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A tiempoPara los aspirantes a licenciatura que presenten el examen de

Ciencias Bsicas e Ingeniera

Canek: Portal de Matemtica

Coleccin Guas de Estudio

A tiempoPara los aspirantes a licenciatura que presenten el examen de

Ciencias Bsicas e Ingeniera

Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Mara Teresa Castaeda Briones

Luz Mara Garca CruzAda Mndez Sosa

Teresa MerchandHernndezAlejandro de la Mora Ochoa

Rafael Prez FloresJos ngel Rocha MartnezCarlos Antonio Uln Jimnez

2013

UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA

RECTOR GENERALDr. Enrique Fernndez FassnachtSECRETARIA GENERALMtra. Iris Santacruz Fabila

COORDINADORA GENERAL DE INFORMACIN INSTITUCIONALDra. Mara Jos Arroyo PaniaguaJEFE DEL DEPARTAMENTO DE ADMISINGerardo Gutirrez Santiago

UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA UNIDAD AZCAPOTZALCO

RECTORAMtra. Paloma Gabriela Ibez VillalobosSECRETARIO DE UNIDADIng. Daro Eduardo Guaycochea Guglielmi

DIRECTOR DE LA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERADr. Luis Enrique Norea FrancoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICASDr. David ElizarrarazMartnez

M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Dra. Mara Teresa Castaeda BrionesDra. Luz Mara Garca CruzLic. Ada Mndez SosaMtra. Teresa Merchand HernndezDr. Alejandro de la Mora OchoaDr. Rafael Prez FloresM. en C. Jos ngel Rocha MartnezDr. Carlos Antonio Uln Jimnez

Universidad Autnoma MetropolitanaProl. Canal de Miramontes 3855, col. Ex-Hacienda San Juan de DiosDel. Tlalpan, C.P. 14387 Mxico D.F.

ISBN de la coleccin 978-607-477-402-3ISBN del volumen

Primera edicin 2013Impreso en Mxico. Printed in Mexico

Captura de datos: Alberto Rodrguez Snchez

Cuidado editorial: Mtra. en Ed. Concepcin Asuar

Este trabajo ha sido realizado por los autores en colaboracin con el Departamento de Admisin, de la CoordinacinGeneral de Informacin Institucional, de la Rectora General.ste es un material de apoyo para la preparacin de los aspirantes que deseen ingresar al nivel licenciatura en laUniversidad, por lo que resolver adecuadamente los ejercicios no constituye una garanta de ingreso.

Todo el material de A tiempo se encuentra en lnea en la direccin: http://canek.azc.uam.mx

ndice

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

Seccin I. Teora y reactivos 1

1. Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Operaciones con fracciones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Valor numrico de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Reduccin de trminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Smbolos de agrupacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Leyes de los exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.6 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.7 Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.8 Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.9 Racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.10 Ecuaciones de primer grado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.11 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.12 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.13 Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos una cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3 Geometra euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.1 ngulos complementarios y suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.2 ngulos formados al cortar dos rectas paralelas con una transversal . . . . . . . . . . 461.3.3 Propiedades de paralelogramos y tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.4 Tringulos congruentes y semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.5 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.6 Permetro y rea de polgonos y del crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3.7 rea y volumen de paraleleppedos, cilindros, conos y esferas . . . . . . . . . . . . . . 69

1.4 Trigonometra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.4.1 Medida de ngulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.4.2 Funciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.3 Funciones trigonomtricas de ngulos notables (30, 45 y 60) . . . . . . . . . . . . . 771.4.4 Identidades trigonomtricas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.4.5 Resolucin de tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.4.6 Identidades para la adicin de ngulos y sustraccin de ngulos . . . . . . . . . . . . 831.4.7 Leyes de los senos y de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.4.8 Resolucin de tringulos oblicungulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

VII

VIII A tiempo

1.5 Geometra analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.1 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.2 Divisin de un segmento en una razn dada. Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . 901.5.3 ngulo de inclinacin y pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.5.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.5.5 Ecuaciones de la recta en todas sus formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.5.6 Interseccin de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.5.7 Ecuacin y elementos principales de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.5.8 Ecuacin y elementos principales de la parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.5.9 Ecuacin y elementos principales de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.5.10 Ecuacin y elementos principales de la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.6 Clculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.6.1 Derivadas de sumas, productos, cocientes y potencias de funciones . . . . . . . . . . . 1131.6.2 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2. Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1 Anlisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1.1 Sistema internacional de unidades (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1.2 Magnitudes fsicas. Escalares y vectoriales. Fundamentales y derivadas . . . . . . . . 1202.1.3 Notacin cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.1.4 Conversin de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.2 Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.2.1 Conceptos de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.2.2 Movimiento rectilneo: uniforme y acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2.3 Movimiento bidimensional: circular y tiro parablico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.3 Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.3.1 Conceptos de inercia y fuerza. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.3.2 Conceptos de energa cintica, energa potencial, trabajo y potencia . . . . . . . . . . . 138

2.4 Esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4.1 Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4.2 Equilibrio, momento de una fuerza y centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.5.1 Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.5.2 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.6 Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.6.1 Carga elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.6.2 Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3. Qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1 Conceptos introductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1.1 La materia y los tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1.2 Propiedades de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.1.3 Estados de agregacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.1.4 Sustancias puras (elementos y compuestos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.1.5 Mezclas homogneas y heterogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.2 Estructura del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.2.1 Partculas subatmicas y fundamentales (protones, neutrones y electrones) . . . . . . 1643.2.2 Nmero atmico, masa atmica e istopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.2.3 Molculas e iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.2.4 Cantidad de sustancia (mol) y masa molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.3 Tabla peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.3.1 Smbolos y frmulas qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

ndice IX

3.3.2 Grupos o familias, periodos y bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.3.3 Propiedades peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.4 Enlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4.1 Principios de enlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4.2 Enlace inico o electrovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.4.3 Enlace covalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.4.4 Enlace metlico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.4.5 Interacciones por puente de hidrgeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.5 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.5.1 Iones mono y poliatmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.5.2 xidos metlicos y no metlicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.5.3 Hidruros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.5.4 Hidrcidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.5.5 Oxicidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.5.6 Hidrxidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.5.7 Sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.5.8 Hidrocarburos (alcanos, alquenos y alquinos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.6 Reacciones qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.6.1 Tipos de reacciones qumicas (sntesis, descomposicin y desplazamiento) . . . . . . . 2073.6.2 Reacciones cidobase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.6.3 Reacciones de combustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.6.4 Reacciones xidoreduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.6.5 Balanceo de ecuaciones por tanteo y por el mtodo redox . . . . . . . . . . . . . . . . . 2133.6.6 Clculos estequiomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4. Lingstica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.1 Comprensin textual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.1.1 Anlisis y sntesis de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.1.2 Identificacin de la informacin y argumentos de un texto . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.2 Ortografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.2.1 Grafemas y fonemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.2.2 La slaba. Clasificacin de las palabras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.2.3 Diptongos e hiatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.2.4 Acentuacin diacrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.3 Semntica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.3.1 Anlisis del discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.3.2 Coherencia y cohesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.4 Sintaxis del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4.1 Oracin y frase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4.2 Sujeto y predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

4.5 Puntuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.5.1 Los signos de puntuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.6 Manejo de vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.6.1 Morfologa flexiva y derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.6.2 Sinnimos y antnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5. Razonamiento matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.1 Sucesiones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.2 Razonamiento aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.3 Razonamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.4 Razonamiento geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

X A tiempo

Seccin II. Soluciones de los reactivos 269

6. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Seccin III. Desarrollos de los reactivos 287

7. Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2891. Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2891.1 Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2891.2 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931.3 Geometra euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241.4 Trigonometra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3531.5 Geometra analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621.6 Clculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3852. Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3912.1 Anlisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3912.2 Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3942.3 Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3992.4 Esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4032.5 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4102.6 Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113. Qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.1 Conceptos introductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.2 Estructura del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4193.3 Tabla peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4223.4 Enlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4243.5 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4273.6 Reacciones qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314. Lingstica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4374.1 Comprensin textual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4374.2 Ortografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4394.3 Semntica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444.4 Sintaxis del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464.5 Puntuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4484.6 Manejo de vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4495. Razonamientomatemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.1 Sucesiones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.2 Razonamiento aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4525.3 Razonamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4575.4 Razonamiento geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

Prlogo

La obra, A tiempo. Para los aspirantes a licenciatura que presenten el examen de Ciencias Bsicas e Ingeniera,constituye un material que ha sido elaborado para quienes han concluido sus estudios de nivel mediosuperior y desean presentar el examen de Ciencias Bsicas e Ingeniera (CBI), para ingresar a la UniversidadAutnomaMetropolitana (UAM).

Contiene temas de MATEMTICA, FSICA, QUMICA, RAZONAMIENTO VERBAL Y RAZONAMIENTO MATE-MTICO, del nivel medio superior, importantes y necesarios para iniciar la formacin universitaria en elcampo de las ciencias bsicas y las ingenieras. Cada uno de los temas se presenta de manera sinttica yse acompaa con un conjunto de ejemplos y ejercicios similares a los que integran el examen de CBI paraingresar a la UAM.

La obra ha sido dividida en las siguientes secciones:

I. Teora y ejercicios

II. Soluciones

III. Desarrollos

Bibliografa

Esto es, en este libro encontrars cpsulas de informacin (Teora y ejercicios) que rescatan lo fundamentalde cada tema; a continuacin se proponen preguntas de opcin mltiple, tanto conceptuales como proble-mas y ejercicios; encontrars, adems ayudas tiles (pie de pgina), por toda la obra. Y en los Desarrollos,para cada problema, se plantea una estrategia que conduce a entender por qu se resuelve de esa forma.

Los autores, profesores de la Universidad que contamos con muchos aos de haber impartido clasesen esos temas, hemos trabajado de manera multidisciplinaria en su construccin, pensando siempre en elaspirante a alumno de la UAM. Por esta razn, en las pginas de A tiempo se encuentra una didctica ade-cuada para coadyuvar en la comprensin de contenidos y con el desarrollo de las competencias implcitasen stos.

Prepararte, en los meses previos, para el examen de ingreso a la Universidad es un aspecto central entus actividades; estudiar es una tarea que implica tiempo y capacidad de organizacin: recordar lo queya sabes, repasar, reaprender. . . , en algunas ocasiones aunque aparentemente sientes que no avanzas, si tededicas con compromiso y consciencia de la transcendencia de esta tarea para tu vida futura, el resultadofinal indudablemente va ser muy positivo para ti mismo.

Para encontrar la opcin correcta de cada ejercicio del libro A tiempo, es necesario que antes actualices losconocimientos que has aprendido, tanto de manera formal en la escuela, como aquellos adquiridos en lasdiversas situaciones de la vida cotidiana. Tambin es necesario que prestes un nivel ptimo de atencin, deconcentracin, en la lectura del libro que tienes entre tus manos. Adems, te sugerimos lo siguiente:

Leer detenidamente cada pregunta, con el fin de entenderla bien. Tener tus libros de bachillerato a tu lado, por si te fuese necesario consultarlos. Asimismo, al final de este libro, te ser de mucha utilidad una bibliografa que podrs consultar yutilizar cuando lo creas necesario.

XI

XII A tiempo

Examinar las opciones de respuesta propuestas y razonar sus diferencias. Seleccionar la opcin o, en su caso, las opciones que consideres son lo correcto para lo que se tepregunta.

Asegurarte bien de que es correcta la opcin que ests eligiendo. Al final, cuando compares lo elegido por ti con las opciones indicadas en las Soluciones, revisa condetenimiento los Desarrollos, tanto para entender mejor esa pregunta, como para comprender qupasos dar para poder responderla sin error.

Es indudable que este material ayuda a preparar el examen de admisin a la UAM, pero tambin consti-tuye una importante herramienta para el desarrollo de habilidades comunicativas y para la solucin deproblemas en las reas de matemtica, fsica, qumica y razonamiento verbal.

Aunque ciertamente ste es unmaterial de apoyo para la preparacin de los aspirantes que deseen ingre-sar al nivel licenciatura en la Universidad, resolver adecuadamente los ejercicios de este libro no constituyeuna garanta de ingreso.

Todo el material de A tiempo se encuentra en lnea en la direccin: http://canek.azc.uam.mx

Ernesto Javier Espinosa HerreraCoordinador

Seccin I

Teora y reactivos

1. Matemtica

1.1 Aritmtica

1.1.1 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor

En este subtema, vamos a trabajar exclusivamente con el conjunto N [ f 0 g, donde:N D f 1; 2; 3; : : : ; n; nC 1; : : : g es el conjunto de los nmeros naturales:

Decimos que a divide a b si b D ac.As, 5 divide a 20 puesto que 20 D 5 4.Otras maneras de expresar esta condicin son:

b es un mltiplo de a.

a es un factor de b.

b es divisible entre a.

a es divisor de b.

Divisin euclideana. Dados dos nmeros naturales a, b existen dos nicos nmeros q, r tales que:b D qaC r; donde 0 r < a:

Decimos que q es el cociente de la divisin b entre a y que r es el residuo de dicha divisin.

Si b D 23 y si a D 5, al dividir 23 entre 5, obtenemos:23 D 4 5C 3:

En este caso q D 4; 0 < r D 3 < 5.Si b D 5 y si a D 23, al dividir 5 entre 23, obtenemos:

5 D 0 23C 5:En este caso q D 0; 0 < r D 5 < 23.

Considerando lo anterior, se dice que a divide a b si al efectuar la divisin a entre b el residuo es r D 0. Decimos que un nmero natural p es primo si sus nicos divisores son 1 y p.Los primeros nmeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, : : :

Decimos que n es un nmero compuesto sin D ab; donde 1 < a < n y donde 1 < b < n:

Por ejemplo, el nmero 10 es compuesto, ya que 10 D 2 5. Teorema fundamental de la aritmtica. Todo nmero natural n se puede factorizar en nmeros primos demanera nica (salvo el orden).

3

4 A tiempo

Ejemplos:

140 D 22 5 7.792 D 23 32 11.

Sea el nmero 175 D 52 7, notacin que representa su descomposicin en nmeros primos. El nmero totalde divisores de 175 es .2C 1/.1C 1/ D 6. Para obtener estos divisores observamos la siguiente tabla:

Divisor

0 0 50 70 D 10 1 50 71 D 71 0 51 70 D 51 1 51 71 D 352 0 52 70 D 252 1 52 71 D 175

Un divisor de un nmero n tiene obligatoriamente potencias de primos que se encuentran en la descom-posicin de n. Si b D ac es un mltiplo de a, entonces todos los primos de la descomposicin de a seencuentran en la descomposicin de b.

El mximo comn divisor de dos nmeros naturales a, b [el cual denotaremos como mcd.a; b/] es unnmero que divide a ambos nmeros y cumple con la condicin que, si n es otro nmero que dividea ambos nmeros, entonces n mcd.a; b/.Para calcular el mcd.a; b/, descomponemos primero en nmeros primos ambos nmeros; luego seconsideran los primos comunes en dichas descomposiciones, se toman las potencias mnimas dedichos primos y se multiplican esas potencias mnimas. Cuando no hay primos comunes se tienemcd.a; b/ D 1.

El mnimo comn mltiplo de dos nmeros naturales a, b [el cual denotaremos como mcm.a; b/] esun nmero que es mltiplo de ambos nmeros y cumple con la condicin que, si n es mltiplo comnde a, b, entonces mcm.a; b/ n.Para calcular el mcm.a; b/, primero se descomponen en nmeros primos ambos nmeros, se tomanlas potencias mximas de todos los primos existentes en dichas descomposiciones y se multiplicandichas potencias mximas.

Reactivos de Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisorSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 289

1. Sean los nmeros n D 12, m D 90. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplode ambos. Elige la opcin correspondiente .

A. mcd.12; 90/ D 12, mcm.12; 90/ D 180B. mcd.12; 90/ D 6, mcm.12; 90/ D 360C. mcd.12; 90/ D 12, mcm.12; 90/ D 90D. mcd.12; 90/ D 6, mcm.12; 90/ D 180E. mcd.12; 90/ D 6, mcm.12; 90/ D 90

2. Sean los nmeros n D 10, m D 21. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplode ambos. Elige la opcin correspondiente .

A. mcd.10; 21/ D 1, mcm.10; 21/ D 105

1. Matemtica. Teora y reactivos 5

B. mcd.10; 21/ D 5, mcm.10; 21/ D 210C. mcd.10; 21/ D 1, mcm.10; 21/ D 210D. mcd.10; 21/ D 5, mcm.10; 21/ D 105E. mcd.10; 21/ D 10, mcm.10; 21/ D 210

3. Sean los nmeros n D 30, m D 140 & r D 75. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comnmltiplo de los tres. Indica la opcin .

A. mcd.30; 140; 75/D 30, mcm.30; 140; 75/D 180B. mcd.30; 140; 75/D 6, mcm.30; 140; 75/D 360C. mcd.30; 140; 75/D 12, mcm.30; 140; 75/D 90D. mcd.30; 140; 75/D 5, mcm.30; 140; 75/D 2 100E. mcd.30; 140; 75/D 6, mcm.30; 140; 75/D 90

4. Sean los nmeros n D 15, m D 14 & r D 22. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comnmltiplo de los tres. Escribe cul es la opcin correcta .

A. mcd.15; 14; 22/D 1, mcm.15; 14; 22/D 2 310B. mcd.15; 14; 22/D 3, mcm.15; 14; 22/D 2 310C. mcd.15; 14; 22/D 2, mcm.15; 14; 22/D 4 620D. mcd.15; 14; 22/D 3, mcm.15; 14; 22/D 4 620E. mcd.15; 14; 22/D 5, mcm.15; 14; 22/D 2 310

1.1.2 Operaciones con fracciones numricas

Para la representacin de los nmeros enteros en una recta, colocamos en ella un punto fijo 0 llamadoel origen, una unidad de longitud convencional (arbitraria) y un sentido positivo, hacia la derecha. Si apartir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos unasucesin de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1; 2; 3; ; estos puntos representan a losnmeros naturales.

0 1 2 3

Los simtricosde estospuntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen almarcar repetida-mente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los nmeros enteros negativos.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Adems, hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el nmero racionalp

qcon p, q 2 N. Si dividimos

la unidad de longitud en q partes iguales y tomamos p de ellas en el sentido del eje o bien p en sentido

opuesto, encontramos puntos cuya distancia al origen esp

q. Estos puntos corresponden a los nmeros

racionalesp

qy p

q, respectivamente.

6 A tiempo

-3

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

-2

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

-1

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

0

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

1

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

2

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

3

12

b

1

2

b

5

3

b

53

b

p

q

b

pq

b

Dos nmeros racionales son iguales si al multiplicar cruzados numerador con denominador, se ob-tiene el mismo resultado:

10

12D 5

6puesto que 10 6 D 12 5 D 60:

Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de un racional por un mismo nmero seobtiene un nmero racional igual.

Multiplicando por 2:10

12D 2 10

2 12 D20

24:

Multiplicando por1

2(o lo que es lo mismo, diviendo entre 2) se tiene:

10

12D

12 10

12 12 D

5

6:

Para sumar dos racionales con el mismo denominador se suman los numeradores y se deja el mismodenominador:

3

5C 7

5D 3C 7

5D 10

5:

Para restar dos racionales con el mismo denominador se restan los numeradores y se deja el mismodenominador:

3

5 75D 3 7

5D 4

5D 4

5:

Para sumar o restar dos nmeros racionales con distinto denominador, se convierten ambos racionalesen otros equivalentes con igual denominador y se aplican las reglas anteriores:

Usando el producto de los denominadores como denominador comn:

5

6C 1

10D 10 5

10 6 C6 16 10 D

50

60C 6

60D 56

60:

Usando el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es mcm.6; 10/ D 2 3 5 D 30:5

6C 1

10D 5 5

5 6 C3 13 10 D

25

30C 3

30D 28

30:

Para multiplicar dos racionales, se multiplican los numeradores y denominadores entre s:2

3 57D 2 5

3 7 D10

21:

Para multiplicar un racional por un entero, se multiplica el entero por el numerador del racional:

2 57D 2 5

7D 10

7:


Puesto que5

7 75D 35

35D 1;

el inverso multiplicativo de un racional se obtiene intercambiando numerador y denominador:

(5

7

)1D 7

5:

Para dividir dos racionales, se multiplica el racional numerador por el inverso multiplicativo delracional denominador:

3527

D 35

(2

7

)1D 3

5 72D 21

10:

Reactivos de Operaciones con fracciones numricasSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 291

1. Elegir una opcin al calcular:5

2C 3

2D :

A. 2

B. 8

C. 4

D. 6

E. 10


2 23D :

A. 36

B. 3C.

11

2

D.11

3

E.11

6


4 112

D :

A.1

2

B.7

2

C.7

6

D.7

4

E.1

6

8 A tiempo


5 27D :

A.21

14

B.21

10

C.5

12

D.9

7

E.6

35

5. Calcular:3 7

5D :

(Elige la opcin correspondiente).

A.7

35

B.8

5

C.21

5

D.7

8

E.22

5

6. Calcular:2538

D :


A.3

20

B.5

4

C.5

13

D.2

3

E.16

15

7. Calcular:25

3D :


A.2

15

B.6

5


C.10

3

D.5

6

E.15

2

8. Calcular:795

D :

Qu opcin es la correcta?

A.7

45

B.35

9

C.9

35

D.45

7

E.12

9

9. Elige qu opcin es la respuesta al calcular:

23C 3

517C 3

2

D :

A.9

10

B.10

3

C.266

345

D.7

15

E.437

210

10. Indica cul opcin corresponde al calcular:

23C 1

2 1

435 1

3C 1

2

D :

A.43

3

B.87

6

C.253

360

D.83

6

E.55

46

10 A tiempo

1.2 lgebra

1.2.1 Valor numrico de expresiones algebraicas

En una expresin algebraica, las letras (variables) pueden ser sustituidas por otras expresiones algebraicaso nmeros. Cuando esto ocurre, se dice que la expresin algebraica original se ha evaluado.Veamos, como ejemplo, la siguiente expresin:

a3 ba2 b2 :

1. Cuando utilizamos a D 1, b D 2, obtenemos:.1/3 2

.1/2 .2/2 D1 21 4 D

13 D

1

3:

2. Cuando usamos a D 2x C 3, b D 3y2, encontramos:.2x C 3/3 .3y2/.2x C 3/2 .3y2/2 I

tambin podemos simplificar o bien sustituir las nuevas letras por otras expresiones algebraicas onmeros, si as se desea.

Reactivos de Valor numrico de expresiones algebraicasSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 293

1. Al evaluar la expresin:a2b ab2a b ;

con a D 5 y con b D 3, se obtiene: .A. 25

B. 10

C. 20

D. 15

E. 30

2. Al evaluar la expresin:a2b C ab2a1 b1 ;

con a D 5 y con b D 3, se obtiene: .

A. 4715

B. 5115

C. 7615

D. 2715

E. 1315


3. Al evaluar la expresin:aC b2a2 b ;

con a D 15y con b D 1

3, hallamos: .

A. 10599

B. 10099

C. 9599

D. 11599

E. 10199

4. Al evaluar la expresin:a1 C b2a2 b1 ;

con a D 15y con b D 1

3, hallamos: .

A.9

11

B.5

11

C.7

11

D.12

11

E.13

11

1.2.2 Reduccin de trminos semejantes

Decimos que los trminos 5x2y3 & 8x2y3 son semejantes, ya que tienen lamismaparte literal x2y3. Reducirtrminos semejantes quiere decir sumar o restar trminos semejantes. Para esto se suman o restan loscoeficientes numricos correspondientes.

Suma de trminos semejantes:

.5x2y3/C .8x2y3/ D .5C 8/x2y3 D 13x2y3:

Resta de trminos semejantes:

.5x2y3/ .8x2y3/ D .5 8/x2y3 D 3x2y3:

Reactivos de Reduccin de trminos semejantesSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 294

1. Al reducir la expresin:5x2 C 2xC 3 3x2 C 7x 9;

se obtiene: .

12 A tiempo

A. 2x2 C 9x 6B. 2x2 C 7x 6C. 2x2 C 9x C 6D. 2x2 C 9x 12E. 2x2 C 9x C 12

2. Reducir la expresin:3x2y C 9xy2 2x2y 11xy2:

Elige la opcin que corresponda .

A. x2y 2xy2B. x2y C 2xy2C. x2y C 2xy2D. x2y 2xy2E. 2x2y xy2

3. Sumar los polinomios:3x3 C 2x 7 & x3 C 3x2 C 3:

Elige la opcin correspondiente .

A. 2x3 C 3x2 4B. 2x3 C 3x2 C 2xC 4C. 2x3 C 2x2 C 2x 4D. 2x3 C 3x2 C 2x 4E. 2x3 C 3x2 C x 4

4. Reducir la expresin:2m3nmn2 C 7m2n 5m3nC 3mn2 7mn:

Escribir la opcin correspondiente .

A. 3m3nC 2mn2 C 7m2n 7mnB. 3m3n 2mn2 C 7m2n 7mnC. 3m3nC 2mn2 7m2n 7mnD. 3m3nC 2mn2 C 7m2nC 7mnE. 3m3nC 2mn2 C 7m2n 7mn

1.2.3 Smbolos de agrupacin

Las expresiones matemticas contienen operadores y operandos.

Los operadores suma (aCb), resta (ab), multiplicacion (ab) y divisin (a=b) son operaciones bina-rias, es decir, requieren dos operandos (a, b).

Existen operadores unarios, los cuales requieren un solo operando, tal como la inversa aditiva (a).Cuando queremos calcular la expresin 5C 4 7, la ley asociativa nos dice que esta expresin puede sercalculada de dos formas diferentes y se obtiene el mismo resultado:

.5C 4/ 7 D 5C .4 7/ ) 9 7 D 5 3 D 2:


En el clculo anterior, hemos usado los parntesis . / para indicar el orden en el cual se desean ejecutar lasoperaciones. Con la misma idea se pueden usar los corchetes y las llaves f g. Estos smbolos se conocencomo smbolos de agrupacin.Los podemos encontrar anidados (una o varias parejas de smbolos dentro de otra) y siempre se efectanlos clculos en la pareja ms interna. Cuando existe un smbolo que abre debe existir otro que cierra la agrupacin.En el siguiente ejemplo:

.2 7/ 1C f3C 1 5g;se operan primero las parejas de smbolos de agrupacin

.2 7/ D .5/ D 5I 1 5 D 4 D 4;ya que son las ms internas. Usando estos resultados se obtiene:

5 1C f3 4gIy finalmente, continuamos operando los siguientes smbolos de agrupacin:

6C f1g D 6 1 D 5:

Reactivos de Smbolos de agrupacinSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 295

1. Reducir la expresin:.5C 3/ 9C .7 9/C 3:

Elegir la opcin correspondiente .

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

E. 9

2. Reducir la expresin:f.5 7/C 3C .9 5/ 8g :

Elegir la opcin .

A. 13

B. 12

C. 9

D. 11

E. 14

1.2.4 Leyes de los exponentes y radicales

Si n, m, r son nmeros naturales (1; 2; 3; : : :), entonces se cumplen las siguientes propiedades:

an D a an veces

.

an am D anCm. .ab/n D anbn.

14 A tiempo

.an/m D anm.

an D 1an

.

an

amD anm.

a0 D 1.

a 1n D npa, con a 0, si n es par.

npan D .an/ 1n D a nn D a1 D a.

npa npb D a 1n b 1n D .ab/ 1n D npab.

m

npa D .a 1n / 1m D a 1nm D nmpa.

Reactivos de Leyes de los exponentes y radicalesSoluciones: vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 296

1. Al simplificar .a2b3/5, se obtiene: .

A. a7b8

B. a7b15

C. a10b7

D. a10b8

E. a10b15

2. Al simplificara5

a3, se obtiene: .

A. a2

B. a8

C. a8

D. a3

E. a2

3. Al simplificar .ab/7.ab2/1, se obtiene: .

A. a7b5

B. a6b4

C. a8b5

D. a6b9

E. a6b5

4. Al simplificar 3pa7b5, se obtiene: .

A.b53

a73

B.b53

a73


C.b53

a73

D.b53

a73

E.b35

a37

5. Simplificar.a3b2/5

.a2b3/4y elegir la opcin correspondiente .

A.a8

b3

B.a6

b2

C.a7

b2

D.a7

b3

E.a5

b2

6. Simplificar(a2b3

a4b2

)4y escribir qu opcin corresponde .

A.b4

a4

B.b5

a8

C.b4

a8

D.b4

a8

E.b4

a8

7. Simplificar

pa3b

3pa2b5

y escribir la opcin correspondiente .

A. 6a5

b9

B. 6a3

b7

C. 6a3

b9

D. 6a9

b3

E. 6a5

b7

16 A tiempo

8. Simplificarc13

.c C c2/1 ; indicar la opcin .

A. c43 C c

73

B. c43 C c 73

C. c43 C c73

D. c13 C c

23

E. c43 C c 73

9. Simplificarb12 .b C b2/b13

; escribir qu opcin es correcta .

A. b76 C b136

B. b76 C b

136

C. b76 C b136

D. b76 C b 136

E. b16 C b

23

10. Simplificarx1n .xn C x

1n /

xn.x1n C xn/

e indicar qu opcin es correcta .

A. xn

B. 1C. 1

D. x1

E. xn

1.2.5 Operaciones con polinomios

Suma de polinomios. Para sumar dos o ms polinomios (sumandos) se escriben uno a continuacin deotro, luego se eliminan los parntesis y finalmente se reducen trminos semejantes.

Ejemplo. La suma de los polinomios .4x3y 3x2y2 C 9xy3/ y .8x3y C 2x2y2 5xy3/ es:

.4x3y 3x2y2 C 9xy3/C .8x3y C 2x2y2 5xy3/ D 4x3y 3x2y2 C 9xy3 8x3y C 2x2y2 5xy3 DD .4 8/x3y C .3C 2/x2y2 C .9 5/xy3 DD 4x3y x2y2 C 4xy3:

Tambin se pueden escribir uno debajo de otro formando columnas con trminos semejantes queluego son reducidos. El orden en que se coloquen los sumandos no altera la suma.

4x3y 3x2y2 C 9xy38x3y C 2x2y2 5xy3 C4x3y x2y2 C 4xy3 :


Resta de polinomios. Para restar un polinomio (sustraendo) de otro (minuendo), se cambian los signos delsustraendo y se suma con el minuendo.

Ejemplo. Restar el polinomio .8x3y C 2x2y2 5xy3/ al polinomio .4x3y 3x2y2 C 9xy3/.

.4x3y 3x2y2 C 9xy3/ .8x3y C 2x2y2 5xy3/ D 4x3y 3x2y2 C 9xy3 C 8x3y 2x2y2 C 5xy3D .4C 8/x3y C .3 2/x2y2 C .9C 5/xy3 DD 12x3y 5x2y2 C 14xy3:

El orden en que se coloquen los polinomios s altera la diferencia, ya que x y y x.Multiplicacin de monomios. El producto de dos o ms monomios se obtiene multiplicando por separado

los coeficientes y las potencias de igual base.

Se debe aplicar la regla de los signos para la multiplicacin, as como la igualdad xnxm D xnCm.Ejemplo: El producto de los monomios (4x5y3), (3x3y4) y (5xy5) es:

.4x5y3/.3x3y4/.5xy5/ D .4/.3/.5/.x5x3x/.y3y4y5/ D 60 x5C3C1 y3C4C5 D 60x9y12:

Monomio por polinomio. El producto de unmonomiopor un polinomio se obtienemultiplicando elmonomiopor cada trmino del polinomio y sumando algebraicamente los productos obtenidos.

Ejemplo. El producto del monomio .4x5y3/ por el polinomio .8x3y C 2x2y2 5xy3/ es:

.4x5y3/.8x3y C 2x2y2 5xy3/ D .4x5y3/.8x3y/C .4x5y3/.2x2y2/C .4x5y3/.5xy3/ DD 32x5C3y3C1 8x5C2y3C2 C 20x5C1y3C3 DD 32x8y4 8x7y5 C 20x6y6:

Polinomio por polinomio. El producto de dos polinomios se obtienemultiplicando cada trmino del primerpolinomio por el segundo polinomio, y sumando algebraicamente los productos obtenidos.

Ejemplo. El producto de los polinomios .x2 2x C 3/ y .x2 C 4x 5/ es:

.x2 2x C 3/.x2 C 4x 5/ D x2.x2 C 4x 5/ 2x.x2 C 4x 5/C 3.x2 C 4x 5/ DD x4 C 4x3 5x2 2x3 8x2 C 10xC 3x2 C 12x 15 DD x4 C 2x3 10x2C 22x 15:

En cada una de estas multiplicaciones se debe tener presente que el orden en que se escriben losfactores (monomio o polinomio) no afecta al producto.

Divisin de monomios. Para dividir dos monomios se dividen por separado los coeficientes y las potenciasde igual base.

Se debe aplicar la regla de los signos para la divisin, as como la igualdadxn

xmD xnm.

Ejemplo. Al dividir el monomio 24x5y3u2 entre el monomio 40x2y4u2, se obtiene:

24x5y3u240x2y4u2

D 2440

x5

x2 y

3

y4 u

2

u2D .8/.3/

.8/.5/ x52 y34 u22 D

D 35 x3 y1 u0 D 3

5 x3

(1

y

) 1 D 3x

3

5y:

Polinomio entre monomio. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada trmino del poli-nomio entre el monomio y se suman algebraicamente los cocientes obtenidos.

18 A tiempo

Ejemplo. Dividir el polinomio 20x6y4 12x4y6 9x2y8 entre el monomio 30x4y3.

20x6y4 12x4y6 9x2y830x4y3

D 20x6y4

30x4y3 12x

4y6

30x4y3 9x

2y8

30x4y3D

D 2x2y

3 2x

0y3

5 3y

5

10x2D

D 2x2y

3 2y

3

5 3y

5

10x2:

Polinomio entre polinomio. Para dividir un polinomio (dividendo) entre otro (divisor), se procede comosigue:

1. Se ordenan los trminos del dividendo y del divisor, con respecto al exponente de una literal (sesugiere que sea de mayor a menor).

2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, para as tener elprimer trmino del cociente.

3. Este primer trmino se multiplica por el divisor y el resultado se resta al dividendo, para astener un nuevo dividendo.

4. Se repiten los pasos anteriores, hasta que el nuevo dividendo sea de grado menor (con respectoa la misma literal) que el divisor.

5. Cuando esto sucede, la divisin se da por terminada; al ltimo denominador se le denominaresiduo y se escribe:

DividendoDivisor

D cocienteC residuodivisor

:

Ejemplo. Al dividir el polinomio 6x413x3C19x215xC2 entre el polinomio 2x23xC1, se obtiene:

3x2 2x C 52x2 3xC 1 6x4 13x3C 19x2 15xC 2

6x4C 9x3 3x2 4x3C 16x2 15xC 2C 4x3 6x2C 2x

10x2 13xC 2 10x2C 15x 5

2x 3 :

Por lo tanto,6x4 13x3 C 19x2 15xC 2

2x2 3x C 1 D 3x2 2x C 5C 2x 3

2x2 3x C 1 :

Reactivos de Operaciones con polinomiosSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 298

1. Al sumar el polinomio (6x2y3 5x3y2 4xC 3y) y el polinomio (3x3y2 C y x 2x2y3), se obtiene:.

A. 4x2y3 2x3y2 C 5x C 4yB. 4x2y3 2x3y2 5xC 4yC. 8x2y3 8x3y2 3x C 2yD. 4x4y6 2x6y4 5x2 C 4y2E. 4x4y6 2x6y4 C 5x2 C 4y2


2. Al restar el polinomio (5x2y C 6xy2 4xy 2) del polinomio (2xy2 4xy 6x2y C 8), se obtiene:.

A. 8xy2 8xy 11x2y C 6B. 11x2y C 4xy2 10C. 10 4xy2 11x2yD. 4xy2 x2y 8xy C 6E. 10C xy 4xy2 C 11x2y

3. Al restar del polinomio (3x2C4xy5y2) la sumade los polinomios (5xyx22y2) y (3y22xyC8x2),se obtiene: .

A. 4x2 xy C 6y2B. 4x2 C 7xy 4y2C. 4y2 7xy 4x2D. 4x6 C x3y3 6y6E. xy 4x2 6y2

4. Cul es el resultado de realizar la operacin siguiente?:(32x2y3

)(2x3y2 C 4

3x2y 6x

)D :

A. 3x5y5 2x4y4 C 9x3y3B. 3x6y6 2x4y3 C 9x2y3C. 3x5y5 C 2x4y4 9x3y3

D. 3x5y5 C 43x2y 6x

E. 72x5y5 C 1

6x4y4 C 3

2x3y3

5. Indica el resultado de efectuar la operacin siguiente:

.3a2 4ab C 2b2/.a2 5ab 3b2/ D :

A. 3a4 C 20a2b2 6b4B. 3a4 19a3b C 13a2b2 2ab3 C 6b4C. 3a4 19a3b C 13a2b2 C 2ab3 6b4D. 4a2 9ab b2E. 3a4 19a3b 13a2b2 C 2ab3 6b4

6. Indica el resultado de efectuar la operacin siguiente:(xn1 xn) (xnC1 xnC2) D :

A. x2n 2x2nC1 C x2nC2B. x2n x2nC2C. x2n C 2x2nC1 C x2nC2D. x2n C x2nC2E. xn21 xn23nC2 xn2Cn C xn2C2n

20 A tiempo

7. Al dividir el polinomio .3x4 C 5x3 13x2 C x 3/ entre el polinomio .x2 C 2x 3/, se obtiene elcociente: .

A. 3x2 C 11xB. 3x2 C x C 2C. 3x2 x 2D. 3x2 11xE. 3x2 x C 2

8. Al efectuar la divisin8x3 C 272xC 3 , se obtiene el cociente: .

A. 4x2 C 9B. 4x2 9C. 4x2 C 6xC 9D. 4x2 6x 9E. 4x2 6x C 9

1.2.6 Productos notables

Por sus caractersticas, algunos productos son denominados productos notables y son identificados confrmulas que se aplican directamente para simplificar desarrollos.

Producto de dos binomios con un trmino comn. .x Cm/.x C n/ D x2 C .mC n/x Cmn.El producto de dos binomios con un trmino comn es igual al cuadrado del trmino comn, ms elproducto de la suma de los trminos diferentes por el trmino comn, ms el producto de los trminosdiferentes.

Ejemplo. El producto de los binomios .x3 C 8/ y .x3 4/ es:

.x3 C 8/ .x3 4/ D .x3/2 C .8 4/x3 C .8/.4/ D x6 C 4x3 32:

Producto de dos binomios conjugados. Son binomios conjugados aquellos que difieren slo en un signo ysu producto es una diferencia de cuadrados: .x Cm/.x m/ D x2 m2.El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del trmino comn, menos el cuadradodel trmino que difiere en signo.

Ejemplo. El producto de los binomios conjugados .2x3 C 3a2/ y .2x3 3a2/ es:

.2x3 C 3a2/ .2x3 3a2/ D .2x3/2 .3a2/2 D 4x6 9a4:

Cuadrado de un binomio. .x Cm/2 D x2 C 2xmCm2 y .x m/2 D x2 2xmCm2.El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del primertrmino por el segundo, ms el cuadrado del segundo trmino.

Observa que estos productos notables difieren slo en el signo del doble producto .2xm/, que espositivo cuando proviene de una suma y negativo cuando proviene de una diferencia.

Ejemplos. Los desarrollos de .2x3 C 3a2/2 y .2x3 3a2/2 son:

.2x3 C 3a2/2 D .2x3/2 C 2.2x3/.3a2/C .3a2/2 D 4x6 C 12x3a2 C 9a4:.2x3 3a2/2 D .2x3/2 2.2x3/.3a2/C .3a2/2 D 4x6 12x3a2 C 9a4:


Cubo de un binomio. .x Cm/3 D x3 C 3x2mC 3xm2 Cm3 y .x m/3 D x3 3x2mC 3xm2 m3.El cubo de un binomio es igual al cubo del primer trmino, ms el triple producto del cuadradodel primer trmino por el segundo, ms el triple producto del primer trmino por el cuadrado delsegundo, ms el cubo del segundo trmino.

Observa que los resultados de estos productos notables difieren slo en dos signos: en .xCm/3 todoslos signos son positivos y en .x m/3 los signos positivo y negativo se alternan.Ejemplos. Los desarrollos de .2x3 C 3a2/3 y .2x3 3a2/3 son:

.2x3 C 3a2/3 D .2x3/3 C 3.2x3/2.3a2/C 3.2x3/.3a2/2 C .3a2/3 D 8x9C 36x6a2 C 54x3a4 C 27a6:.2x3 3a2/3 D .2x3/3 3.2x3/2.3a2/C 3.2x3/.3a2/2 .3a2/3 D 8x9 36x6a2 C 54x3a4 27a6:

Reactivos de Productos notablesSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 301

1. El resultado de la multiplicacin de los binomios .a2 4/.a2 9/ es: .A. a4 C 13a2 C 36B. a4 36C. a4 C 36D. a4 13a2 36E. a4 13a2 C 36

2. Al desarrollar(2

3x2 3

2

)2, se obtiene: .

A.4

9x4 9

4

B.4

9x4 2x2 C 9

4

C.4

9x4 x2 C 9

4

D.4

9x4 C 9

4

E.4

9x4 C 2x2 9

4

3. Al multiplicar el binomio(3

2x2 2

3

)por su conjugado, se obtiene: .

A.9

4x4 C 4

9

B.9

4x4 2x2 C 4

9

C.9

4x4 4

9

D.9

4x2 4

9

E.9

4x4 x2 C 4

9

4. Al desarrollar(x3 2

3

)3, se obtiene: .

22 A tiempo

A. x6 2x5 C 43x3 8

27

B. x9 827

C. x6 827

D. x9 2x6 C 4x3 827

E. x9 2x6 C 43x3 8

27

5. El resultado de la multiplicacin de los binomios .u4 5/.3C u4/ es: .A. u6 2u4 15B. u8 15C. u16 15D. u8 2u4 15E. u8 C 2u4 15

6. El resultado de la multiplicacin .a C b C c/.a C b c/ es: .A. a2 C b2 c2B. a2 C b2 C c2C. a2 C b2 c2 C 2acD. a2 C b2 c2 C 2bcE. a2 C b2 c2 C 2ab

1.2.7 Factorizacin

La factorizacin es un procedimiento algebraico mediante el cual una expresin algebraica se escribe comoun producto de dos o ms factores. Por ejemplo: x2 9 D .x C 3/.x 3/.Para factorizar una expresin algebraica es necesario tener presente lo siguiente:

Factor comn. Un factor que est formando parte de cada trmino de una expresin algebraica es denomi-nado factor comn de dicha expresin.

Cmo factorizar una expresin algebraica que tiene un factor comn? Uno de los factores es el factorcomn y el otro factor se obtiene dividiendo a cada trmino de la expresin entre dicho factor comn.Por ejemplo, .am C bm cm/ tiene un factor comn que es m y el otro factor es:(

am

mC bm

m cm

m

)D .a C b c/:

Por lo tanto,.am C bm cm/ D m.a C b c/:

Si una expresin algebraica tiene factores comunes, se toma como factor comn al mximo comndivisor de sus trminos.

Por ejemplo, en la expresin algebraica 8x2u3 36x3u2 20x4u el mximo comn divisor de sustrminos es 4x2u y el otro factor es:(

8x2u3

4x2u 36x

3u2

4x2u 20x

4u

4x2u

)D .2u2 9xu 5x2/:

Por lo tanto:8x2u3 36x3u2 20x4u D 4x2u .2u2 9xu 5x2/:


Factorizacin por agrupacin. Algunas expresiones algebraicas que no tienen un factor comn pueden serfactorizadas si agrupamos los trminos que s tengan factores comunes.

Por ejemplo, .amCbmaxbx/ no tiene un factor comn, pero notamosque los dos primeros trminos.am C bm/ tienen a m como factor comn y los dos ltimos trminos .ax bx/ tienen a .x/ comofactor comn; factorizando cada pareja de trminos:

amC bm ax bx D .am C bm/C .ax bx/ DD m.a C b/C .x/.a C b/ D m.a C b/ x.aC b/:

Ahora, el binomio .a C b/ es un factor comn de los ltimos trminos obtenidos; factorizamos yobtenemos

am C bm ax bx D m.a C b/ x.a C b/ D .aC b/.m x/:

Diferencia de cuadrados. Es una expresin algebraica de la forma a2 b2.Cmo factorizar a2 b2? Del producto notable .a C b/.a b/ D a2 b2 se desprende que unadiferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados. Esto es:

a2 b2 D .a C b/.a b/:

Por ejemplo:4x2 9y2 D .2x/2 .3y/2 D .2x C 3y/.2x 3y/:

Diferencia de cubos. Es una expresin algebraica de la forma a3 b3.Cmo factorizar a3 b3? Al dividir .a3 b3/ entre .a b/ se obtiene el cociente .a2 C ab C b2/ y elresiduo es cero, por lo que:

.a3 b3/ D .a b/.a2 C ab C b2/:Por ejemplo:

8x3 27y3 D .2x/3 .3y/3 D .2x 3y/.2x/2 C .2x/.3y/C .3y/2 D .2x 3y/.4x2 C 6xy C 9y2/:

Suma de cubos. Es una expresin algebraica de la forma a3 C b3.Cmo factorizar a3 C b3? Al dividir .a3 C b3/ entre .a C b/ se obtiene el cociente .a2 ab C b2/ y elresiduo es cero por lo que:

.a3 C b3/ D .a C b/.a2 ab C b2/:Por ejemplo:

8x3 C 27y3 D .2x/3 C .3y/3 D .2x C 3y/.2x/2 .2x/.3y/ C .3y/2 D .2x C 3y/.4x2 6xy C 9y2/:

Trinomio cuadrado perfecto. Es todo trinomio que resulta del desarrollo del cuadrado de un binomio.As, .x2 C 2axC a2/ y .x2 2axC a2/ son trinomios cuadrados perfectos, ya que son los desarrollosrespectivos de .x C a/2 y de .x a/2.Cmo factorizar un trinomio cuadrado perfecto? Primero se deben identificar los trminos que con-formaran al binomio y luego verificar que el doble producto de ellos coincida con uno de los trminosdel trinomio dado; y ser el signo de este trmino, el que conecte los trminos del binomio.

Por ejemplo, para factorizar el trinomio 9x2 30xy2 C 25y4, primero vemos que 9x2 D .3x/2 y 25y4 D.5y2/2; luego vemos que 2.3x/.5y2/ D 30xy2, que es precisamente el trmino intermedio del trinomiodado. Por lo tanto:

9x2 30xy2 C 25y4 D .3x/2 2.3x/.5y2/C .5y2/2 D .3x 5y2/2:

As tambin:9x2 C 30xy2 C 25y4 D .3x/2 C 2.3x/.5y2/C .5y2/2 D .3x C 5y2/2:

24 A tiempo

Trinomio cuadrtico x2 C px C q. Del producto notable .xCm/.xCn/ D x2C.mCn/xCmn se desprendeque existen trinomios cuadrticos .x2 C px C q/ que pueden ser factorizados como:

.x2 C pxC q/ D .x Cm/.x C n/; donde m & n son nmeros tales que mn D q &mC n D p:Por ejemplo, para factorizar .x2 C 2x 15/, se buscan dos nmeros m & n tales que: mn D 15 ymC n D 2. Esos nmeros sonm D 5 & n D 3 ya que .5/.3/ D 15 y .5/C .3/ D 2. Por lo tanto:

.x2 C 2x 15/ D .x C 5/.x 3/:

Trinomio cuadrtico ax2 C bx C c Para factorizar ax2CbxCc existen dosmtodos; uno funciona en casosparticulares y otro ms que se presenta en la nota.

Casos particulares. Algunos trinomios cuadrticos pueden ser factorizados de la manera siguiente:primero se multiplica y se divide entre a, para luego hacer la sustitucin ax D u:

ax2 C bxC c D a.ax2 C bxC c/

aD a

2x2 C a.bx/C aca

D 1

D .ax/2 C b.ax/C ac

aD u

2 C buC aca

:

Luego se factoriza .u2 C bu C ac/ D .u C m/.u C n/, donde mn D ac y donde m C n D b.Finalmente, se recupera u D ax y se simplifica eliminando el denominador a.Por ejemplo, para factorizar el trinomio 6x2 C 5x 4 procedemos de la manera siguiente:

6x2 C 5x 4 D 6.6x2 C 5x 4/

6D 6

2x2 C 6.5x/ 246

D 2 .6x/2 C 5.6x/ 24

6D

D u2 C 5u 24

6D .uCm/.u C n/

6;

donde u D 6x,mn D 24 ymC n D 5. Los nmeros sonm D 8 y n D 3 ya que: .8/.3/ D 24y .8/C .3/ D 5. Por lo tanto,

6x2 C 5x 4 D u2 C 5u 24

6D .uC 8/.u 3/

6D .6x C 8/.6x 3/

6D

D 2.3x C 4/3.2x 1/6

D .3x C 4/.2x 1/:

Nota. Otro procedimiento para intentar factorizar un trinomio cuadrtico consiste en completar untrinomio cuadrado perfecto. Para esto se debe tener presente que el trinomio cuadrado perfectoasociado al binomio .x2 C x/ es:

x2 C x C(2

)2D(x C

2

)2:

El procedimiento general es el siguiente:

ax2 C bx C c D a[x2 C b

ax C c

a

]D 3a

[x2 C b

ax C

(b

2a

)2C c

a(b

2a

)2]D

D a[(

x C b2a

)2C(c

a b

2

4a2

)]D a

[(x C b

2a

)2C 4ac b

2

4a2

]:

Suponiendo que c 0, esta ltima expresin podra ser una diferencia de cuadrados, que puedeser factorizada, o bien una suma de cuadrados que no puede puede ser factorizada mediantefactores reales.

1.El producto a.bx/ se escribe como b.ax/.

2. El producto 6.5x/ se escribe como 5.6x/.

3. Se sumab

2a

2para completar un trinomio cuadrado perfecto y luego se resta lo mismo para que la expresin no se altere.


Reactivos de FactorizacinSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 302

1. Al factorizar la expresin algebraica 18a5b3 24a4b4 C 6a3b2, uno de sus factores es: .A. 24a5b4B. 3a2b 4ab2 C 1C. 6a5b4

D. 3a2b C 4ab2 1E. 3a2b C 4ab2 C 1

2. Al factorizar la expresin algebraica ax 6C 3x 2a, uno de sus factores es: .A. x C 2B. a 3C. x aD. x 2E. a 2

3. Al factorizar la expresin algebraica x2 9x C 18, se obtiene que uno de sus factores es: .A. x 6B. x C 3C. x C 6D. x 9E. x 2

4. Al factorizar la expresin algebraica x2 8, se obtiene que uno de sus factores es: .A. x 4B. x 2C. x 4p2D. x C 4E. x C 2p2

5. Al factorizar la expresin algebraica x2 C x 12, uno de sus factores es: .A. x 4B. x C 4C. x C 3D. x 6E. x 2

6. Al factorizar el polinomio 6x2 5x 6, uno de sus factores es: .A. 2x C 3B. 3x C 2C. 3x 2D. 6x 1E. x 6

26 A tiempo

7. Al factorizar el binomio x3 125, uno de sus factores es: .A. x C 5B. x2 5x C 25C. x2 C 25D. x2 C 5x C 25E. x2 5x 25

8. Al factorizar el polinomio x3 x2 C 4x 4, uno de sus factores es: .A. x C 1B. x 4C. x C 4D. x2 C 1E. x 1

9. Al factorizar el trinomio 4x2 19x C 12, uno de sus factores es: .A. 4x C 3B. 4x 3C. x C 4D. 2x 3E. No se puede factorizar

10. Al factorizar el binomio 1C a3, uno de sus factores es: .A. 1C a2B. 1C aC a2C. 1 a C a2D. a2 a 1E. 1 a

11. Al factorizar el polinomio x2 C 4x 1, uno de sus factores es: .A. x C 2Cp5B. x 1C. x C 2 p3D. x C 1E. x 2 p5

12. Al factorizar el trinomio x3 x2 12x, uno de sus factores es: .A. x 3B. x C 4C. x 12D. x 4E. x 2

13. Al factorizar el trinomio 8x2 10x 3, uno de sus factores es: .A. 4x 1


B. 4x 3C. 2x C 3D. 4x C 1E. No tiene factores reales

14. Al factorizar el polinomio x2 2xC 2, uno de sus factores es: .A. x 2B. x C 2C. No tiene factores reales

D. x 1E. x C 1

15. Al factorizar el binomio x4 16, uno de sus factores es: .A. x 4B. x C 4C. x C 2D. x3 8E. x3 C 8

16. Al factorizar el polinomio 2x2 6x C 1, uno de sus factores es: .A. 2x 3Cp7B. 2x C 1C. x 3 p7D. x C 1E. No se puede factorizar

1.2.8 Operaciones con fracciones algebraicas

Una fraccin algebraica es la razn de un numerador entre un denominador, donde stos son, en general,expresiones algebraicas. Por ejemplo:

x C 1x 3 I

3

x2 C 1 Ix2 2x C 1x2 C 4x 12 I

px C hpx

h:

Un principio fundamental de las fracciones es: si tanto el numerador como el denominador son multiplica-dos o divididos por una misma cantidad o expresin algebraica, la fraccin no se altera. Esto es:

p

qD m

m pqD mp

mqI & p

qD(1m

)p(

1m

)qD

pmqm

:

Por ejemplo:x 3x 2 D

.x 3/.x C 2/

.x 2/.x C 2/ Dx2 x 6x2 4 ;

as comox2 x 6x2 4 D

x2x6xC2x24xC2

D x 3x 2 :

Si el numerador y el denominador de una fraccin tienen una expresin algebraica que es factor comnde ambos, se puede eliminar dicho factor. Esto nos permite simplificar la fraccin. Cuando numerador

28 A tiempo

y denominador de una fraccin no tienen factores en comn, se dice que la fraccin est reducida a sumnima expresin, por lo cual es irreducible. De aqu que para reducir una fraccin a su mnima expresin,se deben factorizar numerador y denominador, para luego eliminar factores comunes al numerador y aldenominador.Por ejemplo, factorizando y luego simplificando:

x3 C x2 12xx3 5x2 C 6x D

x.x2 C x 12/x.x2 5xC 6/ D

x.x C 4/.x 3/x.x 2/.x 3/

D x C 4x 2 :

La ltima fraccin es irreducible.

Suma algebraica. Para sumar y/o restar fracciones algebraicas (que se suponen simplificadas), se llevan acabo los pasos siguientes:

1. Se factorizan los denominadores.

2. Se obtiene el mnimo comn denominador (mcd) de los denominadores, que es igual al productode los factores comunes y no comunes en su mxima potencia.

3. Se divide el mcd entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador corres-pondiente.

4. Se suman y/o restan los productos obtenidos y se reducen trminos semejantes, para as tener elnumerador de la fraccin resultante.

5. Finalmente, se simplifica la fraccin algebraica resultante y se reduce a su mnima expresin.

Por ejemplo:

4

x2 x 2

x2 2x2 2xC 1 D

4

x.x 1/ 2

x2 2.x 1/2 D

4x.x 1/ 2.x 1/2 2x2x2 .x 1/2 D

D 4x2 4x 2.x2 2x C 1/ 2x2

x2 .x 1/2 D4x2 4x 2x2 C 4x 2 2x2

x2 .x 1/2 D

D 2x2 .x 1/2 :

Ntese que en este caso el mcd de los denominadores x.x 1/; x2 y .x 1/2 result ser x2.x 1/2.Multiplicacin. El producto de dos o ms fracciones algebraicas es otra fraccin cuyo numerador es el

producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores, de las frac-ciones involucradas. Se recomienda simplificar la fraccin algebraica resultante, es decir, reducirla asu mnima expresin.

Por ejemplo:

x2 2x 15x2 C 5x 14

x3 2x2x2 C 6x C 9 D

.x 5/.x C 3/

.x C 7/.x 2/ x2.x 2/.x C 3/2 D

.x 5/.x C 3/x2.x 2/.x C 7/.x 2/.x C 3/2 D

D x2.x 5/.x C 3/.x 2/

.x C 7/.x C 3/.x C 3/.x 2/ Dx2.x 5/

.x C 7/.x C 3/ Dx3 5x

x2 C 10x C 21:

Fracciones recprocas. Dos fracciones algebraicas son recprocas si su producto es 1. De aqu que las frac-

cionesm

n&

n

mson recprocas ya que su producto es:

m

n nmD mn

nmD 1:

Para tener la recproca de una fraccin dada, slo se intercambian los papeles de numerador y de-

nominador. Por ejemplo: la fraccin recproca dex C 5x 3 es

x 3x C 5 .


Divisin. Para dividir una fraccin algebraica (dividendo) entre otra fraccin (divisor), se multiplica eldividendo por la fraccin recproca del divisor.

Por ejemplo:(x3 1x3 C 1

)(x3 C x2 C xx3 x2 C x

)D(x3 1x3 C 1

)(x3 x2 C xx3 C x2 C x

)D .x 1/.x

2 C x C 1/.x C 1/.x2 x C 1/

x.x2 x C 1/x.x2 C x C 1/ D

D .x 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/

.x C 1/.x2 x C 1/x.x2 C x C 1/ D

D .x 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/

.x C 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/ Dx 1x C 1 :

Reactivos de Operaciones con fracciones algebraicasSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 307

1. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.

x 1x C 1

x 2x C 2 D :

A.2x C 12x C 3

B.4

x2 C 2C.

4x2 C 3x C 2

D.2x

x2 C 3x C 2E.

2x 32x C 3


x2 C 5x2

x 2x

D :

A.x C 3x

B.2x C 5x2

C.x2 x C 3

x2

D.x2 x C 7

x2

E.2x2 C 5x3

3. Efectuar las operaciones siguientes y simplificar.

1

x.x 1/ 3

x2C 2

.x 1/2 D :

A.5x 3

.x3 x2/2

B.2x

x2.x 1/2

30 A tiempo

C.x C 3

x2.x 1/2

D.3x C 1x2.x 1/2

E.5x 3

x2.x 1/24. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.

2

x.x 2/ 1

x 2 D :

A.x C 2

x.x 2/B.

1

x

C. 2C xx2 2x

D. 1x

E.2 xx2 2


8

x2 4 2

x 2 D :

A. 1x C 1

B.10 2xx2 4

C. 2x C 2

D.6

x2 x 2E.

8C 8x 2x2x3 C 8


1

x 1 3

x3 1 D :

A.x2 4x3 1

B.x2 2x3 1

C.2

x x3D.

x C 2x2 C x C 1

E.x C 2

x2 x C 1



x 3x C 3

x C 3x 3 C

4x2

x2 9 D :

A.4x2 18x2 9

B.4x

x C 3C.

4x2

x2 9D.

4x

x 3E.

18C 4x2x2 9

8. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.(x2 2x 3x2 C 2x 8

)(x2 4xC 4x2 6x C 9

)D :

A.2.x 1/3.x 4/

B.x2 x 2x2 C x 12

C.x2 C x 2x2 x 12

D.2.2x C 3/.x 1/3.2x 3/.x 4/

E.2.x 1/3.x 4/

9. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.(2x2C x 13x2 5x 2

)(2x2 C 3x 23x2 2x 1

)D :

A..x 1/2.x 2/2

B.x2 C 1x2 C 4

C.x2 1x2 4

D..2x 1/2.3x C 1/2

E.x2 4x2 1

10. Efectuar las operaciones siguientes y simplificar.

1C 2x2

1C 4x24

D :

32 A tiempo

A.x 2x

B.x

x C 2C.

x C 22

D.2

x C 2E.

x C 2x

1.2.9 Racionalizacin

En ocasiones es necesario transformar una expresin algebraica que contiene radicales en otra expresinque sea ms til y se pueda manipular.

La racionalizacin es un procedimiento algebraico que se utiliza con este propsito y que est estrechamenteligado a fracciones algebraicas. Se habla de racionalizar el numerador o el denominador de una fraccinalgebraica.

Al racionalizar el numerador o el denominador se pretende eliminar el o los radicales del numerador o deldenominador, respectivamente. Decimos eliminar, pero realmente lo que se hace es mover radicales delnumerador al denominador o viceversa, segn la necesidad que se tenga.

Es comn racionalizar numeradores o denominadores que son binomios formados con uno o dos radicalesdel mismo orden o ndice.

Para racionalizar una suma o una diferencia de races cuadradas, se debe tener presente la identidad:

.aC b/.a b/ D a2 b2:

Para racionalizar una suma o una diferencia de races cbicas, se deben tener presentes las identidades:

.a C b/.a2 ab C b2/ D a3 C b3 y .a b/.a2 C ab C b2/ D a3 b3:

Ejemplo. Racionalizar el numerador de la fraccin:px C hpx

h:

H Para eliminar las races cuadradas de la diferenciapx C h px, multiplicamos el numerador por la

sumapx C h C px (por su conjugado) para as generar la diferencia de cuadrados (px C h)2 (px)2

que permita la eliminacin requerida; pero tambin el denominador (h) debe ser multiplicado por la sumamencionada, para que as la fraccin no sea alterada.

px C h px

hD(p

x C hpx) (px C hCpx)h(p

x C hCpx) D(p

x C h)2 (px)2h(p

x C hCpx) DD x C h x

h(p

x C hCpx) D hh (px C hCpx) D 1px C hCpx :

Ejemplo. Racionalizar el numerador de la fraccin:

3px C h 3px

h:


H Para eliminar las races cbicas de la diferencia 3px C h 3px, multiplicamos el numerador por el

trinomio(

3px C h)2C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2 para as generar la diferencia de cubos ( 3px C h)3 ( 3px)3

que permita la eliminacin requerida. Y para que la fraccin no sea alterada, tambin el denominador (h)debe ser multiplicado por el trinomio mencionado.

3px C h 3px

hD(

3px C h 3px) [( 3px C h)2 C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2]

h[(

3px C h)2 C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2] D

D(

3px C h)3 ( 3px)3

h[

3.x C h/2 C 3px C h 3px C 3

px2] D x C h x

h[

3.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2] D

D hh[

3.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2] D

13.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2 :

Reactivos de RacionalizacinSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 311

1. Al racionalizar el numerador de la fraccin:px C 2 p6 x

x 2 ;

y luego simplificar, se obtiene: .

A.2p

x C 2 Cp6C xB.

2px C 2 Cp6 x

C.4

x 2(p

x C 2 Cp6 x)

D.2p

x C 2Cp6 xE.

4.x 2/ (px C 2 Cp6C x )

2. Al racionalizar el denominador de la fraccin:

4 xpx 2 ;


A.px C 2

B.px 2

C. px 2

D.px C 24C x

E. px C 2

34 A tiempo

3. Al racionalizar el numerador y el denominador de la fraccin:

3 p5C x1 p5 x ;


A.1Cp5 x3Cp5C x

B. 1Cp5 x

3Cp5C x

C. 1Cp5C x

3Cp5 x

D.1Cp5C x3Cp5 x

E.3Cp5 x1Cp5C x

4. Al racionalizar la expresin algebraica:

x px2 2x;


A.2x

x Cpx2 2x

B.2

1Cpx2 2x

C.2x

x Cpx2 2x

D.2

1Cpx2 2x

E.2x

x Cpx2 C 2x5. Al racionalizar la fraccin algebraica:

3px C 1 1

x;


A. 3.x C 1/2 C 3px C 1 C 1

B.1

3px2 C 1 C 3px C 1 C 1

C.1

3.x C 1/2 3px C 1 C 1

D. 3px2 C 1C 3px C 1 C 1

E.1

3.x C 1/2 C 3px C 1 C 1


1.2.10 Ecuaciones de primer grado con una incgnita

Una ecuacin es una igualdad matemtica que consta de un simbolo igual (D) y una expresin algebraica acada lado de ste. Se denominan miembros de la ecuacin a dichas expresiones algebraicas. Una ecuacinen donde aparece una letra (una literal) con valor desconocido, comnmente la letra x, es una ecuacin conuna incgnita. Cuando en una ecuacin la literal (tambin conocida como variable) aparece con exponenteuno, la ecuacin es de primer grado. Ejemplos de ecuaciones de primer grado con una incgnita:

x D 7I 3x C 5 D 0I 2x C 1 D x3:

Resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita consiste en encontrar el valor de sta que permitaque la igualdad se cumpla; a dicho valor se le denomina solucin de la ecuacin. Observa que en la ecuacinx

4C1 D 3, el valor de x que permite que la igualdad se cumpla es 8. Se dice entonces que x D 8 es la solucin

de la ecuacinx

4C 1 D 3. Para resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita se aplica, segn

convenga, bien la propiedad aditiva,4 bien la propiedad multiplicativa,5 o bien ambas propiedades en laigualdad, hasta aislar la variable en un miembro de la ecuacin. Esto tambin se conoce como despejar laincgnita.

Ejemplos:

Para despejar x de la ecuacin x 5 D 7, se aplica la propiedad aditiva en la igualdad sumando 5 enambos lados (en ambos miembros), de la ecuacin, esto es:

x 5 D 7 ) x 5C 5 D 7C 5 ) x D 12:

Cuando x es igual a 12, la igualdad x5 D 7 se cumple, por lo que x D 12 es la solucin a la ecuacindada.

Para despejar x en la ecuacin x7D 3, se aplica la propiedad multiplicativa en la igualdad multipli-

cando por 7 ambos lados de la ecuacin, esto es:

x

7D 3 ) .7/x

7D .7/3 ) x D 21:

Cuando x es igual a 21, la igualdadx

7D 3 se cumple, por lo que x D 21 es la solucin de la ecuacin

dada.

Reactivos de Ecuaciones de primer grado con una incgnitaSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 313

1. Al resolver la ecuacin4 3x D 2xC 9;

hallamos que: .

A. x D 5B. x D 9

5

C. x D 135

4. Si a D b, entonces aC c D bC c.Tambin, si a D b, entonces a c D b c.

5. Si a D b, entonces a c D b c.Tambin, si a D b, entonces a

cD b

c.

36 A tiempo

D. x D 1E. x D 1

2. El valor de x que resuelve la ecuacin 2xC 2 3x D 2 4x C 3 es: .A. 3

B. 12

C. 13

D. 3E.

1

3

3. La solucin de la ecuacin 3.5aC 2/ D 3 6a2

es: .

A. a D 9B. a D 1

2

C. a D 13

D. a D 36E. a D 1

4

4. El valor de la incgnita x que resuelve la ecuacinx

2C 1

3D

12 x

3

3es: .

A. 311

B.6

22

C.1

2

D.11

3

E.1

11

1.2.11 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2Un sistema de ecuaciones lineales 2 2 es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Lossiguientes pares de ecuaciones representan sistemas de ecuaciones lineales 2 2.

5xC 2y D 9I y D 3x C 2I3x C y D 5: y D2x 3:

3zD 23 4d I 3xD 6Id C 2zD 12: 2xC y D 9:

La solucin de un sistema de ecuaciones lineales 2 2 es la solucin comn a las dos ecuaciones.En el caso del primer sistema de ecuaciones la solucin es x D 1 & y D 2. Si se usan estos dos valores enambas ecuaciones del sistema, ambas igualdades se cumplen.

Para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales 2 2, se presentan a continuacin losmtodos sustitucin, suma o resta e igualacin.


Mtodo de sustitucin Ejemplo

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 se siguen los siguientes pasos.

Resolver por sustitucin el sistema:

5xC 2y D 9I .1/3xC y D 5: .2/

Primero. Despejar de una de las ecuaciones unade las incgnitas.

Primero. De la ecuacin (1) se despeja x:

5xC 2y D 9 ) 5x D 9 2y )) x D 9 2y

5:

Segundo. La expresin encontrada de la incg-nita despejada se usa en la otra ecuacin.

De esta manera se obtiene una ecuacin (*)con una sola incgnita.

Segundo. La expresin encontrada de x se usa enla ecuacin (2):

3xC y D 5 .2/ & x D 9 2y5

, entonces:

3

(9 2y

5

)C y D 5: ./

Tercero. De la ecuacin obtenida (*) se despeja laincgnita.

Tercero. De la ecuacin obtenida (*) se despeja laincgnita y

3

(9 2y5

)C y D 5 )

) 3(9 2y5

)D 5 y )

) 27 6y5

D 5 y )) 27 6y D 5.5 y/ )) 27 6y D 25 5y )) 6y C 5y D 25 27 )) y D 2 ) y D 2:

Cuarto. El valor encontrado de la incgnita en (*)se utiliza en la expresin obtenida en el primerpaso.

Cuarto. Se usa y D 2 en la expresin que se tienepara x obtenida en el primer paso.

x D 9 2y5

& y D 2 )

) x D 9 2.2/5

D 9 45

)

) x D 55) x D 1:

Con estos pasos, el mtodo de sustitucin per-mite determinar la solucin de un sistema deecuaciones lineales 2 2.

Se concluye que la solucin del sistema de ecua-ciones lineales 2 2 es:

x D 1 & y D 2:

38 A tiempo

Mtodo de suma o resta Ejemplo

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 por el mtodo de suma o resta se siguen lossiguientes pasos.

Resolver por suma o resta el sistema:

5y C xD 7I .1/2y C 4xD8: .2/

Primero. Se trata de obtener una ecuacin conuna sola incgnita despus de sumar o restar lasecuaciones del sistema. Para esto es necesarioreescribir el sistema dado, de manera tal que loscoeficientes de una de las incgnitas difieran sloen el signo (o bien que sean iguales), para que alsumar (o restar) las ecuaciones, dicha incgnitasea eliminada.

Primero. Observar que conviene multiplicar laecuacin (1) por 4, para as tener el trmino4xque eliminara al trmino 4x de la ecuacin (2):

.4/.5y/ C .4/.x/ D .4/.7/ )) 20y 4x D 28:

Con esto el sistema queda as:

20y 4xD28I .10/2yC 4xD 8: .20/

Segundo. Se suman ambas ecuaciones (los trmi-nos de una ecuacin con los semejantesde la otra)para obtener una ecuacin con una sola incgnita.

Segundo. Se suman ambas ecuaciones:

20y 4xD 28 C2y C 4xD 8

18y C 0D36 :

Tercero. Se resuelve la expresin obtenida. Tercero. Se resuelve la ecuacin obtenida:

18y D 36 ) y D 3618 )

) y D .6/.6/.6/.3/ ) y D 2:

Cuarto. El valor encontrado de la incgnita sesustituye en cualquiera de las ecuaciones del sis-tema para as determinar el valor de la otra incg-nita.

Cuarto. y D 2 se usar en (1) [tambin se puedeutilizar en (2)] para encontrar el valor de x. Estoes:

5y C x D 7: .1/5.2/C x D 7 )

) x D 7 10 )) x D 3:

Finalmente, se concluye con la solucin del sis-tema.

Se concluye que la solucin del sistema de ecua-ciones lineales 2 2 es:

x D 3 & y D 2:


Mtodo de igualacin Ejemplo

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 por el mtodo de igualacin, se siguen lossiguientes pasos.

Resolver por igualacin el sistema:

3xC 4y D6I .1/5x 3yD 19: .2/

Primero. De ambas ecuaciones de despeja lamisma incgnita.

Primero. Despejamos la incgnita x de ambasecuaciones

3xC 4y D 6 ) 3x D 4y 6 ) x D 4y 63

I

5x 3y D 19 ) 5x D 19C 3y ) x D 19C 3y5

:

Segundo. Se igualan las expresiones algebraicasobtenidas para la incgnita despejada, obtenin-dose as una ecuacin con una incgnita.

Segundo. Igualamos las expresiones algebraicasobtenidas para la incgnita x:

4y 63

D 3y C 195

:

Tercero. Se resuelve la ecuacin obtenida, paraas determinar el valor de una de las incgnitasdel sistema.

Tercero. Resolvemos para obtener la incgnita y:

5.4y 6/ D 3.3y C 19/ )) 20y 30 D 9y C 57 )) 20y 9y D 57C 30 )) 29y D 87 )) y D 8729 )) y D 3:

Cuarto. Aplicamos el valor determinado para laincgnita en cualquiera de las expresiones alge-braicas que se tienen de la otra incgnita .

Cuarto. Usamos y D 3 en x D 3y C 195

.

x D 3.3/C 195

D 9C 195

D 105D 2 )

) x D 2:

Finalmente se concluye con la solucin del sis-tema.

Se concluye que la solucin del sistema dado es:

x D 2 & y D 3:

Reactivos de Sistemas de ecuaciones lineales 2 2Soluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 315

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indicar la respuesta: .

12yD 7x 14I7xC 14D8y:

A. x D 52

& y D 75

40 A tiempo

B. x D 25

& y D 57

C. x D 52

& y D 57

D. x D 25

& y D 57

E. x D 25

& y D 75

2. Determinar el valor de las incgnitas x & y que satisfacen las siguientes ecuaciones.

Escribir la respuesta: .

2y D 2x3C 2I

y C 3 D 4x:A. x D 12 & y D 15B. x D 12

11& y D 15

11

C. x D 23

& y D 4D. x D 2 & y D 3E. x D 11 & y D 12

3. Resolver el sistema de ecuaciones lineales. Escribir la respuesta: .

5aC 6bD1I3a 2bD 5:

A. a D 53

& b D 149

B. a D 53

& b D 75

C. a D 35

& b D 57

D. a D 1 & b D 1E. a D 3

5& b D 9

7

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Escribir la respuesta: .

y D 3x C 6Iy Dx

3 4:

A. x D 13

& y D 3B. x D 3 & y D 3C. x D 3 & y D 3D. x D 6 & y D 4E. x D 4 & y D 6

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Escribir la respuesta: .

5x C 2y D 16I4xC 3y D 1:


A. x D 2 & y D 3B. x D 2 & y D 3C. x D 2 & y D 3D. x D 2 & y D 3E. x D 3 & y D 2

1.2.12 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

Una ecuacin de segundo grado con una incgnita o ecuacin cuadrtica es una expresin algebraica de laforma ax2 C bx C c D 0, donde a, b, c son nmeros conocidos, con a 0; x es la incgnita. Se exige quea 0 para que la ecuacin sea, en efecto, de segundo grado.Ejemplos de ecuaciones de segundo grado con una incgnita son los siguientes:

3x2 C x 5 D 0I x2 2 D 6xI

b2 4b 1 D 0I z2 C 5C z D 0I

2x2 C 1 D 0I d2

3C d D 5I

x2 D 9xI d 2 D d 1:

Se dice que x D n es solucin de la ecuacin cuadrtica ax2C bxC c D 0, si al usar n en vez de la incgnitax la igualdad se satisface; esto es, si an2 C bnC c D 0.Por ejemplo, x D 3 es solucin de la ecuacin cuadrtica x2 6x C 9 D 0, ya que al utilizar el nmero 3 envez de la incgnita x, se obtiene:

.3/2 6.3/C 9 D 0 ) 9 18C 9 D 0 ) 0 D 0:

As tambin, x D 3 no es solucin de la ecuacin cuadrtica x2 6x C 9 D 0, ya que al usar el nmero 3en vez de la incgnita x, se obtiene:

.3/2 6.3/C 9 D 0 ) 9C 18C 9 D 0 ) 36 D 0:

La cual no es una igualdad.La ecuacin cuadrtica ax2 C bx C c D 0 tiene a lo ms dos soluciones reales, que se obtienen mediante laaplicacin de la frmula general:

x D b pb2 4ac2a

:

Dichas soluciones dependen del signo que tenga el nmero b2 4ac, el cual es denominado discriminante.

Si b2 4ac es un nmero positivo .b2 4ac > 0/, la ecuacin cuadrtica tiene dos soluciones realesdadas por:

x1 D b Cpb2 4ac2a

& x2 D b pb2 4ac2a

:

Si b2 4ac D 0, entoncespb2 4ac D 0 y las soluciones reales resultan ser:

x1 D b C 02a

D b2a

& x1 D b 02a

D b2a

:

Las dos soluciones son iguales. Se tiene una solucin real repetida y se dice que se tiene una solucinreal de multiplicidad dos.

42 A tiempo

Si b2 4ac es un nmero negativo .b2 4ac < 0/, entoncespb2 4ac no es un nmero real. En estecaso se dice que la ecuacin no tiene soluciones reales.

Dos ecuaciones cuadrticas muy particulares son ax2 C bx D 0 (cuando c D 0) as como ax2 C c D 0(cuando b D 0). En estos casos no es necesario utilizar la frmula general para resolverlos. A saber:

Si se tiene ax2 C bx D 0, entonces factorizando:

ax2 C bx D 0 ) x.ax C b/ D 0 ) x D 0 o bien ax C b D 0 )

) x D 0 o bien x D ba:

Las soluciones son x1 D 0 & x2 D ba:

Si se tiene ax2 C c D 0, entonces puede suceder que:a & c tengan igual signo, en cuyo caso no hay soluciones reales.

a & c tengan signos diferentes, en cuyo caso hay dos soluciones reales diferentes:

ax2 C c D 0 ) ax2 D c ) ca) x D

ca:

Una solucin positiva y la otra negativa.

Otra ecuacin cuadrtica particular se tiene cuando a D 1. En este caso, x2 C bx C c D 0. Si factorizandoresulta que

x2 C bx C c D .x Cm/.x C n/;entonces podemos resolver la ecuacin de la siguiente manera:

x2 C bx C c D 0 ) .x Cm/.x C n/ D 0 )) x Cm D 0 o bien x C n D 0 )) x D m o bien x D n:

Las soluciones son x1 D m & x2 D n.

Reactivos de Ecuaciones de segundo grado con una incgnitaSoluciones: vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina 319

1. Al resolver la ecuacin x2 4x D 21, se obtiene: .A. x D 3; x D 7B. x D 3; x D 7C. x D 3; x D 3D. x D 3; x D 7E. No hay soluciones reales

2. Al resolver la ecuacin x2 D 9, se obtiene: .A. La ecuacin no tiene soluciones

B. x D 3; x D 3C. x D 3; x D 3D. x D 3; x D 3E. x D p9


3. Al resolver la ecuacin 6x2C 5x 6 D 0, se obtiene: .

A. x D 32; x D 2

3

B. x D 23; x D 3

2

C. x D 32; x D 2

3

D. x D 3; x D 2E. No hay soluciones reales

4. Las soluciones de la ecuacin 3x2 4x D 0 son: .

A. x D 0; x D 43

B. x D 0; x D 34

C. x D 43; x D 4

3

D. x D 43; x D 0

E. No tiene soluciones reales

5. Las soluciones de la ecuacin x2 4x C 1 D 0 son: .

A. x D 2Cp3; x D 2 p3B. x D 2 p3; x D 2Cp3C. x D 2 2p3; x D 2C 2p3D. x D 2C 2p3; x D 2 2p3E. No tiene soluciones reales.

1.2.13 Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos una cuadrticaComo se sabe, una ecuacin de primer grado o lineal con dos incgnitas es de la forma:

Ax C By C C D 0:

As tambin, una ecuacin de segundo grado o cuadrtica con dos incgnitas es de la forma:

Ax2 C By2 C Cxy CDx C Ey C F D 0:

En ambos casos las incgnitas son x&y.Aqu tratamos con sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas donde ambas ecuaciones son cuadrticaso bien una es lineal y la otra es cuadrtica.Para resolver estos tipos de sistemas, se busca primero eliminar a una de las incgnitas para luego resolverla ecuacin que resulte.Si el sistema es de una lineal con una cuadrtica, primero se despeja una de las incgnitas de la lineal paraluego sustituir en la ecuacin cuadrtica.Si el sistema es de dos cuadrticas, se puede proceder por sustitucin, por igualacin o bien por el mtodode suma o resta. Dependiendo de las ecuaciones, ser el procedimiento que se utilice.

44 A tiempo

Reactivos de Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos una cuadrticaSoluciones: vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina 321

1. Las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

x2 C y2 D 25Ix y C 1 D 0;

son: .

A. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4B. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4C. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4D. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4E. x1 D 4 & y1 D 4; x2 D 3 & y2 D 3


x2 2x y C 1 D 0Ix C y 7 D 0;

son: .

A. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4B. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4C. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4D. x1 D 2 & y1 D 4; x2 D 3 & y2 D 9E. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4


x2 C y2 D 2Ix2 y D 0;

son: .

A. x1 D 1 & y1 D 1; x2 D 1 & y2 D 1B. x1 D

p2 & y1 D 2; x2 D

p2& y2 D 2

C. x1 D p2 & y1 D 2; x2 D 1 & y2 D 1

D. x1 D 1 & y1 D 1; x2 D 1 & y2 D 1E. x1 D 1 & y1 D 1; x2 D

p2 & y2 D 2


x2 C 3y2 D 36I3x2 C y2 D 36;

son: .

A. x1 D 6 & y1 D 0; x2 D 0 & y2 D 6B. x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 3; x3 D 3 & y3 D 3; x4 D 3 & y4 D 3C. x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 3; x3 D 6 & y3 D 0D. x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 0 & y2 D 6E. x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 3; x3 D 6 & y3 D 0; x4 D 0 & y4 D 6


1.3 Geometra euclideana

1.3.1 ngulos complementarios y suplementarios

D 30

D 60

Dos ngulos son complementarios si su suma es igual a 90.

Los ngulos , de la figura anterior son complementarios.

Dos ngulos son suplementarios si su suma es igual a 180. En la siguiente figura, los ngulos , sonsuplementarios.

D 120 D 60

Reactivos de ngulos complementarios y suplementariosSoluciones: vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina 324

1. Los ngulos , son complementarios. Si el valor de es un quinto del valor de , cul es el valordel ngulo ?: .

A. 30

B. 15

C. 75

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