algebra 1º

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  • 1. PRESENTACINEl COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS VCTOR VALENZUELAGUARDIA pone a disposicin de nuestros alumnos el presente Mdulo Terico-Prctico, del curso de lgebra correspondiente al rea de Ciencias, el cual permitir anuestros estudiantes la aprehensin de la asignatura con la visin de sostenerla yaplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educacin delpas.Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra PlanaDocente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboracin y coordinacin han podidolograr la realizacin de este Mdulo, y extender el agradecimiento a todas laspersonas que han aportado para que dicho material sea el ms ptimo posible.Estas ltimas lneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos supreparacin, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que lacalidad en servicios educativos, est asegurada. La Direccin4to Ao Razonamiento Matemtico 2
  • 2. ALGEBRA I Bimestre POTENCIAS Y RADICALES EN an 4.- a n am an m am 5.- am .an am n POTENCIACIN Y En radicacin n 2 , n RADICACIN 1 n Son a a n . Propiedades: n m OPERACIONES INVERSAS 1.- an am m m Que consisten en 2.- a n .b p .c q .... a n .m b p .m c q ....... a n m .b p m .c q m .....Dados dos nmeros base Dados dos nmeros 3.- m a m a a1 m a b my exponente, determinar radicando e ndice, b m b b1 mun tercer nmero llamado determinar un tercer 1potencia nmero llamado raz m n p m.n. p ....u 4.- .....u a a a ( m.n. p....u ) Eejmplos: an b n b a 1. 3 4 x 24 x Potenciacin y Radicacin 2. 4 3 10 3 4 10 12 10 En potenciacin n 1 , n .se tiene: 3. Reducir: M 2 3 4 5 x120 Propiedades: Solucin: 1.- Dados a , n , se tiene: a 0 1 2 3 4 5 2.3.4.5 M x120 x120 2.- Dados a , n ,a 0 , se tiene: 120 2.3.4.5 x x. M x 1 2. 2 a n .a n a n .a n 1 a n 3.- 4.- Calcular: M 2. 2. 2 an Solucin z ..... f x y La expresin dada es: a a x. y . z ..... f 2. 2 4 M 2. 2. 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2. 2.2 n 4.2 2.2 4 3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n M 4 4to Ao Razonamiento Matemtico 2
  • 3. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia TAREA DE CLASE Se obtiene1. x2 . x3 . x4 = ________ Rpta.2. 23 . 33 . 53 = ________ 12. Si xn = 3 A que es igual x2n 54 Rpta.3. = ________ 24 20 6 13. Si xx = 2, calcular xx4. = ________ 10 6 Rpta. 2 5 14. Reducir5. 23 = ________ 3 33 . 2 27 . 11 36. 3 2 . 3 4 = ________ Rpta. 15. Reducir: 5 25 210 312 5 23 2 5 3107. 23 = ________ Rpta. 4 2 16. Reducir:8. = ________ 1 1 1 3 3 6 3 2 22 Rpta. 0 1 19. = ________ 2 3 17. Cual es el exponente de x x en x5x Rpta. 210. 2 = ________ 3 18. Reducir: 4 1 4 25 3 8 5 2 16 4 2 11. Luego de operar 5 4 2 3 3 2 3 .2 .7 .3 .2 .7 3
  • 4. COCIAP Vctor Valenzuela GuardiaAprendiendo a resolver..resolviendo 27 32 16 a) b) c) 32 27 27 27 e) N.A.1. Despus de operar d) 16 45 . 34 . 82 . 43 . 33 . 82 Se obtiene: 8. Reducir 4 1 4 36 38 6 3 25 4 3 a) 16 b) 24 c) 48 a) 1 b) 1 c) 2 d) 8 e) 32 d) 2 e) 3 9. Simplificar: 6n 1 6n P2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n 6n a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 a) 14 b) 21 c) 49 d) 16 e) 1 10. Simplificar 7n 2 7n 1 Q 7n x x3. Si x = 5, Calcular x a) 32 b) 42 c) 49 d) 21 e) 7 1 1 1 a) b) c) 2 3 4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 1 d) e) 5 6 EXPRESIN ALGEBRAICA4. Reducir es un 3 44 . 3 CONJUNTO DE TRMINOS 3 QUE REPRESENTA UNA 16 . 11 CANTIDAD CONSTITUIDA a) 10 b) 12 c) 16 POR d) 8 e) 645. Cual es el exponente final de a en: 2 5 a5 . a3 . a1 , a 0 VARIABLES CONSTANTES representada por dadas por a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 NMEROS LETRAS6. Reducir 7 23 312 515 OPERACIONES 7 21 310 513 MATEMTICAS ELEMENTALES a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 55 TRMINO ALGEBRAICO (Monomio) Definicin.- Es la mnima parte de una expresin7. Reducir 1 1 1 2 3 algebraica, en el no existen operaciones de 8 4 2 2 adicin o sustraccin. 4
  • 5. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia 1.- Cuntas de las expresiones son algebraicas? 3 3 xy 2 3x 2 x 1 ;3 x 3; 3 x 3 x 5; 28; x 2 4x 1Ejem: 5 x 2 y; 7x 2 y6 ; z SolucinTodo termino algebraico presenta tres partes, las Son expresiones algebraicas:cuales son: Exponentes 3x 2 x 1 ; 3x 3 x 5; 28 2.- Si los trminos : 4 x a 3 yb 1 x5 a y 2b 7 x5 y 3 7 Son semejantes; calcular a.b Variables Solucin Coeficiente Podemos plantear:TRMINOS SEMEJANTE 4 xa 3 yb 1 x5 a y 2bDefinicin.- Son aquellos trminos que presentan a 3 5 a 2a 8 a 4las mismas variables e iguales exponentes Donde: b 1 2b b 1 b 1respecto a la Variable comn. a.b 4Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASCLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES GRADO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICAS ALGEBRAICAA.- Segn su Naturaleza1.- Expresin Algebraica Racional. es un EXPONENTE QUE CARACTERIZA A Es aquella expresin en donde los LA EXPRESION ALGEBRAICAexponentes de las variables son nmeros enteros.Estas a su vez se dividen en: RELATIVO ABSOLUTO1.A Expresin Algebraica Racional Entera SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE Ejem: 7 xy 4 4 x2 y 4x 2y 12.A Expresin Algebraica Racional Fraccionaria Ejem: 7 xy 2 2 5 xy 1 x SLO UN TODA LA TRMINO EXPRESIN2.- Expresin Algebraica Irracional Es aquella expresin en donde existe al menosuna variable afectada de algn signo radical o VALOR NUMRICO DE EXPRESIONESexponente fraccionario. ALGEBRAICAS 5x2 y Definicin.- Es aquel valor que se obtiene al Ejem: 2 xy x 3 2x 1 4 y 3xy 4 3x 15 2 reemplazar las variables por constantes oB.- SEGN EL NMERO DE TRMINOS variables y efectuar dichas operaciones. Monomio.1 trmino Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar: Binomio2 trminos P(0); P(1); P( x 3) Trinomio3 trminos Solucin . si : x 0 P (0) 5(0) 3 3 Polinomioms de 3 trminos x 1 P (1) 5(1) 3 8EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18 yEjem: 2 xy 5x 5x 3 VALORES NUMERICOS NOTABLES 2x senx cos 2 x Si P( x) es un polinomio, se cumple:Ejercicios resueltos 5
  • 6. COCIAP Vctor Valenzuela GuardiaP(0) = trmino independiente Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5P(1) = suma de coeficientesEjem: Si P( x 3) 5x 16 P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes PropiedadSolucion En todo polinomio completo y de una sola variable, Se pide P(0) + P(1) el nmero de trminos es equivalente al grado aumentado en uno.P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando Es decir: nmero de trminos = Grado + 1en: 4.- Polinomios Idnticos.- Dos polinomios de lasP( 3 3) 5( 3) 16 1 mismas variables son idnticos si tienen el mismoP(0) 1 valor numrico para cualquier valor o valoresP(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en: asignados a sus variables.P( 2 3) 5( 2) 16 6 Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8P(1) 6 P( x, y) x3 y3 Q( x, y) x y x2 xy y2FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE 5.- Polinomio Idnticamente Nulo.- Son aquellas VARIABLE X expresiones que son equivalentes a cero. EstandoP( x) a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ................... an 1 x an reducidas se cumple que cada coeficiente es igualDonde: a cero. Notacin: P( x) 0n ; n grado del polinomioa0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes TAREA DE CLASEtales que: 1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5a0 0 : Coeficiente Principal (C.P)an : Trmino Independiente (T.I) Hallar G.R.(x) = _ _ _ _ _POLINOMIOS ESPECIALES1.- Polinomio Homogneo.- Es aquel polinomio G.R.(y) = _ _ _ _ _que tiene todos sus trminos el mismo grado. G.A. =_____Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y32.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que 2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.esta ordenado con respecto a una variable P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x 4llamada ordenatriz, donde los exponentes de lamencionada variable van aumentando odisminuyendo.Ejemplos:P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4 1. Efectuar:P( x, y ) 9x 4 2x y 3 4x y 2 2 xy 3 y 4 8x (2x - 3) (x + 6)Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1 Rpta.3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en elque el grado de todos sus trminos van desde unmximo valor hasta el de exponente cero (trmino 2. Reducir:independiente) a (2,3b 5,2a) (3,5a + 4, 6
  • 7. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia Rpta. 9. Simplificar:3. Si: P(x;y) = 2yx m+1 m n 3x y + 5 . y n+2 . x. ( 4x + y) + (5x + 3y) (x y) Tiene el Simplificar: (6x 3y + 5z) (4y 6z 3x) + x y + z Rpta. Rpta. 10. Reducir: b { c [ d { c ( d b ) + a} d] a}4. Efectuar: 1 3 p (p 0,2q) + (0,222.....q p) + q 4 6 Rpta. Rpta. 4 Simplificar: {q + [p + q ( 3p 3 15. Reducir: 6q) + p] 0,3333....q} 2 12a [ 9a (2a + 7) + 3a] 26 11. Reducir: 8x2y + 16x2y 10x2y Rpta. Rpta.6. Efectuar: [ 0,2x [0,4x2 + (0,05x2 + 0,7x)]] x 12. Reducir: 4 3 2 4 3 2 4 3 2 17x y z + 16x y z 28x y z Rpta. Rpta. 13. Reducir:7. Efectuar: 10x2y + 12xy2 + 2x2y 6xy2 {[(2p 3) (3p + 4q)]} {2q (3p + q) p} 8x2y 2 2 1. Sea P(x) = x + x a , P(a) = 3. Hallar el trmino independiente de P(x) Rpta.8. Efectuar Rpta. 3 2 3 4 2 1 a b c + c b a 4 4 7 5 3 4 2. Sea P(x) = 2x + 3, Hallar P(x2) 7
  • 8. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia Rpta. a) 16 b) 3 c) 12 d) 7 e) 4 5. Los 3/2 de: x 23. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x) 3y 2 x 2 ; Cuando: y 3 1 3 a a 1 2 Es: Rpta. a) 69 b) 46 c) 69 d) 60 e) 63 2x 24. Si f(x) = , hallar f f 3 x 1 b3 10 6. Si los trminos 6xy ; 2xy son semejantes, calcular el valor de b Rpta. a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 105. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4. Hallar n2 7. Hallar m N, sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36. ] + 7 [x ] 5m+3 2 m+1 3 P(x) = 0,2[x Rpta. a) 3 b) 6 c) 2 d) 5 e) 86. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x3. Hallar P(0) 8. La expresin: + P(1) 3 3 0,2x + y + x 0,25 y equivale a: 4 5 2 1 b) 0,8x 0,5yRpta. a) x y 5 4 4 4 c) xy d) x + 0,5yAprendiendo a resolver..resolviendo 5 5 e) 0,6x 0,5y1. Hallar el grado absoluto del polinomio: 9. Al resolver: 2 3 4 4 7 9 5 P(x;y;z) = 5x y z + 7x y z + 9x y2z 7 x [x {y (2x y)} + x (y)] Se obtiene: a) 14 b) 9 c) 20 a) 3x y b) x 3y c) x + y d) 18 e) 15 d) x + y e) y x2. El monomio: 3xa+b5 yb3 10. Si: a = 2; b = 4; c = 3; d = 9; entonces el b d Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2 valor de 2db es: a c Entonces a vale: a) 67 b) 71 c) 72 d) 73 e) 77 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Sean: 4 m3. En el polinomio P(x,y) = 4x y P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7 n+2 5 Q(x,y) = 10x y, El grado absoluto es 10, entonces el valor de m es: Hallar m + n, a) 6 b) 7 c) 4 Si son trminos semejantes d) 5 e) 9 a) 2 b) 3 c) 74. Si: x = 2, y = 1, el valor de la expresin 2x 2y d) 8 e) 1 3xy2 + xy, es: 8
  • 9. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia12. Si el coeficiente principal de: a) 3x+5 b) 5x+3 c) 3x5 4 5 Q(x) = x + (k + 2)x + 2x + k, es 5, d) 3x e) 5 calcular su trmino independiente: PRODUCTOS NOTABLES a) 8 b) 6 c) 3 d) 1 e) 5 PRODUCTOS NOTABLES son nn 2 RESULTADOS DE DETERMINADAS13. Sea: R(x) = x + nx + x + n, un 3 MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS SIN EFECTUAR LA OPERACIN polinomio de 3er grado, calcular P(3) Por ejemplo a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 7014. Sean: BINOMIO SUMA 2 A(x) = Kx2 AL CUADRADO a b a 2 2ab b2 k+3 B(x) = 5x 2 Si A y B tienen el mismo coeficiente, calcular BINOMIO DIFERENCIA a b a 2 2ab b2 el exponente de x en B AL CUADRADO a) 6 b) 7 c) 8 d) 16 e) 1 BINOMIO SUMA AL CUBO15. Si Q(x)= x800 2x799 + 3. Hallar Q(2) a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 BINOMIO DIFERENCIA 3 a b a3 3a 2b 3ab2 b3 AL CUBO16. Sea: R(x) = (K + 2) x K1 + 3x2 + 6 Un polinomio de 5to grado, hallar el coeficiente del trmino principal. a) 2 b) 4 c) 6 Definicin.- Se denominan as a todas aquellas d) 8 e) 9 multiplicaciones o potenciaciones cuyos17. Sea: resultados: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Productos o potencias, tienen una frecuencia que Adems las hace reconocibles en una inspeccin. a b c P(1) = 0, Hallar Algunos resultados mas: d 1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS a) 0 b) 1 c) 1 d) 5 e) 4 a b a b a2 b2 218. Si P(x) = ax + b, a 0 y adems P(3) = a m bn a m bn a 2m b2n b 2.- TRINOMIO AL CUADRADO a, Calcular a 2 a) 5 b) 6 c) 7 a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc d) 8 e) 8 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc19. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1) 2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2ac 2bc 2 a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a) 3x-2 b) 2x+3 c) 3x+2 d) 3x e) 2 3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b320. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x) 3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3 9
  • 10. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia 3 3 8. Si a + b = 4 y ab = 3, hallar a + b TAREA DE CLASE1. Simplificar: N x2 2xy y2 Rpta. 3 3 9. Si: a b = 2 y ab = 15, Hallar a b Rpta.2. Reducir: P a b a b b2 Rpta. 10. Smplificar: x 3 x 5 N x 2 8x 15 Rpta.3. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallar a2 + b2 Rpta. 11. Simplificar: N x2 2xy y2 Rpta. Rpta. 1 14. Si x 3 , hallar x 2 x x2 12. Reducir: P a b a b b25. Sabiendo que: Aprendiendo a resolver..resolviendo (x + 1)2 =3, Calcular x 2 + 2x 2 1. Reducir: Q x y x y y2 2 a) x b) x c) xy Rpta. d) y2 e) y 2 a 2. Simplificar:6. Si (a + 2b) ( a 2b) = 0: b 0. calcular b x 4 x 5 20 N x 2 9x a) 0 b) 1 c) 4 3. Si: x 3 1972 11 ; Rpta.7. Si (x + y + 1) (x + y 1) = 1, calcular (x + y) 2 y 1969 11 Hallar el valor de: 9 3 3 9 x 9x y y 10
  • 11. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia a) 27 b) 72 c) 30 a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 20 e) 25 d) 0,5 e) 0,6 13. Reducir:4. Si: x + y = 5 y x . y = 6, Hallar x 2 + y2 N 8 3.11 . 72 42 7 4 44 48 a) 7 b) 8 c) 9 a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 4 d) 14 e) 15 14. Efectuar: Q 85 1 5 1 8 5 1 4 5 1 15. Si: x 4 , Hallar x 2 a) 1 b) 2 c) 3 x x2 d) 4 e) 5 15. Siendo: a) 12 b) 13 c) 14 x 3 5 3 5 d) 15 e) 16 2 Hallar x6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36, hallar x 2 + 4x 2 a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 16. Reducir: x 3a 2 3x a 2 a 2 Z7. Si (a + 3b) (a 3b) = 0, b 0, calcular x a x a 2a 2 b a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 a) 5 b) 10 c) 158. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a3 + b3 d) 20 e) 25 a) 36 b) 72 c) 144 17. Efectuar: d) 216 e) 108 5 3 5 3 M 5 3 5 39. Si (a + b + 1) (a + b 1) = 3, hallar (a + b)2 a) 2 b) 4 c) 5 a) 6 b) 7 c) 8 d) 6 e) 8 d) 9 e) 10 18. Efectuar: 2 2 210. Si x y = 4 Q 3 5 1 5 2 1 2 5 Simplificar: N x y 2 4xy a) 33 b) 44 c) 55 d) 66 e) 77 a) 5 b) 3 c) 2 d) 1/2 e) 411. Simplificar: 5x 1 2 5 x 12 N 5x 2 1 a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 2 212. Si se cumple que: x + y + 4xy Reducir: x y 2 x y 2 R x y 2 x y 2 11
  • 12. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia ALGEBRA II Bimestre DIVISIN ALGEBRAICA 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada Definicin.- Operacin que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos columna entre el primer coeficiente del divisor. polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, Cada coeficiente del cociente se multiplica por conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra los dems coeficientes del divisor para colocar ligados por la relacin: dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. . D(x) = d(x) Q(x) + R(x) . 4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de Donde: sumar D(x) : Dividendo la columnas finales una vez obtenidos todos los d(x) : Divisor coeficientes. Q(x) : Cociente R(x) : Residuo o Resto Propiedades de la Divisin Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x)) Adems: Mximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) 1 PRINCIPALES MTODOS DE DIVISIN OBSERVACIN: MTODO DE WILLIAM G. HORNER LA LNEA DIVISORIA SE COLOCAR SEPARANDO Pasos a seguir: TANTOS TRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completo o completado. MTODO DE PAOLO RUFFINI2.- Coeficiente del divisor ordenado Pasos a seguir: decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario salvo el 1.-Coeficientes del dividendo ordenadoprimero. 12
  • 13. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia decrecientemente, completo o completado, TAREA DE CLASE con respecto a una variable. 1. Indicar el residuo de la siguiente divisin 2.- Valor que se obtiene para la variable 2x 7 4x 6 2x 3 x 2cuando el divisor se iguala a cero Rpta. 3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente 2. Efectuar la siguiente divisin Indicar el residuo anterior se ha multiplicado por (2), y colocado 6x 3 5x 2 4x 4 en x 1 la siguiente columna. 4.- Resto de la divisin que se obtiene de sumarla Rpta. ltima columna 3. Indicar el trmino independiente del resto de la siguiente divisin 6x 3 x 2 2x 6 3x 2 2x 1 Rpta. 4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar: 2x 4 x3 3x2 20x 10 OBSERVACIN: 2x2 3x 1 5. Calcular n, si el resto de la divisin es 15 SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES 2x 3 nx 2 4x n DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE 2x n OBTENIDO SE DEBER DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR. Rpta. TEOREMA DEL RESTO 6. Al dividir x4 2x2 6 entre x + 3, el residuo es: Se utiliza para obtener el resto de una divisin. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo. Rpta. 7. Hallar el cociente en: OBSERVACIN: x5 6x 4 2x 3 x 1 x 3 3x 2 1 DESPUS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR. Rpta. 13
  • 14. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia8. Cual es el valor que deber tener K para que Aprendiendo a resolver..resolviendo al dividir 4x 5 2x3 + K 2 entre x 2, el residuo sea cero 1. Indicar el residuo en la siguiente divisin: 2x 3 x2 39. El cociente de la siguiente divisin: x3 + 3x2 x 3 entre x2 + 2x 3 es: x 1 a) 1 b) 1 c) 0 Rpta. d) 2 e) 2 2. Efectuar la siguiente divisin: 6x 2 x 2 2x 110. Hallar el residuo en 2x 4 5x 3 3x 6 E indicar el cociente x 2 a) x+1 b) 3x2 c) 3x+2 d) 2x+3 e) 2x3 Rpta. 3. Indicar el trmino independiente del resto en la siguiente divisin 6x 2 9x 2711. Hallar el cociente en: 3x 9 38x 4 65x 3 27 a) 1 b) 2 c) 2 2x 2 5x 3 d) 3 e) 0 4. Calcular la suma de coeficientes del cociente, despus de efectuar. Rpta. x2 15x 5612. Hallar el coeficiente del trmino x 8 cuadrtico en:2x 4 x 3 7x 3 a) 5 b) 5 c) 6 2x 3 d) 6 e) 7 5. Calcular n si el resto de la divisin es cero13. Hallar el cociente aplicando Horner 2x 3 11x 2 18x n x 5 27x x 4 7x 2 10 x 4 x2 x 5 a) 12 b) 36 c) 42 d) 6 e) 24 Rpta. 6. Al dividir: x 6 7x 3 12 x3 314. Hallar el cociente aplicando Ruffini El residuo es: x4 3x3 + 5x 8 entre x + 2 a) x34 b) X3+4 c) x25 d) x23 e) 2x3+1 Rpta. 7. Hallar el cociente en: x3 10 x2 14 x 9 x 2 4x 315. Hallar el cociente aplicando Horner 5 4 3 2 3 2 a) x+1 b) x1 c) x+6 6x + 2x 23x + 11x + 12x 3 entre 3x 5x d) x6 e) x+7 +3 8. Dividir usando Horner 14
  • 15. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia 5 4 6 3 2 5y 9y 3y 10 y 3y 4 8y 15. Efectuar la divisin e 3y 3 2 y 2 5 y 4 indicar la suma de coeficientes del cociente x 4 2x 2 6 x 3 a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3 e indicar el resto9. Dividir usando Ruffini a) 69 b) 62 c) 59 3 2 2x 11x + 18x 24 entre d) 57 e) 54 x- 4 e indicar el trmino 16. Al efectuar la divisin independiente del cociente x 5 2x 4 x 2 3 a) 1 b) 3 c) 6 x 2 2x 1 d) 9 e) 3 Indicar la suma de coeficientes del10. Dividir usando Horner residuo 31x 2 x 6 8x 5x 5 21 a) 3 b) 4 c) 5 x 3 7 2x d) 6 e) 7 e indicar el coeficiente del trmino cbico 17. Efectuar la divisin e indicar el trmino independiente del a) 0 b) 1 c) 1 residuo d) 2 e) 2 2x 4 x 3 4x 2 x 5 111. Dividir e indicar la suma de coeficientes 2x 2 x 1 del residuo Indicar el trmino 11x 3 3x 5 46x 2 32 independiente del resto 8 3x 2 6x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 1 b) 5 c) 0 d) 4 e) 6 18. Utilizando el Mtodo de Horner,12. Efectuar la divisin efectuar la divisin x 4 2x 2 6 6x 5 7x 4 18x 3 10x 2 7x 9 x 3 3x 3 x2 2 Indicar el coeficiente del e indicar el resto trmino lineal del cociente a) 69 b) 62 c) 59 d) 57 e) 54 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 513. Al efectuar la divisin x 5 2x 4 x 2 3 19. Aplicando el Mtodo de Horner, efectuar la divisin e indicar x 2 2x 1 coeficiente del el trmino Indicar la suma de coeficientes del cbico del cociente 5x 4 2x 4 5x 3 6x 2 6x 1 residuo 4x 2 2x 1 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 a) 1 b) 2 c) 314. Dividir e indicar la suma de coeficientes d) 4 e) 5 del residuo 11x 3 3x 5 46x 2 32 8 3x 2 6x a) 1 b) 5 c) 0 d) 4 e) 6 15
  • 16. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia COCIENTES NOTABLES CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE Definicin.- Son aquellos cocientes que se PARA OBTENER UN C.N. pueden obtener en forma directa sin necesidad xm yn m n de efectuar la operacin de divisin. De: se debe cumplir: r;r Z+ xp y q p q xm ym Condiciones que debe cumplir: FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN x y C.N. Donde Es una frmula que nos permite encontrar un x; a bases iguales trmino cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los dems. m Z +; m 2 CASOS xn yn De la divisin: x y xm yn1. Si: R = 0 q x cociente Si d(x) = x y: . tk = xnkyk1 . x y a) entero o exacto (C.N.) xm yn R x b) Si d(x) = x+y: . tk = (1)k1xnkyk1 .2. Si: R = 0 q x x y x y Donde: cociente completo tk trmino del lugar k x 1er. trmino del divisor. Tambin segn la combinacin de signos se y 2do. trmino del divisor. puede analizar 4 casos. n nmero de trminos de q(x) DEDUCCIN DE LOS COCIENTES Ejemplos:DIVISIN COCIENTES n Z+ x5 y5 x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.)INDICADA x yxn yn x4 y4 2y 4 x y =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.) x3 x 2y xy 2 y3 x y x y (Cociente Completo) 2y nx n y n =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ ; n x y x 12 y 12 x y x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.) (cociente completo) x3 y3 xn 1 x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.xn yn TAREA DE CLASE 2y n x y xn x n 2y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo 1 1 x y 1. Efectuar x 5 32 y hallar la suma de coeficientes x 2 xn 1 x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N.xn yn del resultado 2y n x y xn 1 x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 x y ; n impar cociente completo Rpta. 16
  • 17. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia 9. Hallar el valor de P para que: xP 4 y62. Calcular el tercer trmino de: , sea C.N x4 yP 4 84x 4 1 3x 1 Rpta. Rpta. 10. Efectuar: x 6 64y 6 e indicar el cuarto trmino x 2y3. Calcular el segundo trmino de 125x 3 27 Rpta. 5x 3 Rpta. 11. Cual es el tercer trmino en el cociente x 10 32y 54. Desarrollar x 2 2y x 23 8 E x 12. Hallar el nmero de trminos del siguiente cociente notable:5. Desarrollar x 63 . y n x 3 4 16 N xn . y7 x 1 Rpta. Rpta. 13. Efectuar:6. Si: x 3 64 xm 1 ym 1 , es C.. Hallar m x 4 x3 y2 Y dar la suma de los coeficientes del cociente. Rpta. Rpta.7. Hallar el trmino de lugar 34 en x 48 y 48 14. Hallar el cuarto trmino de: x y x7 y7 x y Rpta8. Hallar el valor de n para que: Rpta. xn 5 yn 2 sea Cociente Notable x3 y2 15. Hallar el tercer trmino de: Rpta. x 4 4 16 x 2 17
  • 18. COCIAP Vctor Valenzuela GuardiaAprendiendo a resolver..resolviendo 8. Hallar el valor de K para que x 3K 2 n 161. Hallar la suma de coeficientes del , sea C.N. xK 1 n2 desarrollo de: a) 1 b) 1,5 c) 2 x 10 32y 5 d) 2m5 e) 5 x 2 2y 9. Hallar el V.N. del quinto trmino del desarrollo a) 10 b) 11 c) 12 x9 y9 de , para que x = 3, d) 13 e) 14 x y y=22. Calcular el cuarto trmino del desarrollo de: a) 646 b) 340 c) 648 x9 y9 d) 343 e) 548 x y 10. Hallar el trmino central de a) x y3 3 3 3 b) x y 4 4 c) x y x 21 y 21 d) x2y3 e) x3y2 x3 y3 9 8 8 9 7 73. Calcular el quinto tercer trmino del a) x y b) x y c) x y d) x9y9 e) x8y8 desarrollo de: y8 x8 11. El nmero de trminos que tendr el y x siguiente cociente notable: m 4 a 12 n 4 a 3 4 3 3 4 3 4 ; es: a) y x b) y x c) y x ma 8 n a 9 4 3 4 4 d) y x e) x y a) 10 b) 12 c) 254. Desarrollar y dar el valor numrico del tercer d) 15 e) 18 trmino para x = 2 del siguiente Cociente Notable 12. Efectuar: x 3 4 16 64x 6 y 6 x 1 2x y a) 10 b) 15 c) 20 y dar la suma de los coeficientes del d) 25 e) 30 cociente5. Si: a) 13 b) 21 c) 31 x 3n 1 y n 2 d) 41 e) 51 , es un Cociente Notable, hallar x3 y4 13. Hallar el tercer trmino de: n 81x 4 1 a) 1 b) 2 c) 3 3x 1 d) 4 e) 5 a) 2x2 b) 3x4 c) 3x6. Hallar el trmino de lugar 47 en d) x4 e) 4x4 x 61 y 61 14. hallar el cuarto trmino de: x y x 5 5 32 x 13 15 12 43 14 46 a) x x b) x y c) x y 3 11 51 15 40 d) x y e) x y a) 8x 40 b) 8x + 407. Hallar el trmino de lugar 30 en c) 8x 20 d) 8x + 50 x 36 a 36 e) 8x 30 x a 5 28 6 29 6 29 a) x .a b) x .a c) x .a 6 30 6 40 d) x .a e) x .a 18
  • 19. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia FACTORIZACIN 3. Factorizar: 3x2y + 6xy2 3x2y2Definicin.- Proceso inverso de la multiplicacinpor medio del cual una expresin algebraicaracional entera es presentada como el productosde dos o ms factores algebraicos. 2. Factor Comn Polinomio El factor comn es un polinomio. Factor Divisor: Un polinomio no constante es TAREA DE CLASE factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual tambin es llamado divisor. 1. Factorizar: 7x + 7y Factor Primo Racional: Llamamos as a aquel polinomio que no se puede descomponer en Rpta. otros factores. Racionales dentro del mismo campo. Ejemplo: 2 2 2. El factor comn de x x y es: El proceso (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Rpta. es una multiplicacin. En cambio el proceso 3. Factorizar 2 24x3 16x2 + 8x x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorizacin Rpta. Donde: 4. Factorizar: 18x3 + 6x2y + 4xy2 10xy (x + a), (x + b), son factores primos. MTODO DE FACTORIZACIN Rpta. Factor Comn Monomio1. Comn Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable comn con el menor 5. Al factorizar 3 2 4 5 exponente. 16z + 20z + 4z + 12z , se obtiene Ejemplos: 1. Factorizar: 6. Factorizar: 3 2 2. Factorizar 6x 15x 1 1 x 5 5 Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3 El menor exponente de x es 2 el factor comn es 3x2 Rpta. Luego 2 3x (2x 5) 19
  • 20. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia7. Factorizar: Aprendiendo a resolver..resolviendo a b + 2(a + b) 1. En la expresin 2 3 3 2 7x y + 14x y Rpta. El factor comn es: a) x2y2 b) 7xy c) 7x2y2 d) x3y3 e) 7x3y3 2. En la siguiente expresin8. Si: x y = 5 y m = 4. Hallar mx + my x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar, el factor comn es Rpta. 2 2 a) m . n b) m n c) mn 2 2 3 2 d) m . n e) m n9. Factorizar cada una de las expresiones: 3. Si factorizamos 2 9y 81y a. 8x2 16x = ______________ 3 2 b. x + 3x 5x =____________ el factor que no es monomio es: c. m + x m3 = ____________ 5 4 a) 9 y b) y2 9 c) y 9 d. 6y4 + y3 12y2 = __________ d) y + 9 e) 9y e. 3x 6x2 + 9x3 =___________ 4 5 3 2 f. 4x y 2x + 6x y = _______ 4. Uno de los factores de: (a+2b) (2a+b) (a2b) (5b-3), es: a) 2a + 3b + 3 b) 2a + b + 310. Factorizar cada uno de los polinomios: c) 2a 4b + 3 d) 2a +b a. 2(a+b)+x(a+b) = __________ e) 2a b b. x2(a1)y2(a1) = _________ c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________ 5. Despus de factorizar d. (a+b)x(a+b)7ab = _____ (3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2) e. x2+y25y(x2+y2) = ________ Uno de los factores es: a) 7x3 b) 7x+3 c) 7x+1 d) 7x1 e) 7x+511. Factorizar: 6. Si a b = 5 y m = 4, hallar el valor de ma xz + yz + x + y mb12. Factorizar: a) 10 b) 20 c) 30 ab + bx + ay + xy d) 15 e) 16 7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar el valor de (p + q)x + (p + q)y Rpta. a) 16 b) 3 c) 48 d) 16 e) 12 1913. Factorizar 8. Si: m + n = 4; a b = 2, hallar el valor de: a2b3 a2 + 2b3 2 (m + n)a (m + n)b a) 10 b) 16 c) 8 d) 4 e) 5 Rpta. 9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar el valor de: 2 2 (p + q)x + (p + q)y14. Factorizar: a) 10 b) 15 c) 17 6b2x2 3x2 + 4b2 2 d) 9 e) 5 10. Factorizar 2 2 2 2 (a + b ) (x + y) + (a + b ) (x 3y) + (a2 + b2) (y 2x) Rpta. Uno de los factores es: 20
  • 21. COCIAP Vctor Valenzuela Guardia 2 2n + 1 n+1 n+3 n 3 a) x(a + b) b) x (a + b) x + 3x +x x + 3x - 3 2 2 2 c) x(a + b) d) y(a + b ) e) x(a b2) 2 a) (xn+13) b) (xn3) c) (x4+3)11. Al factorizar la expresin: d) (xn+1) e) (xn1) x2 2x + cx 2x 19. Cul es el factor primo de Uno de los factores primos es: mayor grado de: P = (x8) (x7) (x6) + (x7) (x6) (x6) a) x+2 b) xc c) x2 d) cx e) 2x a) (x8)2 b) (x6)2 c) (x4)212. Hallar la suma de los trminos