a. fomin - inducci“n matema´tica (tomado de mathematical circles) - 21p

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  • 1. Induccin.1.1. Proceso y mtodo de la induccin.

    1.1.1. Introduccin (para los profesores).A lo mejor a cada uno de ustedes le ha tocado colocar fichas de domin en fila.Cuando empujas la primera cae la segunda, la segunda empuja la tercera hastaque caen todas. Cambiemos la fila de fichas por una serie de afirmaciones infinita:AI, A?, A%,..., enumeradas con nmeros naturales. Supongamos que sabemosdemostrar lo siguiente:

    (B): la primera afirmacin de la serie es verdadera;(P): de la veracidad de cualquier afirmacin dada se deduce la veracidad de la

    afirmacin que sigue a ella.Entonces hemos demostrado todas las afirmaciones de la serie. En realidad,

    sabemos "empujar la primera ficha", es decir, demostrar la primera afirmacin, y(P) significa que "cada ficha, al caer empuja la siguiente". No importa la " ficha" -afirmacin que tomemos, la ola de "cadas"-demostraciones, una vez comenzadatarde o temprano llegar hasta ella, osea la afirmacin ser demostrada.

    Nosotros describimos el esquema del mtodo de la induccin matemtica (MIM).El teorema (B) aqu se llama principio de la induccin, y el teorema (P) es el pasode la induccin.

    El razonamiento con las afirmaciones-" fichas" muestra que el paso (P) es lacorta anotacin de la secuencia de teoremas, representada en la siguiente fig.

    Ai -> A-i -> A3 -> . . . - Ak -* -Afc+i -+..,..

    Los teoremas de esta secuencia se llamarn pasos, y el proceso de su sucesivademostracin es el proceso de induccin. Evidentemente el proceso de induccinse puede representar como una ola de demostraciones, que va de afirmacin enafirmacin por la secuencia de teoremas.

    Desde el punto de vista sicolgico, lo principal en la induccin es su proceso.Cmo ensear (o aprender) a realizar este proceso, lo mostramos en forma dedilogo entre el profesor ("P") y el estudiante ("E"), el cual en forma un pocoalisada refleja la clase real del club. Al final de la primera parte del dilogo citamoslos comentarios de metodologa para el lector-profesor (las referencias estn dadasen el texto).

    P: Problema 1.

  • De un cuadrado de papel cuadriculado de 16 x 16 cortaron una cuadrcula.Demuestre que la figura obtenida se puede cortar en "figuras en forma de L" quecontengan tres cuadrculas.

    E: Todo es sencillo, en la figura en forma de L hay tres cuadrculas, y 162 1es divisible por 3.

    P: Si todo es tan sencillo, corte al mismo tiempo una tira de 1 x 6 en las figurasen forma de L, ya que 6 tambin es divisible por 3.

    E: S...De esa forma no se puede razonar. Entonces no s como resolver elproblema/1^

    P: Usted no puede resolver este problema. Podr usted inventar y resolver unproblema ms fcil, pero semejante a ste?

    E: Se puede tomar un cuadrado ms pequeo, por ejemplo de 4 x 4.P: O de 2 x 1.^E: Para uno de 2 x 2 no hay nada que demostrar: despus de quitar cualquier

    cuadrcula queda exactamente una figura en forma de L. Pero que nos da esto?P: Intente usted ahora resolver un problema con un cuadrado de 4 x 4.E: El cuadrado de 4 x 4 se puede cortar en cuatro cuadrados de 2 x 2. Con

    uno de ellos, en el cual est cortada una cuadrcula, todo es claro. Y qu hacercon los otros tres?

    P: Intente cortar a ellos una figura en forma de L, que sea adyacente al centrodel cuadrado grande (ver la fig.l).

    E: Entend! Cada uno de los tres cuadrados de 2 x 2 pierde de a una cuadrculay tambin se convertir en una figura en forma de L! El problema para el cuadradode 4 x 4 est resuelto. Pero y qu ms?

    P: Intente tomar un cuadrado de 8 x 8. El cuadrado puede ser cortado encuatro cuadrados de 4 x 4. Intente utilizar esto.

    E: Se puede razonar de la misma forma que antes. En uno de los cuadradosde 4 x 4 hay una cuadrcula cortada. El cuadrado se puede cortar en figuras enforma de L, como fue demostrado. Y de los tres restantes cortamos una figuraen forma de L que sea adyacente al centro del cuadrado de 8 x 8. Entonces ellospierden de a una cuadrcula, y nosotros podemos tambin cortarlas en figuras enforma de L.

    P: Si se ve ahora cmo resolver el problema inicial?E: S. Cortamos un cuadrado de 16 x 16 en cuatro cuadrados de 8 x 8. En

    uno de ellos est cortada una cuadrcula. Nosotros acabamos de demostrar que elcuadrado se puede cortar en figuras en forma de L. Y de los tres restantes cortamosuna figura en forma L que sea adyacente al centro del cuadrado de 16 x 16. Ahora

  • a cada uno de ellos podemos tambin cortarlos en forma de L. Es todo!P: No, no es todo. Nosotros resolvimos un problema para un cuadrado de 16 x

    16, utilizando para ello "puentes" desde los problemas similares ms sencillos. Yno se podr ahora utilizar "puentes" desde el problema mismo hasta los problemassimilares ms difciles?^.

    E: Por favor. Demostramos que en las figuras en forma de L se puede cortarun cuadrado de 32 x 32 sin cuadrcula. Para esto cortamos el cuadrado en cuatrocuadrados de 16 x 16, quitamos la figura en forma de L central y utilizamos laafirmacin ya demostrada sobre el cuadrado de 16 x 16.

    P: As, se puede seguir adelante.E: Claro que s. Como el cuadrado de 32 x 32 se puede cortar, el cuadrado de

    64 x 64 tambin se puede cortar, por consiguiente el cuadrado 128 x 128 se puedecortar y as sucesivamente...

    P: Osea resulta una secuencia infinita de afirmaciones similares sobre cuadra-dos de diferentes tamaos. Y podremos decir que nosotros los demostramos todos?

    E: S. Inicialmente demostramos la primera afirmacin de la secuencia oseasobre el cuadrado de 2 x 2. Luego deducimos de la afirmacin una segunda, de lasegunda afirmacin una tercera, de la tercera una cuarta y as se puede continuarhasta el infinito. Es claro, que caminando de esa forma por la secuencia, nosotrosllegaremos hasta cada una de sus afirmaciones. Eso significa que todas ellas sonverdaderas.

    P: Es cierto. Ahora me imagino el siguiente cuadro: por la secuencia deafirmaciones y teoremas: 2 x 2 > 4 x 4 8 x 8 > . . . se desplaza la "olade afirmaciones". Claro es, que ella se desplazar hasta cada afirmacin de lasecuencia.

    Notas metodolgicas. Haremos varias observaciones con respecto al dilogoanterior. Estas observaciones estn sealadas en el texto con el respectivo nmerode la nota.

    Comentario #1. En aquel momento, cuando el estudiante "demostr" laafirmacin del problema con la ayuda de la divisibilidad por 3, ante el profesorsurgi un problema comn-cmo explicar al estudiante su error, sin darle unaayuda evidente al mismo tiempo. El profesor resuelve el problema con la ayudade un contraejemplo preparado de antemano. Tales "piedras submarinas" y losmtodos de lucha con ellas siempre es til saber de antemano.Rodear las piedrasse debe hacer de forma libre, distraerse en lo mnimo de la lnea principal de lasolucin.

    Comentario #2. La introduccin de esta rplica en el texto no es casual.

  • NEs poco probable que el estudiante mismo mencione el caso trivial de 2 x 2- paral esto "no es un problema" (esta no ser la nica vez que tropecemos con estemomento sicolgico). No obstante el profesor sabe que es ms cmodo empezarcon este caso.

    Comentario #3. En esta parte del dilogo de un modo evidente surge unesquema "paso a paso" de la realizacin de la solucin: 2 x 2 > 4 x 4 > 8 x 8 >16 x 16.

    Ante nosotros tenemos el comienzo de la induccin: la base 2 x 2 y los tresprimeros pasos. Lo importante es que se hicieron suficientes pasos de la induccin,para que el estudiante note la analoga entre ellos. Ahora, despus de la preguntasugestiva el estudiante por s mismo puede fcilmente desarrollar por completo elproceso de la induccin. Observemos que hay ms soluciones inductivas de esteproblema, pero stas no son favorables para nosotros, ya que el proceso de induc-cin en ellas no se desarrolla tan exactamente, como en el ejemplo mencionado.Por eso el profesor distrae de las soluciones con una ayuda orientada. En gen-eral, preste atencin a la forma como el profesor lleva con exactitud su "partida":donde es necesario, l imperceptiblemente orienta al alumno hacia el camino ade-cuado, lo distrae de la falsa analoga y ayuda a economizar fuerzas. Adems esmuy importante para el profesor no ser importuno: una de las principales reglasconsiste en que el alumno debe por s mismo recorrer la mayor parte posible delcamino.

    Saquemos una conclusin intermedia: el alumno (pero con ms frecuencia lohace el mismo profesor) formul el esquema del mtodo de la induccin matemtica(MIM). La frase destacada "caminando de esa forma por la secuencia, nosotrosllegaremos hasta cada una de sus afirmaciones" es la libre formulacin del princi-pio de la induccin matemtica, que est en el fundamento del MIM. La exactaformulacin ustedes pueden conocerla en cualquier libro de matemticas, de stoshay muchos. Pero admitamos que darla al comienzo del aprendizaje, la mayorade las veces es inoportuno, y frecuentemente es perjudicial. La formalizacin deuna afirmacin intuitivamente clara puede despertar en el estudiante escrupulosouna sensacin de incomprensin y ocasionar inseguridad. Al contrario, hay quehacer del esquema MIM. lo ms dinmico y evidente posible utilizando todos losmedios. Adems de la "ola" y las "fichas" de la introduccin, aqu son tiles lasanalogias de la caminata por la escalera, el cierre de la cremallera, etc.

    Continuemos un poco ms con el dilogo interrumpido.P: As, nosotros demostramos una secuencia infinita de afirmaciones sobre las

    secciones de cuadrados. Ahora vamos a escribirlo completamente, sin el "etc".

  • E: De esa forma ningn cuaderno alcanzar.P: Si, si escribimos cada afirmacin separadamente. Pero si las afirmaciones

    son iguales, cambian solo las dimensiones de los cuadrados. Esto nos permitecodificar por completo nuestra secuencia en un rengln:

    (*) un cuadrado de 2" x 2n sin una cuadrcula, se puede cortar en figuras enforma de L.

    Aqu hay la variable n. Cualquier