x 6. Polinom iocompleto con relacin a una letra es el que contiene todos losexponentes sucesivos de dicha letra, desde el ms alto al ms bajoque tenga dicha letra en el polinomio. As, el polinomio x5+ x4x8+x23x es completo respecto de la x, porque contiene todos losexponentes sucesi vos de la x desde el ms alto 5, hasta el ms bajo1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el polinom io a4a3b + a2b2ab8+ b4 escompleto respecto de a y b. Polinomio ordenado con respecto a unaletra es un polinomio en el cual los exponentes de una letraescogida, llamada letra ordenatriz, van aum entando o disminuyendo.As, el polinomio x44x8+ 2x25x + 8 est ordenado en orden descendente con relacin a la letra orden’atriz x; el polinomio a?2a4b+ 6a362 5a2fr8+ 3ab4b6 est ordenado en orden descendente respectode la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letraordenatriz b. (2 5 J O rdenar un polinomio es escribir sus trminosde modo que los expo- nentes de una letra escogida como letraordenatriz queden en orden des cendente o ascendente. As, ordenarel polinomio 5×8-hxB3x+x4x2+6 en orden descendente con relacin a xser escribir x5+ x45x3x23x + 6. Ordenar el polinomio x4y 7x2y35x6+6xy4+ y6x3y2 en orden as cendente con relacin a x serescribirlo:——- – ^ yc+ 6xyi- 7 x V – x y – H x 4)>-5×8. 18.Termino independiente de un polinomio con relacin a una letra es eltrmino que no tiene dicha letra. As, en el polinomio a8a2+ 3a 5 eltrmino independiente con relacin a la a es 5 porque no tiene a; enx46x3+ 8x29x + 20 el trmi no independiente es 20; en a8 a2b + 3ab2+bs el trmino independiente con relacin a la a es by el trminoindependiente con relacin a la b es a8. El trmino independiente conrelacin a una letra puede considerarse que tiene esa letra conexponente cero, porque como se ver ms adelante, toda cantidadelevada a cero equivale a 1. As, en el primer ejemplo anterior, 5equivale a 5a, y en el lti mo ejemplo, b3 equivale a ab8. EJERCICIO6 1 Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen ono radi cal, dgase de qu ciase son los polinomios siguientes: a)a3+2a23a. c) V7T f Vb~2c -f d. a* cfi a2 /fl* b) + a. d) 4a + 66 +4. 2 3 2 2 2 Escribir un polinomio de tercer grado absoluto; dequinto grado abso luto; de octavo grado absoluto: de dcimoquintogrado absoluto. 3. Escribir un trinomio de segundo grado respectode la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; unpolinomio de noveno grado res pecto de la m. 4. De los siguientespolinomios: a) 3aa+4fl?-5&8. d) 4a-5bA-Qc2-8d3-6. b)a4a*b’2J22+ah*. e) y?ay4+a2y3.ji3y?a^i-b^ c) x3bx4+abj>c3+ab3x2.) 6a3b45^fh+8akb5b7. escoger dos que sean homogneos y dosheterogneos. 5. De los siguientes polinomios: a) a4a2+aa3. d)m5ra4-f??t3m+5. b) 5x48x2+x6. e) y7>by4+b2y3b3y2+b4y. c)x4yx3y2+x2y3y4. dgase cules son completos y respecto de culesletras. 6. Escribir tres polinomios homogneos de tercer gradoabsoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomioscompletos. 7. Ordenar los siguientes polinomios respecto decualquier letra en orden descendente: a) m2+6mm3+m4. b)6ax25a3+2a2x+x3. c) a2b3+a4b+a3b2ab*. d) o45a+6a39a24-6. e)x8y2+x10-f3x4y6x y + x 2) 8. f) 3m15n2+4m 12n38to6ti510m3n6+ n77mn4-f m18n. 8. Ordenar los siguientes polinomios respecto decualquier letra en orden ascendente: a) a25a3+6a. d)a2&4+fl4&3- a 6&2+a8?+>. b) x5x3+6×2+9×4. e)yU-xyn+x12y*-x*y10. c) 2y4+4y{5-0y-l-2y2+5y3. 1 8 # ALGEBRA 19.REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES 27) TERMINOS SEMEJANTES Dos o mstrminos son semejantes cuando tienen la misma parte lite ral, osea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.Los trminos 4ab y 6a?b no son semejantes, porque aunque tieneniguales letras, stas no tienen los mismos exponentes, ya que la adel pri mero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene deexponente 2. Los trminos bxAy ab4 no son semejantes, porque aunquetienen los mismos exponentes, las letras no son iguales. (28)REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES es una operacin que tie- ne porobjeto convertir en un solo trm ino dos o ms trminos se mejantes.En la reduccin de trminos semejantes pueden ocurrir los tres casossiguientes: 1) Reduccin de dos o ms trminos semejantes del mismosigno. REGLA Se suman los coeficientes, poniendo delante de estasuma el mismo signo que tienen todos y a continuacin se escribe laparte literal. 2o y o; -2 b y 8b, – 5 o V y -8a*b*; x +l y Ejemplos(3 ) a* 9o2= 10o2. R. (4) 3ax~2 -f 5ax’ 2= 8ax2. R. (2) 5b 7b =12b. R. (1) 3a + 2a = 5a. R. (6 ) ~ab + ^ab = ^ab. R.* o 6 1 2 ( 7)-*y -*y = – x y . R. (8 ) 5x 4- x + 2x = 8x. R. (9 ) ~ m 3m 6m Sm =15m. (5 ) – 4 a *1- 7 a m+1= – lio «1*1. R. (1 0 ) -xfy + ^x2y + ix2y = x2y. R. Reducir: 1. x+2x. 6, -9m -7m . 11. T a+ 7 a 12 7ab+Toab- 2. 8a+9a. 7, 4ax+5ax. 3. Ilfr-f9fr. g. 6ax+1+8a* +i 4 4.b-5b. 9. – m x+i – 5mx+i 5. 8mm. 10. -3 a x~2- a*~2 13. 5 10 – 16.7 20. 20 a lg ebr a 17. 8a+9a+Ga. 29. x2y8x2y -9 x2y20x2y. 18.15x+20x+x. 30. -3am5/zm-6am9am. 19. ~7m8m9m. 31. i . 1 i Ya+’7a+a+a. 20. a2bab3a2b. 2 l l l 21. ax+3ax+8ax. 32. T x + – x +-a x + -a x . 33. 0.5m-t-0.6m+0.7m+0.8m. 22. -5a +1-3a* +1-5a*+1. 1,2 a+T a+T a- 34. ab-ab-abab. 23. 7 14 28 24. 2 1 XX—-X. 3 0 35.36. ~ T x8y_ T x8y_ a&2+a&2+7a&2+9a62+21fl>2. 25. Tflx+ r0x4-ax. 37. mm8m7m3m. 5 10 38. xa+*8xa+14xa+ 5xa+xxa+V 26.a2xa2x a2x. i i . i , i . i4 8 39. -a+ a4* T 27. lla+8a+9a+ lla. 23 4 5 0 28. rax+1+3mx+1+4mx+1+6mx+1. 40. ab^-abababab.3 6 2 12 0 2)Reduccin de dos trminos semejantes de distinto signo. REGLA Serestan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia elsigno del mayor y a continuacin se escribe la parte literal.Ejemplos (1) 0 1 II 1 oCN R. (5) (2) 18x 11x = 7x. R. (6) (3) 20ab+ llab = – 9ab. R. (7) (4) – 8ax+ 13ax = 5ax. R. (8) (5) 25ax+154ox+1 = 29ax+1. (7) -~a2b + a2b = -7a*b. R. -ax+1+ Crx+1 = 6 4 12De la regla anterior se deduce que dos trminos semejantes de gualescoefi cientes y de signo contrario se anulan. As: -8ab + 8ab = 0.R. jx 2y – j * y = 0. R. EJERCICIO 8 Reducir: 1- 8a6a. 2. 6a8a. 3.9ab-15ab. 4. I5abdab. 2a2a. -76+76. -14xy+32xy. 8. 25x2y+32x2y. 9.40x3y-51x>. 10. m2n+6m2n. 11. ~15xy-f40xy. 12. 55a86281a362. 21.REDUCCION M TERMINOS SEMEJANTES 21 13. x2y+x2y. 14. 9ab2+9ab2. 15.7x2y7x2y. 16. llmn-f-118mn. 17. 502a6405a6. 18. -1024x+1018x. 19.-15a6+15a&. 20. 23. _ i xy+x-y. OA 4- am—-am. 25 aw -fam. 26.33. 34- 35. /jrn+l—L/jin+1rn+1 – a 11 G 12 5 7 mn—-mn. 21. 8 1aa. 4 2 22. a?b -a2b. 6 12 27. -a*b+^a*b. 28. 3.4rt4^-5.rm 463. 29.-1.2yz+3.4yz. 30. 4ax2ax. 31. 8x+1+8flx+1. 32. 25ma_132ma_1. 36.4a2- a 2. 3 37- 5 m n + -mn. 4 38. 8ax+2bx+325ax+2bx 39.am6n-fam>n. 8 40. 0.85mxymxy. Reduccin de ms de dos trminossemejantes d

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