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trabajo

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METODOS NUMRICOSTrabajo colaborativo 2

PRESENTADO POR:

GRUPO:

TUTOR:CARLOS EDMUNDO LPEZ SARASTY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNADDIC DE 2011

INTRODUCCIN

El segundo trabajo colaborativo del curso, pretende aplicar los conocimientos adquiridos con el estudio de la segunda unidad del mdulo Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales por medio de ejercicios prcticos y el desarrollo de mapas conceptuales que complementan el trabajo. Con la etapa de transferencia se completa las fases de aprendizaje planteadas por la universidad para cada unidad del modulo y he aqu donde radica su importancia.

Bsicamente los conceptos que se trabajaron en este trabajo son los mtodos por los cuales se pueden encontrar races como por ejemplo; el mtodo grfico, el mtodo de biseccin, la regla falsa, la secante, el mtodo de Newton-Raphson entre otros.

MAPAS CONCEPTUALES UNIDAD 2

CAPTULO 1.

.

CAPTULO 2.

DESARROLLO DE EJERCICIOS

1. Encuentre las matrices L y U, adems halle la solucin delsiguiente sistema:

2x1 x2 + x3 = 53x1 + 3x2 - 9x3 = 63x1 - 3x2 + 5x3 = 8

2. Dado el sistema lineal:x1 x2 + ax3 = -2-x1 + 2x2 ax3 = 3ax1 + x2 + x3 = 2

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema notiene solucin.b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistematiene infinitas soluciones.c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tieneuna nica solucin.

SOLUCIN:Por definicin para que un sistema de ecuaciones tenga solucin, se requiere que el determinante de la matriz de coeficientes de ese sistema sea diferente a cero. Por lo tanto para saber a qu valores del parmetro "a" el sistema no tiene solucin o tiene infinitas soluciones, se hace necesario calcular que valor de "a" hace que el determinante tenga valor 0. De esta forma y siendo la matriz de coeficientes:

A = El determinante respectivo est dado por: | A | = [ 1* 2 * 1 + (-1)(-a)a + a(-1)(1) ] - [ a * 2 * a + (-a)(1)(1) + 1(-1)(-1) ] ==> | A | = [ 2 + a - a ] - [ 2a - a + 1 ] ==> | A | = 2 + a - a - 2a + a - 1 ==> | A | = -a + 1 Si para que el sistema no tenga solucin (o tenga mltiples) es necesario que | A | = 0, entonces: | A | = 0 ==> -a + 1 = 0 ==> a = 1 y a = -1a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solucin:Si hacemos a = 1, podemos comprobar por simple inspeccin que la primera y tercera columna de la matriz son iguales; esto es suficiente para establecer que el sistema NO tiene solucin para a = 1. Si ahora hacemos a = -1 vamos a ver que la primera columna es igual a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el nmero de filas y columnas independientes), es menor al nmero de incgnitas con lo cual tenemos un sistema que admite infinitas soluciones. As por ejemplo con a = -1, tenemos una solucin haciendo x = -1, x = 1 y x = 0; tenemos otra solucin haciendo que x = 0, x = 1 y x = 1 y podemos encontrar muchas otras soluciones SIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor 0. b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones:El sistema tiene infinitas soluciones cuando a = -1, porque con este valor podemos notar que la primera columna es similar a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el nmero de columnas y filas independientes), es menor al nmero de incgnitas con lo cual tenemos un sistema que admite infinitas soluciones. As por ejemplo con a = -1, tenemos una solucin haciendo x = -1, x = 1 y x = 0; tenemos otra solucin haciendo que x = 0, x = 1 y x = 1 y podemos encontrar muchas otras soluciones SIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor 0.c) Obtener el valor o los valores de "a" para los cuales el sistema tiene una nica solucin."Como podemos notar si el parmetro "a" es distinto de 1 o -1, el sistema tiene una nica solucin (que depender del valor particular de "a"). El sistema tendr una nica solucin para todo a - {-1, 1} (o sea "a" perteneciente a los Reales excluidos el -1 y el 1).Cuando a = 1 o a = -1, es posible que el sistema no tenga solucin, o tenga soluciones mltiples.

3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando elmtodo de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal.Segn los resultados concluya la posible solucin delsistema, es decir, concrete cual es la solucin

10x1 x2 + 0 = 9-x1 + 10x2 2x3 = 70 - 2x2 + 10x3 = 6

SOLUCIN:

4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el mtodo de Diferencias divididas de Newton:X0123

F(x)681218

SOLUCIN P (x) = c0 + c1 (x) + c2 (x )(x 1) + c3 (x )(x 1)(x 2)P(0) = 6 => c0 = 6P(1) = 8 => c0 + c1 (x) = 8 => 6 + c1(1) = 8 => c1=2P(2) = 12 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x 1) => 6 + 2(2) + c2 (2) (2 1) = 12 => c2(2) = 2 => c2 = 1P(3) = 18 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x 1) + c3 (x )(x 1)(x 2) = 18 6 + 2(3) + 1(3)(3 1) + c3 (3)(3 1)(3 2) = 18 6 + 6 + 6 + c3 (6) = 18 c3(6) = 18 18 => c3 = 0Por lo tantoP(x) = 6 + 2 (x) + (x )(x 1) => x^2 x + 2x + 6 => P(x) = x^2 + x + 6Hallamos P(0,5) P(5) = (0,5)^2 + (0,5) + 6 = 0,25 + 0,5 + 6 = 6,75 P(5) = 6,75

CONCLUSINES

Se hallan soluciones para sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

Se encuentran races por medio de mtodos de Biseccin, Newton Raphson, mtodo iterativo de punto fijo y mtodo de regla falsa.

Los mapas conceptuales facilitaron el entendimiento de los captulos de la unidad.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Modulo de Mtodos Numricos, por Carlos Ivn Bucheli ChavesUNAD

Aula virtual http://intersemestrales.unadvirtual.org/inter/course/view.php?id=84