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  • UNIDAD PROGRAMTICA IV:DISEOS FACTORIALES

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    UNIDAD PROGRAMTICA IV:

    DISEOS FACTORIALES

  • UNIDAD PROGRAMTICA IV:DISEOS FACTORIALES

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    INTRODUCCIN A LOS DISEOS FACTORIALES

    1. DESCRIPCIN

    En muchas situaciones experimentales resulta de inters estudiar los efectos producidos

    por dos o ms factores simultneamente; esto se logra con la ayuda de los Diseos Factoriales.

    En general los Diseos Factoriales producen experimentos ms eficientes, ya que cada

    observacin proporciona informacin sobre todos los factores, y es posible ver las respuestas

    de un factor en diferentes niveles de otro factor en el mismo experimento. Por lo tanto, se

    entiende por Diseo Factorial a aquel diseo en el cual se pueden estudiar los efectos de dos

    o ms factores de variacin a la vez; es decir, que se puede investigar todas las posibles

    combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o rplica del

    experimento.

    Cada uno de los factores en estudio varan en su aplicacin, a esta variacin se le llama

    Niveles del Factor. Las combinaciones de los niveles de cada factor, forman los respectivos

    tratamientos.

    En un diseo factorial, los factores en estudio se representan por letras maysculas

    (A,B,C,) y los niveles de cada uno por sus respectivas letras minsculas (a,b,c,). Los

    cuales pueden tomar valores de 2,3,4,

    Existen experimentos factoriales Balanceados y Desbalanceados; diremos que es

    balanceado cuando el nmero de rplicas es igual para cada uno de los tratamientos usados en

    el experimento; en caso contrario es Desbalanceado; tambin se puede dar el caso en que slo

    exista una sola rplica para cada tratamiento. Los Diseos factoriales se pueden combinar con

    los Diseos Completamente al Azar (Unifactoriales), o con el Diseo de Bloques Aleatorios, etc.,

    dependiendo de la naturaleza del experimento.

    Entre las Ventajas de usar un diseo Factorial, se pueden mencionar las siguientes:

    1) Ahorro y economa del recurso experimental; ya que cada unidad experimental provee

    informacin acerca de dos o ms factores, lo que no sucede cuando se realiza con una serie

    de experimentos simples.

    2) Da informacin respecto a las interacciones entre los diversos factores en estudio.

    3) Permite realizar estimaciones de las interacciones de los factores, adems de los efectos

    simples.

    4) Permite estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores,

    produciendo conclusiones que son vlidas sobre toda la extensin de las condiciones

    experimentales.

  • UNIDAD PROGRAMTICA IV:DISEOS FACTORIALES

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    La nica desventaja es que si el nmero de niveles de algunos de los factores o el nmero

    de factores es demasiado grande, entonces el nmero de todas las combinaciones posibles de

    tratamientos de factores llega a ser un nmero grande, en consecuencia la variabilidad en el

    experimento podra ser grande. Estas dos situaciones, pueden hacer difcil detectar los efectos

    significativos en el experimento.

    Se entiende por efecto de un factor al cambio en la respuesta media ocasionada por un

    cambio en el nivel de ese factor.

    En los diseos factoriales existen tres efectos, los cuales son:

    1) Efecto Simple: son comparaciones entre los niveles de un factor a un slo nivel del otro

    factor.

    2) Efecto Principal: son comparaciones entre los niveles de un factor promediados para

    todos los niveles del otro factor.

    3) Efecto de Interaccin: Miden las diferencias entre los efectos simples de un factor a

    diferentes niveles de otro factor; es decir, la diferencia en la respuesta entre los niveles de

    un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores.

    En un experimento factorial se puede estimar y contrastar hiptesis acerca de las

    interacciones y los efectos principales.

    Existe interaccin entre los factores, si la diferencia en la respuesta entre los niveles de

    un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores.

    Una interaccin puede ser doble, triple, cudruple, etc. segn el nmero de factores que

    sean considerados en el experimento.

    En general, el nmero de efectos principales y las interacciones se pueden determinar

    por el combinatorio:

    m

    k=

    )!(!

    !

    mkm

    k

    donde k: es el nmero de factores en el experimento, y

    para obtener los efectos principales m=1, se escribe m=2 para una interaccin doble, m=3

    para una interaccin triple, etc. Considerando m k.

  • UNIDAD PROGRAMTICA IV:DISEOS FACTORIALES

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    Tambin se puede utilizar el Tringulo de Pascal para encontrar el nmero de efectos

    principales y las interacciones:

    1 Puede observarse que en el caso de un experimento

    1 1 factorial de cinco factores (lnea sealada con la flecha),

    1 2 1 se tienen:

    1 3 3 1 5 Efectos principales

    1 4 6 4 1 10 Efectos Dobles

    1 5 10 10 5 1 10 Efectos Triples

    1 6 15 20 15 6 1 5 Efectos Cudruples

    ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 Efecto Quntuple

    La interaccin en la cual intervienen tres o ms factores se considera una interaccin de

    orden superior. Por ejemplo: ABC, ABD, BCD,ADCE., etc.

    La notacin que se utiliza para indicar el nmero de niveles y el nmero de factores de

    un experimento factorial es sencilla; y podra simbolizarse en general de la siguiente manera:

    mxnxoxpx, en donde las letras indican el nmero de niveles de los factores y el nmero

    de veces que aparecen las letras indican el nmero de factores. En el siguiente cuadro se

    presentan algunos ejemplos de sta notacin:

    Niveles de los Factores Notacin del

    Experimento

    Factorial

    Nmero

    de

    Factores Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4

    3x4 2 3 4

    2x4x3 3 2 4 3

    2x3x4 4 2 2 3 4

    24 = 2x2x2x2 4 2 2 2 2

    34 = 3x3x3x3 4 3 3 3 3

    En los diseos factoriales se pueden estudiar los efectos de dos, tres y ms factores a la

    vez, en esta unidad se estudiarn los efectos de dos factores en detalle, tres factores y se har

    un planteamiento general para el estudio de los diseos de ms de tres factores.

  • UNIDAD PROGRAMTICA IV:DISEOS FACTORIALES

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    2. DISEO FACTORIAL DE DOS FACTORES

    El diseo factorial ms simple o sencillo es aquel que involucra en su estudio slo dos

    factores o conjunto de tratamientos; es decir, que slo se est interesado en los efectos que

    producen estos dos factores. A este tipo de diseo se le llama Bifactorial.

    Si A y B son los factores que se van ha estudiar en un diseo factorial, el factor A tendr

    "a niveles" y el factor B tendr "b niveles", entonces cada repeticin o rplica del experimento

    contiene todas las "ab" combinaciones de los tratamientos y en general hay "n" repeticiones, es

    necesario tener al menos dos rplicas (n2), para poder obtener la suma de cuadrados del

    error.

    El orden en el cual se toman las "abn" observaciones es aleatorio; de modo que este es

    un diseo completamente aleatorizado.

    Si se considera que los niveles del factor A son a1, a2 y los del factor B son b1, b2

    entonces se tiene:

    Factor B

    Factor A b1 b2

    a1 a1b1 a1b2

    a2 a2b1 a2b2

    Los tratamientos estarn formados por las combinaciones de los niveles de ambos

    factores; es decir, que existen cuatro tratamientos los cuales son:

    Tratamiento 1: a1b1 Tratamiento 2: a1b2

    Tratamiento 3: a2b1 Tratamiento 4: a2b2

    Interpretacin de los efectos principales y la interaccin.

    El efecto simple del Factor A cuando el Factor B toma el nivel b1: es igual al cambio en

    la variable respuesta y; cuando se cambia del tratamiento a1b1 al tratamiento a2b1.

    El efecto simple del Factor A cuando el Factor B toma el nivel b2: es igual al cambio en

    la variable respuesta y , cuando se cambia del tratamiento a1b2 al tratamiento a2b2.

    El efecto principal del factor A: es el promedio de los efectos simples del factor A

    El efecto principal del factor B: es el promedio de los efectos simples del factor B

    La interaccin del factor A y el factor B: es la diferencia del efecto simple del factor A

    cuando el factor B toma el nivel b2 menos el efecto simple del factor A cuando el factor

    B toma el nivel b1.

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    Es decir, si el efecto sobre la variable respuesta (y) debe cambiar del nivel a1 al nivel a2

    del factor A es igual para los dos niveles del factor B, entonces la interaccin es cero (no

    hay interaccin o los factores operan independientemente).

    Si el efecto simple del factor A depende del nivel del factor B, entonces existe

    interaccin entre el factor A y el factor B.

    Si el signo que resulta de la interaccin es positivo se dice que existe "efecto

    sinergizante" o "potencializacin"; sin embargo si es negativo se dice que existe "efecto

    antagnico" o "interferencia".

    Forma Grfica de observar la Interaccin.

    Para observar l